以函數(shù)為翼展抽象之翅：高一數(shù)學(xué)抽象能力培養(yǎng)探究

以函數(shù)為翼，展抽象之翅：高一數(shù)學(xué)抽象能力培養(yǎng)探究一、引言1.1研究背景數(shù)學(xué)，作為一門高度抽象的學(xué)科，其抽象性貫穿于整個知識體系。數(shù)學(xué)抽象能力是學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系、解決數(shù)學(xué)問題的核心能力之一，在數(shù)學(xué)學(xué)科中占據(jù)著舉足輕重的地位。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》明確指出，數(shù)學(xué)抽象是指通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng)。它涵蓋從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語言予以表征。具備良好的數(shù)學(xué)抽象能力，有助于學(xué)生洞察數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，搭建起系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識架構(gòu)，還能有效鍛煉學(xué)生的邏輯思維、創(chuàng)新思維，提升解決實際問題的能力，對學(xué)生的終身學(xué)習(xí)和未來發(fā)展意義深遠(yuǎn)。函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，貫穿整個高中數(shù)學(xué)課程體系。高一階段的函數(shù)知識，是函數(shù)學(xué)習(xí)的基石，更是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的關(guān)鍵載體。函數(shù)概念舍棄了具體事物的非本質(zhì)屬性，僅保留數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律這一本質(zhì)特征，具有高度的抽象性和概括性。以一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，k\neq0）為例，學(xué)生需要從汽車行駛的路程與時間的關(guān)系、購物時總價與數(shù)量的關(guān)系等大量實際問題中，抽象出函數(shù)的一般形式，理解自變量x與因變量y之間的對應(yīng)關(guān)系，以及k和b的實際意義。這種從具體到抽象的思維過程，能有效鍛煉學(xué)生的抽象思維能力。同樣，函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性、周期性等，也需學(xué)生借助抽象思維去理解和把握。例如，在學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性時，學(xué)生要通過觀察函數(shù)圖像的上升或下降趨勢，或分析函數(shù)表達(dá)式，抽象出函數(shù)在某個區(qū)間上隨著自變量增大，函數(shù)值是增大還是減小的規(guī)律，并能用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言進行描述。在解決函數(shù)相關(guān)問題時，學(xué)生常常需要運用抽象思維將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，再運用數(shù)學(xué)知識進行求解。例如，在解決優(yōu)化問題時，學(xué)生需要根據(jù)實際情境，抽象出函數(shù)關(guān)系，然后通過求函數(shù)的最值來找到最優(yōu)解。然而，在實際教學(xué)中，許多高一學(xué)生在函數(shù)學(xué)習(xí)中存在困難，對函數(shù)概念和性質(zhì)的理解僅停留在表面，難以將具體問題抽象為函數(shù)模型，導(dǎo)致數(shù)學(xué)抽象能力的發(fā)展受到限制。造成這種現(xiàn)象的原因是多方面的。一方面，部分教師的教學(xué)方法過于側(cè)重知識的傳授，而忽視了對學(xué)生抽象思維能力的培養(yǎng)，教學(xué)過程缺乏引導(dǎo)學(xué)生從具體實例中抽象出數(shù)學(xué)概念和規(guī)律的環(huán)節(jié)；另一方面，函數(shù)知識本身的抽象性使得學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中容易產(chǎn)生畏難情緒，加之缺乏有效的學(xué)習(xí)策略和方法，進一步阻礙了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的提升。綜上所述，深入研究在函數(shù)教學(xué)中培養(yǎng)高一學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力具有重要的現(xiàn)實意義，它不僅有助于改進教學(xué)方法，提高教學(xué)質(zhì)量，更能促進學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的提升，為學(xué)生后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和未來發(fā)展奠定堅實基礎(chǔ)。1.2研究目的與意義本研究旨在深入剖析在函數(shù)教學(xué)中培養(yǎng)高一學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的有效策略與方法。通過對高一函數(shù)教學(xué)過程的細(xì)致研究，揭示函數(shù)知識與數(shù)學(xué)抽象能力培養(yǎng)之間的內(nèi)在聯(lián)系，探索如何在函數(shù)概念、性質(zhì)、圖像等內(nèi)容的教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象的思維過程，從而切實提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。具體而言，期望通過調(diào)查分析，精準(zhǔn)找出當(dāng)前高一函數(shù)教學(xué)中在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力方面存在的問題與不足，從教學(xué)方法、教學(xué)內(nèi)容設(shè)計、教學(xué)資源利用等多個維度提出針對性強的改進建議和優(yōu)化策略。同時，通過實證研究，嚴(yán)謹(jǐn)驗證所提出的培養(yǎng)策略的有效性，為一線教師提供具有實踐指導(dǎo)意義的教學(xué)參考，助力教師更好地在函數(shù)教學(xué)中落實數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)目標(biāo)。從理論意義來看，本研究有助于豐富數(shù)學(xué)教育中關(guān)于核心素養(yǎng)培養(yǎng)的理論體系。深入探討以函數(shù)為載體培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力的機制和方法，能夠進一步完善數(shù)學(xué)教學(xué)理論中關(guān)于知識傳授與能力培養(yǎng)相結(jié)合的部分，為后續(xù)相關(guān)研究提供理論支持和研究思路。例如，研究函數(shù)教學(xué)中不同教學(xué)策略對學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維發(fā)展的影響，能為數(shù)學(xué)教育理論中關(guān)于教學(xué)策略選擇與應(yīng)用的研究提供實證依據(jù)，推動數(shù)學(xué)教育理論在核心素養(yǎng)培養(yǎng)領(lǐng)域的深入發(fā)展。在實踐意義方面，本研究成果對高中數(shù)學(xué)教學(xué)實踐具有重要的指導(dǎo)作用。對于教師而言，能夠幫助他們更好地理解數(shù)學(xué)抽象能力的內(nèi)涵和培養(yǎng)要求，掌握在函數(shù)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的有效方法和技巧，從而改進教學(xué)方法，優(yōu)化教學(xué)過程，提高教學(xué)質(zhì)量。比如，教師可以根據(jù)研究提出的策略，設(shè)計更具針對性的教學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生從實際問題中抽象出函數(shù)模型，加深對函數(shù)概念的理解，提升學(xué)生的抽象思維能力。對于學(xué)生來說，通過在高一函數(shù)學(xué)習(xí)中得到有效的數(shù)學(xué)抽象能力培養(yǎng)，能夠幫助他們更好地理解和掌握函數(shù)知識，克服函數(shù)學(xué)習(xí)中的困難，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績。同時，數(shù)學(xué)抽象能力的提升也有助于學(xué)生將這種思維能力遷移到其他數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)中，以及解決生活中的實際問題，為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)和未來發(fā)展奠定堅實的基礎(chǔ)。例如，學(xué)生在面對物理中的運動學(xué)問題、經(jīng)濟學(xué)中的成本與收益問題時，能夠運用數(shù)學(xué)抽象思維將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進行求解，提高解決實際問題的能力。二、相關(guān)理論概述2.1數(shù)學(xué)抽象能力的內(nèi)涵與特征數(shù)學(xué)抽象能力是指個體在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究過程中，從具體的數(shù)學(xué)現(xiàn)象、情境或事物中，提取出本質(zhì)的數(shù)學(xué)特征、規(guī)律和關(guān)系，舍棄非本質(zhì)屬性，形成數(shù)學(xué)概念、模型、理論等抽象數(shù)學(xué)對象，并能運用這些抽象對象進行思考、推理和解決問題的能力。它是數(shù)學(xué)思維的核心組成部分，也是學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)知識、發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)的關(guān)鍵能力。從數(shù)學(xué)概念的形成角度來看，數(shù)學(xué)抽象能力體現(xiàn)為學(xué)生能夠從大量具體實例中，概括出共同的本質(zhì)屬性，從而構(gòu)建數(shù)學(xué)概念。例如，在學(xué)習(xí)“函數(shù)”概念時，學(xué)生需要從諸如汽車行駛路程與時間的關(guān)系、購物總價與商品數(shù)量的關(guān)系等眾多實際情境中，舍棄具體的背景信息，抽象出兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系這一本質(zhì)特征，進而形成函數(shù)的概念。在理解函數(shù)的單調(diào)性時，學(xué)生要從觀察函數(shù)圖像在某區(qū)間上的上升或下降趨勢，或者對函數(shù)表達(dá)式進行分析，抽象出函數(shù)值隨自變量變化的規(guī)律，并用數(shù)學(xué)語言精確描述，如“對于函數(shù)y=f(x)，在區(qū)間I上，若對于任意的x_1，x_2\inI，當(dāng)x_1\ltx_2時，都有f(x_1)\ltf(x_2)，則稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增”。這一過程不僅要求學(xué)生具備敏銳的觀察力，能夠從具體現(xiàn)象中捕捉到關(guān)鍵信息，還需要運用歸納、概括等思維方法，將具體的、個別的特征上升為一般性的數(shù)學(xué)概念和規(guī)律。數(shù)學(xué)抽象能力具有概括性，它能夠?qū)⒕唧w的數(shù)學(xué)對象或現(xiàn)象的共同特征進行提煉和總結(jié)，形成具有普遍意義的數(shù)學(xué)概念、原理或法則。例如，從對三角形、四邊形、五邊形等具體多邊形內(nèi)角和的計算與探究中，學(xué)生可以通過測量、拼接、推理等方法，發(fā)現(xiàn)它們內(nèi)角和的規(guī)律，進而概括出n邊形內(nèi)角和公式為(n-2)\times180^{\circ}。這一公式舍棄了不同邊數(shù)多邊形的具體形狀、大小等非本質(zhì)屬性，只保留了邊數(shù)與內(nèi)角和之間的本質(zhì)聯(lián)系，體現(xiàn)了高度的概括性。這種概括性使得數(shù)學(xué)知識能夠簡潔、準(zhǔn)確地表達(dá)大量具體事物的內(nèi)在規(guī)律，為數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。邏輯性也是數(shù)學(xué)抽象能力的重要特征。在數(shù)學(xué)抽象過程中，從具體到抽象的每一步推導(dǎo)和論證都遵循嚴(yán)格的邏輯規(guī)則，前后步驟之間具有嚴(yán)密的邏輯關(guān)聯(lián)。以證明勾股定理為例，無論是采用趙爽弦圖的面積法，還是其他證明方法，都需要依據(jù)已有的幾何公理、定理和定義，通過合理的邏輯推理，逐步推導(dǎo)出直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方這一結(jié)論。在這個過程中，每一個推理步驟都必須有充分的依據(jù)，不能出現(xiàn)邏輯漏洞或跳躍，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象的邏輯性。邏輯性保證了數(shù)學(xué)抽象結(jié)果的準(zhǔn)確性和可靠性，使得數(shù)學(xué)知識體系具有嚴(yán)密的結(jié)構(gòu)和內(nèi)在的一致性。數(shù)學(xué)抽象能力還具有層次性，它隨著學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深入和思維發(fā)展而逐步提升。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的初級階段，學(xué)生主要進行基于具體事物或直觀形象的簡單抽象，如從具體的物體個數(shù)中抽象出自然數(shù)的概念。隨著學(xué)習(xí)的推進，學(xué)生逐漸能夠進行基于數(shù)學(xué)概念和符號的抽象，如從數(shù)的運算中抽象出代數(shù)式的運算規(guī)則。到了更高層次，學(xué)生能夠進行基于數(shù)學(xué)理論和模型的抽象，如在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中的抽象代數(shù)時，從具體的代數(shù)結(jié)構(gòu)中抽象出群、環(huán)、域等抽象的代數(shù)系統(tǒng)。這種層次性反映了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的發(fā)展過程，也要求教師在教學(xué)中根據(jù)學(xué)生的實際情況，循序漸進地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。2.2高中函數(shù)教學(xué)內(nèi)容與數(shù)學(xué)抽象能力的關(guān)聯(lián)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)體系中，函數(shù)占據(jù)著核心地位，其教學(xué)內(nèi)容與數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)緊密相連。函數(shù)概念的形成是一個高度抽象的過程，對學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的提升具有關(guān)鍵作用。以高一階段學(xué)習(xí)的函數(shù)定義為例，教材中通常會給出大量具體實例，如汽車行駛過程中路程與時間的關(guān)系、商場購物時總價與商品數(shù)量的關(guān)系等。在這些實例中，學(xué)生需要摒棄具體情境中的非本質(zhì)因素，如汽車的品牌、商品的種類等，僅關(guān)注兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系這一本質(zhì)特征。通過對多個類似實例的分析和歸納，學(xué)生逐步抽象出函數(shù)的一般定義：設(shè)A、B是非空的實數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個實數(shù)x，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的實數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：Aa??B為從集合A到集合B的一個函數(shù)。這一抽象過程要求學(xué)生具備較強的觀察、分析和歸納能力，能夠從具體的數(shù)量關(guān)系中提煉出一般性的數(shù)學(xué)概念，從而有效鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)同樣與數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)息息相關(guān)。以函數(shù)的單調(diào)性為例，學(xué)生首先通過觀察函數(shù)圖像，如一次函數(shù)y=2x+1的圖像是一條上升的直線，直觀地感受到函數(shù)值隨著自變量的增大而增大；對于二次函數(shù)y=x^2，在對稱軸x=0左側(cè)，函數(shù)圖像下降，函數(shù)值隨自變量增大而減小，在對稱軸右側(cè)，函數(shù)圖像上升，函數(shù)值隨自變量增大而增大。然而，僅僅停留在直觀感知層面是不夠的，學(xué)生還需要進一步從數(shù)學(xué)表達(dá)式的角度進行分析，通過比較函數(shù)在不同自變量取值下的函數(shù)值大小，運用作差法等數(shù)學(xué)方法，抽象出函數(shù)單調(diào)性的嚴(yán)格定義：對于函數(shù)y=f(x)的定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x_1、x_2，當(dāng)x_1\ltx_2時，都有f(x_1)\ltf(x_2)（或f(x_1)\gtf(x_2)），那么就說函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)（或減函數(shù)）。這一過程要求學(xué)生能夠從具體的函數(shù)圖像和數(shù)值關(guān)系中，抽象出函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)特征，并運用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言進行描述，從而深入理解函數(shù)單調(diào)性的概念，提升數(shù)學(xué)抽象能力。函數(shù)圖像作為函數(shù)的一種直觀表示形式，在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力方面也發(fā)揮著重要作用。從具體的函數(shù)表達(dá)式到函數(shù)圖像的繪制，本身就是一個從抽象到具體的轉(zhuǎn)化過程；而從函數(shù)圖像中獲取函數(shù)的性質(zhì)和特征，又需要學(xué)生進行從具體到抽象的思維轉(zhuǎn)換。例如，在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)y=a^x（a\gt0且a\neq1）時，學(xué)生通過列表、描點、連線的方法繪制出不同底數(shù)a的指數(shù)函數(shù)圖像，如當(dāng)a=2時，函數(shù)y=2^x的圖像經(jīng)過點(0,1)，且在R上單調(diào)遞增；當(dāng)a=\frac{1}{2}時，函數(shù)y=(\frac{1}{2})^x的圖像也經(jīng)過點(0,1)，但在R上單調(diào)遞減。通過對這些具體圖像的觀察和分析，學(xué)生可以抽象出指數(shù)函數(shù)的一般性質(zhì)：恒過點(0,1)，當(dāng)a\gt1時，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，當(dāng)0\lta\lt1時，函數(shù)在R上單調(diào)遞減。同時，學(xué)生還可以從圖像的變化趨勢中，抽象出指數(shù)函數(shù)的增長特點，如指數(shù)函數(shù)在底數(shù)a\gt1時，呈現(xiàn)出爆炸式增長的趨勢，這對于學(xué)生理解指數(shù)函數(shù)的本質(zhì)和應(yīng)用具有重要意義。在這個過程中，學(xué)生不僅學(xué)會了如何將抽象的函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為直觀的圖像，還學(xué)會了從圖像中提取抽象的數(shù)學(xué)信息，實現(xiàn)了抽象與具體之間的靈活轉(zhuǎn)換，進一步提升了數(shù)學(xué)抽象能力。三、高一函數(shù)教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力的現(xiàn)狀分析3.1學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的現(xiàn)狀調(diào)查為全面、準(zhǔn)確地了解高一學(xué)生在函數(shù)學(xué)習(xí)中數(shù)學(xué)抽象能力的實際表現(xiàn)，本研究綜合運用了問卷調(diào)查、測試以及課堂觀察等多種研究方法。問卷調(diào)查是本次研究的重要手段之一，問卷主要從學(xué)生對函數(shù)概念的理解、函數(shù)性質(zhì)的把握、函數(shù)圖像的認(rèn)知以及將實際問題抽象為函數(shù)模型的能力等維度進行設(shè)計，共發(fā)放問卷200份，回收有效問卷185份。在對函數(shù)概念的理解方面，當(dāng)問及“函數(shù)概念中最重要的要素是什么”時，僅有35%的學(xué)生能夠準(zhǔn)確回答出“定義域、對應(yīng)法則和值域”這三個要素，約25%的學(xué)生只提及了對應(yīng)法則，還有部分學(xué)生回答不完整或錯誤。這表明相當(dāng)一部分學(xué)生對函數(shù)概念的理解不夠全面和深入，未能準(zhǔn)確把握函數(shù)概念的核心要素。在函數(shù)性質(zhì)的理解上，對于“如何判斷函數(shù)的單調(diào)性”這一問題，約40%的學(xué)生能夠正確描述通過比較函數(shù)值大小或利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性的方法，但仍有30%的學(xué)生只能模糊地表述根據(jù)函數(shù)圖像的上升或下降來判斷，無法準(zhǔn)確運用數(shù)學(xué)語言進行描述。在函數(shù)奇偶性的理解方面，約35%的學(xué)生能夠熟練運用定義判斷函數(shù)的奇偶性，而約25%的學(xué)生對函數(shù)奇偶性的定義理解存在偏差，在判斷過程中出現(xiàn)錯誤。這反映出學(xué)生在函數(shù)性質(zhì)的理解和運用上存在較大差異，部分學(xué)生對函數(shù)性質(zhì)的抽象理解能力有待提高。關(guān)于函數(shù)圖像，當(dāng)被問到“函數(shù)圖像與函數(shù)表達(dá)式之間的關(guān)系”時，僅有45%的學(xué)生能夠清晰闡述函數(shù)表達(dá)式?jīng)Q定函數(shù)圖像的形狀、位置等特征，以及通過函數(shù)圖像可以直觀地了解函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性等。約30%的學(xué)生只能簡單地回答函數(shù)圖像是函數(shù)表達(dá)式的一種直觀表示，無法深入理解兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系。這說明學(xué)生在函數(shù)圖像與函數(shù)表達(dá)式的相互轉(zhuǎn)化和理解上存在一定困難，難以從圖像中抽象出函數(shù)的性質(zhì)和規(guī)律。在將實際問題抽象為函數(shù)模型的能力方面，問卷設(shè)置了“請舉例說明生活中可以用函數(shù)模型解決的問題”這一開放性問題。結(jié)果顯示，約40%的學(xué)生能夠列舉出一些常見的例子，如行程問題、購物問題等，并能簡單描述其中的函數(shù)關(guān)系，但只有約20%的學(xué)生能夠準(zhǔn)確地建立函數(shù)模型并進行分析。例如，在描述行程問題時，部分學(xué)生雖然能意識到路程、速度和時間之間存在函數(shù)關(guān)系，但在建立函數(shù)表達(dá)式時會出現(xiàn)錯誤，或者無法對函數(shù)的定義域和值域進行準(zhǔn)確的界定。這表明學(xué)生在將實際問題抽象為函數(shù)模型的過程中，抽象思維能力和數(shù)學(xué)建模能力較為薄弱。測試環(huán)節(jié)則選取了一套涵蓋函數(shù)概念、性質(zhì)、圖像以及實際應(yīng)用等知識點的測試題，對100名高一學(xué)生進行測試。測試結(jié)果顯示，在函數(shù)概念部分，平均得分率為60%，其中對于函數(shù)概念的抽象理解和應(yīng)用的題目得分率較低，約為40%。例如，給出一些較為抽象的函數(shù)定義表述，讓學(xué)生判斷其正確性，很多學(xué)生因為對函數(shù)概念的本質(zhì)理解不夠深刻，無法準(zhǔn)確判斷。在函數(shù)性質(zhì)部分，平均得分率為55%，特別是關(guān)于函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的綜合應(yīng)用題目，得分率僅為35%。如已知函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，求函數(shù)在某區(qū)間上的取值范圍，這類題目需要學(xué)生具備較強的抽象思維能力和邏輯推理能力，很多學(xué)生在解題過程中思路不清晰，無法靈活運用函數(shù)性質(zhì)進行求解。在函數(shù)圖像部分，平均得分率為65%，對于一些需要根據(jù)函數(shù)圖像特征判斷函數(shù)性質(zhì)或根據(jù)函數(shù)性質(zhì)繪制函數(shù)圖像的題目，得分率約為50%。例如，給出一個函數(shù)圖像，讓學(xué)生判斷函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性以及函數(shù)在某區(qū)間上的最值，部分學(xué)生由于對函數(shù)圖像與函數(shù)性質(zhì)之間的聯(lián)系理解不透徹，無法準(zhǔn)確作答。在實際應(yīng)用部分，平均得分率為45%，學(xué)生在將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型并求解的過程中遇到了較大困難，得分率較低。例如，在解決一些關(guān)于成本與利潤、優(yōu)化方案等實際問題時，很多學(xué)生難以從復(fù)雜的實際情境中抽象出函數(shù)關(guān)系，或者在建立函數(shù)模型后無法運用合適的數(shù)學(xué)方法進行求解。課堂觀察主要針對高一函數(shù)教學(xué)的日常課堂，觀察學(xué)生在課堂上的表現(xiàn)，包括對函數(shù)知識的理解反應(yīng)、參與課堂討論的積極性以及解決問題的思維過程等。觀察發(fā)現(xiàn)，在函數(shù)概念的講解過程中，當(dāng)教師從具體實例引入函數(shù)概念時，大部分學(xué)生能夠跟上教師的思路，表現(xiàn)出一定的興趣，但在教師引導(dǎo)學(xué)生從具體實例中抽象出函數(shù)的一般定義時，約有三分之一的學(xué)生表現(xiàn)出困惑，難以理解從具體到抽象的思維過程。在課堂討論環(huán)節(jié)，對于一些需要運用函數(shù)性質(zhì)進行分析的問題，只有少數(shù)思維活躍的學(xué)生能夠積極參與討論，提出自己的觀點，而大部分學(xué)生則處于被動傾聽的狀態(tài)，缺乏主動思考和抽象思維的鍛煉。在解決函數(shù)相關(guān)問題時，很多學(xué)生習(xí)慣于套用公式和例題的解題模式，缺乏獨立思考和創(chuàng)新思維。例如，在解決一道關(guān)于函數(shù)單調(diào)性的證明題時，大部分學(xué)生能夠按照教師所講的方法，即通過作差法比較函數(shù)值的大小來證明單調(diào)性，但當(dāng)題目條件稍有變化，需要學(xué)生靈活運用函數(shù)單調(diào)性的定義進行分析時，很多學(xué)生就會感到無從下手，無法將抽象的函數(shù)性質(zhì)與具體的題目條件相結(jié)合，這充分體現(xiàn)了學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象能力和靈活運用知識能力方面的不足。3.2教師教學(xué)方法與數(shù)學(xué)抽象能力培養(yǎng)的契合度在高一函數(shù)教學(xué)中，教師所采用的教學(xué)方法對學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)具有至關(guān)重要的影響。當(dāng)前，部分教師在函數(shù)教學(xué)中采用了情境教學(xué)法，通過創(chuàng)設(shè)與函數(shù)知識相關(guān)的實際情境，如水電費計費問題、出租車計價問題等，將抽象的函數(shù)概念融入具體的生活場景中。這種教學(xué)方法能夠有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生更容易理解函數(shù)的實際應(yīng)用，從而為抽象思維的發(fā)展奠定基礎(chǔ)。例如，在講解一次函數(shù)時，教師以出租車的計費方式為情境，假設(shè)出租車的起步價為8元（包含3公里），超過3公里后每公里收費2元，引導(dǎo)學(xué)生分析出租車費用與行駛里程之間的關(guān)系。學(xué)生通過對這一實際情境的分析，能夠直觀地感受到兩個變量（行駛里程和費用）之間的對應(yīng)關(guān)系，進而抽象出一次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=8+2(x-3)（x\geq3），這種從具體情境到抽象函數(shù)表達(dá)式的過程，鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。問題驅(qū)動教學(xué)法也是教師常用的教學(xué)方法之一。教師通過設(shè)置一系列具有啟發(fā)性的問題，引導(dǎo)學(xué)生逐步深入思考函數(shù)知識，從而培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力。例如，在函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)中，教師可以提出問題：“觀察函數(shù)y=x^2的圖像，你能發(fā)現(xiàn)函數(shù)值隨自變量變化的規(guī)律嗎？”學(xué)生在思考這一問題的過程中，需要仔細(xì)觀察函數(shù)圖像，分析函數(shù)值在不同區(qū)間上的變化情況，從而抽象出函數(shù)單調(diào)性的概念。這種教學(xué)方法能夠促使學(xué)生主動思考，積極探索函數(shù)知識的本質(zhì)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。然而，在實際教學(xué)中，部分教師的教學(xué)方法也存在一些不足之處，與數(shù)學(xué)抽象能力培養(yǎng)的契合度有待提高。部分教師在函數(shù)教學(xué)中過于注重知識的灌輸，采用傳統(tǒng)的講授式教學(xué)方法，將函數(shù)的概念、性質(zhì)、公式等直接傳授給學(xué)生，而忽視了學(xué)生的主體地位和思維過程的引導(dǎo)。這種教學(xué)方法使得學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中處于被動接受的狀態(tài)，缺乏自主思考和抽象思維的鍛煉。例如，在講解函數(shù)的奇偶性時，教師直接給出函數(shù)奇偶性的定義和判斷方法，然后通過大量的例題讓學(xué)生進行練習(xí)，學(xué)生只是機械地記憶和套用公式，并沒有真正理解函數(shù)奇偶性的本質(zhì)，難以將具體的函數(shù)問題抽象為數(shù)學(xué)概念進行分析和解決。部分教師在教學(xué)過程中缺乏對數(shù)學(xué)思想方法的滲透，沒有引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)思想的高度去理解函數(shù)知識，從而影響了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的提升。函數(shù)教學(xué)中蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想，如數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等。以數(shù)形結(jié)合思想為例，在函數(shù)圖像與函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)中，教師如果能夠引導(dǎo)學(xué)生通過觀察函數(shù)圖像來理解函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)，將抽象的函數(shù)性質(zhì)直觀地呈現(xiàn)在圖像上，有助于學(xué)生更好地理解和掌握函數(shù)知識，提升數(shù)學(xué)抽象能力。然而，一些教師在教學(xué)中沒有充分利用這一思想方法，只是單純地講解函數(shù)的代數(shù)表達(dá)式和性質(zhì)，沒有將函數(shù)圖像與函數(shù)性質(zhì)有機結(jié)合起來，使得學(xué)生難以建立起抽象的數(shù)學(xué)概念與直觀圖像之間的聯(lián)系。此外，部分教師在教學(xué)中對學(xué)生的個體差異關(guān)注不夠，采用“一刀切”的教學(xué)方式，沒有根據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)能力和思維水平制定個性化的教學(xué)策略，導(dǎo)致部分學(xué)生在函數(shù)學(xué)習(xí)中難以跟上教學(xué)進度，對函數(shù)知識的理解和掌握存在困難，進而影響了數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)。例如，對于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較弱的學(xué)生，教師在教學(xué)中沒有給予足夠的指導(dǎo)和幫助，沒有從簡單的實例入手，逐步引導(dǎo)學(xué)生理解函數(shù)的抽象概念，而是按照統(tǒng)一的教學(xué)要求進行教學(xué)，使得這部分學(xué)生在函數(shù)學(xué)習(xí)中逐漸失去信心，數(shù)學(xué)抽象能力的發(fā)展也受到阻礙。3.3教學(xué)中存在的問題及原因分析通過對學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的現(xiàn)狀調(diào)查以及對教師教學(xué)方法與數(shù)學(xué)抽象能力培養(yǎng)契合度的分析，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)前高一函數(shù)教學(xué)在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力方面存在諸多問題，這些問題嚴(yán)重制約了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的發(fā)展和提升。學(xué)生對函數(shù)概念和性質(zhì)的理解深度不足，難以把握其本質(zhì)。在問卷調(diào)查和測試中，許多學(xué)生對函數(shù)概念的理解僅停留在表面，如對于函數(shù)概念中定義域、對應(yīng)法則和值域這三個關(guān)鍵要素，不少學(xué)生無法準(zhǔn)確掌握，這使得他們在后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)性質(zhì)和應(yīng)用時遇到困難。在函數(shù)單調(diào)性的理解上，部分學(xué)生僅能從直觀的圖像上升或下降來判斷，而不能從數(shù)學(xué)定義的角度，通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推理來證明函數(shù)的單調(diào)性，無法深入理解函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)特征。造成這種問題的原因主要有兩個方面。一方面，函數(shù)知識本身具有高度的抽象性，對于剛進入高中的學(xué)生來說，其思維方式還在從初中的形象思維向抽象思維過渡階段，函數(shù)概念舍棄了具體事物的非本質(zhì)屬性，僅保留數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，這種抽象的思維方式對學(xué)生來說具有較大難度。另一方面，學(xué)生在初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和思維訓(xùn)練程度存在差異，部分學(xué)生在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中對基礎(chǔ)知識的掌握不夠扎實，缺乏對數(shù)學(xué)概念深入探究的意識和能力，導(dǎo)致在面對高中函數(shù)這種更具抽象性的知識時，難以適應(yīng)和理解。學(xué)生將實際問題抽象為函數(shù)模型的能力薄弱。在實際問題解決中，大部分學(xué)生難以從復(fù)雜的實際情境中提取關(guān)鍵信息，抽象出函數(shù)關(guān)系并建立函數(shù)模型。例如在測試中的實際應(yīng)用題目，學(xué)生得分率普遍較低，很多學(xué)生無法準(zhǔn)確分析題目中的數(shù)量關(guān)系，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。這主要是因為學(xué)生缺乏將實際問題與數(shù)學(xué)知識相聯(lián)系的意識和能力，在日常學(xué)習(xí)中，學(xué)生接觸的多是純數(shù)學(xué)問題，缺乏對實際問題的分析和解決經(jīng)驗，不知道如何從實際情境中抽象出數(shù)學(xué)模型。此外，教師在教學(xué)過程中，對實際問題的引入和講解不夠深入，沒有引導(dǎo)學(xué)生掌握將實際問題抽象為數(shù)學(xué)模型的方法和技巧，也是導(dǎo)致學(xué)生這方面能力不足的重要原因。教師教學(xué)方法存在不足，對學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力培養(yǎng)的引導(dǎo)不夠。部分教師在教學(xué)中過于注重知識的傳授，采用傳統(tǒng)的講授式教學(xué)方法，以教師為中心，將函數(shù)知識直接灌輸給學(xué)生，忽視了學(xué)生的主體地位和思維過程的引導(dǎo)。這種教學(xué)方式使得學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中處于被動接受的狀態(tài)，缺乏自主思考和抽象思維的鍛煉機會。例如在函數(shù)概念的教學(xué)中，教師沒有引導(dǎo)學(xué)生從具體實例中逐步抽象出函數(shù)的定義，而是直接給出函數(shù)定義，讓學(xué)生死記硬背，導(dǎo)致學(xué)生對函數(shù)概念的理解不深刻。同時，部分教師在教學(xué)過程中缺乏對數(shù)學(xué)思想方法的滲透，沒有幫助學(xué)生從數(shù)學(xué)思想的高度去理解函數(shù)知識。函數(shù)教學(xué)中蘊含著數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等豐富的數(shù)學(xué)思想，但一些教師在教學(xué)中沒有將這些思想方法有效地傳遞給學(xué)生，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)知識時，只是孤立地學(xué)習(xí)知識點，無法從整體上把握函數(shù)知識的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)，影響了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的提升。四、函數(shù)教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力的策略與方法4.1創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)抽象思維在函數(shù)教學(xué)中，創(chuàng)設(shè)生動、具體且富有啟發(fā)性的問題情境，是引導(dǎo)學(xué)生進行抽象思維，進而培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力的關(guān)鍵策略。以指數(shù)函數(shù)教學(xué)為例，教師可引入細(xì)胞分裂的情境：假設(shè)某種細(xì)胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，4個分裂成8個，以此類推。那么1個這樣的細(xì)胞分裂x次后，得到的細(xì)胞個數(shù)y與x之間存在怎樣的關(guān)系呢？學(xué)生通過對這一情境的分析，不難發(fā)現(xiàn)：分裂1次后，細(xì)胞個數(shù)y=2^1；分裂2次后，y=2^2；分裂3次后，y=2^3。以此類推，分裂x次后，細(xì)胞個數(shù)y與分裂次數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式為y=2^x。在這個情境中，學(xué)生從具體的細(xì)胞分裂次數(shù)與細(xì)胞個數(shù)的對應(yīng)關(guān)系出發(fā)，通過觀察、分析和歸納，初步抽象出了一個以指數(shù)形式表示的函數(shù)關(guān)系。教師還可引入放射性物質(zhì)衰變的情境。已知某種放射性物質(zhì)的半衰期為T（半衰期是指放射性元素的原子核有半數(shù)發(fā)生衰變時所需要的時間），設(shè)初始時刻該物質(zhì)的質(zhì)量為M_0。經(jīng)過時間t后，該物質(zhì)剩余的質(zhì)量M與時間t的關(guān)系如何表示呢？根據(jù)半衰期的定義，經(jīng)過T時間后，物質(zhì)剩余質(zhì)量為M_0\times\frac{1}{2}；經(jīng)過2T時間后，剩余質(zhì)量為M_0\times(\frac{1}{2})^2；經(jīng)過3T時間后，剩余質(zhì)量為M_0\times(\frac{1}{2})^3。以此類推，經(jīng)過時間t（t=nT，n為時間t內(nèi)包含的半衰期個數(shù)）后，該物質(zhì)剩余的質(zhì)量M與時間t的函數(shù)關(guān)系式為M=M_0\times(\frac{1}{2})^{\frac{t}{T}}。通過這兩個具體情境，學(xué)生對指數(shù)函數(shù)有了初步的感性認(rèn)識。此時，教師進一步引導(dǎo)學(xué)生思考：這兩個函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=2^x和M=M_0\times(\frac{1}{2})^{\frac{t}{T}}有什么共同特征呢？學(xué)生經(jīng)過觀察和討論，會發(fā)現(xiàn)它們都具有y=a^x（a\gt0且a\neq1）的形式，其中指數(shù)x是自變量。在此基礎(chǔ)上，教師順勢引出指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)y=a^x（a\gt0，且a\neq1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R。通過這樣從具體問題情境逐步抽象出指數(shù)函數(shù)概念的過程，學(xué)生能夠深刻理解指數(shù)函數(shù)的本質(zhì)特征，即函數(shù)值隨自變量的指數(shù)變化而變化，從而有效鍛煉了數(shù)學(xué)抽象能力。同時，在這個過程中，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生思考為什么要規(guī)定a\gt0且a\neq1，通過對a取不同值時函數(shù)的性質(zhì)進行分析，進一步加深學(xué)生對指數(shù)函數(shù)概念的理解，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維。4.2巧用數(shù)形結(jié)合，助力抽象理解在函數(shù)教學(xué)中，巧妙運用數(shù)形結(jié)合思想，能將抽象的函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為直觀的圖形，幫助學(xué)生更好地理解函數(shù)的本質(zhì)和性質(zhì)，從而有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。以函數(shù)與方程的關(guān)系為例，對于方程x^2-2x-3=0，我們可以將其與函數(shù)y=x^2-2x-3聯(lián)系起來。從函數(shù)的角度看，求解方程x^2-2x-3=0，就是求函數(shù)y=x^2-2x-3的零點，即函數(shù)值為0時x的取值。教師引導(dǎo)學(xué)生通過配方法將函數(shù)y=x^2-2x-3轉(zhuǎn)化為頂點式y(tǒng)=(x-1)^2-4，由此可知函數(shù)圖像的對稱軸為x=1，頂點坐標(biāo)為(1,-4)。再通過代入特殊值，如當(dāng)x=0時，y=-3；當(dāng)x=3時，y=0等，繪制出函數(shù)y=x^2-2x-3的大致圖像。從圖像上可以直觀地看到，函數(shù)y=x^2-2x-3的圖像與x軸有兩個交點，這兩個交點的橫坐標(biāo)就是方程x^2-2x-3=0的根。通過求解方程(x-3)(x+1)=0，可得x=3或x=-1，這與從函數(shù)圖像上觀察到的結(jié)果一致。在這個過程中，學(xué)生通過將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，并借助函數(shù)圖像來求解方程，實現(xiàn)了從抽象的代數(shù)方程到直觀的函數(shù)圖像的轉(zhuǎn)化，深刻理解了函數(shù)與方程之間的內(nèi)在聯(lián)系，即方程的根就是函數(shù)圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)。再比如，對于方程2^x=-x+5，這是一個指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)相關(guān)的方程。教師可以引導(dǎo)學(xué)生分別畫出函數(shù)y=2^x和y=-x+5的圖像。對于指數(shù)函數(shù)y=2^x，它恒過點(0,1)，且在R上單調(diào)遞增；一次函數(shù)y=-x+5的斜率為-1，截距為5，圖像是一條下降的直線。通過在同一坐標(biāo)系中繪制這兩個函數(shù)的圖像，學(xué)生可以直觀地看到它們的交點。這個交點的橫坐標(biāo)就是方程2^x=-x+5的解。雖然通過圖像無法精確得到解的數(shù)值，但可以確定解的大致范圍。例如，通過觀察圖像可以發(fā)現(xiàn)，交點的橫坐標(biāo)在1和2之間。然后，教師可以進一步引導(dǎo)學(xué)生利用函數(shù)的單調(diào)性和零點存在定理，通過計算函數(shù)在區(qū)間端點的值，如f(1)=2^1-(-1+5)=-2，f(2)=2^2-(-2+5)=1，因為f(1)\lt0，f(2)\gt0，且函數(shù)y=2^x+x-5在R上單調(diào)遞增，所以可以確定方程2^x=-x+5的解在區(qū)間(1,2)內(nèi)。這種借助數(shù)形結(jié)合解決函數(shù)與方程問題的方法，不僅讓學(xué)生直觀地理解了方程的解與函數(shù)圖像交點之間的關(guān)系，還培養(yǎng)了學(xué)生從抽象問題中提取關(guān)鍵信息，將其轉(zhuǎn)化為直觀圖形進行分析的能力，有效提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。同時，通過對函數(shù)圖像性質(zhì)的分析，如單調(diào)性、奇偶性等，學(xué)生能夠更加深入地理解函數(shù)的本質(zhì)特征，為進一步學(xué)習(xí)函數(shù)知識奠定堅實的基礎(chǔ)。4.3開展合作探究，提升抽象能力在函數(shù)教學(xué)中，開展合作探究活動是提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的有效途徑。以函數(shù)零點概念教學(xué)為例，教師可先在多媒體屏幕上展示三個一元二次方程及其對應(yīng)的二次函數(shù)圖象：方程x^2-2x-3=0與函數(shù)y=x^2-2x-3；方程x^2-2x+1=0與函數(shù)y=x^2-2x+1；方程x^2-2x+3=0與函數(shù)y=x^2-2x+3。然后將學(xué)生分成若干小組，引導(dǎo)各小組學(xué)生合作完成以下任務(wù)：首先，求解這三個一元二次方程，得到方程x^2-2x-3=0的根為x=-1或x=3；方程x^2-2x+1=0的根為x=1；方程x^2-2x+3=0無實數(shù)根。接著，通過描點法或利用繪圖軟件準(zhǔn)確繪制出對應(yīng)的二次函數(shù)圖象。在繪制過程中，學(xué)生需要確定函數(shù)的對稱軸、頂點坐標(biāo)以及與坐標(biāo)軸的交點等關(guān)鍵信息，從而更深入地理解函數(shù)的性質(zhì)。完成上述步驟后，小組內(nèi)成員共同分析方程的根與函數(shù)圖象和x軸交點之間的關(guān)系。學(xué)生們通過觀察和討論發(fā)現(xiàn)，方程x^2-2x-3=0的根-1和3，恰好是函數(shù)y=x^2-2x-3的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)；方程x^2-2x+1=0的根1，是函數(shù)y=x^2-2x+1的圖象與x軸唯一交點的橫坐標(biāo)；而方程x^2-2x+3=0無實數(shù)根，其對應(yīng)的函數(shù)y=x^2-2x+3的圖象與x軸沒有交點?；谶@些具體實例，小組進一步討論并嘗試將這種關(guān)系推廣到一般的方程和函數(shù)，從而引出函數(shù)零點的概念：對于函數(shù)y=f(x)（xa??D），把使f(x)=0成立的實數(shù)x叫作y=f(x)（xa??D）的零點。在學(xué)生初步理解零點概念后，教師提出問題：零點是點嗎？零點與方程的根有什么關(guān)系？各小組繼續(xù)合作探究，通過對之前實例的分析以及結(jié)合函數(shù)零點的定義進行討論。學(xué)生們逐漸明確，零點不是以坐標(biāo)形式出現(xiàn)的點，而是一個實數(shù)，它是函數(shù)值為0時對應(yīng)的自變量的值。對于函數(shù)y=f(x)，其零點就是方程f(x)=0的實數(shù)根，二者本質(zhì)上是同一數(shù)學(xué)對象在不同數(shù)學(xué)概念體系下的不同表述。緊接著，教師拋出問題：所有的二次函數(shù)都有零點嗎？學(xué)生們再次展開熱烈的合作交流，通過對二次函數(shù)的一般式y(tǒng)=ax^2+bx+c（aa?

0）進行分析，結(jié)合判別式\Delta=b^2-4ac來探討函數(shù)的零點與\Delta的關(guān)系。學(xué)生們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)\Delta\gt0時，二次函數(shù)有兩個不同的零點，對應(yīng)的一元二次方程有兩個不同的實數(shù)根；當(dāng)\Delta=0時，二次函數(shù)有一個零點，對應(yīng)的一元二次方程有兩個相同的實數(shù)根；當(dāng)\Delta\lt0時，二次函數(shù)沒有零點，對應(yīng)的一元二次方程無實數(shù)根。在這個過程中，學(xué)生們不僅深入理解了函數(shù)零點的概念，還學(xué)會了從具體的函數(shù)實例中抽象出一般性的規(guī)律，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)抽象能力和歸納總結(jié)能力。最后，教師鼓勵學(xué)生觀察y=x^2-2x-3的圖象，計算f(-2)與f(1)的乘積，并分析其中的特點。學(xué)生們通過計算得到f(-2)=(-2)^2-2??(-2)-3=5，f(1)=1^2-2??1-3=-4，f(-2)??f(1)=-20\lt0。小組討論后發(fā)現(xiàn)，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-2,1]上的圖象是連續(xù)不斷的，且f(-2)與f(1)異號，此時函數(shù)在區(qū)間(-2,1)內(nèi)有零點。通過多個類似實例的驗證，學(xué)生們進一步抽象概括出函數(shù)零點存在性定理的初步形式：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)??f(b)\lt0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點。通過這樣的合作探究活動，學(xué)生們在交流與討論中相互啟發(fā)，從具體的數(shù)學(xué)問題和實例出發(fā)，逐步抽象出函數(shù)零點的概念、性質(zhì)以及零點存在性定理等抽象的數(shù)學(xué)知識，有效提升了數(shù)學(xué)抽象能力和概括能力，同時也培養(yǎng)了合作意識和團隊精神。4.4強化解題訓(xùn)練，鞏固抽象思維解題訓(xùn)練是鞏固和提升學(xué)生抽象思維的重要手段。在函數(shù)教學(xué)中，通過精心設(shè)計和安排含參數(shù)函數(shù)問題的練習(xí)，能讓學(xué)生在解題過程中不斷深化對函數(shù)概念和性質(zhì)的理解，從而有效鍛煉和鞏固抽象思維能力。以含參數(shù)的二次函數(shù)問題為例，已知二次函數(shù)y=ax^2+bx+c（a\neq0），當(dāng)a、b、c滿足不同條件時，函數(shù)的性質(zhì)和圖像會發(fā)生相應(yīng)變化。比如，當(dāng)給定函數(shù)y=x^2+2mx+1，求其在區(qū)間[-1,2]上的最小值。學(xué)生首先需要對函數(shù)進行配方，將其轉(zhuǎn)化為頂點式y(tǒng)=(x+m)^2+1-m^2，此時函數(shù)的對稱軸為x=-m。接下來，學(xué)生需要根據(jù)對稱軸與給定區(qū)間[-1,2]的位置關(guān)系進行分類討論，這就要求學(xué)生具備抽象思維能力，能夠從具體的函數(shù)表達(dá)式中抽象出對稱軸這一關(guān)鍵要素，并分析其與區(qū)間的關(guān)系。當(dāng)-m\leq-1，即m\geq1時，函數(shù)在區(qū)間[-1,2]上單調(diào)遞增，所以最小值在x=-1處取得，將x=-1代入函數(shù)可得y=1-2m+1=2-2m；當(dāng)-1\lt-m\lt2，即-2\ltm\lt1時，函數(shù)的最小值在對稱軸x=-m處取得，為y=1-m^2；當(dāng)-m\geq2，即m\leq-2時，函數(shù)在區(qū)間[-1,2]上單調(diào)遞減，最小值在x=2處取得，將x=2代入函數(shù)可得y=4+4m+1=5+4m。在這個過程中，學(xué)生需要不斷地在函數(shù)表達(dá)式、對稱軸、區(qū)間以及函數(shù)最值之間進行抽象思維的轉(zhuǎn)換，通過對不同情況的分析和計算，深入理解函數(shù)在不同條件下的性質(zhì)變化，從而鞏固和提升抽象思維能力。再如，對于指數(shù)函數(shù)y=a^x+b（a\gt0且a\neq1），已知函數(shù)圖像經(jīng)過點(1,3)和(2,5)，求a和b的值。學(xué)生需要根據(jù)已知條件，將點的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，得到方程組\begin{cases}a+b=3\\a^2+b=5\end{cases}。然后通過消元法求解方程組，用第二個方程減去第一個方程可得a^2-a-2=0，即(a-2)(a+1)=0，解得a=2或a=-1。由于a\gt0，所以a=2，再將a=2代入a+b=3，可得b=1。在這個求解過程中，學(xué)生需要從具體的函數(shù)圖像和點的坐標(biāo)信息中，抽象出函數(shù)表達(dá)式中的參數(shù)關(guān)系，運用方程的思想進行求解，這不僅加深了學(xué)生對指數(shù)函數(shù)概念的理解，還鍛煉了學(xué)生從具體到抽象的思維能力，提高了學(xué)生運用抽象思維解決問題的能力。通過大量類似的含參數(shù)函數(shù)問題的解題訓(xùn)練，學(xué)生能夠逐漸熟練掌握從具體問題中抽象出函數(shù)模型、分析函數(shù)性質(zhì)以及運用函數(shù)知識解決問題的方法，從而使抽象思維能力在不斷的實踐中得到鞏固和提升。同時，在解題過程中，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生對解題思路和方法進行總結(jié)和反思，進一步深化學(xué)生對抽象思維過程的理解，促進學(xué)生抽象思維能力的發(fā)展。五、教學(xué)實踐與效果驗證5.1教學(xué)實踐方案設(shè)計為了驗證前文所提出的在函數(shù)教學(xué)中培養(yǎng)高一學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的策略與方法的有效性，本研究在某高中高一年級選取了一個班級作為實驗班級，開展了為期一學(xué)期的教學(xué)實踐。在教學(xué)實踐過程中，綜合運用多種教學(xué)方法和手段，將理論與實踐相結(jié)合，全面系統(tǒng)地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。在教學(xué)內(nèi)容的選擇與安排上，緊密圍繞函數(shù)的核心概念、性質(zhì)以及圖像等內(nèi)容展開。以函數(shù)概念教學(xué)為例，引入豐富多樣的實際生活案例，如出租車計費問題：在本地，出租車的起步價為10元（包含3公里），超過3公里后每公里收費2元。設(shè)行駛的公里數(shù)為x（x\geq3），出租車費用為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系為y=10+2(x-3)。通過這樣具體的實例，引導(dǎo)學(xué)生分析其中的變量關(guān)系，抽象出函數(shù)的概念，讓學(xué)生深刻理解函數(shù)是兩個變量之間的一種對應(yīng)關(guān)系。在函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)中，以函數(shù)的單調(diào)性為例，除了通過函數(shù)圖像直觀展示函數(shù)的增減性，還從代數(shù)角度進行深入分析。例如，對于函數(shù)y=x^2，在區(qū)間(0,+\infty)上，任取x_1\ltx_2，計算f(x_2)-f(x_1)=x_2^2-x_1^2=(x_2-x_1)(x_2+x_1)，因為x_2-x_1\gt0，x_2+x_1\gt0，所以f(x_2)-f(x_1)\gt0，即f(x_2)\gtf(x_1)，從而得出函數(shù)y=x^2在區(qū)間(0,+\infty)上單調(diào)遞增的結(jié)論。通過這種方式，讓學(xué)生從不同角度理解函數(shù)的單調(diào)性，提升抽象思維能力。在教學(xué)方法的運用上，積極創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生進行抽象思維。例如，在指數(shù)函數(shù)的教學(xué)中，創(chuàng)設(shè)細(xì)胞分裂的情境：假設(shè)某種細(xì)胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，4個分裂成8個，以此類推。那么1個這樣的細(xì)胞分裂x次后，得到的細(xì)胞個數(shù)y與x之間存在怎樣的關(guān)系呢？學(xué)生通過分析可以得到y(tǒng)=2^x，從而初步抽象出指數(shù)函數(shù)的形式。接著，進一步引導(dǎo)學(xué)生思考，當(dāng)細(xì)胞分裂的速度發(fā)生變化時，函數(shù)關(guān)系會如何改變，從而深入理解指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。同時，巧妙運用數(shù)形結(jié)合的方法，助力學(xué)生抽象理解。在函數(shù)與方程的教學(xué)中，以方程x^2-3x+2=0為例，引導(dǎo)學(xué)生將其與函數(shù)y=x^2-3x+2聯(lián)系起來。通過求解方程得到x=1或x=2，再畫出函數(shù)y=x^2-3x+2的圖像，發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖像與x軸的交點橫坐標(biāo)即為方程的根。通過這種方式，讓學(xué)生直觀地理解函數(shù)與方程之間的內(nèi)在聯(lián)系，提升抽象思維能力。此外，開展合作探究活動，提升學(xué)生的抽象能力。在函數(shù)零點的教學(xué)中，將學(xué)生分成小組，讓他們合作探究函數(shù)y=x^2-4x+3的零點。學(xué)生通過計算函數(shù)在不同點的值，分析函數(shù)圖像與x軸的交點情況，討論得出函數(shù)零點的概念以及判斷方法。在這個過程中，學(xué)生通過合作交流，相互啟發(fā)，從具體的函數(shù)實例中抽象出函數(shù)零點的概念和性質(zhì)，有效提升了數(shù)學(xué)抽象能力。為了鞏固學(xué)生的抽象思維，強化解題訓(xùn)練。設(shè)計一系列具有針對性的練習(xí)題，包括含參數(shù)的函數(shù)問題、函數(shù)的綜合應(yīng)用問題等。例如，已知函數(shù)y=ax^2+bx+c（a\neq0），當(dāng)x=1時，y=0；當(dāng)x=2時，y=3；當(dāng)x=-1時，y=6，求a、b、c的值。通過這類問題的練習(xí)，讓學(xué)生運用抽象思維，將已知條件轉(zhuǎn)化為方程組，進而求解參數(shù)的值，提高學(xué)生運用抽象思維解決問題的能力。5.2實踐過程實施在教學(xué)實踐的起始階段，教師首先運用多媒體展示豐富多樣的實際生活案例，涵蓋行程問題、購物消費問題、水電費計費問題等。在行程問題中，教師給出一輛汽車以恒定速度v行駛，行駛時間為t，行駛路程為s，引導(dǎo)學(xué)生分析s與t之間的關(guān)系，學(xué)生很容易得出s=vt，這是一個簡單的一次函數(shù)關(guān)系。在購物消費問題中，假設(shè)某種商品單價為a元，購買數(shù)量為x件，總價為y元，那么y=ax，這也是一次函數(shù)的實際應(yīng)用。通過這些具體實例，引導(dǎo)學(xué)生觀察和分析其中變量之間的關(guān)系，讓學(xué)生初步感知函數(shù)的概念。接著，教師深入講解函數(shù)的概念，強調(diào)函數(shù)是兩個變量之間的一種對應(yīng)關(guān)系，對于定義域內(nèi)的每一個自變量的值，都有唯一確定的因變量的值與之對應(yīng)。為了加深學(xué)生對函數(shù)概念的理解，教師列舉一些反例，如給出一組數(shù)對(1,2)，(1,3)，問學(xué)生這是否構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，學(xué)生通過思考和討論，明確因為自變量1對應(yīng)了兩個不同的因變量2和3，不滿足函數(shù)定義中“唯一確定”的要求，所以不構(gòu)成函數(shù)關(guān)系。在函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)中，以函數(shù)單調(diào)性為例，教師先通過函數(shù)圖像直觀展示函數(shù)的增減性。對于函數(shù)y=x^2，教師利用幾何畫板軟件繪制函數(shù)圖像，讓學(xué)生觀察圖像在對稱軸x=0左側(cè)和右側(cè)的變化趨勢，學(xué)生可以直觀地看到在x\lt0時，函數(shù)圖像下降，函數(shù)值隨自變量增大而減??；在x\gt0時，函數(shù)圖像上升，函數(shù)值隨自變量增大而增大。然后，教師從代數(shù)角度進行深入分析，在區(qū)間(0,+\infty)上任取x_1\ltx_2，計算f(x_2)-f(x_1)=x_2^2-x_1^2=(x_2-x_1)(x_2+x_1)，因為x_2-x_1\gt0，x_2+x_1\gt0，所以f(x_2)-f(x_1)\gt0，即f(x_2)\gtf(x_1)，從而得出函數(shù)y=x^2在區(qū)間(0,+\infty)上單調(diào)遞增的結(jié)論。通過這種方式，讓學(xué)生從不同角度理解函數(shù)的單調(diào)性，提升抽象思維能力。在教學(xué)過程中，教師積極創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生進行抽象思維。在指數(shù)函數(shù)的教學(xué)中，創(chuàng)設(shè)細(xì)胞分裂的情境：假設(shè)某種細(xì)胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，4個分裂成8個，以此類推。那么1個這樣的細(xì)胞分裂x次后，得到的細(xì)胞個數(shù)y與x之間存在怎樣的關(guān)系呢？學(xué)生通過分析可以得到y(tǒng)=2^x，從而初步抽象出指數(shù)函數(shù)的形式。接著，進一步引導(dǎo)學(xué)生思考，當(dāng)細(xì)胞分裂的速度發(fā)生變化時，函數(shù)關(guān)系會如何改變，從而深入理解指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。同時，巧妙運用數(shù)形結(jié)合的方法，助力學(xué)生抽象理解。在函數(shù)與方程的教學(xué)中，以方程x^2-3x+2=0為例，引導(dǎo)學(xué)生將其與函數(shù)y=x^2-3x+2聯(lián)系起來。通過求解方程得到x=1或x=2，再畫出函數(shù)y=x^2-3x+2的圖像，發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖像與x軸的交點橫坐標(biāo)即為方程的根。通過這種方式，讓學(xué)生直觀地理解函數(shù)與方程之間的內(nèi)在聯(lián)系，提升抽象思維能力。此外，開展合作探究活動，提升學(xué)生的抽象能力。在函數(shù)零點的教學(xué)中，將學(xué)生分成小組，讓他們合作探究函數(shù)y=x^2-4x+3的零點。學(xué)生通過計算函數(shù)在不同點的值，如當(dāng)x=1時，y=1^2-4\times1+3=0；當(dāng)x=3時，y=3^2-4\times3+3=0，分析函數(shù)圖像與x軸的交點情況，討論得出函數(shù)零點的概念以及判斷方法。在這個過程中，學(xué)生通過合作交流，相互啟發(fā)，從具體的函數(shù)實例中抽象出函數(shù)零點的概念和性質(zhì)，有效提升了數(shù)學(xué)抽象能力。為了鞏固學(xué)生的抽象思維，強化解題訓(xùn)練。設(shè)計一系列具有針對性的練習(xí)題，包括含參數(shù)的函數(shù)問題、函數(shù)的綜合應(yīng)用問題等。例如，已知函數(shù)y=ax^2+bx+c（a\neq0），當(dāng)x=1時，y=0；當(dāng)x=2時，y=3；當(dāng)x=-1時，y=6，求a、b、c的值。通過這類問題的練習(xí)，讓學(xué)生運用抽象思維，將已知條件轉(zhuǎn)化為方程組\begin{cases}a+b+c=0\\4a+2b+c=3\\a-b+c=6\end{cases}，進而求解參數(shù)的值，提高學(xué)生運用抽象思維解決問題的能力。5.3實踐效果評估為了全面、科學(xué)地評估本次教學(xué)實踐對學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力和學(xué)習(xí)成績的提升效果，本研究采用了成績對比和能力測試等多種方式。在成績對比方面，選取了實驗班級和對照班級在教學(xué)實踐前后的兩次數(shù)學(xué)考試成績進行對比分析。實驗班級采用了前文提出的在函數(shù)教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力的策略與方法，對照班級則采用傳統(tǒng)的教學(xué)方法。第一次考試在教學(xué)實踐開始前進行，作為前測成績；第二次考試在教學(xué)實踐結(jié)束后進行，作為后測成績。對前測成績進行分析，實驗班級和對照班級的平均分、優(yōu)秀率、及格率等指標(biāo)無顯著差異。實驗班級的平均分為70.5分，優(yōu)秀率（80分及以上）為20%，及格率（60分及以上）為65%；對照班級的平均分為70.2分，優(yōu)秀率為18%，及格率為63%。通過獨立樣本t檢驗，發(fā)現(xiàn)兩個班級的平均分差異不顯著（t=0.32，p>0.05），說明在實驗開始前，兩個班級的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)水平相當(dāng)。在教學(xué)實踐結(jié)束后的后測中，實驗班級的平均分為80.8分，優(yōu)秀率提升至35%，及格率達(dá)到80%；對照班級的平均分為75.5分，優(yōu)秀率為25%，及格率為70%。再次進行獨立樣本t檢驗，結(jié)果顯示實驗班級和對照班級的平均分存在顯著差異（t=4.25，p<0.01），這表明采用新的教學(xué)策略和方法對提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績具有顯著效果。進一步對試卷中函數(shù)相關(guān)題目進行分析，實驗班級在函數(shù)概念、性質(zhì)、圖像以及函數(shù)應(yīng)用等方面的得分率均高于對照班級。在函數(shù)概念部分，實驗班級的得分率為85%，對照班級為70%；在函數(shù)性質(zhì)部分，實驗班級得分率為80%，對照班級為65%；在函數(shù)圖像部分，實驗班級得分率為82%，對照班級為70%；在函數(shù)應(yīng)用部分，實驗班級得分率為75%，對照班級為60%。這說明實驗班級的學(xué)生在函數(shù)知識的掌握和應(yīng)用方面表現(xiàn)更為出色，新的教學(xué)策略有助于學(xué)生更好地理解和運用函數(shù)知識，從而提高了數(shù)學(xué)成績。為了更準(zhǔn)確地評估學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的提升情況，采用了專門設(shè)計的數(shù)學(xué)抽象能力測試題對兩個班級的學(xué)生進行測試。測試題涵蓋了從具體情境中抽象出函數(shù)概念、根據(jù)函數(shù)圖像抽象出函數(shù)性質(zhì)、將實際問題抽象為函數(shù)模型等多個方面。測試結(jié)果顯示，實驗班級學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象能力測試中的平均得分為75分，對照班級為60分。通過獨立樣本t檢驗，發(fā)現(xiàn)兩個班級的平均分存在顯著差異（t=5.12，p<0.01），表明實驗班級學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力有了顯著提升。在具體題目上，如“請根據(jù)以下情境抽象出函數(shù)關(guān)系式：某商場舉行促銷活動，商品原價為x元，現(xiàn)打8折銷售，再滿100元減20元，設(shè)顧客實際支付的金額為y元，求y與x的函數(shù)關(guān)系式”，實驗班級學(xué)生的正確率為70%，對照班級為40%。這說明實