高中數(shù)學(xué)高考~$14年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）文科【原卷版】

高中數(shù)學(xué)高考~$14年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）文科【原卷版】一、選擇題要求：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足$z^2+2z+5=0$，則$|z-1|$的值為（）（A）$2$（B）$3$（C）$\sqrt{5}$（D）$2\sqrt{5}$2.函數(shù)$f(x)=\lnx+ax-2$（$x>0$）在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是（）（A）$(-\infty,0)$（B）$(0,+\infty)$（C）$(-\infty,-1]$（D）$[-1,+\infty)$二、填空題要求：請(qǐng)將正確答案填入題目橫線上。3.若復(fù)數(shù)$z$滿足$\operatorname{Im}(z)=3$，則$|z|$的取值范圍是__________。4.設(shè)$P(x)$是一個(gè)三次多項(xiàng)式，若$P(1)=P(2)=P(3)=0$，則$P(x)$在$x=4$處的值是__________。三、解答題要求：解答下列各題。5.（本小題滿分12分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+3x-1$。（1）求函數(shù)$f(x)$的極值；（2）求函數(shù)$f(x)$的零點(diǎn)；（3）證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)$x$，有$f(x)\geqf(\sqrt{3})$。6.（本小題滿分12分）已知函數(shù)$f(x)=\lnx+ax-2$（$x>0$），其中$a$是常數(shù)。（1）求函數(shù)$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$；（2）若函數(shù)$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)$a$的取值范圍；（3）若函數(shù)$f(x)$在$(0,+\infty)$上存在極值，求實(shí)數(shù)$a$的取值范圍。四、解答題要求：解答下列各題。7.（本小題滿分12分）已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，且對(duì)于任意$n\in\mathbb{N}^*$，有$a_{n+1}=a_n^2-a_n$。（1）證明數(shù)列$\{a_n\}$是單調(diào)遞增的；（2）求出數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式。五、解答題要求：解答下列各題。8.（本小題滿分12分）已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^3-3x^2+3x-1}{x-1}$。（1）求函數(shù)$f(x)$的定義域；（2）求函數(shù)$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$；（3）求函數(shù)$f(x)$的極值；（4）求函數(shù)$f(x)$的零點(diǎn)。六、解答題要求：解答下列各題。9.（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為$(1,2)$，點(diǎn)B的坐標(biāo)為$(4,6)$，點(diǎn)C的坐標(biāo)為$(x,y)$。（1）求直線AB的方程；（2）若點(diǎn)C在直線AB上，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)C在直線AB的垂線CD上，求直線CD的方程。本次試卷答案如下：一、選擇題1.答案：D解析：由$z^2+2z+5=0$，得$z=-1\pm2i$，所以$|z-1|=\sqrt{(-1\pm2i-1)^2}=\sqrt{(-2\pm2i)^2}=2\sqrt{2}$。2.答案：D解析：函數(shù)$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，即$f'(x)\geq0$。$f'(x)=\frac{1}{x}+a$，所以$a\geq-\frac{1}{x}$，對(duì)于任意$x>0$，$-\frac{1}{x}$的最大值為$0$，因此$a\geq0$。二、填空題3.答案：$|z|\geq3$解析：由復(fù)數(shù)$z=a+bi$，得$\operatorname{Im}(z)=b=3$，所以$|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{a^2+9}\geq3$。4.答案：$P(4)=0$解析：由$P(1)=P(2)=P(3)=0$，得$x-1$，$x-2$，$x-3$是$P(x)$的因式，因此$P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$，所以$P(4)=(4-1)(4-2)(4-3)=6$。三、解答題5.（本小題滿分12分）（1）答案：$f(x)$的極小值為$f(\frac{1}{2})=-\frac{3}{8}$，極大值為$f(1)=0$。解析：$f'(x)=3x^2-6x+3$，令$f'(x)=0$，得$x=1$或$x=\frac{1}{2}$。當(dāng)$x<\frac{1}{2}$時(shí)，$f'(x)>0$；當(dāng)$\frac{1}{2}<x<1$時(shí)，$f'(x)<0$；當(dāng)$x>1$時(shí)，$f'(x)>0$。因此$x=\frac{1}{2}$是$f(x)$的極大值點(diǎn)，$x=1$是$f(x)$的極小值點(diǎn)。（2）答案：$f(x)$的零點(diǎn)為$x=1$。解析：由（1）知，$f(x)$在$x=1$處取得極小值，且$f(1)=0$，因此$x=1$是$f(x)$的零點(diǎn)。（3）答案：證明見(jiàn)解析。解析：由（1）知，$f(x)$在$x=\frac{1}{2}$處取得極大值，且$f(\frac{1}{2})=-\frac{3}{8}$。對(duì)于任意實(shí)數(shù)$x$，$f(x)\geqf(\frac{1}{2})=-\frac{3}{8}$。6.（本小題滿分12分）（1）答案：$f'(x)=\frac{1}{x}+a$。解析：由導(dǎo)數(shù)的定義，$f'(x)=\fracfpvjdvl{dx}(\lnx+ax-2)=\frac{1}{x}+a$。（2）答案：$a\geq0$。解析：由（1）知，$f'(x)=\frac{1}{x}+a$，對(duì)于任意$x>0$，$f'(x)\geq0$，即$a\geq-\frac{1}{x}$。對(duì)于任意$x>0$，$-\frac{1}{x}$的最大值為$0$，因此$a\geq0$。（3）答案：$a\neq0$。解析：由（1）知，$f'(x)=\frac{1}{x}+a$，當(dāng)$a=0$時(shí)，$f'(x)=\frac{1}{x}$，$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，不存在極值。當(dāng)$a\neq0$時(shí)，$f'(x)=0$的解為$x=-\frac{1}{a}$，$f(x)$在$x=-\frac{1}{a}$處取得極值。四、解答題7.（本小題滿分12分）（1）答案：證明見(jiàn)解析。解析：證明：由$a_1=1$，得$a_2=a_1^2-a_1=1^2-1=0$，$a_3=a_2^2-a_2=0^2-0=0$，$a_4=a_3^2-a_3=0^2-0=0$，以此類推，對(duì)于任意$n\in\mathbb{N}^*$，$a_{n+1}=a_n^2-a_n$。假設(shè)對(duì)于某個(gè)$k\in\mathbb{N}^*$，$a_k>a_{k-1}$，則$a_{k+1}=a_k^2-a_k>a_{k-1}^2-a_{k-1}=a_k$，因此數(shù)列$\{a_n\}$是單調(diào)遞增的。（2）答案：$a_n=0$。解析：由（1）知，數(shù)列$\{a_n\}$是單調(diào)遞增的，且$a_1=1$，$a_2=a_1^2-a_1=0$，$a_3=a_2^2-a_2=0$，以此類推，對(duì)于任意$n\in\mathbb{N}^*$，$a_n=0$。五、解答題8.（本小題滿分12分）（1）答案：$f(x)$的定義域?yàn)?\{x|x\neq1\}$。解析：由$f(x)=\frac{x^3-3x^2+3x-1}{x-1}$，得$x-1$是$f(x)$的因式，因此$x=1$不是$f(x)$的定義域。（2）答案：$f'(x)=\frac{x^2-2x+2}{(x-1)^2}$。解析：由導(dǎo)數(shù)的定義，$f'(x)=\fracdbpjxfn{dx}(\frac{x^3-3x^2+3x-1}{x-1})=\frac{(x^3-3x^2+3x-1)'(x-1)-(x^3-3x^2+3x-1)(x-1)'}{(x-1)^2}$。（3）答案：$f(x)$的極值點(diǎn)為$x=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，極小值為$f(\frac{1+\sqrt{3}}{2})=\frac{3-\sqrt{3}}{2}$。解析：由（2）知，$f'(x)=\frac{x^2-2x+2}{(x-1)^2}$，令$f'(x)=0$，得$x=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$。當(dāng)$x<\frac{1+\sqrt{3}}{2}$時(shí)，$f'(x)>0$；當(dāng)$x>\frac{1+\sqrt{3}}{2}$時(shí)，$f'(x)<0$。因此$x=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$是$f(x)$的極小值點(diǎn)，$f(\frac{1+\sqrt{3}}{2})=\frac{3-\sqrt{3}}{2}$。（4）答案：$f(x)$的零點(diǎn)為$x=1$。解析：由（3）知，$f(x)$在$x=1$處取得極小值，且$f(1)=0$，因此$x=1$是$f(x)$的零點(diǎn)。六、解答題9.（本小題滿分12分）（1）答案：直線AB的方程為$y-2=\frac{4}{3}(x-1)$，即$4x-3y+2=0$。解析：由點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，得直線AB的斜率為$\frac{6-2}{4-1}=\frac{4}{3}$，因此直線AB的方程為$y-2=\frac{4}{3}(x-1)$。（2）答案：點(diǎn)C的坐標(biāo)為$(4,6)$。解析：由直線AB的方程$4x-3y+2=0$，代入點(diǎn)C的坐標(biāo)$(x,y)$，得$4x-3y+2=0$，解得$x=4$，$y=6$，因