北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三 專題45 邊角邊判定三角形全等-重難點(diǎn)題型（舉一反三）（原卷版+解析）

專題4.5邊角邊判定三角形全等.重難點(diǎn)題型

【北師大版】

【知識(shí)點(diǎn)1基本事實(shí)“邊角邊"（SAS）］

兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”.

【題型1邊角邊判定三角形全等的條件】

【例1】（2023春?錦江區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△A8C和△OEC中，已知還需添加兩個(gè)條件才能

用SAS判定△A8Cg/\O￡C,能添加的一組條件是（）

A.NB=NE,BC=ECB.NB=/E,AC=DC

C.NA=NO,BC=ECD.BC=EC,AC=DC

【變式1-1］（2023秋?喀什地區(qū)期末）如圖，已知N4BC=NOCB,能直接用SAS證明△48C之ZsOCB的條

C./ACB=/DBCD.AC=DB

【變式1-2］（2023秋?通州區(qū)期中）根據(jù)下列條件能畫出唯一△A8C的是（）

A.A8=l,BC=2,CA=3B.A8=7,BC=5,NA=30°

C.NA=50°,ZB=60°,ZC=70°D.AC=3.5,BC=4.8,ZC=70°

【變式1-3］（2023?奎文區(qū)一模）如圖，點(diǎn)。、E分別在線段AB、AC上，且4O=AE,若由SAS判定aABE

絲△ACQ,則需要添加的一個(gè)條件是

【題型2邊角邊判定三角形全等（求角的度數(shù)）】

【例2】（2023秋?寬城區(qū)期末）如圖，A8=A。，點(diǎn)。、E分別是A3、AC上一點(diǎn)，AD=AE,BE、CO相交

于點(diǎn)若NB4C=70°,NC=30°,則/8MO的大小為（）

C.70°D.80°

【變式2-1】（2023秋?樂亭縣期末）如圖，在448。中，ZB=40°,AB=CB,AF=CD,AE=CF,則N

EFD=()

C.70°D.80°

【變式2-2］（2023秋?長(zhǎng)垣市月考）如圖，在△A4C中，NB=NC,E、。、〃分別是4?、BC、AC上的點(diǎn),

且BE=CD,BD=CF,若NA=104°,則NEQF的度數(shù)為■：)

C.38°D.52°

【變式2-3］（2023春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）如圖，△ABC中，COJ_AB,垂足為。.BE1AC,垂足為G,

AB=CF,BE=AC.

（I）求證：AE=AF；

（2）求NE4”的度數(shù).

c

【題型3邊角邊判定三角形全等（求線段的長(zhǎng)度）】

【例3】（2023秋?越秀區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，入。平分//MC,NB=2NA/）B,48=5,CD=6,

則AC的長(zhǎng)為（）

A.3B.9C.11D.15

【變式3-1］（2023春?南崗區(qū)校級(jí)期中）如圖，ZSABC中，AB=AC,D、E分別在CA、8A的延長(zhǎng)線上，連

接B。、CE,且NO+NE=180°,若8。=6,則CE的長(zhǎng)為（）

A.6B.5C.3D.4.5

【變式3-2］（2023秋?洪山區(qū)期末）如圖，在△4BC中，AB=6,BC=5,AC=4,AO平分NMC交BC于

點(diǎn)。，在A5上截取則△8QE的周長(zhǎng)為（）

A.8B.7C.6D.5

【變式3-3］（2023秋?廣州校級(jí)月考）如圖，在△A8C中，A8=8,AC=5,AD是■的中線，則AO的

取值范圍是（）

BD

A.3<AD<\3B.\.5<AD<6.5C.2.5VAOV7.5D.10<AD<16

【題型4邊角邊判定三角形全等（實(shí)際應(yīng)用）】

【例4】（2023秋?渾源縣期中）如圖，A,4兩點(diǎn)分別位于一個(gè)假山的兩端，小明想用繩子測(cè)量A、4間的

距離，首先在地面上取一個(gè)可以直接到達(dá)A點(diǎn)和B點(diǎn)的點(diǎn)C,連接AC并延長(zhǎng)到點(diǎn)。，使CO=AC,連

接BC并延長(zhǎng)到點(diǎn)E,使CE=CB,連接OE并測(cè)量出它的長(zhǎng)度為8m，則AB間的距離為8〃？.

【變式4-1］（2023秋?西湖區(qū)校級(jí)期中）如圖1、2,小明為了測(cè)出塑料瓶直壁厚度，由于不便測(cè)出塑料瓶的

內(nèi)徑，小明動(dòng)手制作一個(gè)簡(jiǎn)單的工具（如圖2,AC=BD,O為AC、8。的中點(diǎn)）解決了測(cè)瓶的內(nèi)徑問題,

測(cè)得瓶的外徑為。、圖2中的0c長(zhǎng)為〃，瓶直壁厚度x=（用含小〃的代數(shù)式表示）.

圖1圖2

【變式4-2］（2023秋?溫嶺市期中）某中學(xué)計(jì)劃為新生配備如圖1所示的折疊凳，圖2是折疊凳撐開后的側(cè)

面示意圖（木條等材料寬度忽咯不計(jì)），其中凳腿和C。的長(zhǎng)度相等，。是它們的中點(diǎn)，為了使折疊

凳坐著舒適，廠家將撐開后的折疊凳寬度設(shè)計(jì)為35c由以上信息能求出C8的長(zhǎng)度嗎？如果能，

請(qǐng)求出C4的長(zhǎng)度：如果不能，請(qǐng)說明理由.

圖1圖2

【變式4-3］（2023春?郊縣期末）如圖所示，A、8兩點(diǎn)分別位于一個(gè)池塘的兩端，小明想用繩子測(cè)量4、B

間的距離，但繩子不夠長(zhǎng)，請(qǐng)為利用三角形全等的相關(guān)知識(shí)帶他設(shè)計(jì)一種方案測(cè)量出A、B間的距離，

寫出具體的方案，并解釋其中的道理.

【題型5邊角邊判定三角形全等(證明題)】

【例5】(2023春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中)如圖，在直角△ABC中，N4BC=90°,過8點(diǎn)作8Q一AC于Z),E

在CO上，且過點(diǎn)/)作。/〃BC,使得。/=8。，連接EE求證：

(I)NABD=NC；

(2)DFA.EF,

【變式5-1](2023秋?陸川縣期中)如圖，AO是△ABC的角平分線，且48>AC,E為4。上任意一點(diǎn),

求證：AB-AC>EB-EC.

【變式5-2](2023秋?合江縣月考)已知△A8C和△4￡)￡均為等腰三角形，且N84C=NOAE,AB=AC,

AD=AE.

(I)如圖1,點(diǎn)E在8c上，求證：BC=BD+BE；

(2)如圖2,點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，求證：BC=BD-BE.

D

\\\/\\

BECEBC

圖1圖2

【變式5-3］（2023秋?溫嶺市期中）（I）如圖1,已知在△A8C中，A。為中線，求證48+AO2A。.

（2）如圖2,在△ABC中，。為BC的中點(diǎn)，OE_L。尸分別交AB,AC于點(diǎn)EF.

求證：BE+CF>EF.

【題型6邊角邊判定三角形全等（探究題）】

【例6】（2023秋?懷寧縣期末）如圖，已知：AD=AB,AE=AC,ADLAB,AELAC.猜想線段CO與BE

之間的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證明你的猜想.

【變式6-1］（2023秋?唐山期中）如圖，在△ABC中，AD,CE分別是BC、邊上的高，4。與CE交于

點(diǎn)凡連接“凡延長(zhǎng)人Q到點(diǎn)G,使得人G=AC,連接“G,若CF=AR.

（I）求證：AABGgACFB；

（2）在完成（1）的證明后，愛思考的琪琪想：Br與8G之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？它們之間又有怎樣

的位置關(guān)系？請(qǐng)你幫琪琪解答這一問題，并說明理由.

【變式6-2］（2023春?佛山月考）在△人BC中，AB=AC,點(diǎn)。是射線C8上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），

以人。為一邊在人。的右側(cè)作AAQE,使/DAE=NBAC,連接C￡.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線段CB上，且N8AC=90°時(shí)，那么NOC￡=度；

（2）設(shè)/區(qū)4C=a,ZDCE=p.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段C8上，ZB/1C#9O°時(shí)，請(qǐng)你探究a與0之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論:

②如圖3,當(dāng)點(diǎn)。在線段C8的延長(zhǎng)線上，/ZMCW90。時(shí)，請(qǐng)將圖3補(bǔ)充完整，寫出此時(shí)a與0之間

的數(shù)量關(guān)系并證明.

【變式6-3］（2023秋?集賢縣期中）如圖I,在△ABC中，4E_L8C于點(diǎn)E,AE=BE,。是人E上的一點(diǎn)，

且DE=CE,連接8Q,CD.

（1）試判斷8。與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說明理由：

（2）如圖2,若將△OCE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)一定的角度后，試判斷8。與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生

變化，并說明理由.

專題4.5邊角邊判定三角形全等一重難點(diǎn)題型

【北師大版】

【知識(shí)￡i基本事實(shí)“邊角邊/一（SAS）］

兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”.

I題型1邊角邊判定三角形全等的條件】

【例1】（2023春?錦江區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC和ZxOEC中，已知A8=OE,還需添加

兩個(gè)條件才能用SAS判定△ABCgaDEC能添加的一組條件是（）

A./B=/E,BC=ECB.4B=/E,AC=DC

C.ZA=ZD,BC=ECD.BC=EC,AC=DC

分析：由A8=Q￡知，由全等三角形的判定定理SAS知，缺少的添加是：一組對(duì)應(yīng)邊相

等及其對(duì)應(yīng)夾角相等.

【解答】解：A、若AB=DE,/B=NE,BC=EC,符合全等三角形的判定定理S4S,

能推出△A8C且△QEC,故符合題意.

B、^AB=DE,AC=DC,NB=NE,由SSA不能判定△A8CgZ\Z）EC,故不符合題意；

C、若AB=DE,BC=EC,NA=/。，由SSA不能判定△A8C絲△Q￡C,故不符合題意：

D.^AB=DE,BC=EC.AC=DC.由SSS不能判定△人ACs/kOEC.故不符合題意：

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的

關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有：ASA,SAS,/US,SSS,兩直角三角形全等，還

有HL.

【變式1-1］（2023秋?喀什地區(qū)期末）如圖，已知NABC=NOCB,能直接用弘S證明AABC

絲/XOCB的條件是（）

A.AB=DCB.NA=NOC.NACB=NDBCD.AC=DB

分析：根據(jù)全等三角形的判定方法即可解決問題.

【解答】解：'：AB=DC,ZABC=ZDCB,BC=CB,

:.AABCmADCB（SAS）,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考

題型.

【變式1-2］（2023秋?通州區(qū)期中）根據(jù)下列條件能畫出唯一△ABC的是（）

A.AB=\,BC=2,CA=3B.AB=7,BC=5,NA=30°

C.ZA=50°,N8=60",ZC=70°D.AC=3.5,3c=4.8,ZC=70°

分析：根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)中的條件，可以判斷是否可以畫出唯一△A4C,從而可以解答本題.

【解答】解：當(dāng)AB=1,BC=2,CA=3時(shí)，1+2=3,則線段48、BC、C4不能構(gòu)成三

角形，故選項(xiàng)A不符合題意：

當(dāng)人8=7,BC=5,4=30°時(shí)，可以得到點(diǎn)B到人。的距離為3.5,可以畫出兩個(gè)三角

形，如圖1所示，故選項(xiàng)8不符合題意；

當(dāng)N4=50°,NB=6J°,ZC=70°時(shí)，可以畫出很多的三角形ABC,如圖2所示，

故選項(xiàng)C不符合題意；

當(dāng)AC=3.5,BC=4.8,NC=70°時(shí)，可以畫出唯一的三角形ABC,故選項(xiàng)。符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思

想解答.

【變式1-3］（2023?全文區(qū)一模）如圖，點(diǎn)。、E分別在線段A4、AC'上，旦若

由SAS^^ABE^^ACD,則需要添加的一個(gè)條件是.

分析：由題意可得NA=NA,AD=AEf則添力IIAB=AC,由S4S判定△ACO.

【解答】解：添加A8=AC,

a：AB=AC,ZA=ZA,AD=AE,

:.△ABEW/\ACD（SAS）

故答案為：AB=AC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，靈活運(yùn)用全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵.

【題型2邊角邊判定三角形全等（求角的度數(shù)）】

【例2】（2023秋?寬城區(qū)期末）如圖，AB=AC＞點(diǎn)。、E分別是八仄AC上一點(diǎn)，AD=AE,

BE、C。相交于點(diǎn)M.若N84C=70°,ZC=30°,則N8MO的大小為（）

A.50°B.65°C.70°D.80°

分析：根據(jù)SAS證明AAQC與八4七8全等，利用全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角在解答

即可.

【解答】解：在△AOC與△AE8中，

AD=AE

乙4=Z.A?

AC=AB

^ADC^/\AEBCSAS),

：?/B=/C,ZAEB=ZADC,

VZBAC=70°,ZC=30°,

ZAEB=ZADC=\^)a-ZRAC-ZC=I8O°-70°-30°=80°,

???N8MC=NOME=3600-ZAEB-ZADC-ZBAC=360°-80°-80°-70°=

130°,

AABMD=\W-130°=50°,

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)解答.

【變式2-1］（2023秋?樂亭縣期末）如圖，在△A8C中，N8=40°,AB=CB,AF=CD,

AE=CF,則NEFO=（）

BD

A.50°B.60°C.70°D.80°

分析：由等腰三角形的性質(zhì)得出乙4=/C=70°,證明尸名△C77)(SAS),由全等

三角形的性質(zhì)得出ZAFE=ZCDF,則可得出答案.

【解答】解：???/B=40°,AB=CB,

/.ZA=ZC=1(180°-40°)=70°,

在aAE產(chǎn)和△CF。中，

AE=CF

Z.A=乙C,

AF=CD

：.AAEF^ACFD(SAS),

???乙AFE=zlCDF,

VZ4FE+ZEFD+ZOT9=180°,NC+NCQr+NCFQ=180°,

：.ZEFD=ZC=10°.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“S4S”、

“4SA”、“A4S”；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等.也考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)

角和定理.

【變式2-2](2023秋?長(zhǎng)垣市月考)如圖，在△A8C中，Zfl=ZC,E、。、F分別是48、

BC、4c上的點(diǎn)，且BE=CD,BD=CF,若N4=104°,則NEO尸的度數(shù)為()

分析：由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求N6=/C=38",由"SAT可證

叢BDE仝4CFD,可得NBED=NCDF,NBDE=NCFD,由外角的性質(zhì)可求解.

【解答】解：???A8=AC,ZA=104°,

???NB=/C=38°,

在△BOX和△CFQ中，

BE=CD

乙B=zC,

BD=CF

:.ABDEm4CFDCSAS),

:./BED=NCDF,ZBDE=ZCFD,

：,NBED+NBDE=ZCDF+ZCFD,

,/ZBED+ZB=ZCDE=ZEDF+ZCDF,

,?.NB=NEDF=38",

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，三角形內(nèi)角

和定理的運(yùn)用，三角形外角的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵.

【變式2-3](2023春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考)如圖，△A8C中，CQLAB,垂足為Q.BE1AC,

垂足為G,AB=CF,BE=AC.

(1)求i正：AE=AF\

(2)求/E4/的度數(shù).

分析：(1)利用S4S證明AAEB絲△以C可證明結(jié)論：

(2)由全等三角形的性質(zhì)可得NE=NC4R由余角的定義可求得N￡A尸的度數(shù).

【解答】(1)證明：BEA.AC,

???NCAD+NACO=NCAO+NEBA=90°,

/./ACD=NEBA,

在和△川。中，

AB=FC

Z.EBA=Z.ACF,

BE=CA

/.(SAS),

：,AE=FA；

(2)解：V

:./E=/CAF,

???/￡>NE4G=90°,

ZCAF+ZEAG=90°,

即NE4尸=90°.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，證明△AEBg△加C是解題的關(guān)健.

【題型3邊角邊判定三角形全等（求線段的長(zhǎng)度）】

【例3】（2023秋?越秀區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，A。平分N84C,/B=2NADB,

AB=5,CD=6,則AC的長(zhǎng)為（）

A.3B.9C.11D.15

分析：在AC上截取4E=AB,連接。￡,證明△AB。金△AEQ,得到N3=NAE。，再證

明ED=EC,進(jìn)而代入數(shù)值解答即可.

【解答】解：在人C上截取A石=人以連接。￡

???AO平分N8AC,

ZBAD=NDAC,

在△ABD和△AE。中，

AE=AB

/.BAD=Z-DAC^

AD=AD

???△?。^△人石。（SAS），

:?/B=NAED,BD=DE,

?；NB=2NADB,

JZAED=2ZADB,

而zlAED-^C+zlEDC-2^ADB,

：.ZCED=ZEDC,

:,CD=CE,

：,AB+CD=AE+CE=AC=5+（）=11.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；此題利用了全等三角形中常用輔助線-

截長(zhǎng)補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形，然后利用全等三角形解題，這是解決線段和差問題最常用

的方法，注意掌握.

【變式3-1］（2023春?南崗區(qū)校級(jí)期中）如圖，/XABC中，AB=AC,。、E分別在CA、BA

的延長(zhǎng)線上，連接8。、CE,且/O+NE=18（T,若4。=6,則CE的長(zhǎng)為（）

A.6B.5C.3D.4.5

分析：延長(zhǎng)8E使Ar=A。，連接CF,由“SAS”可證可得NF=NQ,

BD=CF=6,由平角的性質(zhì)可得/尸=/5成7=/。，即可求解.

【解答】解：如圖，延長(zhǎng)8E使Ab=A。，連接CF,

在△/W7）和△AC/中，

AD=AF

乙DAB=乙FAC,

AB=AC

???△"/屋AAb（SAS'）,

AZF=Z/）,BD=CF=6,

???NO+N8EC=180°,ZBEC+ZFEC=180°,

???ZD=ZFEC,

???ZF=ZFEC,

:?CF=CE=6,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題

的關(guān)鍵.

【變式3-2]（2023秋?洪口區(qū)期末）如圖，在AABC中，AB=6,BC=5,AC=4,AO平分

/BAC交.BC于點(diǎn)、D,在A8上截取A￡=AC,則△8DE的周長(zhǎng)為（）

A.8B.7C.6D.5

分析：利用已知條件證明△人。EgAAOC(S4S),得到EO=CQ,從而BC=BD+CD=

DE+BD=5,即可求得△8OE的周長(zhǎng).

【解答】解：???A。是。的平分線，

：.ZEAD=ZCAD

在△AQE和△AQC中，

AE=AC

Z.EAD=乙CAD,

AD=AD

AADE^AADC(SAS),

:?ED=CD,

JBC=BD+CD=DE+BD=5,

???△3OE的周長(zhǎng)=5￡+8￡>+EO=(6-4)+5=7.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，解決本題的關(guān)鍵是證明

【變式3-3]（2023秋?廣州校級(jí)月考）如圖，在△A5C中，A6=8,AC=5,AD是△A6C

的中線，則AO的取值范圍是（）

A.3VADV13B.1.5VAOV6.5C.2.5<AD<7.5D.10VAOV16

分析：延長(zhǎng)4。至UE,使AD=OE,連接8E,證明△AQC經(jīng)△EO3,推出￡8=AC,根

據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理求出即可.

【解答】解：延長(zhǎng)A。到日使AD=OE,連接86

???人。是△A8C的中線，

:?BD=CD,

在△ADC和△￡￡>8中，

CD=BD

/-ADC=乙BDE,

AD=DE

f\ADC^/\EDB（SAS），

：.EB=AC,

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理：8-5VAEV8+5,

：.\.5<AD<6.5,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的三邊關(guān)系定理，倍長(zhǎng)中線

等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能推出8-5V2ADV8+5是解此題的關(guān)鍵.

【題型4邊角邊判定三角形全等（實(shí)際應(yīng)用）】

【例4】（2023秋?渾源縣期中）如圖，A,B兩點(diǎn)分別位于一個(gè)假山的兩端，小明想用繩子

測(cè)量A、3間的距離,首先在地面上取一個(gè)可以直接到達(dá)A點(diǎn)和3點(diǎn)的點(diǎn)C,連接AC并

延長(zhǎng)到點(diǎn)。，使CO=AC,連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)使CE=CB,連接。七并測(cè)量出它的

長(zhǎng)度為8,〃，則47問的距離為8,〃.

分析：根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：在△COE和△CA8中，

CD=CA

乙DCE=Z.ACBy

CE=CB

：.4CDEm4CAB（5X5）,

：.L)E=AB=^n,

故答案為:8m.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

【變式4-1］（2023秋?西湖區(qū)校級(jí)期中）如圖1、2,小明為了測(cè)出塑料瓶直壁厚度，由于不

便測(cè)出塑料瓶的內(nèi)徑，小明動(dòng)手制作一個(gè)簡(jiǎn)單的工具（如圖2,AC=BD,。為ACBD

的中點(diǎn)）解決了測(cè)瓶的內(nèi)徑問題，測(cè)得瓶的外徑為公圖2中的。C長(zhǎng)為人，瓶直壁厚度

x=（用含小匕的代數(shù)式表示）.

分析：直接利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出△OOC/△BQ4,進(jìn)而得出答案.

【解答】解；,：AC=BD,O為AC、的中點(diǎn)，

：,DC)=013.OA=CO,

在也。。。和△804中

(DO=0B

1/.D0C=/.BOA,

(C0=AO

:.△COgXBON(SAS),

：,AB=DC=b,

.*.x+x+b=af

解得：x=

a-b

故答案為：—.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，止確掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)

鍵.

【變式4-2］（2023秋?溫嶺市期中）某中學(xué)計(jì)劃為新生配備如圖1所示的折疊凳，圖2是折

疊凳撐開后的側(cè)面示意圖（木條等材料寬度忽略不計(jì)），其中凳腿AB和CO的長(zhǎng)度相等,

。是它們的中點(diǎn)，為了使折疊凳坐著舒適，廠家將撐開后的折疊凳寬度設(shè)計(jì)為35c5,

由以上信息能求出CB的長(zhǎng)度嗎？如果能，請(qǐng)求出C8的長(zhǎng)度；如果不能，請(qǐng)說明理由.

分析：根據(jù)中點(diǎn)定義求出OA=OB,OC=OD,然后利用“邊角邊”證明△AOD和△BOC

全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可證明.

【解答】解：:。是43、CO的中點(diǎn)，

：?OA=OB,OC=OD,

在△AOO和△BOC中，

0A=0B

Z.AOD=乙BOC,

OC=OD

???△AOOdHOC(SAS),

:?CB=AD,

AD=35cm,

???CB=35(cw),

答：CB的長(zhǎng)度為35c/?:.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，證明得到三角形全等是解題的關(guān)鍵.

【變式4-3](2023春?鄭縣期末)如圖所示，A、8兩點(diǎn)分別位于一個(gè)池塘的兩端，小明想

用繩子測(cè)量A、"問的距離，但繩子不夠長(zhǎng)，請(qǐng)你利用二角形全等的相關(guān)知識(shí)帶他設(shè)沖一

種方案測(cè)量出A、3間的距離，寫出具體的方案，并解釋其中的道理.

分析：由題意知4c=OC,BC=EC,根據(jù)NAC8=NQCE即可證明△ABCg/XQEC,即

可得AB=DE,即可解題.

【解答】解：如圖，先在地上取一個(gè)可以直接到達(dá)A點(diǎn)和8點(diǎn)的點(diǎn)C,連接4C并延長(zhǎng)

到。，使CO=AC：連接并延長(zhǎng)到E,使CE=CB,連接QE并測(cè)量出它的長(zhǎng)度，DE

的長(zhǎng)度就是A、4間的距離.

證明：由題意知4c=OC,BC=EC,且N4C8=NQCE,

在△?13c和△￡)區(qū)中，

AC=DC

Z-ACB=乙DCE,

BC=EC

:.△ABCWADEC(SAS),

：,DE=AB.

???量出DE的長(zhǎng)，就是A、8兩點(diǎn)間的距離.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的

性質(zhì)，本題中求證△ABC絲/XOEC是解題的關(guān)鍵.

【題型5邊角邊判定三角形全等(證明題)】

【例5】(2023春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中)如圖，在直角△A8C中，N44C=90。，過8點(diǎn)作

BQ_LAC于D,E在CZ)上，且DE=AB,過點(diǎn)。作。F〃BC,使得。尸=80,連接EF.求

證：

(I)NABD=NC；

(2)DFLEF.

分析：(1)由直角三角形的性質(zhì)可得出答案：

(2)證明/(SAS),由全等三角形的性質(zhì)得出乙4。8=/。/E=90°,

則可得出結(jié)論.

【解答】證明：(1)，：ZABC=90°,

AZ4+ZC=90°,

'：BDLAC,

AZBDA=90°,

:NA6￡>+/A=90',

ZABD=ZC；

(2),:DF〃BC,

:?/FDE=/C,

*：NABO=NC,

???ZABD=ZFDE,

在△ABD和中，

AB=DE

乙ABD=乙FDE,

BD=DF

:.△ABD@4EDF(SAS),

???NAOB=/O尸E=90°,

：,DFVEF.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟

練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式5-1](2023秋?陸川縣期中)如圖，A。是△A8C的角平分線，且A8>AC,E為A。

上任意一點(diǎn)，

求證：AB-AOEB-EC.

分析：在48上截取AF=AC,連接后八證明可得E/=EC,根據(jù)三角

形三邊的關(guān)系即可證明結(jié)論.

【解答】證明：如圖，在48上截取A/=AC,連接￡尸，

???A。是AA3c的角平分線,

在△/1￡：尸與△AEC中,

AF=AC

,/LFAE=￡CAE,

AE=AE

：.^AEF^AAEC(SAS),

:,EF=EC,

在△3EF中，EB-EF<BF,

而BF=AB-AF=AB-AC,

：.EB-EC<AB-AC,

8|JAB-AOEB-EC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊的關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是

掌握全等三角形的判定與性質(zhì).

【變式5-2]（2023秋?合江縣月考）已知△ABC和△人。E均為等腰三角形，且/8AC=N

DAE,AB=AC,AD=AE.

（1）如圖1,點(diǎn)E在BC上，求證：BC=BD+BE；

（2）如圖2,點(diǎn)石在的延長(zhǎng)線上，求證：BC=BD-BE.

分析：（1）先證ND48=NE4C,再證（SAS）,得出8O=CE,貝！可得

出結(jié)論；

(2)證明△D48絲△EAC(SAS),得出8O=CE,進(jìn)而得出結(jié)論.

【解答】(1)證明：'??N/MC=ND4E,

AABAC-ZBAE=ZDAE-NBAE,

即NZMB=NE4C,

5L'：AIi=AC,AD=AE,

.,.△DA^AEAC(SAS'),

；?BD=CE,

???BC=BE+CE=BD+BE；

(2)證明：???/BAC=NDAE,

：,ZBAC+ZEAB=ZDAE+ZEAB,

即ND48=NE4C,

又?.?A8=AC,AD=AE,

：,^DAB^/\EAC(SAS),

:?BD=CE,

：,BC=CE-BE=BD-BE.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題

的關(guān)鍵.

【變式5-3]（2U23秋?溫嶺巾期中）（1）如圖1,已知在ZXA8C中，A。為中線，求證A8+AC

>2AD.

（2）如圖2,在△ABC中,。為的中點(diǎn),。及LD尸分別交48,AC于點(diǎn)E,F.

求證：BE+CF>EF.

分析?：（1）根據(jù)SAS證明aAB。絲得出AB=EC,由三角形三邊關(guān)系得事答案:

（2）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可.

【解答】證明：（1）延長(zhǎng)A。至點(diǎn)E,使DE=AD,連接CE,如圖1.

則AE=2AD,

在△A8O與△ECO中，

（AD=ED

1/-ADC=乙EDB,

WB=DC

：,AABD^^ECD（SAS）,

：,AB=EC,

在△/￡：中，WAC+CE>AE,BPAC+AB>2AD,

（2）延長(zhǎng)EO至點(diǎn)G,使。G=OE,連接CG,FG,如圖2.

???打。垂直平分EG,

:.EF=FG,

在△EQ8與△GOC中，

BD=CD

乙BDE=Z.CDG,

ED=GD

:?4EDBmAGDC（SAS）,

:?BE=CG,

在△FCG中，CF+CG>FG,

BPCF+BE>EF.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查全等二角形的判定與性質(zhì).關(guān)鍵是根據(jù)全等二角形的判定和性質(zhì)以及

三角形三邊關(guān)系解答.

【題型6邊角邊判定三角形全等（探究題）】

【例6】（2023秋?懷寧縣期末）如圖,已知：AD=ABfAE=ACtADLAB,AELAC.猜想

線段CD與BE之間的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證明你的猜想.

分析?：證明4人。。也△AE8,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=8E,ZADC=AABE,根

據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出N6FO=NZMQ=90°,證明結(jié)論.

【解答】解:猜想：CD=BE,CDLBE,

理由如下：-：AD±AB,AEYAC,

：.ZDAB=ZEAC=W.

AZDAB+ZBAC=ZEAC+ZBAC,即NC4Q=NE44,

在△AC。和△AE8中，

AD=AB

Z.CAD=4EAB,

AC=AE

：.^ACD^/XAEB（SAS'）,

；?CD=BE,ZADC=7ABE,

???ZAGD=ZFGB,

：.ZBFD=ZBAD=W,BPCDA.BE.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形全等的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形

的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

【變式6-1］（2023秋?唐山期中）如圖，在△A8C中，AD,CE分別是8C、邊上的高，

4。與CE交于點(diǎn)R連接BF,延長(zhǎng)4。到點(diǎn)G,使得AG=BC,連接BG,若CF=AB.

（1）求證：△ABGQCFB；

（2）在完成（1）的證明后，愛思考的琪琪想：8”與8G之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？它

們之間又有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)你幫琪琪解答這一問題，并說明理由.

分析：（1）根據(jù)S4S證明△44G0△CF/3,再利用全等三角形的性質(zhì)證明即可;

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出NG=N/B。，再證明即可.

【解答】（1）證明：lA。，CE是高，

：?/BAD+NAFE=NBCF+NCFD=90°,

■:ZAFE=ZCFD,

:?/BAD=NBCF,

在AASG與ACFB中，

(AG=BC

Z.BAD=乙BCF,

CF=AB

???△ABGg/XC。(SAS)；

(2)解：BF=BG,BF_LBG,理由如下：

,:△ABG@4CFB,

:?BF=BG,NG=NFBD,

???4O_LBC,

JZBDG=90°

???NG+NO8G=90°,

/.Zra/)+ZDBG=900,

.../尸8G的度數(shù)為90°,

：,BFA.BG,

【點(diǎn)評(píng)】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)&IS證明△ABGg/XCFB.

【變式6-2](2023春?佛山月考)在△A8C中，AB=AC,點(diǎn)。是射線C8上的一動(dòng)點(diǎn)(不

與點(diǎn)氏C重合)，以A。為一?邊在A。的右側(cè)作△ADE,使AQ=AE,ZDAE=ZBAC,

連接C￡

(1)如圖I,當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上，且N8AC=9(T時(shí)，那么NOCE=度；

(2)設(shè)N8AC=a,NOCE=0.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上，NBACK90。時(shí)，清你探究a與0之間的數(shù)最關(guān)系，

并證明你的結(jié)論；

②如圖3,當(dāng)點(diǎn)。在線段CB的延長(zhǎng)線上，N8ACW900時(shí)，請(qǐng)將圖3補(bǔ)充完整，寫出此

時(shí)a與0之間的數(shù)量關(guān)系并證明.

分析：(1)易證N84D=NG4E,即可證明△B4DgZ\CAE,可得NACE=N8,即可解

題；

(2)易