高中數(shù)學講義微專題72 圓錐曲線中的面積問題

微專題72圓錐曲線中的面積問題

一、基礎知識:

1、面積問題的解決策略：

(1)求三角形的面積需要尋底找高，需要兩條線段的長度，為了簡化運算，通常優(yōu)先選擇能

用坐標直接進行表示的底(或高).

(2)面積的拆分：不規(guī)則的多邊形的面積通?？紤]拆分為多個三角形的面積和，對于三角形

如果底和高不便于計算，則也可以考慮拆分成若干個易于計算的三角形

2、多個圖形面積的關系的轉化：關鍵詞“求同存異”，尋找這些圖形的底和高中是否存在“同

底”或“等高”的特點，從而可將面積的關系轉化為線段的關系，使得計算得以簡化

3、面積的最值問題：通常利用公式將面積轉化為某個變量的函數(shù)，再求解函數(shù)的最值，在尋

底找高的過程中，優(yōu)先選擇長度為定值的線段參與運算。這樣可以使函數(shù)解析式較為簡單，

便于分析

4、橢圓與雙曲線中焦點三角形面積公式(證明詳見“圓錐曲線的性質”)

(1)橢圓：設尸為橢圓三+》=1(。>8〉0)上一點，且=則S.P"；=〃tang

22

(2)雙曲線：設P為橢圓;標=l(a,b>0)上一點，且則

s-b2-―!—

cot—

2

二、典型例題：

例1:設6，尸2為橢圓:+/=1的左右焦點，過橢圓中心任作一直線與橢圓交于P,Q兩點，

當四邊形心。鳥的面積最大時，國?再［的值等于

思路：由橢圓中心對稱的特性可知P,Q關于原點中心對稱，所以與AQ￡居關于原點

對稱，面積相等。且四邊形尸片。工可拆成△尸月不與的和，所以四邊形尸6QE的面

積最大即△尸片與面積最大，因為=g|耳周?%=c?y〃，所以當先最大時，APG居面

積最大。即尸位于短軸頂點時，△尸片鳥面積最大。由?+>2=i可知。=2,力=l,c=、/§,所

以尸(0,1),月卜6,0),月(6,0),進而計算出所?月月的值為一2

答案：一2

例2：已知點尸是橢圓16r+25^2=1600上的一點，且在x軸上方，耳，鳥分別為橢圓的左

右焦點，直線2巴的斜率為-4百，則AP耳鳥的面積是（）

A.326B,24百C.3272D.24/

22

思路：將橢圓化為標準方程為a+2=l，進而可得c=6,所以6（-6,0）,6（6,0）,計

算居的面積可以以忻工|為底，歸.|為高，所以考慮利用條件計算出P的縱坐標，設

16x2+25y2=1600

P（x,y）,則有kPF=―-—=-4A/3,所以<---=-4超可解得y-4或

2x-6x-6

y>0

^二―￥（舍去），所以S型居=〈閨用?y=/12-46=24G

答案：B

例3：已知F為拋物線>2=X的焦點，點A3在該拋物線上且位于X軸的兩側，。屋。月=2,

則與△AR7面積之和的最小值是（）

175/2r—

A.2B.3C.-----D.V10

8

思路：由。4=2入手可考慮將向量坐標化，設4（%1,乂）,8（%,％），則內々+丁1%=2,

進而想到可用韋達定理。所以設與x軸交于例（〃2,0）直線A8:x="+/〃。聯(lián)立方程

-2

V=X7222

「=>y--ty-m=0,所以y{y2=-m<0,x,x2-yxy1-ni,所以由

x=ty+m

引入2+%%=2可得：nr-m=2^m=2f所以弘%二-2,不妨設A在x軸上方，如圖

1]9

可得:^ASO+S^AFO=-\OM\\yi-y2）+-|OF|?^=-y,-y2,由X%=—2可知

ZZo

y2=--,消元后可得：SA/i0+SAm^-y.+—>2-y,.—=3,等號成立當且僅當

%Mwo8-I必18yl

4

X=§，所以S^ABO+SJFO的最小值為3

答案：B

例4：拋物線V=4x的焦點為/，準線為/,經過/且斜率為6的直線與拋物線在x軸上

方的部分相交于點A,AK±l,垂足為K,則AAEK的面積是（）

A.4B.3GC.4GD.8

思路：斜率為&可知直線的傾斜角為工，從而可得NKAF=三,

33

所以在計算面積時可利用兩邊與夾角，所以可得

1JT

S.AKF=5|AKHA同sin由拋物線性質可得|AK|=|A丹，所

以只需求得焦半徑|4尸|,即只需解出A點橫坐標。利用幾何關系可

得.=|0F|+，M|=|0F|+；|4F|,另一方面，由焦半徑公式可

得：14月=4+1，所以可得方程：XA~|°可++1）n4=3,從而|=%A+1=4,

所以LKF=；|4阡sin?=4G

答案：C

小煉有話說：（1）本題的解法是利用題目中的幾何關系求解，繞過代數(shù)運算，而突破點即為

直線的傾斜角一，所以當題目中出現(xiàn)特殊角時，可以考慮蘊含其中的幾何特點，從而使得運

3

算更為簡單。

（2）本題的七,也可通過聯(lián)立方程，使用代數(shù)方法解決，方法步躲如下:

由拋物線方程可得：F（1,O）,設/:y=g（x-l）,聯(lián)立方程:

y2=4%、2

l=>3(x—1)一=4x,整理可得:

y=6(x-1)')

3X2-10X+3=0;.x=3或X」

3

（舍）「?X

y=2百或v_2百A=3

廣-p/3

例5：以橢圓土+匕=1的頂點為焦點，焦點為頂點的雙曲線C,其左右焦點分別為耳，鳥,

95

已知點M的坐標為（2,1）,雙曲線C上點2（%,%）（%>0,%>0）滿足

PF】.MF】_F『］?嗎

冏=“|則S&PMF\一S皿區(qū)等于（)

A.2B.4C,1D.-1

思路：可先利用橢圓確定雙曲線方程及其焦點坐標，亍+g=1的頂點為（一3,0）,（3,0）,即

為耳，鳥的坐標，橢圓的焦點為（一2,0）,（2,0）,所以雙曲線中。=2,c=3,進而〃=JG

Pjr.MFFF?MF___.____________

觀察i/"二靠上一」可聯(lián)想到投影,即在尸￡的投影與何在鳥耳的投影相

回|依I

等，由幾何關系可得為/尸耳用的角平分線。由“（2,1）,6（3,0）可得心=T，即

F2M平分Z.PF2F},從而M為&PF1F2的內心，且內切圓半徑尸=%=1。從而

s…-山嶼=3附|"-g|P用"=]（閥I-附21）=2

答案：A

22

例6：已知點P為雙曲線亍—%=1（。>02>0）右支上一點，耳,工分別是雙曲線的左右

b1

焦點，且恒瑪|一，/為三角形尸耳工的內心，若SIPF=S*F+入SIFF成立，則幾的值

a1ZAirr]A/rr2A/F|12

\FF\

Sg+雙磔n|P6|=|.|+川耳閭，即彳=前吊可所以只需利用

a

寓局=—確定的關系即可。

一a

解：為三角形的內心

?"9=]忙耳|,心色肥-2二萬|。閭"總叫6=/怩用"

SAIPF[=STPF?+4S△歷歷=>|尸制=|尸閭+川￡閭

???川￡用二忸用-|尸聞???。在雙曲線上，且耳心是焦點

:.\PF]\-\PF2\=2d號同=2C:.A=-即2為離心率

h2h2

由I耳用=一可得：2c=—=>2ac=c2-a2,兩邊同時除以/得：

aa

e2-2e-l=0,解得e=2±2立，e=&+1即4=應+1

2

答案：C

22/7

例7：已知點4（0,—2）,橢圓E:5r+%=1（4>。>0）的離心率為空，廠是橢圓E的右

焦點，直線的斜率為空，。為坐標原點

3

（1）求E的方程

（2）設過點A的動直線/與E相交于P,。兩點，當AOPQ面積最大時，求/的方程

解：（1）設尸（c,0）kAF=-=-^~:.c=y[3

c\/3.2c.2221

c————u,="尸=2:.b=a-c=I

Cl2V3

2

：.E:-+y2=\

4-

思路：首先設PQ:y=Ax-2,0（金,）。（々,必），由圖像可得S.Q=；分_*|P2|，

考慮聯(lián)立直線與楠圓方程并利用點到直線距離公式和弦長公式用人表示出do,PQ,\PQ\,從而

4\l4k2—34

Sop。也可用《進行表示：S0P0=—H—二=-------——,再利用均值不等式

°由4尸+17^+4

河-3

即可得到最大值。等號成立的條件14公一3=/4即為女的值。（注意直線與橢圓相交，

河—3

所以消元后的方程A>0）

（2）設直線PQ:y=Ax-2,P（xi,yi）,Q（x2,y2）

y-kx-2..、2

???聯(lián)立方程可得：4，,二爐+4（履_2~=4,整理后可得：

2

%+4/=4''

（4左2+i）f_]6自+12=0,因為方程有兩個不等實根

.-.A=（16Z:）2-48（4J12+1）>0解得：k>g或

S?OPQ=~^O-PQ]PQ|

2

dO-PQ=-I'-IPQ\=J1+/N—々|=J1+/-J（X|+X2『-4七々

yjk-+1,

由方程（4女2+l）X2—]6"+12=0可得：

xt+x2=I,,X|-x2=―單一代入|PQ|可得：

1.4公+1?-止+112

d64k2-48r―六4A/ZF

c12r—KAyl4k2-：3414k2-3_4

..Sop?！?i-------?中+k?i

2爐774/+i4攵2+1—死―3+4

8kz—3

_________4________

2

yl4k-3+-j=^=；

14k2-3

由均值不等式可得："k2-3+-j=i->2飆2-3.-^==4

yj4k2-3V”公-3

等號成立條件：公,,V7

“_3=_4_=4氏—一3=4=>4=±—

』4/-32

Fj

.二Sop。W1此時k—±----

FjFj

???/的方程為y=^-x—2或y=—事]一2

J-2V2I

例8：已知橢圓。：7+萬=i(a>b>o)的離心率為5,過右焦點尸的直線/與c相交于

A,B兩點，當/的斜率為1時，坐標原點。至心的距離為‘一

2

(1)求橢圓C的方程

(2)若P,Q,A/,N是橢圓C上的四點，已知尸尸與或共線，M戶與而共線,且

PFMF=O,求四邊形PMQN面積的最小值

c1

解：(1)e=—=—,設尸則/:y=x-c

a2

,IdV2

222

a=2yb=aC=3

22

,廠

..---1---1

43

(2)由(1)可得：F(l,o),因為A尸?加戶=

■.SPMQN=^\MN\-\PQ\

設網(wǎng)與，X),。(孫必)，PQ-.y=k^x-\),

3x2+4/=12

聯(lián)立方程可得：\,、，消去x可得：

[―)

3/+4%2"—1)2=12整理后可得：(4左2+3)%2一8%2%+4/一i2=o

,144萬+14412（公+1）①

|P@=Jl+k2歸—x|=Jl+女2

24^+3--4二+3-

設MN:y=—L(x—1),以―工替換①中的人可得:

kk

12仆+1]

⑵2+12

3r+4

12%+1)

=^\MN\-\PQ\=^-12T+12

442+33/+4

,21c

二+2/+1「72+淳

12*25/+12-12化+￡|+25

設〃=公+3，可得ae[2,+oo)

K

11+21

：.SPMON=72?=6|1-----

■N12w+25I12M+25

???"=2時，Smin=—

例9：在平面直角坐標系x0y中，已知點A(-1,1),尸是動點，且三角形POA的三邊所在直

線的斜率滿足kOP+kOA=kPA

(1)求點尸的軌跡方程

(2)若。是軌跡。上異于點P的一個點，且卻=4礪，直線0P與04交于點M,問：

是否存在點P使得APQA和AQ4M的面積滿足=2S/AM2若存在，求出點P的坐標，

若不存在，請說明理由。

(1)思路：本題設點P(x,y),且0,A已知，直接利用條件列出等式化簡即可

解：設尸(x,y),由A(—1,1),0(0,0)可得：

k——,k--l,kpA——---，依題意k+k=可得:

OPXOAx+1opOA

5—l=￡|ny(x+l)—x(x+l)=x(y—1)整理后可得：

y=x2,其中xwO,xw-l

所以P的軌跡方程為y=f。O,工工-1)

(2)思路：從圖中可得△尸QA和△0AM的高相同，從而面積的比值轉化為對應底邊的比,

即SnPQM=2SMM^>QA=2AM,再由PQ=AOA可得PQ//OA,進而

QA=2AMnOP=2OM，由O,P,M共線再轉成向量關系則只需求出M的坐標即可解出

P的坐標

解：設P(X，X；),Q(X2，￥)vPQ=AO4/.PQ//OA

=

—1X7二一王一1

,x；-11c

k

QA=^-=x2-l=-xl-2

x2+1

：.QA:y+1=(—x,—2)(x-l)因為OP:y=xx

MJy+l=(f-2)(X—1)可解得XM=_（

**S/QM=仙'dp-?！?S,'\PAM=；14M卜dp_QM且S.PQM=2s.M

:.\Q^^2\AM\vPQ//OA

:.\Q^^2\AM\=>\OP\^2\OM\,即而=-2如'

?'?Xp——2x,”=1

所以存在符合條件的P（1,1）

例10：設拋物線＞2=2x的焦點為尸，過點的直線與拋物線相交于A3兩點，與

q

拋物線的準線相交于C,忸目=2,則A6C尸與AAC戶的面積之比（）

S"CF

4241

A.-B.-C.-D.一

5372

思路：由忸丹=2聯(lián)想到焦半徑公式，從而可解得4=不＜6，從而可判斷出3在M的左

S13cl

側，作出圖像可發(fā)現(xiàn)兩個三角形具備同“高”的特點（即尸到BC的距離），所以叫心=