北師大版七年級數(shù)學(xué)下冊全部知識點(diǎn)歸納 (一)

第一章：整式的運(yùn)算

單項(xiàng)式

多項(xiàng)式

同底數(shù)幕的乘法

帚的乘方

積的乘方

同底數(shù)轅的除法

零指數(shù)累

負(fù)指數(shù)累

整式的加減

單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘

Y單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘

整式的乘法多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘

整式運(yùn)算平方差公式

完全平方公式

單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式

I整式的除法

多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式

一、單項(xiàng)式

1、都是數(shù)字與字母的乘積的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式。

2、單項(xiàng)式的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)。

3、單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)和磯做單項(xiàng)式的次數(shù)。

4、單獨(dú)一個數(shù)或一個字母也是單項(xiàng)式。

5、只具有字母因式的單項(xiàng)式的系數(shù)是1或一1。

6、單獨(dú)的一個數(shù)字是單項(xiàng)式，它的系數(shù)是它自身。

7、單獨(dú)的一個非零常數(shù)的次數(shù)是0,

8、單項(xiàng)式中只能具有乘法或乘方運(yùn)算，而不能具有加、減等其他運(yùn)算。

9、單項(xiàng)式的系數(shù)涉及它前面的符號。

10、單項(xiàng)式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時，應(yīng)化成假分?jǐn)?shù)。

11、單項(xiàng)式的系數(shù)是1或一1時，通常省略數(shù)字“1”。

12、單項(xiàng)式的次數(shù)僅與字母有關(guān)，與單項(xiàng)式的系數(shù)無關(guān)。

二、多項(xiàng)式

1、幾個單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。

2、多項(xiàng)式中的每一個單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)。

3、多項(xiàng)式中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。

4、一個多項(xiàng)式有幾項(xiàng)，就叫做幾項(xiàng)式。

5、多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都涉及項(xiàng)前面的符號。

6、多項(xiàng)式?jīng)]有系數(shù)的概念，但有次數(shù)的概念。

7、多項(xiàng)式中次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，叫做這個多項(xiàng)式的次數(shù)。

三、整式

I、單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式。

2、單項(xiàng)式或多項(xiàng)式都是整式。

3、整式不一定是單項(xiàng)式。

4、整式不i定是多項(xiàng)式。

5、分母中具有字母的代數(shù)式不是整式；而是此后將要學(xué)習(xí)的分式。

四、整式的加減

1、整式加減的理論根據(jù)是：去括號法則，合并同類項(xiàng)法則，以及乘法分派率。

2、幾個整式相加減，關(guān)鍵是對的地運(yùn)用去括號法則，然后準(zhǔn)確合并同類項(xiàng)。

3、幾個整式相加減的一般環(huán)節(jié)：

（1）列出代數(shù)式：用括號把每個整式括起來，再用加減號連接。

（2）按去括號法則去括號。

（3）合并同類項(xiàng)。

4、代數(shù)式求值的一般環(huán)節(jié):

(1)代數(shù)式化簡。

(2)代入計(jì)算

(3)對于某些特殊的代數(shù)式，可采用“整體代入”進(jìn)行計(jì)算。

五、同底數(shù)塞的乘法

1、n個相同因式(或因數(shù))a相乘，記作1,讀作a的n次方(哥)，其中a為底數(shù)，n為指數(shù)，a0的結(jié)

果叫做幕.

2、底數(shù)相同的哥叫做同底數(shù)事。

3、同底數(shù)幕乘法的運(yùn)算法則：同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。即：

4、此法則也可以逆用，即：產(chǎn)=a".a%

5、開始底數(shù)不相同的幕的乘法，假如可以化成底數(shù)相同的哥的乘法，先化成同底數(shù)第再運(yùn)用法則。

六、哥的乘方

1、累的乘方是指幾個相同的幕相乘。(an)11表達(dá)n個求相乘。

2、暴的乘方運(yùn)算法則：塞的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。(an)11

3、此法則也可以逆用，即：an=(an)n=(an)工

七、積的乘方

1、積的乘方是指底數(shù)是乘積形式的乘方。

2、積的乘方運(yùn)算法則：積的乘方，等于把積中的每個因式分別乘方，然后把所得的幕相乘。即(ab)

n=a"b"o

3、此法則也可以逆用，即：anbn=(ab)%

八、三種“暴的運(yùn)算法則”異同點(diǎn)

1、共同點(diǎn)：

(I)法則中的底數(shù)不變，只對指數(shù)做運(yùn)算。

(2)法則中的底數(shù)(不為零)和指數(shù)具有普遍性，即可以是數(shù)，也可以是式(單項(xiàng)式或多項(xiàng)式)。

(3)對于具有3個或3個以上的運(yùn)算，法則仍然成立。

2、不同點(diǎn):

(I)同底數(shù)幕相乘是指數(shù)相加。

(2)事的乘方是指數(shù)相乘。

<3)積的乘方是每個囚式分別乘方，再將結(jié)果相乘。

九、同底數(shù)暴的除法

1、同底數(shù)出的除法法則:同底數(shù)幕相除,底數(shù)不變，指數(shù)相減，即：a4-an=a-n(a^O)o

2、此法則也可以逆用，即：a"』=an4-an(aWO)。

十、零指數(shù)累

1、零指數(shù)鼎的意義：仔何不等干0的數(shù)的()次累都等干1.即：a°=I(a^O)n

十一、負(fù)指數(shù)基

1、任何不等于零的數(shù)的一P次幕，等于這個數(shù)的p次幕的倒數(shù).即：。一，=方(々工0)

注：在同底數(shù)累的除法、零指數(shù)嘉、負(fù)指數(shù)幕中底數(shù)不為0。

十二、整式的乘法

(一)單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘

1、單項(xiàng)式乘法法則：單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的箱分別相乘，其余字母連同它的

指數(shù)不變，作為積的因式。

2、系數(shù)相乘時，注意符號。

3、相同字母的哥相乘時，底數(shù)不變，指數(shù)相加。

4、對于只在一個單項(xiàng)式中具有的字母，連同它的指數(shù)一起寫在積里，作為積的因式。

5、單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的結(jié)果仍是單項(xiàng)式。

6、單項(xiàng)式的乘法法則對于三個或三個以上的單項(xiàng)式相乘同樣合用。

(二)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘

1、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式乘法法則：單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是根據(jù)分派率用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)，

再把所得的積相加。即：m(a+b+c)=ma+mb+mco

2、運(yùn)算時注意枳的符號，多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都涉及它前面的符號。

3、積是一個多項(xiàng)式，其項(xiàng)數(shù)與多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同。

4、混合運(yùn)算中，注意運(yùn)算順序，結(jié)果有同類項(xiàng)時要合并同類項(xiàng)，從而得到最簡結(jié)果。

(三)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘

1、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式乘法法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個多項(xiàng)式的每一

項(xiàng)，再把所得的積相加。即：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nbo

2、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，必須做到不重不漏。相乘時，要按一定的順序進(jìn)行，即一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘

以另?個多項(xiàng)式的每?項(xiàng)。在未合并同類項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)等于兩個多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)的積。

3、多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包含它前面的符號，擬定積中每一項(xiàng)的符號時應(yīng)用“同號得正，異號得負(fù)”。

4、運(yùn)算結(jié)果中有同類項(xiàng)的要合并同類項(xiàng)。

5、對于具有同一個字母的一次項(xiàng)系數(shù)是1的兩個一次二項(xiàng)式相乘時，可以運(yùn)用下面的公式簡化運(yùn)算：

(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab?

十三、平方差公式

1、(a+b)(a-b)=a2-b2,即：兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于它們的平方之差。

2、平方差公式中的a、b可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式。

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3、平方差公式可以逆用，即：a-b=(a+b)(a-b)o

4、平方差公式還能簡化兩數(shù)之積的運(yùn)算，解這類題，一方面看兩個數(shù)能否轉(zhuǎn)化成

(a+b)?(a-b)的形式，然后看/與b?是否容易計(jì)算。

十四、完全平方公式

1、(a+b)2=6f2+2ab+b\{a-b)2=a2-lab+b2,BP：兩數(shù)和(或差)的平方，等于它們的平方和，

加上(或減去)它們的枳的2倍，

2、公式中的a,b可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式。

3、掌握理解完全平方公式的變形公式：

(I)a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab=^[(a+b)2+(a-b)2]

(2)(a+b)2=(a-b)1+4ah

(3)ab=-\[(a+b)2-(a-b)2]

4、完全平方式：我們把形如：/+2岫+吐/-2他+〃，的一次三項(xiàng)式稱作完全平力式。

5、當(dāng)計(jì)算較大數(shù)的平方時，運(yùn)比完全平方公式可以簡化數(shù)的運(yùn)算。

6、完全平方公式可以逆用，即：a2+2ah+b2=(a+b)\a2-2ab+b2=(a-b)2.

十五、整式的除法

(-)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則

1、單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則：?般地，單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)暴分別相除后，作為商的因式；對

于只在被除式里具有的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的一個囚式。

2、根據(jù)法則可知，單項(xiàng)式相除與單項(xiàng)式相乘計(jì)算方法類似，也是提成系數(shù)、相同字母與不相同字母三部

分分別進(jìn)行考慮。

(-)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則

1、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以單項(xiàng)式，再把所得

的商相加。用字母表達(dá)為：(〃+b+c)+帆=〃+加+6+相+。+〃7.

2、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，注意多項(xiàng)式各項(xiàng)都涉及前面的符號。

第二章平行線與相交線

余角

,

,余角補(bǔ)角

補(bǔ)角

《

(布4兩線相交對頂角

”同位角

平

行

線三線八角內(nèi)錯角

與

相同旁內(nèi)角

交

線

平行線的鑒定

平行線

平行線的性質(zhì)

尺規(guī)作圖

一、平行線與相交線

平行線：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。

若兩條直線只有一個公共點(diǎn)，我們稱這兩條直線為相交線。

二、余角與補(bǔ)角

1、假如兩個角的和是直角，那么稱這兩個角互為余角，簡稱為互余，稱其中一個角是另一個角的余角。

2、假如兩個角的和是平角，那么稱這兩個角互為補(bǔ)角，簡稱為互補(bǔ)，稱其中一個角是另一個角的補(bǔ)角。

3、互余和互補(bǔ)是指兩角和為直隹或兩角和為平角，它們只與角的度數(shù)有關(guān)，與角的位置無關(guān)。

4、余角和補(bǔ)角的性質(zhì)：同角或等角的余角相等，同角或等角的補(bǔ)角相等。

5、余角和補(bǔ)角的性質(zhì)用數(shù)學(xué)語言可表達(dá)為：

（I）Nl+N2=900（180°）,Nl+N3=90°（180°。則N2=N3（同角的余角（或補(bǔ)角）相等）。

（2）/1+/2=90°（180°）,/3+/4=90°（180°）,且/1=/4,則/2=/3（等角的余角（或補(bǔ)角）相

等

6、余角和補(bǔ)角的性質(zhì)是證明兩知相等的一個重要方法。

三、對頂角

1、兩條直線相交成四個角，其中不相鄰的兩個角是對頂角。

2、一個角的兩邊分別是另一個集的兩邊的反向延長線，這兩個角叫做對頂角。

3、對頂角的性質(zhì)：對頂角相等。

4、對頂角的性質(zhì)在此后的推理說明中應(yīng)用非常廣泛，它是證明兩個角相等的依據(jù)及重要橋梁。

5、對頂角是從位置上定義的，對頂角一定相等，但相等的角不一定是對頂角。

四、垂線及其性質(zhì)

1、垂線：兩條直線相交成直角時，叫做互相垂直，其中一條叫做另一條的垂線。

2、垂線的性質(zhì):

性質(zhì)1：過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。

性質(zhì)2：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。

五、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角

1、兩條直線被第三條直線所截，形成了8個角。

2、同位角：兩個角都在兩條直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，這樣的一對角叫做同位

角,

3、內(nèi)錯角：兩個角都在兩條直線之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，這樣的一對角叫做內(nèi)錯角。

4、同旁內(nèi)角：兩個角都在兩條直線之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，這樣的一對角叫同旁內(nèi)

角）

5、這三種角只與位置有關(guān)，與大小無關(guān)，通常情況下，它們之間不存在固定的大小關(guān)系。

六、六類角

1、補(bǔ)角、余角、對頂角、同位憑、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角六類角都是對兩角來說的。

2、余角、補(bǔ)角只有數(shù)量上的關(guān)系，與其位置無關(guān)。

3、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角只有位置卜的關(guān)系,與其數(shù)量無關(guān)0

4、對頂角既有數(shù)量關(guān)系，又有位置關(guān)系。

七、平行線的鑒定方法

1、同位角相等，兩直線平行。

2、內(nèi)錯角相等，兩直線平行。

3、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。

4、在同一平面內(nèi)，假如兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線平行。

5、在同一平面內(nèi)，假如兩條直線都垂直于第三條直線，那么這兩條直線平行。

八、平行線的性質(zhì)

1、兩直線平行，同位角相等。

2、兩直線平行，內(nèi)錯角相等。

3、兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

4、平行線的鑒定與性質(zhì)具有互逆的特性，其關(guān)系如下：

月付州相笫“口角相第

內(nèi)福用和R.兩向履平行.內(nèi)儲角相爭

同房內(nèi)用（補(bǔ)耳膏內(nèi)角4補(bǔ)

在應(yīng)用時要對的區(qū)分枳極向上的題設(shè)和結(jié)論。

九、尺規(guī)作線段和角

1、在幾何里，只用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖稱為尺規(guī)作圖。

2、尺規(guī)作圖是最基本、最常見的作圖方法，通常叫基本作圖。

3、尺規(guī)作圖中直尺的功能是：

（1）在兩點(diǎn)間連接一條線段；

（2）將線段向兩方延長。

4、尺規(guī)作圖中圓規(guī)的功能是：

（I）以任意一點(diǎn)為圓心，任意長為半徑作一個圓：

（2）以任意一點(diǎn)為圓心，任意長為半徑畫一段弧；

5、純熟掌握以下作圖語言：

（1）作射線XX；

（2）在射線卜截取XX二XX：

（3）在射線XX上依次截取Xx=xx=xX；

（4）以點(diǎn)X為圓心，XX為半徑畫弧，交XX于點(diǎn)X；

（5）分別以點(diǎn)X、點(diǎn)X為圓心，以XX、XX為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)X；

（6）過點(diǎn)X和點(diǎn)X畫直線XX（或畫射線XX）；

（7）在NXXX的外部（或內(nèi)部）畫NXXX二NXXX：

6、在作較復(fù)雜圖形時，涉及基本作圖的地方，不必反復(fù)作圖的具體過程，只用一句話概拈敘述就可以

了，

（1）畫線段xx=xX；

（2）畫NXXX=ZXXX；

第三章變量之間的關(guān)系

｛量的概念自變量

因變曷

變量之間的關(guān)系表格法

關(guān)系式法

變量的表作方法速度時間圖象

*

圖象法

路

程時間圖象

一、變量、自變量、因變量

1、在某一變化過程中，不斷變化的量叫做變量。

2、假如一個變量y隨另一個變量x的變化而變化，則把x叫做自變量，y叫做因變量。

3、自變量與因變量的擬定：

（1）自變量是先發(fā)生變化的量；因變量是后發(fā)生變化的量。

（2）自變量是積極發(fā)生變化的量，因變量是隨著自變量的變化而發(fā)生變化的量。

C3）運(yùn)川晶體情境來體會兩者的依存關(guān)系.

二、表格

1、表格是表達(dá)、反映數(shù)據(jù)的一種重要形式，從中獲取信息、研究不同量之間的關(guān)系。

（1）一方面要明確表格中所列的是哪兩個量；

（2）分清哪一個量為自變量，哪一個量為因變量；

（3）結(jié)合實(shí)際情境理解它們之間的關(guān)系。

2、繪制表格表達(dá)兩個變量之間關(guān)系

（I）列表時一方面要擬定各行、各列的欄目；

（2）一般有兩行，第一行表達(dá)自變量，第二行表達(dá)因變量；

（3）寫出欄目名稱，有時還根據(jù)問題內(nèi)容寫上單位；

（4）在第一行列出自變量的各個變化取值；第二行相應(yīng)列出因變量的各個變化取值。

（5）一般情況下，自變量的取值從左到右應(yīng)按由小到大的順序排列，這樣便于反映因變量與自變量之間

的關(guān)系。

三、關(guān)系式

1、用關(guān)系式表達(dá)因變量與自變量之間的關(guān)系時，通常是用品有自變量（用字母表達(dá)）的代數(shù)式表達(dá)因變

量（也用字母表達(dá)），這樣的數(shù)學(xué)式子（等式）叫做關(guān)系式。

2、關(guān)系式的寫法不同于方程，必須將因變量單獨(dú)寫在等號的左邊。

3、求兩個變顯之間關(guān)系式的途徑：

（I）將自變量和因變量看作兩個未知數(shù)，根據(jù)題意列出關(guān)于未知數(shù)的方程，并最終寫成關(guān)系式的形式。

（2）根據(jù)表格中所列的數(shù)據(jù)寫出變量之間的關(guān)系式；

（3）根據(jù)實(shí)際問題中的基本數(shù)量關(guān)系寫出變量之間的關(guān)系式；

（4）根據(jù)圖象寫出與之相應(yīng)的變量之間的關(guān)系式。

4、關(guān)系式的應(yīng)用：

（1）運(yùn)用關(guān)系式能根據(jù)任何?個自變量的值求出相應(yīng)的因變量的值；

（2）同樣也可以根據(jù)任何一個因變量的值求出相應(yīng)的自變量的值；

（3）根據(jù)關(guān)系式求值的實(shí)質(zhì)就是解一元一次方程（求自變量的值）或求代數(shù)式的值（求因變量的值）。

四、圖象

1、圖象是刻畫變量之間關(guān)系的又一重要方法,其特點(diǎn)是非常直觀、形象C

2、圖象能清楚地反映出因變晟隨自變最變化而變化的情況。

3、用圖象表達(dá)變量之間的關(guān)系時，通常用水平方向的數(shù)軸（又稱橫軸）上的點(diǎn)表達(dá)自變量，用豎直方向

的數(shù)軸（又稱縱軸）上的點(diǎn)表達(dá)因變量。

4、圖象上的點(diǎn)：

（I）對于某個具體圖象上的點(diǎn)，過該點(diǎn)作橫軸的垂線，垂足的數(shù)據(jù)即為該點(diǎn)自變量的取值：

（2）過該點(diǎn)作縱軸的垂線，垂足的數(shù)據(jù)即為該點(diǎn)相應(yīng)因變量的值。

（3）由自變量的值求相應(yīng)的因變量的值時，可在橫軸上找到表達(dá)自變量的值的點(diǎn)，過這個點(diǎn)作橫軸的垂

線與圖象交于某點(diǎn)，再過交點(diǎn)作縱軸的垂線，縱軸上垂足所表達(dá)的數(shù)據(jù)即為因變量的相應(yīng)值。

（4）把以上作垂線的過程過來可由因變量的值求得相應(yīng)的自變量的值。

5、圖象理解

（D理解圖象上某一個點(diǎn)的意義，一要看橫軸、縱軸分別表達(dá)哪個變量；

（2）看該點(diǎn)所相應(yīng)的橫軸、縱軸的位置（數(shù)據(jù)）：

（3）從圖象上還可以得到隨著自變量的變化，因變量的變化趨勢。

五、速度圖象

1、弄清哪一條軸（通常是縱軸）表達(dá)速度，哪一條軸（通常是橫軸）表達(dá)時間；

2、準(zhǔn)確讀懂不同走向的線所表達(dá)的意義：

（1）上升的線：從左向右呈上升狀的線，其代表速度增長；

（2）水平的線：與水平軸（橫軸）平行的線，其代表勻速行駛或靜止；

（3）下降的線：從左向右呈下降狀的線，其代表速度減小。

六、路程圖象

1、弄清哪一條軸（通常是縱軸）表達(dá)路程，哪一條軸（通常是橫軸）表達(dá)時間;

2、準(zhǔn)確讀懂不同走向的線所表達(dá)的意義：

（1）上升的線：從左向右呈上升狀的線，其代表勻速遠(yuǎn)離起點(diǎn)（或已知定點(diǎn)）；

（2）水平的線：與水平軸（橫軸）平行的線，其代表靜止；

（3）下降的線：從左向右呈下降狀的線，其代表反向運(yùn)動返回起點(diǎn)（或已知定點(diǎn)）。

七、三種變量之間關(guān)系的表達(dá)方法與特點(diǎn)：

表達(dá)方法特點(diǎn)

表格法多個變量可以同時出現(xiàn)在同一張表格中

關(guān)系式法準(zhǔn)確地反映了因變量與自變量的數(shù)值關(guān)系

圖象法直觀、形象地給出r因變量隨自變量的變化趨勢

第四章三角形

三角形三邊關(guān)系

,,三角形三角形內(nèi)角和定理

r角

Y

平分線I

三條重要線段中線

（高

線

全等圖形的概念

全等三角形的性質(zhì)

SSSY

三角形<

SAS

全等三角形全等三角形的鑒定ASA

AAS

HL（合用于RtA）

全等三角形的應(yīng)用運(yùn)用全等

三角形測距離

作三角形

一、三角形概念

1、不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形，稱為三角形，可以用符號表達(dá)。

2、頂點(diǎn)是A、B、C的三角形，記作“AABC”,讀作“三角形ABC”。

3、組成三角形的三條線段叫做三角形的邊，即邊AB、BC、AC,有時也用a,b,c來表達(dá)，頂點(diǎn)A所對的

i力BC用a表達(dá),i力AC、AB分別用b,c來表i大：

4、NA、ZB.NC為AABC的三個內(nèi)角。

二、三角形中三邊的關(guān)系

I、三邊關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。

用字母可表達(dá)為a+b>c,a+c>b,b+c>a；a-b<c,a-c<b,b-c<a,>

2、判斷三條線段a,b,c能否組成三角形：

(1)當(dāng)a+b〉c,a+c>b,b+c>a同時成立時,能組成三角形;

(2)當(dāng)兩條較短線段之和大于最長線段時，則可以組成三角形。

3、擬定第三邊(未知邊)的取值范圍時，它的取值范圍為大于兩邊的差而小于兩邊的和，即

|?-Z?|<c<a+h.

三、三角形中三角的關(guān)系

1、三角形內(nèi)角和定理：三角形的三個內(nèi)角的和等于180°。

2、三角形按內(nèi)角的大小可分為三類：

(I)銳角三角形，即三角形的三個內(nèi)角都是銳角的三角形；

(2)直角三角形，即有一個內(nèi)角是直角的三角形，我們通常用“RtA”表達(dá)“直角三角形”，其中直角

ZC所對的邊AB稱為直角三角表的斜邊，夾直角的兩邊稱為直角三角形的直角邊。

注：直角三角形的性質(zhì)：直角三角形的兩個銳角互余。

(3)鈍角三角形，即有一個內(nèi)知是鈍角的三角形。

3、鑒定一個三角形的形狀重要看三角形中最大角的度數(shù)。

4、直角三角形的面積等于兩直隹邊乘積的一半.

5、任意一個三角形都具有六個元素，即三條邊和三個內(nèi)角。都具有三邊關(guān)系和三內(nèi)角之和為180°的性

質(zhì),

6、二角形內(nèi)角和定理包含一個等式.它是我們列出有關(guān)角的方程的重要等量關(guān)系.

四、三角形的三條重要線段

1、三角形的三條重要線段是指三角形的角平分線、中線和高線。

2、三角形的角平分線：

(1)三角形的一個內(nèi)角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角

平分線。

(2)任意三角形都有三條角平分線，并且它們相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)。

3、三角形的中線：

(1)在三角形中，連接一個頂點(diǎn)與它對邊中點(diǎn)的線段，叫做這個三角形的中線。

(2)三角形有三條中線，它們相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)。

4、三角形的高線：

(1)從三角形的一個頂點(diǎn)向它的對邊所在的直線做垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡

稱為三角形的高。

(2)任意三角形都有三條高線，它們所在的直線相交于一點(diǎn)。

區(qū)另U相同

中線平分對邊三條中線交于三角形內(nèi)部

角平分線平分內(nèi)角三條角平分線交于三角表內(nèi)部(1)都是線段

垂直于對銳角三角形：三條高線都在三角形內(nèi)部(2)都從頂點(diǎn)畫出

高線邊(或其直角三角形：其中兩條恰好是直角邊(3)所在直線相交于一點(diǎn)

延長線)鈍角三角形：其中兩條在三角表外部

五、全等圖形

1、兩個可以重合的圖形稱為全等圖形。

2、全等圖形的性質(zhì)：全等圖形的形狀和大小都相同。

3、全等圖形的面積或周長均相等。

4、判斷兩個圖形是否全等時，形狀相同與大小相等兩者缺一不可。

5、全等圖形在平移、旋轉(zhuǎn)、折疊過程中仍然全等。

6、全等圖形中的相應(yīng)角和相應(yīng)線段都分別相等。

六、全等分割

1、把一個圖形分割成兩個或幾個全等圖形叫做把一個圖形全等分割。

2、對一個圖形全等分割：

(1)一方面要觀測分析該圖形,發(fā)現(xiàn)圖形的構(gòu)成特點(diǎn)：

(2)另一方面要大膽嘗試，敢于動手，必要時可采用計(jì)算、交流、討論等方法完畢。

七、全等三角形

1、可以重合的兩個三角形是全等三角形，用符號“g”連接，讀作“全等于”。

2、用“g”連接的兩個全等三角形，表達(dá)相應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在相應(yīng)的位置上。

3、全等三角形的性質(zhì)：全等三先形的相應(yīng)邊、相應(yīng)角相等。這是此后證明邊、角相等的重要依據(jù)。

4、兩個全等三角形，準(zhǔn)確鑒定相應(yīng)邊、相應(yīng)角，即找準(zhǔn)相應(yīng)頂點(diǎn)是關(guān)鍵。

八、全等三角形的鑒定

1、三邊相應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫為“邊邊邊”或“SSS”.

2、兩角和它們的夾邊相應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫為“角邊角”或“ASA”。

3、兩角和其中一角的對邊相應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫為“角角邊”或“AAS”。

4、兩邊和它們的夾角相應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫為“邊角邊”或“SAS”。

5、注意以下內(nèi)容

(1)三角形全等的鑒定條件中必須是三個元素?，并且一定有一組邊相應(yīng)相等。

(2)三邊相應(yīng)相等，兩邊及夾角相應(yīng)相等，一邊及任意兩角相應(yīng)相等，這樣的兩個三角形全等。

(3)兩邊及其中一邊的對角相應(yīng)相等不能鑒定兩三角形全等。

6、純熟運(yùn)用以下內(nèi)容

(1)純熟運(yùn)用三角形鑒定條件，是解決此類題的關(guān)鍵。

(2)已知“SS”，可考慮A：第三邊,即“SSS”；B：夾角,即“SAS”。

(3)已知“SA”，可考慮A：另一角，即“AAS”或“ASA”；B：夾角的另一邊,即“SAS”」

(4)已知“AA”，可考慮A：任意一邊,即“AAS”或“ASA”0

7、三角形的穩(wěn)定性：根據(jù)三角形全等的鑒定方法(SSS)可知，只要三角形三邊的長度擬定「，這個三

角形的形狀和大小就完全擬定了，三角形的這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。

九、作三角形

1、作圖題的一般環(huán)節(jié)：（1）已知，即將條件具體化；（2）求作，即具體敘述所作圖形應(yīng)滿足的條件；

（3）分析，即尋找作圖方法的途徑（通常是畫出草圖）；（4）作法，即根據(jù)分析所得的作圖方法，作

出正式圖形，并依次敘述作圖過程；（5）證明，即驗(yàn)證所作圖形的對的性（通常省略不寫）。

2、純熟以下二種二角形的作法及依據(jù).

（1）己知三角形的兩邊及其夾角，作三角形。

（2）已知三角形的兩角及其夾邊，作三角形。

（3）已知三角形的三邊，作三隹形。

十、運(yùn)用三角形全等測距離

1、運(yùn)用三角形全等測距離，事實(shí)上是運(yùn)用已有的全等三角形，或構(gòu)造出全等三角形，運(yùn)用全等三角形的

性質(zhì)（相應(yīng)邊相等），把較難測錄或無法測顯的距離轉(zhuǎn)化成已知線段或較容易測顯的線段的長度，從而

得到被測距離。

2、運(yùn)用全等三角形解決實(shí)際問題的環(huán)節(jié)：

（I）先明的確際問題應(yīng)當(dāng)用哪些幾何知道解決；（2）根據(jù)實(shí)際問題抽象出幾何圖形；

（3）結(jié)合圖形和題意分析己知條件；（4）找到解決問題的途徑。

十一、直角三角形全等的條件

1、在直角三角形中，斜邊和一條直角邊相應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，簡寫成“斜邊、直角邊”或

“HL”。

2、“HL”是直角三角形特有的鑒定條件，對非直角三角形是不成立的：

3、書寫時要規(guī)范，即在三角形前面必須加上“Rt”字樣。

十二、分析-綜合法我們在平時解幾何題時，采用的解題方法通常有兩種，綜合法與分析法。

1、綜合法：從問題的條件出發(fā)，通過度析條件，依據(jù)所學(xué)知識，逐步探索，直到得出問題的結(jié)論。

2、分析法：從問題的結(jié)論出發(fā)，不斷尋找使結(jié)論成立的條件，直至已知條件。

3、在具體解題中，通常是兩種方法結(jié)合起來使用，既運(yùn)用綜合法，又運(yùn)用分析法。

第五章生活中的軸對稱

「軸對稱圖形

軸對稱分類

軸對稱

「角平分線

<［軸對稱實(shí)例線段的垂直平分線

等腰三角形

等邊三角形

生活中的軸對稱

"軸對稱的性質(zhì)

Y

4由對稱的性質(zhì)

鏡面對稱的性質(zhì)

”圖案設(shè)計(jì)

411對稱的應(yīng)用

鑲邊與剪紙

一、軸對稱圖形

1、假如一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分可以完全重合，那么這個圖形叫做軸而稱圖形，這

條直線叫做對稱軸。

2、理解軸對稱圖形要抓住以下幾點(diǎn)：

（I）指一個圖形；

（2）存在一條直線（對稱軸）；

（3）圖形被直線提成的兩部分互相重合；

（4）軸對稱圖形的對稱軸有的只有一條，有的則存在多條；

（5）線段、角、長方形、正方形、菱形、等腰三角形、圓都是軸對稱圖形；

二、軸對稱

1、對于兩個圖形，假如沿一條直線對折后，它們能互相重合，那么稱這兩個圖形成軸對稱，這條直線就

是對?稱軸?？梢哉f成：這兩個圖形關(guān)于某條直線對稱。

2、理解軸對稱應(yīng)注意:

（I）有兩個圖形；

（2）沿某一條直線對折后可以完全重合；

（3）軸對稱的兩個圖形一定是全等形，但兩個全等的圖形不一定是軸對稱圖形;

（4）對稱軸是直線而不是線段；

軸對稱圖形軸對稱

區(qū)別是一個圖形自身的對稱特性是兩個圖形之間的對稱關(guān)系

對稱軸也許不止一條對稱軸只有一條

共司點(diǎn)沿某條直線對折后都可以互相重合

假如軸對稱的兩個圖形看作一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形；

假如把軸對稱圖形提成兩部分（兩個圖形），那么這兩部分關(guān)于這條對稱釉成軸對稱。

三、角平分線的性質(zhì)

1、角平分線所在的直線是該角的對稱軸。

2、性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等。

西、線段的垂直平分線

1、垂直于一條線段并且平分這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線，又叫線段的中垂線。

2、性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端點(diǎn)的距離相等。

五、等腰三角形

1、有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形；

2、相等的兩條邊叫做腰；另一邊叫做底邊；

3、兩腰的夾角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角；

4、三條邊都相等的三角形也是等腰三角形。

5、等腰三角形是軸對稱圖形，有一條對稱軸（等邊三角形除外），其底邊上的高或頂角的平分線，或底

邊上的中線所在的直線都是它的對稱軸。

6、等腰三角形的三條重要線段不是它的對稱軸，它們所在的直線才是等腰三角形的對稱軸。

7、等腰三角形底邊上的高，底邊上的中線，頂角的平分線互相重合，簡稱為“三線合一”。

8、“三線合一”是等腰三角形所特有的性質(zhì)，一般三角形不具有這一重要性質(zhì)。

9、“三線合一”是等腰三角形特有的性質(zhì)，是指其頂角平分線，底邊上的高和中線，這三線，并非其

他,

10、等腰三角形的兩個底角相等，簡寫成“等邊對等角”。

11、鑒定一個三角形是等腰三角形常用的兩種方法:

<1）兩條邊相等的三角形是等腰三角形；

（2）假如一個三角形有兩個角相等，那么它們所對的邊也相等相等，簡寫為“等角對等邊”。

六、等邊三角形

1、等邊三角形是指三邊都相等的三角形，又稱正三角形，是最特殊的三角形。

2、等邊三角形是底與腰相等的等腰三角形，所以等邊三角形具有等腰三角形的所有性質(zhì)。

3、等邊二角形有二條對稱軸.二角形的高、角平分線和中線所在的直線都是它的對稱軸「

4、等邊三角形的三邊都相等，三個內(nèi)角都是60°。

圖.形定義性質(zhì)

1、兩腰相等，兩底角相等。

有兩邊2、頂角=180°-2X底角。底角=（180°-頂角）/2。

等腰三

相等的3、頂角的平分線、底邊上的中線和高“三線合

角形

三角形-k，，

Z4、軸對稱圖形，有一條對稱軸。

等邊三

1、三邊都相等，三內(nèi)角相等，且每個內(nèi)角都等于

角形三邊都

60"。

（又叫相等的

2、具有等腰三角形的所有性質(zhì)。

正三角三角形

3、軸對稱圖形，有三條對稱軸。

形）?△??

七、軸對稱的性質(zhì)

1、兩個圖形沿一條直線對折后，可以重合的點(diǎn)稱為相應(yīng)點(diǎn)（本稱點(diǎn)），可以重合的線段稱為相應(yīng)線段，

可以重合的角稱為相應(yīng)角。

2、關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等圖形。

3、假如兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么相應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對稱軸垂直平分。

4、假如兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么相應(yīng)線段、相應(yīng)角都相等。

5、類似地，軸對稱圖形的性質(zhì)有：

（I）軸對稱圖形相應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對稱軸垂直平分。

（2）軸對稱圖形的相應(yīng)線段、相應(yīng)角相等。

（3）根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)可求作軸對稱圖形的相應(yīng)點(diǎn)、相應(yīng)線段或相應(yīng)角，并由此能補(bǔ)全軸對稱圖

形,

八、圖案設(shè)計(jì)

1、作出簡樸平面圖形通過軸對稱后的圖形，事實(shí)上是軸對稱圖形的性質(zhì)的靈活運(yùn)用。

2、作出簡樸平面圖形通過軸對稱后的圖形的環(huán)節(jié)：

（1）一方面要擬定一個簡樸平面圖形上的幾個特殊點(diǎn)；

（2）然后運(yùn)用軸對稱的性質(zhì)，作出其相應(yīng)的對稱點(diǎn)（相應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對■稱軸垂直平分）。

（3）分別連接其對稱點(diǎn),則可得其對稱圖形.

3、表達(dá)方式（以點(diǎn)M為例）：

（I）過點(diǎn)M作對稱軸/的垂線，垂足為A；

（2）延長MA到M'到,使M'A=MA,則點(diǎn)M就是點(diǎn)M關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)。

（3）在復(fù)雜的作圖中，也可以敘述為：作出點(diǎn)M關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)

4、在運(yùn)用軸對稱設(shè)計(jì)圖案時，就注意以下幾點(diǎn)：

（1）要有明確的設(shè)計(jì)意圖；

（2）創(chuàng)意要新奇獨(dú)特；

（3）設(shè)計(jì)出的圖案要符合規(guī)定；

（4）能清楚地表達(dá)自己的設(shè)計(jì)意圖和制作過程。

5、圖案的設(shè)計(jì)除采用對稱的手段外，通常還綜合采用旋轉(zhuǎn)、倒置、反復(fù)等手段和形式。

6、設(shè)計(jì)的圖案要美觀、大方，積極向上，反映時代特色。

九、鏡面對稱

1、鏡面對稱的有關(guān)性質(zhì)：

（1）任何一個平面圖形（物體）在鏡子中的像與它是可以重合的。因此，一個軸對稱圖形在鏡子中的像

仍是軸對稱圖形。

（2）若一個平面圖形正對鏡面，則其左（右）側(cè)在鏡中的像是其右（左）側(cè)：

（3）若一個平面圖形（物體）垂直于鏡面擺放，則靠近鏡面的部分，其像也靠近鏡面；

2、關(guān)于數(shù)字0、1、3、8在鏡面中像的兩個結(jié)論：

（1）假如寫數(shù)字的紙條垂直于鏡面擺放，則紙條上寫的0、1、3、8所成的像與本來的數(shù)字完全同樣。

（2）假如紙條正對鏡面擺放，則紙條上寫的0、1、8這三個數(shù)字在鏡中的像和本來的數(shù)字完全同樣。

3、像與物體到鏡面的距離相等。

4、像與物體的相應(yīng)點(diǎn)連線被鏡面垂直平分。

5、由鏡中的時間來判斷真實(shí)時間是近幾年來中考的一個熱點(diǎn)。時間的表達(dá)有用一般數(shù)字表達(dá)的，也有直

接用鐘表來表達(dá)的。在判斷時，大家要注意靈活運(yùn)用鏡面對稱的知識來加以解決。

第六章概率

必然事件