新課標(biāo)人教A版高中數(shù)學(xué)必修1教案-第02章-基本初等函數(shù)(Ⅰ)

第二常根本初等函數(shù)〔I〕

一、課標(biāo)要求：

教材把指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，塞函數(shù)當(dāng)作三種重要的函數(shù)模型來學(xué)習(xí)，強(qiáng)調(diào)通過實(shí)例和圖象的直觀,

揭示這三種函數(shù)模型增長的差異及其關(guān)系，體會建立和研究一個(gè)函數(shù)模型的根本過程和方法，學(xué)會運(yùn)用

具體函數(shù)模型解決些實(shí)際問題.

I.了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景.

2.理解有理數(shù)指數(shù)幕的意義，通過具體實(shí)例了解實(shí)數(shù)指數(shù)幕的意義，掌握幕的運(yùn)算.

3.理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，掌握./U)="的符號、意義，能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫出具體指數(shù)

函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)(單調(diào)性、值域、特別點(diǎn)).

4.通過應(yīng)用實(shí)例的教學(xué)，體會指數(shù)函數(shù)是一種重要的函數(shù)模型.

5.理解對數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，了解對數(shù)換底公式及其簡單應(yīng)用，能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化為常用對

數(shù)或自然對數(shù)，通過閱讀材料，r解對數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史及其對簡化運(yùn)算的作用.

6.通過具體函數(shù)，直觀了解對數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關(guān)系，初步理解對數(shù)函數(shù)的概念，掌握

J(x)=logtlx符號及意義，體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型，能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫出具體對數(shù)函

數(shù)的圖象，探索并了解對數(shù)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)(單調(diào)性、值域、特殊點(diǎn)).

7.知道指數(shù)函數(shù)產(chǎn)爐與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)(。＞0,,初步/解反函數(shù)的概念和

/“(x)的意義.

8.通過實(shí)例，了解探函數(shù)的概念，結(jié)合五種具體函數(shù)y=x,y=x\y=xT,y=爐的圖象，了解

它們的變化情況.

二、編寫意圖與教學(xué)建議：

I.教材注重從現(xiàn)實(shí)生活的事例中引出指數(shù)函數(shù)概念，所舉例子比擬全面，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思想素

質(zhì)和激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和欲望.教學(xué)中要充分發(fā)揮課本的這些材料的作用，并盡可?能聯(lián)系?些熟

悉的事例，以豐富教學(xué)的情景創(chuàng)設(shè).

2.在學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)時(shí)，教材將它與指數(shù)函數(shù)的有關(guān)內(nèi)容做了比擬，讓學(xué)生體會兩種

函數(shù)模型的增長區(qū)別與關(guān)聯(lián)，滲透了類比思想.建議教學(xué)中重視知識間的遷移與互逆作用.

3、教材對反函數(shù)的學(xué)習(xí)要求僅限于初步知道概念，目的在于強(qiáng)化指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)這兩種函數(shù)

模型的學(xué)習(xí)，教學(xué)中不宜對其定義做更多的拓展.

4.教材對幕函數(shù)的內(nèi)容做了削減，僅限于學(xué)習(xí)五種學(xué)生易于掌握的密函數(shù)，并且安排的順序向后

調(diào)整，教學(xué)中應(yīng)防止增加這局部內(nèi)容，以免增加學(xué)生學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān).

5.通過運(yùn)用計(jì)算機(jī)繪制指數(shù)函數(shù)的動態(tài)圖象，使學(xué)生進(jìn)一步體會到信息技術(shù)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用,

教師要盡量發(fā)揮電腦繪圖的教學(xué)功能.?

6.教材安排了“閱讀與思考”的內(nèi)容,有利于加強(qiáng)數(shù)學(xué)文化的教育，成指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真研讀.

三、教學(xué)內(nèi)容與課時(shí)安排的建議

本章教學(xué)時(shí)間約為14課時(shí).

2.1指數(shù)函數(shù)：6課時(shí)

2.2對數(shù)函數(shù)：6課時(shí)

2.3幕函數(shù)：1課時(shí)

小結(jié)：1課時(shí)

§摘數(shù)〔第1—2需時(shí)〕

一.教學(xué)目標(biāo)：

I.知識與技能：(1)理解分?jǐn)?shù)指數(shù)事和根式的概念；

(2)掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)暴和根式之間的互化；

(3)掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)；

(4)培養(yǎng)學(xué)生觀察分析、抽象等的能力.

2.過程與方法：

通過與初中所學(xué)的知識進(jìn)行類比，分?jǐn)?shù)指數(shù)暴的概念，進(jìn)而學(xué)習(xí)指數(shù)寤的性質(zhì).

3.情態(tài)與價(jià)值

(I)培養(yǎng)學(xué)生觀察分析，抽象的能力，滲透“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想；

(2)通過運(yùn)算訓(xùn)練，養(yǎng)成學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)，一絲不茍的學(xué)習(xí)習(xí)慣：

(3)讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的簡潔美和統(tǒng)一美.

二.重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.教學(xué)重點(diǎn)：U)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕和根式概念的理解：

(2)掌握并運(yùn)用分?jǐn)?shù)指數(shù)暴的運(yùn)算性質(zhì)；

2.教學(xué)難點(diǎn)：分?jǐn)?shù)指數(shù)幕及根式概念的理解

三.學(xué)法與教具

1.學(xué)法：講授法、討論法、類比分析法及發(fā)現(xiàn)法

2.教具：多媒體

四、教學(xué)設(shè)想：

第一課時(shí)

一、復(fù)習(xí)提問：

什么是平方根？什么是立方根？一個(gè)數(shù)的平方根有幾個(gè)，立方根呢？

歸納：在初中的時(shí)候我們已經(jīng)知道：假設(shè)/=〃，那么x叫做。的平方根.同理，假設(shè)那

么x叫做。的立方根.

根據(jù)平方根、立方根的定義，正實(shí)數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，如4的平方根為±2,負(fù)

數(shù)沒有平方根，一個(gè)數(shù)的立方根只有一個(gè)，如一8的立方根為一2；零的平方根、立方根均為零.

二、新課講解

類比平方根、立方根的概念，歸納出n次方根的概念.

〃次方根：一般地，假設(shè)那么x叫做。的〃次方根(throot),其中〃>1,且〃￡N*,當(dāng)

〃為偶數(shù)時(shí)，〃的〃次方根中，正數(shù)用板表示，如果是負(fù)數(shù)，用-%表示，喝叫做根式.〃為奇數(shù)時(shí),

。的〃次方根用符號標(biāo)表示，其中〃稱為根指數(shù)，。為被開方數(shù).

類比平方根、立方根,猜測：當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，一個(gè)數(shù)的〃次方根有多少個(gè)？當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)呢?

"為奇數(shù),。的〃次方根有一個(gè),為加

。為正數(shù)：4

〃為偶數(shù),。的〃次方根有兩個(gè),為±或1

、/存物[〃為奇數(shù)，。的〃次方根只有一個(gè)，為赤

。為負(fù)數(shù)：〈

為偶數(shù)，。的〃次方根不存在.

零的〃次方根為零，記為a二0

舉例：16的次方根為±2,-27的5次方根為47等等，而-27的4次方根不存在.

小結(jié)：一個(gè)數(shù)到底有沒有〃次方根，我們一定先考慮被開方數(shù)到底是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，還要分清〃為

奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況.

根據(jù)〃次力根的怠義，可得：

麗)"=。

(%)〃=?？隙ǔ闪?，折表示小的n次方根，等式。二。一定成立嗎？如果不一定成立，那

么如等于什么？

讓學(xué)生注意討論，〃為奇偶數(shù)和〃的符號，充分讓學(xué)生分組討論.

通過探究得到：，?為奇數(shù)，仃=々

〃為偶數(shù)，=|〃|=("。-。

[-a,a<0

小結(jié)：當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，歷化簡得到結(jié)果先取絕對值，再在絕對值算具體的值，這樣就防止出現(xiàn)錯(cuò)

誤：

例題：求以下各式的值

⑴(1)將不⑵“-IO,(3)&3—兀y(4)"b￥

分析：當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，應(yīng)先寫然后再去絕對值.

思考：而=(夜)”是否成立，舉例說明.

課堂練習(xí)：1.求出以下各式的值

(DV^)7(2)[-a-3)3.21)⑶依1)“

2.假設(shè)J/—2a+l=。一1,求他取值范圍.

3.計(jì)算而護(hù)+#(3-2

三.歸納小結(jié)：

1.根式的概念：假設(shè)〃>1月.〃那么x是。的n次方根,n為奇數(shù)時(shí)后,

〃為偶數(shù)時(shí)，工=±標(biāo)；

2.掌握兩個(gè)公式：〃為奇數(shù)時(shí)，(標(biāo))”，〃為偶數(shù)時(shí)"0)

-4(4<0)

3.作業(yè)：P69習(xí)題2.1A組第I題

第二課時(shí)

提問：

I.習(xí)初中時(shí)的整數(shù)指數(shù)暴，運(yùn)算性質(zhì)？

二4。?！?1(。-0),0°無意義

/〃=5("0)

""?/=""+〃；(a,ny,=a,,,n

(ab)n=anbn

什么叫實(shí)數(shù)？

有理數(shù)，無理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù).

2.觀察以下式子，并總結(jié)出規(guī)律：a>0

①二九2)5=〃2=[②"=J(/)2=/=Q

③冊=胸)4=/=1④妤=3(/)5=〃2=」

小結(jié)：當(dāng)根式的被開方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時(shí)，根式可以寫成分?jǐn)?shù)作為指數(shù)的形式，(分?jǐn)?shù)指

數(shù)塞形式).

根式的被開方數(shù)不能被根指數(shù)整除時(shí)，根式是否也可以寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的形式.如：

V?=仆=(?>0)

加=京=(b>0]

V?==(c>0)

即："=。飛〉。,〃￡*,〃>])

為此，我們規(guī)定正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義為:

an=\/a^(a>0,in,neN")

正數(shù)的定負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)基的意義與負(fù)整數(shù)辱的意義相同.

-巴1

即：an=——(4>N")

規(guī)定：0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)疑等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)基無意義.

說明：規(guī)定好分?jǐn)?shù)指數(shù)幕后，根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)累是可以互換的，分?jǐn)?shù)指數(shù)幕只是根式的一種新的寫

2_L1

法，而不是am=aman,(a>0)

由于整數(shù)指數(shù)累，分?jǐn)?shù)指數(shù)暴都有意義，因此，有理數(shù)指數(shù)塞是有意義的，整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì),

可以推廣到有理數(shù)指數(shù)曷，即：

(1)ar-as=ar's{a>0,r,seQ)

rsrs

(2)(a)=a(a>09rtseQ)

(3)(a?b)r=arbr(Q>0^>0,rGQ)

假設(shè)OA0,P是一個(gè)無理數(shù)，那么P該如何理解？為了解決這個(gè)問題，引導(dǎo)學(xué)生先閱讀課本P62-

P62.

即：V2的缺乏近似值，從由小于近的方向逼近血,血的過剩近似值從大于血的方向逼近J5.

所以，當(dāng)庭缺乏近似值從小于近的方向逼近時(shí)，5&的近似值從小于5、’的方向逼近5頁.

當(dāng)血的過剩似值從大于近的方向逼近血時(shí)，5&的近似值從大于的方向逼近5?,(如課本

圖所示)

所以，5五是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).

一般來說，無理數(shù)指數(shù)哥是一個(gè)無理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，有理數(shù)指數(shù)需的性質(zhì)同

樣適用于無理數(shù)指數(shù)塞.無理指數(shù)寤的意義，是用有理指數(shù)塞的缺乏近似值和過剩近似值無限地逼近以確

定大小.

思考：24的含義是什么？

由以上分析，可知道，有理數(shù)指數(shù)基，無理數(shù)指數(shù)鼎有意義，且它們運(yùn)算性質(zhì)相同，實(shí)數(shù)指數(shù)哥有

意義，也有相同的運(yùn)算性質(zhì)，即：

ar-a=ar+s(a>0,rwR,swR)

(ar)x=a"(a>0,rwR,swR)

(ab)r=arbr(a>^reR)

3.例題

(1).(P60,例2)求值

解：①85=(23p=23^=22=4

③(I)-5=(27)-5=2-卬-5)=32

2

16--24x(-2)2,27

④喘)4(-)4=(-)-3=—

338

(2).(P60,例3)用分?jǐn)?shù)指數(shù)暴的形式表或以下各式(?>0)

3+1-

解：cc'.yfa=ay-a2=a2=a2

分析：先把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)累，再由運(yùn)算性質(zhì)來運(yùn)算.

課堂練習(xí)：P63練習(xí)第1,2,3,4題

補(bǔ)充練習(xí)：

(2”.(!嚴(yán)

1.計(jì)算：-------2_的結(jié)果

4〃8-2

2.假設(shè)%=3,40=384,求生?[(%戶廣3的值

%

小結(jié)：

1.分?jǐn)?shù)指數(shù)是根式的另一種寫法.

2.無理數(shù)指數(shù)哥表示一個(gè)I角定的實(shí)數(shù).

3.掌握好分?jǐn)?shù)指數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì)，其與整數(shù)指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì)是一致的.

作業(yè)：P69習(xí)題2.1第2題

第三課時(shí)

一.教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能：

(1)掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)錄互化；

(2)能熟練地運(yùn)用有理指數(shù)哥運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡，求值.

2.過程與方法：

通過訓(xùn)練點(diǎn)評，讓學(xué)生更能熟練指數(shù)哥運(yùn)算性質(zhì).

3.情感、態(tài)度、價(jià)值觀

(1)培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析問題的能力；

(2)培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)譚的思維和科學(xué)正確的計(jì)算能力.

二.重點(diǎn)、難點(diǎn)：

1.重點(diǎn)：運(yùn)用有理指數(shù)哥性質(zhì)進(jìn)行化簡，求值.

2.難點(diǎn)：有理指數(shù)寤性質(zhì)II勺靈活應(yīng)用.

三.學(xué)法與教具：

1.學(xué)法：講授法、討論法.

2.教具：投影儀

四.教學(xué)設(shè)想：

1.復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)指數(shù)第的概念與其性質(zhì)

2.例題講解

例1.中60,例4）計(jì)算以下各式（式中字母都是正數(shù)）

22I115

（1）（2。3b2）（_6〃33）+（-3。辦4）

I3

⑵（加〃a）8

（先由學(xué)生觀察以上兩個(gè)式子的特征，然后分析、提問、解答）

分析：四那么運(yùn)算的順序是先算乘方；再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號的.整數(shù)幕的運(yùn)

算性質(zhì)及運(yùn)算規(guī)律擴(kuò)充到分?jǐn)?shù)指數(shù)暴后，其運(yùn)算順序仍符合我們以前的四那么運(yùn)算順序.

我們看到（1）小題是單項(xiàng)式的乘除運(yùn)算；（2）小題是乘方形式的運(yùn)算，它們應(yīng)讓如何計(jì)算呢？

其實(shí)，第（1）小題是單項(xiàng)式的乘除法，可以用單項(xiàng)式的運(yùn)算順序進(jìn)行.

第（2）小題是乘方運(yùn)算，可先按積的乘方計(jì)算，再按呆的乘方進(jìn)行計(jì)算.

2+|_||+1_5

解，（1）原式=[2乂（-6）+（-3）]戶號立右飛

=4而°

二4。

2_3

(2)原式=(?)8(〃力8

例2.(P6I例5)計(jì)算以下各式

⑴(V25-VI25)^^25

2

（2）=L（。＞0）

分析：在第（1）小題中，只含有根式，且不是同類根式，比擬難計(jì)算，但把根式先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)

冢再計(jì)算，這樣就簡便多了，同樣，第（2）小題也是先把根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕后再由運(yùn)算法那么計(jì)

算.

解:⑴原式=（253-1253）+25*

23|

=（55-52）-5-52

2_131

=57"5釬

=5^-5

=</5-5

(2)原式)《不=4々=5/

a2?涼

小結(jié)：運(yùn)算的結(jié)果不強(qiáng)求統(tǒng)一用哪一種形式表示，但不能同時(shí)含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分

母，又含有負(fù)指數(shù).

課堂練習(xí)：

化簡：

2___9

(1)

(2)J3+2應(yīng)-，3-20

(3)

歸納小結(jié)：

1.熟練掌握有理指數(shù)幕的運(yùn)算法那么，化簡的根底.

2.含有根式的式子化簡，一般要先把根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)事后再計(jì)算.

作業(yè)：P65習(xí)題2.1

A組第4題

B組第2題

措致而數(shù)及其倏質(zhì)〔2個(gè)解時(shí)〕

一.教學(xué)目標(biāo)：

1.知識與技能

①通過實(shí)際問題了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際背景；

②理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，根據(jù)圖象理解和掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).

③體會具體到一般數(shù)學(xué)討論方式及數(shù)形結(jié)合的思想；

2.情感、態(tài)度、價(jià)值觀

①讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)來自生活，數(shù)學(xué)又效勞于生活的哲理.

②培養(yǎng)學(xué)生觀察問題，分析問題的能力.

3.過程與方法

展示函數(shù)圖象，讓學(xué)生通過觀察，進(jìn)而研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).

二.重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì)及其應(yīng)用.

難點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的歸納，概括及其應(yīng)用.

三、學(xué)法與教具：

①學(xué)法：觀察法、講授法及討論法.

②教具：多媒體.

第一課時(shí)

一.教學(xué)設(shè)想：

1.情境設(shè)置

①在本章的開頭，問題（1）中時(shí)間X與GDP值中的》=1.073'"￡X工20）與問題（2）

中時(shí)間t和C-14含量P的對應(yīng)關(guān)系P二［（：）旃丫,請問這兩個(gè)函數(shù)有什么共同特征.

②這兩個(gè)函數(shù)有什么共同特征

把P=［弓）焉］變成P=［（g）焉丫，從而得出這兩個(gè)美系式中的底數(shù)是一個(gè)正數(shù)，自變量為指數(shù)，即都

可以用y=?'（。＞0且。#1來表示）.

二.講授新課

指數(shù)函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)》=優(yōu)且叫做指數(shù)函數(shù)，其中X是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)镽.

提問：在以下的關(guān)系式中，哪些不是指數(shù)函數(shù)，為什么？

（1）y=2"2（2）y=（-2）r（3）y=-T

（4）y=TTX（5）y=x2（6）y=4x2

（7）y=xv⑻y=（a-1）v且。工2）

小結(jié)：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義來判斷說明：因?yàn)?。?,“是任意一個(gè)實(shí)數(shù)時(shí)，罐是一個(gè)確定的實(shí)數(shù),

所以函數(shù)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R.

廿八（當(dāng)?shù)扔冢ǎ?/p>

若a=0"

［當(dāng)xW0H寸，優(yōu)無意義

假設(shè)。V0,如丁=（一2『元時(shí)，對于=L等等，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的函數(shù)值不存在.

68

假設(shè)。=1,y=lr=l,是一個(gè)常量，沒有研究的意義，只有滿足），=優(yōu)（。＞0,且。工1）的形式才

1

能稱為指數(shù)函數(shù)，。為常數(shù)，象廠23,y0，），=/,），=3叱）,=3、+1等等，不符合

＞=＞（）且。*1）的形式,所以不是指數(shù)函數(shù).

我們在學(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性的時(shí)候，主要是根據(jù)函數(shù)的圖象，即用數(shù)形結(jié)合的方法來研究.下面我們

通過

先來研究。＞1的情況

用計(jì)算機(jī)完成以下表格，并且用計(jì)算機(jī)畫出函數(shù)），=2'的圖象

X-3.00-2.50-2.00-1.50-1.000.000.501.001.502.00

從圖中我們看出），=2'與），=（》'的圖象有什么關(guān)系？

通過圖象看出），二2八與），=§））的圖象關(guān)于）軸對稱，實(shí)質(zhì)是y=2、上的點(diǎn)（-A；y）

與產(chǎn)（：尸上點(diǎn)（.），）關(guān)于），軸對稱.

討論：y=2、與），=（；）'的圖象關(guān)于y軸對稱，所以這兩個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)，對嗎？

②利用電腦軟件畫出y=5"=3"嗎"=(乎的函數(shù)圖象.

問題：1：從畫出的圖象中，你能發(fā)現(xiàn)函數(shù)的圖象與底數(shù)間有什么樣的規(guī)律.

y=ax[O<a<\)y=a\a>1)

0

從圖上看y="(a>1)與y=優(yōu)(OVaVl)兩函數(shù)圖象佗特征.

問題2：根據(jù)函數(shù)的圖象研究函數(shù)的定義域、值域、特殊點(diǎn)、單調(diào)性、最大(小)值、否偶性.

問題3：指數(shù)函數(shù)>=，且。#1),當(dāng)?shù)讛?shù)越大時(shí)，函數(shù)圖象間有什么樣的關(guān)系.

圖象特征函數(shù)性質(zhì)

a>\0<。VIa>\0<a<\

向x軸正負(fù)方向無限延伸函數(shù)的定義域?yàn)镽

圖象關(guān)于原點(diǎn)和)，軸不對稱非奇非偶函數(shù)

函數(shù)圖象都在x軸上方函數(shù)的值域?yàn)镽+

函數(shù)圖象都過定點(diǎn)(0,1)

自左向右，自左向右，

增函數(shù)減函數(shù)

圖象逐漸上升圖象逐漸下降

在第一象限內(nèi)的圖在第一象限內(nèi)的圖

x>0,ax>1x>0,ax<1

象縱坐標(biāo)都大于1象縱坐標(biāo)都小于1

在第二象限內(nèi)的圖在第二象限內(nèi)的圖

xVO,ax<1x<0,ax>1

象縱坐標(biāo)都小于1象縱坐標(biāo)都大于1

5.利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出：

(1)在3向上J(上二優(yōu)">0且值域是"(GJS)]或"S)"(a)];

⑵假設(shè)X工0,貝曠(x)工：；/(X)取遍所后正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)XwR;

13)對于指數(shù)函數(shù)/(工)=〃、(。>0且。#1),總有了。)二。；

(4)當(dāng)。>1時(shí)，假設(shè)M<々，那么/(M)</52)；

例題：

例1：(P66例6)指數(shù)函數(shù)/(幻=優(yōu)(。>0且。W1)的圖象過點(diǎn)(3,無)，求

〃0),/⑴,/(-3)的值.

￡

分析：要求f(0)J⑴,/(-3)的值，只需求出得出fCv)=(齊尸，再把0,1,3分別代入x,即

可求得/(0),/⑴,/(—3).

提問：要求出指數(shù)函數(shù)，需要幾個(gè)條件？

課堂練習(xí)：P68練習(xí)：第1,2,3題

補(bǔ)充練習(xí)：1、函數(shù)/")=(；)'的定義域和值域分別是多少？

2、當(dāng)x￡[-1,1：時(shí),函數(shù)了")=3、—2的值域是多少？

解(1)XG/?,y>0

(2)1)

3

例2：求以下函數(shù)的定義域:

分析：類為y="(awl,a>0)的定義域是R，所以，要使(1),(2)題的定義域，保要使其指

數(shù)局部有意義就得.

3.歸納小結(jié)

作、也：P69習(xí)題2.1A組第5、6題

1、理解指數(shù)函數(shù)y=a\a>0),注意a>1與0vav1兩種情況"

2、解題利用指數(shù)函數(shù)的圖象，可有利于清晰地分析題目，培養(yǎng)數(shù)型結(jié)合與分類討論的數(shù)學(xué)思想.

第2課時(shí)

教學(xué)過程：

1、復(fù)習(xí)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

2、例題

例1：卬66例7)比擬以下各題中的個(gè)值的大小

(1)1.72-5與1.73

(2)08°」與0.8”

(3)1.7°3與0.93-1

解法1：用數(shù)形結(jié)合的方法，如第(1)小題，用圖形計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫出＞=1.7?'的圖象，在圖

象上找出橫坐標(biāo)分別為2.5,3的點(diǎn)，顯然，圖象上橫坐標(biāo)就為3的點(diǎn)在橫坐標(biāo)為2.5的點(diǎn)的上方，所以

1.725<1.7\

解法2：用計(jì)算器直接計(jì)算：1.725*3.771.73?4.91

所以，1以25VL73

解法3：由函數(shù)的單調(diào)性考慮

因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=1.7'在R上是增函數(shù)，且2.5V3,所以，1.72'VL73

仿照以上方法可以解決第(2)小題.

注：在第(3)小題中，可以用解法1,解法2解決，但解法3不適合.

由于1.7°-3=0?9浦不能直接看成某個(gè)函數(shù)的兩個(gè)值，因此，在這兩個(gè)數(shù)值間找到1,把這兩數(shù)

值分別與1比擬大小，進(jìn)而比擬1.7鋁與0.93』的大小.

思考：

1、。=0.8°7,"=0.8°\。=1.208,按大小順序排列

2.比擬4,與標(biāo)的大小(。＞0且aWO).

指數(shù)函數(shù)不僅能比擬與它有關(guān)的值的大小，在現(xiàn)實(shí)生活中，也有很多實(shí)際的應(yīng)用.

例2(P67例8)截止到1999年底，我們?nèi)丝趩?3億，如果今后，能將人口年平均均增長率控制

在1%,那么經(jīng)過20年后，我國人口數(shù)最多為多少1精確到億)？

分析：可以先考試一年一年增長的情況，再從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，最后解決問題：

1999年底人口約為13億

經(jīng)過1年人口約為13(1+1%)億

經(jīng)過2年人口約為13(1+1%)(1+1%)=13(1+1%)?億

經(jīng)過3年人口約為13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3億

經(jīng)過X年人口約為13(1+1%產(chǎn)億

經(jīng)過20年人口約為13(1+1%產(chǎn)億

解：設(shè)今后人口年平均增長率為1%,經(jīng)過X年后，我國人口數(shù)為)，億，那么

3=13(1+1%)*

當(dāng)x=20時(shí)，y=13(l+l%產(chǎn)方16(億)

答：經(jīng)過20年后，我國人口數(shù)最多為16億.

小結(jié)：類似上面此題，設(shè)原值為N,平均增長率為尸，那么對于經(jīng)過時(shí)間x后總量

)，=川(1+〃)\像3=川(1+〃)"等形如9=履'(長€汽,。＞0且。/1)的函數(shù)稱為指數(shù)型函數(shù).

思考：P68探究：

(I)如果人口年均增長率提高I個(gè)平分點(diǎn)，利用計(jì)算器分別計(jì)算20年后，33年后的我國人口數(shù).

(2)如果年平均增長率保持在2%,利用計(jì)算器2020~2100年，每隔5年相應(yīng)的人口數(shù).

(3)你看到我國人口數(shù)的增長呈現(xiàn)什么趨勢？

(4)如何看待方案生育政策？

3.課堂練習(xí)

①力二%②

3

(3)用清水漂洗衣服，假設(shè)每次能洗去污垢的二，寫出存留污垢y與漂洗次數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式,

4

假設(shè)要使存留的污垢，不超過原有的1%,那么少要漂洗幾次(此題為人教社B版101頁第6題).

歸納小結(jié)：本節(jié)課研究了指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是要記住。＞1或OVaV時(shí))，="的圖象,

在此根底上研究其性質(zhì).本節(jié)課還涉及到指數(shù)型函數(shù)的應(yīng)用，形如y=(。＞0且。#1).

作業(yè)：P69A組第7,8題P70B組第1,4題

對數(shù)〔笫一理時(shí)〕

一.教學(xué)目標(biāo)：

1.知識技能：

①理解對數(shù)的概念，了解對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系；

②理解和掌握對數(shù)的性質(zhì)；

③掌握對數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系.

2.過程與方法：

通過與指數(shù)式的比擬，引出對數(shù)定義與性質(zhì).

3.情感，態(tài)度，價(jià)使觀

(1)學(xué)會對數(shù)式與指數(shù)式的互化，從而培養(yǎng)學(xué)生的類比、分析、歸納能力.

(2)通過對數(shù)的運(yùn)算法那么的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì).

(3)在學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)學(xué)生探究的意識.

(4)讓學(xué)生理解平均之間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)分析、解決問題的能力.

二.重點(diǎn)與難點(diǎn)：

(1)重點(diǎn)：對數(shù)式與指數(shù)式的互化及對數(shù)的性質(zhì)

(2)難點(diǎn)：推導(dǎo)對數(shù)性質(zhì)H勺

三.學(xué)法與教具：

(1)學(xué)法：講授法、討論法、類比分析與發(fā)現(xiàn)

(2)教具：投影儀

四.教學(xué)過程：

1.提出問題

思考：(P72思考題)y=13x1.01'^,哪一年的人口數(shù)要到達(dá)10億、20億、30億……，該如何

解決？

1Qof)30

即：匕=1.01*,'=1.01-二=1.01",在個(gè)式子中，X分別等于多少？

131313

象上面的式于，底數(shù)和系的值，求指數(shù)，這就是我們這節(jié)課所要學(xué)習(xí)的對數(shù)(引出對數(shù)的概念).

1、對數(shù)的概念

一般地，假設(shè)/=N(〃＞0,且。工1),那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x=k)g〃N

。叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).

2

舉例：如：4=16jij2=log416,讀作2是以4為底，16的對數(shù).

111

牛=2,那么一=log42,讀作一是以4為底2的對數(shù).

22

提問：你們還能找到那些對數(shù)的例子

2、對數(shù)式與指數(shù)式的互化

在對數(shù)的概念中，要注意：

(1)底數(shù)的限制。＞0,且

(2)優(yōu)=N。log“N=x

指數(shù)式O對數(shù)式

鼎底數(shù)一a-對數(shù)底數(shù)

指數(shù)一X一對數(shù)

鼎一N-真數(shù)

說明：對數(shù)式log”N可看作一記號，表示底為。(。＞0,且。工1),塞為N的指數(shù)工表示方程

ax=N(。＞0,且的解.也可以看作一種運(yùn)算，即底為。(。＞0,且aWl)事為N,求塞指

數(shù)的運(yùn)算.因此，對數(shù)式log“N又可看箱運(yùn)算的逆運(yùn)算.

例題：

例1(P73例1)

將以下指數(shù)式化為對數(shù)式，對數(shù)式化為指數(shù)式.

⑶

[1)54=645(2)2~6=—(If=5.73

64

(4)log,16=-4(5)loglo0.01=-2(6)logr10=2.303

2

注：(5)、(6)寫法不標(biāo)準(zhǔn)，等到講到常用對數(shù)和自然對數(shù)后，再向?qū)W生說明.

[讓學(xué)生自己完成，教師巡視指導(dǎo))

穩(wěn)固練習(xí)：P74練習(xí)1、2

3.對數(shù)的性質(zhì)：

提問：因?yàn)?。?,。工1時(shí)，”'=N=x=log「v

那么由2、如何轉(zhuǎn)化為對數(shù)式

②負(fù)數(shù)和零有沒有對數(shù)？

③根據(jù)對數(shù)的定義，二？

(以上三題由學(xué)生先獨(dú)立思考，再個(gè)別提問解答)

由以上的問題得到

①v=1,a1=a(a＞0,且aNl)

②???。＞0,且對任意的力，log1°N常記為lgN.

恒等式：…=N

4、兩類對數(shù)

①以10為底的對數(shù)稱為常用對數(shù)，log1°N常記為IgN.

②以無理數(shù)e=2.7l828…為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，log°N常記為InN.

以后解題時(shí)，在沒有指出對數(shù)的底的情況下，都是指常用對數(shù)，如10()的對數(shù)等于2,即電100=2.

說明：在例1中,logioO.Ol應(yīng)改為1g0.01,logJO應(yīng)改為In10.

例2：求以下各式中x的值

2

(1)log64A：=-^(2)logK8=6(3)Igl()()=x⑷-lne=x

分析：將對數(shù)式化為指數(shù)式，再利用指數(shù)鼎的運(yùn)算性質(zhì)求出工

_2_2321

解：(1)x=(64)3=(43)3=43=4-2=—

16

!!11

(2)x6=8,所以(f"=(8"=(23)6=2受=加

(3)10、=100=1()2,于是工=2

(4)由一In/=x，得-x=In/,即c'=/

所以x=—2

課堂練習(xí)；P74練習(xí)3,4

補(bǔ)充練習(xí)：1.將以下指數(shù)式與對數(shù)式互化，有X的求出X的值.

11

11)52=—(2)log屋(3)3'=——

后27

(4)F)v=64(5)lgO.(XX)l=x(6)lni=x

4

2.求。砥,"砥'的值(a,b,ceR+,且不等于1,N>0).

3.計(jì)算3嘀括+6嗝(的值.

4.歸納小結(jié)：對數(shù)的定義

=Nob=log/(a>0且4H1)

C1的對數(shù)是零，負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)

對數(shù)的性質(zhì)logaa=1a>0且aWI

"嗚N=N

作業(yè)：P86習(xí)題2.2A組1、2

P88B組1

對數(shù)〔笫二扉時(shí)〕

一.教學(xué)目標(biāo)：

1.知識與技能

①通過實(shí)例推導(dǎo)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，準(zhǔn)確地運(yùn)用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，求值、化簡，并掌握化簡求

值的技能.

②運(yùn)用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)解決有關(guān)問題.

③培養(yǎng)學(xué)生分析、綜合解決問題的能力.

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識和科學(xué)分析問題的精神和態(tài)度.

2.過程與方法

①讓學(xué)生經(jīng)歷并推理出對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).

②讓學(xué)生歸納整理本節(jié)所學(xué)的知識.

3.情感、態(tài)度、和價(jià)值觀

讓學(xué)生感覺對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的重要性，增加學(xué)生的成功感，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的積極性.

二.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：對數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)與對數(shù)知識的應(yīng)用

難點(diǎn)：正確使用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

三.學(xué)法和教學(xué)用具

學(xué)法：學(xué)生自主推理、討論和概括，從而更好地完本錢節(jié)課的教學(xué)目標(biāo).

教學(xué)用具：投影儀

四.教學(xué)過程

1.設(shè)置情境

復(fù)習(xí)：對數(shù)的定義及對數(shù)恒等式

h

logt/N=ba=N(a>0,且。Wl,N>0),

指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).

mnmn

a^a=a-

(a,n),,=amn;丘=/

2.講授新課

探究：在上課中，我們知道，對數(shù)式可看作指數(shù)運(yùn)算的逆運(yùn)算，你能從指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系以及指數(shù)

運(yùn)算性質(zhì)，得出相應(yīng)的對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)嗎？如我們知道"〃?/=""+〃，那根+〃如何表示，能用對數(shù)式運(yùn)

算嗎？

如：a,n-an=am+\設(shè)M=/',N=/。于是MN=。所”，由對數(shù)的定義得到

M=a"om=log”M,N=a"on=logzJN

MN=a,,,+nom+n=log,MN

.?.logaM+logKN=log,MN(放出投影)

BP：同底對數(shù)相加，底數(shù)不變，真數(shù)相乘

提問：你能根據(jù)指數(shù)的性質(zhì)按照以上的方法推出對數(shù)的其它性質(zhì)嗎？

(讓學(xué)生探究，討論)

如果。>0且。六1,M>0；N>0,那么：

(1)log,MN=log”M+log”N

M

⑵log“元=log,M-log.N

n

(3)\ogaM=n\ogaM(we7?)

證明：

(1)令M="",N=a"

那么：—=am^-an=am-n

N

.M

二.m-n—log?—

"N

又由M=/,N=cT

in=log”M,n=log“N

,,M

u即tl：log“M-log“N=m-n=log”——

N

N

⑶〃工0時(shí)，令N=log〃M”,則M=a；

b

b=nlog”M,則M=a"

N_h

a7=a7,

:.N=b

M

即log,五=log“M-log*

當(dāng)〃:0時(shí)，顯然成立.

n

/.\ogaM=n\ogaM

提問：1.在上面的式子中，為什么要規(guī)定。>0,且M>0,N>0?

2.你能用自己的語言分別表述出以上三個(gè)等式嗎？

例題：1.判斷以下式子是否正確，。>0且aKI,x>0且。#1,x>0,x>y,那么有

(1)log”xlog。y=log〃(x+y)⑵log“X一log"y=10g“(x-y)

x

⑶10ga-=logax4-logfly(4)\ogaxy=\ogax-\ogay

y

⑸(log.幻"=〃log”元(6)logx=-log-

dttx

⑺yiog“x=-iog〃x

n

例2：用10gL,log“y,log“z表示出⑴(2)小題，并求出⑶、(4)小題的值.

75

(I)log”？(2)⑶Iogz(4x2)(4)IgVlOO

z>/8

分析?：利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)直接計(jì)算：

(1)log”—=log”盯Tog”z=log”X+logy-logz

zt/a

,r~

(2)Ioga=log?-bg“妮=]og“Y+log,6Tog“痣

…1.1,

=21ogax+-logfly--logflz

乙J

7575

(3)log2(4x2)-log24+log22=14+5-19

-----?

(4)lgV100=lgl()5=-

5

點(diǎn)評：此題關(guān)鍵是要記住這數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的形式，要求學(xué)生不要記住公式.

讓學(xué)生完成P79練習(xí)的第1，2,3題

提出問題：

你能根據(jù)對數(shù)的定義推導(dǎo)出下面的換底公式嗎？

a>0,且oWl,c>0,且e￥l,bX)

log加

log/=

log"

先讓學(xué)生自己探究討論，教師巡視，最后投影出證明過程.

MN

設(shè)M=log,,a,N=logcb,則。=c,b=c

11N

且=c，所以(??=?，)"=,，=b

N.7m.Nlog,,b

Hn即：―――lOg”Th7,又因?yàn)?-----

MMlog"

所以：意二電”

小結(jié)：以上這個(gè)式子換底公式，換的底C只要滿足C>0且C#1就行了，除此之外，對C再也沒

有什么特定的要求.

提問：你能用自己的話概括出換底公式嗎？

說明：我們使用的計(jì)算器中，“l(fā)og”通常是常用對數(shù).因此，要使用計(jì)算器對數(shù)，一定要先用換

底公式轉(zhuǎn)化為常用對數(shù).如:

皿譚

即計(jì)算log：的值的按鍵順序?yàn)?"log”一“3"一"+"-Mlog”“2”

再如：在前面要求我國人匚到達(dá)18億的年份，就是要計(jì)算

尤=logmII所以

,18

18_唱」Igl8-lgl31.2553-1.139

log?

131g1.011g1.010.043

=32.8837b33(年)

練習(xí)：P79練習(xí)4

讓學(xué)生自己閱讀思考P77~P：8的例5,例的題目，教師點(diǎn)撥.

3、歸納小結(jié)

(1)學(xué)習(xí)歸納本節(jié)

(2)你認(rèn)為學(xué)習(xí)對數(shù)有什么意義？大家議論.

4、作業(yè)

(1)書面作業(yè)：P-習(xí)題2.2第3、4題P87第11、12題

2、思考：(1)證明和應(yīng)用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)時(shí)，應(yīng)注意哪些問題？

(2)log2(-3)(-5)等于log2(-3)+log?(-5)嗎?

§對敷函數(shù)及其膛質(zhì)〔第一、二點(diǎn)時(shí)〕

一.教學(xué)目標(biāo)

1.知識技能

①對數(shù)函數(shù)的概念，熟悉對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)規(guī)律.

②掌握對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，能初步運(yùn)用性質(zhì)解決問題.

2.過程與方法

讓學(xué)生通過觀察對數(shù)函數(shù)的圖象，發(fā)現(xiàn)并歸納對數(shù)函數(shù)的性質(zhì).

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀

①培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想以及分析推理的能力；

②培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度.

二.學(xué)法與教學(xué)用具

I.學(xué)法：通過讓學(xué)生觀察、思考、交流、討論、發(fā)現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì)；

2.教學(xué)手段：多媒體計(jì)算機(jī)輔助教學(xué).

三.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

I、重點(diǎn)：理解對數(shù)函數(shù)的定義，掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì).

2、難點(diǎn)：底數(shù)。對圖象的影響及對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的作用.

四.教學(xué)過程

1.設(shè)置情境

在2.2.1的例6中，考古學(xué)家利用log萬P估算出土文物或古遺址的年代，對于每一個(gè)Cu含

叫5

量P,通過關(guān)系式，都有唯一確定的年代，與之對應(yīng).同理，對于每一個(gè)對數(shù)式y(tǒng)=log：中的工，任取

一個(gè)正的實(shí)數(shù)值，y均有唯一的值與之對應(yīng)，所以y=log：關(guān)于x的函數(shù).

2.探索新知

一般地，我們把函數(shù)乩x(。>0且。工1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域

是(0,+8).

提問：(1).在函數(shù)的定義中，為什么要限定。>0且。#1.

(2).為什么對數(shù)函數(shù))，=log,x(。>0且。"1)的定義域是(0,+8).組織學(xué)生充分討論、

交流，使學(xué)生更加理解對數(shù)函數(shù)的含義，從而加深對對數(shù)函數(shù)的理解.

答：①根據(jù)對數(shù)與指數(shù)式的關(guān)系，知)，=log〃x可化為由指數(shù)的概念，要使/=x有意

文，必須規(guī)定a>0且〃￥1.

②因?yàn)槎?log“x可化為x="v,不管)，取什么值，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，4V>0,所以式三(0,+8).

例題1：求以下函數(shù)的定義域

(1)y=log,/2(2)y=log〃(4-x)］。>0且

分析：由對數(shù)函數(shù)的定義知：x2>0；4-x>0,解出不等式就可求出定義域..

解：(1)因?yàn)閅>o,即xwo,所以函數(shù)y=log/的定義域?yàn)閧x|xw()}.

（2）囚為4-尤＞0,即人74,所以函數(shù)），=1。九’1）的定義域?yàn)椋╚^勺.

下面我們來研究函數(shù)的圖象，并通過圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)：

先完成P8i表2—3,并根據(jù)此表用描點(diǎn)法或用電腦畫出函數(shù)y=log2*的圖象，再利用電腦軟件畫

出y=log””的圖象，

X124681216

2

y-10122.5833.584

注意到：y=log1x=-log2x,假設(shè)點(diǎn)（x,y）在y=log2X的圖象上，那么點(diǎn)（x,-y）在y=log]x

22

的圖象上.由于（蒼一））與（工,一?。╆P(guān)于工軸對稱，因此，＞=1。81X的圖象與），=1082"勺圖象關(guān)

2

于X軸對稱.所以，由此我們可以畫出y=log]X的圖象.

2

先由學(xué)生自己畫出y=log]X的圖象，再由電腦軟件畫出y=log2工與y=k）g|X的圖象.

22

探究：選取底數(shù)且的假設(shè)干不同的值，在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出相應(yīng)的對數(shù)函數(shù)

的圖象.觀察圖象，你能發(fā)現(xiàn)它們有哪些特征嗎？

.作法：用多媒體再畫出y