高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)8.6 空間直線、平面的垂直習(xí)題

高中數(shù)學(xué)人教A版(2019)必修第二冊(cè)8.6空間直線、平面的垂直習(xí)題一、選擇題要求：在下列各題中，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1,2,3)，B(4,5,6)，C(7,8,9)，則直線AB的方向向量是：A.(3,3,3)B.(3,3,-3)C.(3,-3,3)D.(3,-3,-3)2.在空間直角坐標(biāo)系中，已知直線l過點(diǎn)P(1,2,3)且垂直于平面α，平面α的法向量是n=(1,2,3)，則直線l的方程是：A.x+y+z=6B.x-y-z=6C.x+y-z=6D.x-y+z=63.在空間直角坐標(biāo)系中，已知直線l的方程為x=2t+1，y=3t+4，z=t+5，則直線l與平面α的交點(diǎn)坐標(biāo)是：A.(1,4,5)B.(2,5,6)C.(3,6,7)D.(4,7,8)4.在空間直角坐標(biāo)系中，已知直線l的方程為x=2t+1，y=3t+4，z=t+5，則直線l在平面α上的投影方程是：A.x=2t+1B.y=3t+4C.z=t+5D.x=2t+1，y=3t+45.在空間直角坐標(biāo)系中，已知直線l的方程為x=2t+1，y=3t+4，z=t+5，則直線l與平面α所成的角θ滿足：A.θ=π/4B.θ=π/3C.θ=π/2D.θ=π二、填空題要求：將正確答案填入空格中。6.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1,2,3)，B(4,5,6)，則直線AB的長(zhǎng)度為______。7.在空間直角坐標(biāo)系中，已知直線l過點(diǎn)P(1,2,3)且垂直于平面α，平面α的法向量是n=(1,2,3)，則直線l的方程為______。8.在空間直角坐標(biāo)系中，已知直線l的方程為x=2t+1，y=3t+4，z=t+5，則直線l與平面α的交點(diǎn)坐標(biāo)為______。9.在空間直角坐標(biāo)系中，已知直線l的方程為x=2t+1，y=3t+4，z=t+5，則直線l在平面α上的投影方程為______。10.在空間直角坐標(biāo)系中，已知直線l的方程為x=2t+1，y=3t+4，z=t+5，則直線l與平面α所成的角θ為______。四、解答題要求：解下列各題。11.已知空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,2,3)，B(4,5,6)，C(7,8,9)，求證：直線AB和直線BC垂直。12.在空間直角坐標(biāo)系中，已知直線l的方程為x=2t+1，y=3t+4，z=t+5，求直線l與平面x+y+z=10的交點(diǎn)坐標(biāo)。五、證明題要求：證明下列各題。13.證明：若直線l垂直于平面α，則直線l上的任意一點(diǎn)到平面α的距離相等。14.證明：若兩條直線分別垂直于兩個(gè)互相垂直的平面，則這兩條直線互相垂直。六、應(yīng)用題要求：解決下列實(shí)際問題。15.在空間直角坐標(biāo)系中，已知直線l過點(diǎn)P(1,2,3)且平行于平面α，平面α的法向量是n=(1,2,3)，求直線l的方程。16.在空間直角坐標(biāo)系中，已知直線l的方程為x=2t+1，y=3t+4，z=t+5，求直線l與平面x+y+z=10所成的角θ的正弦值。本次試卷答案如下：一、選擇題1.答案：B解析：直線AB的方向向量為B點(diǎn)坐標(biāo)減去A點(diǎn)坐標(biāo)，即(4-1,5-2,6-3)=(3,3,3)，由于方向向量可以是任意非零倍數(shù)，所以選B。2.答案：D解析：直線l垂直于平面α，其方向向量與平面α的法向量n=(1,2,3)平行，因此直線l的方程可以表示為x-y+z=常數(shù)。由于直線l過點(diǎn)P(1,2,3)，代入得1-2+3=2，所以直線l的方程為x-y+z=2，即D選項(xiàng)。3.答案：C解析：將直線l的參數(shù)方程代入平面α的方程x+y+z=10中，得到2t+1+3t+4+t+5=10，解得t=1，代入直線l的參數(shù)方程得到交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,5,6)，即C選項(xiàng)。4.答案：A解析：直線l在平面α上的投影方程與直線l的方程相同，因?yàn)橥队安桓淖冎本€在投影平面上的方向，所以選A。5.答案：B解析：直線l與平面α所成的角θ是直線l的方向向量與平面α的法向量之間的夾角。由于直線l的方向向量為(2,3,1)，平面α的法向量為(1,2,3)，兩向量的夾角余弦值為(2*1+3*2+1*3)/(√(2^2+3^2+1^2)*√(1^2+2^2+3^2))=13/(√14*√14)=13/14，所以θ=π/3，即B選項(xiàng)。二、填空題6.答案：√29解析：直線AB的長(zhǎng)度為兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算，即√[(4-1)^2+(5-2)^2+(6-3)^2]=√(3^2+3^2+3^2)=√(9+9+9)=√27=3√3=√29。7.答案：x-y+z=2解析：直線l垂直于平面α，其方向向量與平面α的法向量n=(1,2,3)平行，因此直線l的方程可以表示為x-y+z=常數(shù)。由于直線l過點(diǎn)P(1,2,3)，代入得1-2+3=2，所以直線l的方程為x-y+z=2。8.答案：(2,5,6)解析：與選擇題第3題解析相同。9.答案：x=2t+1解析：與選擇題第4題解析相同。10.答案：π/3解析：與選擇題第5題解析相同。四、解答題11.答案：證明過程略。解析：使用向量積（叉積）判斷兩條直線是否垂直，即計(jì)算向量AB和向量BC的叉積，如果叉積為零向量，則兩直線垂直。12.答案：交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,5,6)解析：將直線l的參數(shù)方程代入平面α的方程x+y+z=10中，解出參數(shù)t，然后代入直線l的參數(shù)方程得到交點(diǎn)坐標(biāo)。五、證明題13.答案：證明過程略。解析：利用直線與平面垂直的性質(zhì)，直線上的任意點(diǎn)到平面的距離等于直線上的點(diǎn)到平面的垂線段的長(zhǎng)度，由于垂線段長(zhǎng)度相等，所以距離相等。14.答案：證明過程略。解析：利用直線與平面垂直的性質(zhì)，以及平面之間的垂直關(guān)系，推導(dǎo)出兩條直線之間的垂直關(guān)系。六、應(yīng)用題15.答案：直線l的方程為x-y+z=5解析：直線l平行于平面α，其方向向量與平面α的法向量n=(1,2,3)垂直，因此直線l的方向向量可以表示為(2,1,-1)。由于直線l過點(diǎn)P(1,2,3)，代入得2*1+1*2-1*3=2，所以直線l的方程為x-y+z=2，即x-y+z=5。16.答案：sinθ=√2/2解析：直線l與平面α所成