2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第10章概率第1節(jié)隨機(jī)事件的概率教學(xué)案文含解析北師大版

PAGE1-第一節(jié)隨機(jī)事務(wù)的概率[考綱傳真]1.了解隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義及頻率與概率的區(qū)分.2.了解兩個(gè)互斥事務(wù)的概率加法公式．1．概率(1)定義：在相同的條件下，大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事務(wù)A發(fā)生的頻率會(huì)在某個(gè)常數(shù)旁邊搖擺，即隨機(jī)事務(wù)A發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性．這時(shí)這個(gè)常數(shù)叫作隨機(jī)事務(wù)A的概率，記作P(A)，有0≤P(A)≤1.(2)頻率反映了一個(gè)隨機(jī)事務(wù)出現(xiàn)的頻繁程度，但頻率是隨機(jī)的，而概率是一個(gè)確定的值，因此，人們用概率來(lái)反映隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的可能性的大小，有時(shí)也用頻率作為隨機(jī)事務(wù)概率的估計(jì)值．2．互斥事務(wù)與對(duì)立事務(wù)(1)互斥事務(wù)：在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，我們把一次試驗(yàn)下不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事務(wù)A與B稱(chēng)作互斥事務(wù)．(2)對(duì)立事務(wù)：在每一次試驗(yàn)中，兩個(gè)事務(wù)不會(huì)同時(shí)發(fā)生，并且肯定有一個(gè)發(fā)生的事務(wù)A和eq\x\to(A)稱(chēng)為對(duì)立事務(wù)．3．概率的幾個(gè)基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.(2)必定事務(wù)的概率：P(A)＝1.(3)不行能事務(wù)的概率：P(A)＝0.(4)互斥事務(wù)的概率加法公式：①P(A＋B)＝P(A)＋P(B)(A，B互斥)．②P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)(A1，A2，…，An彼此互斥)．(5)對(duì)立事務(wù)的概率：P(eq\x\to(A))＝1－P(A)．[基礎(chǔ)自測(cè)]1．(思索辨析)推斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)事務(wù)發(fā)生的頻率與概率是相同的． ()(2)在大量的重復(fù)試驗(yàn)中，概率是頻率的穩(wěn)定值． ()(3)對(duì)立事務(wù)肯定是互斥事務(wù)，互斥事務(wù)不肯定是對(duì)立事務(wù)． ()(4)6張獎(jiǎng)券中只有一張有獎(jiǎng)，甲、乙先后各抽取一張，則甲中獎(jiǎng)的概率小于乙中獎(jiǎng)的概率． ()[答案](1)×(2)√(3)√(4)×2．(教材改編)一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事務(wù)“至少有一次中靶”的對(duì)立事務(wù)是()A．至多有一次中靶 B．兩次都中靶C．只有一次中靶 D．兩次都不中靶D[“至少有一次中靶”的對(duì)立事務(wù)是“兩次都不中靶”．]3．將一枚硬幣向上拋擲10次，其中“正面對(duì)上恰有5次”是()A．必定事務(wù) B．隨機(jī)事務(wù)C．不行能事務(wù) D．無(wú)法確定B[拋擲10次硬幣正面對(duì)上的次數(shù)可能為0,1,2，…，10，都有可能發(fā)生，正面對(duì)上5次是隨機(jī)事務(wù)．]4．(教材改編)有一個(gè)容量為66的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：[11.5,15.5)，2；[15.5,19.5)，4；[19.5，23.5)，9；[23.5,27.5)，18；[27.5,31.5)，11；[31.5，35.5)，12；[35.5,39.5)，7；[39.5,43.5]，3.依據(jù)樣本的頻率分布估計(jì)，數(shù)據(jù)落在[27.5,43.5]內(nèi)的概率約是________．eq\f(1,2)[由條件可知，落在[27.5,43.5]內(nèi)的數(shù)據(jù)有11＋12＋7＋3＝33(個(gè))，故所求概率約是eq\f(33,66)＝eq\f(1,2).]5．(2024·濟(jì)南模擬)從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件，設(shè)事務(wù)A＝{抽到一等品}，事務(wù)B＝{抽到二等品}，事務(wù)C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，則事務(wù)“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為_(kāi)_______．0.35[∵事務(wù)A＝{抽到一等品}，且P(A)＝0.65，∴事務(wù)“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.]隨機(jī)事務(wù)之間的關(guān)系1．在5張電話卡中，有3張移動(dòng)卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，若事務(wù)“2張全是移動(dòng)卡”的概率是eq\f(3,10)，那么概率是eq\f(7,10)的事務(wù)是()A．至多有一張移動(dòng)卡 B．恰有一張移動(dòng)卡C．都不是移動(dòng)卡 D．至少有一張移動(dòng)卡A[至多有一張移動(dòng)卡包含“一張移動(dòng)卡，一張聯(lián)通卡”，“2張全是聯(lián)通卡”兩個(gè)事務(wù)，它是“2張全是移動(dòng)卡”的對(duì)立事務(wù)．]2．對(duì)飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次放射一枚炮彈，設(shè)A＝{兩次都擊中飛機(jī)}，B＝{兩次都沒(méi)擊中飛機(jī)}，C＝{恰有一次擊中飛機(jī)}，D＝{至少有一次擊中飛機(jī)}，其中彼此互斥的事務(wù)是________，互為對(duì)立事務(wù)的是________．A與B，A與C，B與C，B與DB與D[設(shè)I為對(duì)飛機(jī)連續(xù)射擊兩次所發(fā)生的全部狀況，因?yàn)锳∩B＝?，B∩C＝?，A∩C＝?，B∩D＝?，故A與B，B與C，A與C，B與D為互斥事務(wù)．而B(niǎo)∩D＝?，B∪D＝I，故B與D互為對(duì)立事務(wù)．][規(guī)律方法]推斷互斥、對(duì)立事務(wù)的兩種方法(1)定義法：推斷互斥事務(wù)、對(duì)立事務(wù)一般用定義推斷，不行能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事務(wù)為互斥事務(wù)；兩個(gè)事務(wù)，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩事務(wù)為對(duì)立事務(wù)，對(duì)立事務(wù)肯定是互斥事務(wù)．對(duì)立事務(wù)是互斥事務(wù)的充分不必要條件．(2)集合法：①由各個(gè)事務(wù)所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，則事務(wù)互斥．②事務(wù)A的對(duì)立事務(wù)eq\x\to(A)所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事務(wù)A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集．隨機(jī)事務(wù)的概率與頻率【例1】(2024·全國(guó)卷Ⅱ)某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位：元)，接著購(gòu)買(mǎi)該險(xiǎn)種的投保人稱(chēng)為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險(xiǎn)次數(shù)01234≥5保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)狀況，得到如下統(tǒng)計(jì)表：出險(xiǎn)次數(shù)01234≥5頻數(shù)605030302010(1)記A為事務(wù)：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”，求P(A)的估計(jì)值；(2)記B為事務(wù)：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%”，求P(B)的估計(jì)值；(3)求續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值．[解](1)事務(wù)A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2的頻率為eq\f(60＋50,200)＝0.55，故P(A)的估計(jì)值為0.55.(2)事務(wù)B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1且小于4.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1且小于4的頻率為eq\f(30＋30,200)＝0.3，故P(B)的估計(jì)值為0.3.(3)由所給數(shù)據(jù)得保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a頻率0.300.250.150.150.100.05調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費(fèi)為0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.1925a.因此，續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值為1.1925a.[規(guī)律方法]1.概率與頻率的關(guān)系頻率反映了一個(gè)隨機(jī)事務(wù)出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機(jī)的，而概率是一個(gè)確定的值，通常用概率來(lái)反映隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的可能性的大小，有時(shí)也用頻率來(lái)作為隨機(jī)事務(wù)概率的估計(jì)值．2．隨機(jī)事務(wù)概率的求法利用概率的統(tǒng)計(jì)定義求事務(wù)的概率，即通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)，事務(wù)發(fā)生的頻率會(huì)漸漸趨近于某一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是概率．某保險(xiǎn)公司利用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣的方法，對(duì)投保的車(chē)輛進(jìn)行抽樣，樣本車(chē)輛中每輛車(chē)的賠付結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：賠付金額(元)01000200030004000車(chē)輛數(shù)(輛)500130100150120(1)若每輛車(chē)的投保金額均為2800元，估計(jì)賠付金額大于投保金額的概率；(2)在樣本車(chē)輛中，車(chē)主是新司機(jī)的占10%，在賠付金額為4000元的樣本車(chē)輛中，車(chē)主是新司機(jī)的占20%，估計(jì)在已投保車(chē)輛中，新司機(jī)獲賠金額為4000元的概率．[解](1)設(shè)A表示事務(wù)“賠付金額為3000元”，B表示事務(wù)“賠付金額為4000元”，以頻率估計(jì)概率得P(A)＝eq\f(150,1000)＝0.15，P(B)＝eq\f(120,1000)＝0.12.由于投保額為2800元，賠付金額大于投保金額的情形是賠付3000和4000元，所以其概率為P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)設(shè)C表示事務(wù)“投保車(chē)輛中新司機(jī)獲賠4000元”，由已知，樣本車(chē)輛中車(chē)主是新司機(jī)的有0.1×1000＝100(位)，而賠付金額為4000元的車(chē)輛中車(chē)主為新司機(jī)的有0.2×120＝24(位)，所以樣本車(chē)輛中新司機(jī)車(chē)主獲賠金額為4000元的頻率為eq\f(24,100)＝0.24，由頻率估計(jì)概率是P(C)＝0.24.互斥事務(wù)與對(duì)立事務(wù)概率公式的應(yīng)用【例2】某商場(chǎng)有獎(jiǎng)銷(xiāo)售中，購(gòu)滿100元商品得1張獎(jiǎng)券，多購(gòu)多得.1000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開(kāi)獎(jiǎng)單位，設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè)．設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事務(wù)分別為A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率；(3)1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率．[解](1)P(A)＝eq\f(1,1000)，P(B)＝eq\f(10,1000)＝eq\f(1,100)，P(C)＝eq\f(50,1000)＝eq\f(1,20).故事務(wù)A，B，C的概率分別為eq\f(1,1000)，eq\f(1,100)，eq\f(1,20).(2)1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)包含中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)．設(shè)“1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)”這個(gè)事務(wù)為M，則M＝A∪B∪C．∵A，B，C兩兩互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1＋10＋50,1000)＝eq\f(61,1000)，故1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率約為eq\f(61,1000).(3)設(shè)“1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)”為事務(wù)N，則事務(wù)N與“1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)或中一等獎(jiǎng)”為對(duì)立事務(wù)，∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1000)＋\f(1,100)))＝eq\f(989,1000)，故1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率為eq\f(989,1000).[規(guī)律方法]困難事務(wù)的概率的兩種求法(1)干脆求法，將所求事務(wù)分解為一些彼此互斥的事務(wù)，運(yùn)用互斥事務(wù)的概率求和公式計(jì)算．(2)間接求法，先求此事務(wù)的對(duì)立事務(wù)的概率，再用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))求解(正難則反)，特殊是“至多”“至少”型題目，用間接求法就比較簡(jiǎn)便．某學(xué)校在老師外出家訪了解學(xué)生家長(zhǎng)對(duì)孩子的學(xué)習(xí)關(guān)切狀況活動(dòng)中，一個(gè)月內(nèi)派出的老師人數(shù)及其概率如下表所示：派出人數(shù)≤2345≥6概率0.10.460.3