清華大學數(shù)學模型-姜啟源-概率模型VIP

第九章概率模型9.1傳送系統(tǒng)效率9.2報童訣竅9.3隨機存貯策略9.4軋鋼中浪費9.5隨機人口模型第1頁確定性原因和隨機性原因隨機原因能夠忽略隨機原因影響能夠簡單地以平均值作用出現(xiàn)隨機原因影響必須考慮概率模型統(tǒng)計回歸模型馬氏鏈模型隨機模型確定性模型隨機性模型第2頁傳送帶掛鉤產(chǎn)品工作臺工人將生產(chǎn)出產(chǎn)品掛在經(jīng)過他上方空鉤上運走，若工作臺數(shù)固定，掛鉤數(shù)量越多，傳送帶運走產(chǎn)品越多。背景在生產(chǎn)進入穩(wěn)態(tài)后，給出衡量傳送帶效率指標，研究提升傳送帶效率路徑9.1傳送系統(tǒng)效率第3頁問題分析進入穩(wěn)態(tài)后為確保生產(chǎn)系統(tǒng)周期性運轉(zhuǎn)，應(yīng)假定工人們生產(chǎn)周期相同，即每人作完一件產(chǎn)品后，要么恰有空鉤經(jīng)過他工作臺，使他可將產(chǎn)品掛上運走，要么沒有空鉤經(jīng)過，迫使他放下這件產(chǎn)品并馬上投入下件產(chǎn)品生產(chǎn)。

能夠用一個周期內(nèi)傳送帶運走產(chǎn)品數(shù)占產(chǎn)品總數(shù)百分比，作為衡量傳送帶效率數(shù)量指標。工人們生產(chǎn)周期即使相同，但穩(wěn)態(tài)下每人生產(chǎn)完一件產(chǎn)品時刻不會一致，能夠認為是隨機，而且在一個周期內(nèi)任一時刻可能性相同。第4頁模型假設(shè)1）n個工作臺均勻排列，n個工人生產(chǎn)相互獨立，生產(chǎn)周期是常數(shù)；2）生產(chǎn)進入穩(wěn)態(tài)，每人生產(chǎn)完一件產(chǎn)品時刻在一個周期內(nèi)是等可能；3）一周期內(nèi)m個均勻排列掛鉤經(jīng)過每一工作臺上方，抵達第一個工作臺掛鉤都是空；4）每人在生產(chǎn)完一件產(chǎn)品時都能且只能觸到一只掛鉤，若這只掛鉤是空，則可將產(chǎn)品掛上運走；若該鉤非空，則這件產(chǎn)品被放下，退出運輸系統(tǒng)。第5頁模型建立定義傳送帶效率為一周期內(nèi)運走產(chǎn)品數(shù)（記作s,待定）與生產(chǎn)總數(shù)n（已知）之比，記作D=s/n若求出一周期內(nèi)每只掛鉤非空概率p，則s=mp為確定s，從工人考慮還是從掛鉤考慮，哪個方便？設(shè)每只掛鉤為空概率為q，則p=1-q怎樣求概率設(shè)每只掛鉤不被一工人觸到概率為r，則q=rn設(shè)每只掛鉤被一工人觸到概率為u，則r=1-uu=1/mp=1-(1-1/m)nD=m[1-(1-1/m)n]/n一周期內(nèi)有m個掛鉤經(jīng)過每一工作臺上方第6頁模型解釋若(一周期運行)掛鉤數(shù)m遠大于工作臺數(shù)n,則傳送帶效率(一周期內(nèi)運走產(chǎn)品數(shù)與生產(chǎn)總數(shù)之比）定義E=1-D(一周期內(nèi)未運走產(chǎn)品數(shù)與生產(chǎn)總數(shù)之比）提升效率路徑：增加m習題1當n遠大于1時,E

n/2m~E與n成正比，與m成反比若n=10,m=40,D

87.5%(89.4%)第7頁9.2報童訣竅問題報童售報：a(零售價)

>b(購進價)

>c(退回價)售出一份賺a-b；退回一份賠b-c天天購進多少份可使收入最大？分析購進太多賣不完退回賠錢購進太少不夠銷售盈利少應(yīng)依據(jù)需求確定購進量天天需求量是隨機優(yōu)化問題目標函數(shù)應(yīng)是長久日平均收入天天收入是隨機存在一個適當購進量等于天天收入期望第8頁建模設(shè)天天購進n份，日平均收入為G(n)調(diào)查需求量隨機規(guī)律——天天需求量為r概率f(r),r=0,1,2…準備求n使G(n)最大已知售出一份賺a-b；退回一份賠b-c第9頁求解將r視為連續(xù)變量第10頁結(jié)果解釋nP1P2取n使

a-b~售出一份賺錢b-c~退回一份賠錢0rp第11頁9.3隨機存貯策略問題以周為時間單位；一周商品銷售量為隨機；周末依據(jù)庫存決定是否訂貨，供下周銷售。（s,S)存貯策略制訂下界s,上界S，當周末庫存小于s時訂貨，使下周初庫存到達S;不然，不訂貨?？紤]訂貨費、存貯費、缺貨費、購進費，制訂（s,S)存貯策略,使(平均意義下)總費用最小第12頁模型假設(shè)每次訂貨費c0,每件商品購進價c1,每件商品一周貯存費c2,每件商品缺貨損失費c3(c1<c3)每七天銷售量r隨機、連續(xù)，概率密度p(r)周末庫存量x,訂貨量u,周初庫存量x+u每七天貯存量按x+u-r計第13頁建模與求解（s,S)存貯策略確定(s,S),使目標函數(shù)——每七天總費用平均值最小平均費用訂貨費c0,購進價c1,貯存費c2,缺貨費c3,銷售量rs~訂貨點，S~訂貨值第14頁建模與求解1）設(shè)x<s,求u使J(u)最小，確定S建模與求解SP1P20rp第15頁2）對庫存x，確定訂貨點s若訂貨u,u+x=S,總費用為

若不訂貨,u=0,總費用為

訂貨點s是最小正根建模與求解不訂貨第16頁最小正根圖解法J(u)在u+x=S處到達最小xI(x)

0SI(S)sI(S)+c0I(x)在x=S處到達最小值I(S)I(x)圖形建模與求解J(u)與I(x)相同I(S)最小正根s第17頁9.4軋鋼中浪費軋制鋼材兩道工序粗軋(熱軋)~形成鋼材雛形精軋(冷軋)~得到鋼材要求長度粗軋鋼材長度正態(tài)分布均值能夠調(diào)整方差由設(shè)備精度確定粗軋鋼材長度大于要求切掉多出部分粗軋鋼材長度小于要求整根報廢隨機原因影響精軋問題：怎樣調(diào)整粗軋均值，使精軋浪費最小背景第18頁分析設(shè)已知精軋后鋼材要求長度為l，粗軋后鋼材長度均方差為

記粗軋時能夠調(diào)整均值為m，則粗軋得到鋼材長度為正態(tài)隨機變量，記作x~N(m,

2)切掉多出部分概率整根報廢概率存在最正確m使總浪費最小lP0p(概率密度)mxP′mPP′第19頁建模選擇適當目標函數(shù)切掉多出部分浪費整根報廢浪費總浪費=+粗軋一根鋼材平均浪費長度粗軋N根成品材PN根成品材長度lPN總長度mN共浪費長度mN-lPN第20頁選擇適當目標函數(shù)粗軋一根鋼材平均浪費長度得到一根成品材平均浪費長度更適當目標函數(shù)優(yōu)化模型：求m使J(m)最?。ㄒ阎猯,

）建模粗軋N根得成品材PN根第21頁求解求z使J(z)最?。ㄒ阎?/p>

）第22頁求解第23頁例設(shè)l=2(米),

=20(厘米)，求m使浪費最小。=l/=10z*=-1.78

*=-z*=11.78m*=

*

=2.36(米)求解1.2530.8760.6560.5160.4200.3550227.0-3.00.556.79-2.51.018.10-2.01.57.206-1.52.02.53.4771.680-1.0-0.5zzF(z)F(z)1.02.00-1.0-2.0105F(z)z第24頁9.5隨機人口模型背景一個人出生和死亡是隨機事件一個國家或地域平均生育率平均死亡率確定性模型一個家族或村落出生概率死亡概率隨機性模型對象X(t)~時刻t人口,隨機變量.Pn(t)~概率P(X(t)=n),n=0,1,2,…研究Pn(t)改變規(guī)律；得到X(t)期望和方差第25頁若X(t)=n,對t到t+t出生和死亡概率作以下假設(shè)1)出生一人概率與t成正比，記bnt;出生二人及二人以上概率為o(t).2)死亡一人概率與t成正比，記dnt;死亡二人及二人以上概率為o(t).3)出生和死亡是相互獨立隨機事件。

bn與n成正比，記bn=n,

~出生概率；dn與n成正比，記dn=n，

~死亡概率。深入假設(shè)模型假設(shè)第26頁建模為得到Pn(t)P(X(t)=n),改變規(guī)律，考查Pn(t+t)=P(X(t+t)=n).事件X(t+t)=n分解X(t)=n-1,t內(nèi)出生一人X(t)=n+1,t內(nèi)死亡一人X(t)=n,t內(nèi)沒有出生和死亡其它(出生或死亡二人，出生且死亡一人，……)概率Pn(t+t)Pn-1(t),bn-1t

Pn+1(t),dn+1t

Pn(t),1-bnt-dnt

o(t)第27頁~一組遞推微分方程——求解困難和無須要(t=0時已知人口為n0)轉(zhuǎn)而考查X(t)期望和方差bn=n，dn=n微分方程建模第28頁