（模塊化思維提升）專題11-最短線路問題-小升初數(shù)學思維拓展幾何圖形專項訓練

專題11最短線路問題小升初數(shù)學思維拓展幾何圖形專項訓練（知識梳理+典題精講+專項訓練）1、通常最短路線問題是以“平面內連結兩點的線中，直線段最短”為原則引申出來的，人們在生產、生活實踐中，常常遇到帶有某種限制條件的最近路線即最短路線問題．

如果研究問題的限制條件允許已知的兩點在同一平面內，那么所求的最短路線是線段；如果它們位于凸多面體的不同平面上，而允許走的路程限于凸多面體表面，那么所求的最短路線是折線段；如果它們位于圓柱和圓錐面上，那么所求的最短路線是曲線段；但允許上述哪種情況，它們都有一個共同點：當研究面僅限于可展開為平面上，兩點間的最短路線則是連結兩點的直線段.

2、當我們遇到的球面是不能展成一個平面的．我們用過A、B兩點及地球球心O的平面及截地球，在地球表面留下的截痕為圓周（稱大圓），在這個大圓周上A、B兩點之間不超過半個圓周的弧線就是所求的A、B兩點間的最短路線，航海上叫短路程線?！镜淅弧咳鐖D，小明家到學校有3條東西向的馬路和5條南北向的馬路．他每天步行從家到學校（只能向東或向南走），最多有多少種不同的走法？【分析】根據(jù)加法原理，利用“標數(shù)法”畫圖解答即可，注意只許向東或向南行，否則會有重復的情況．【解答】解：標數(shù)法如下：答：最多有15種不同的走法．【點評】解答最短的路線問題，利用“標數(shù)法”畫圖解答是最直觀不易出錯的最佳方法，特別是復雜的圖形；注意一定不要走“回頭路”．【典例二】如圖是連接城市、、的公路網(wǎng)，一輛汽車從地出發(fā)，經過到，可以選擇不繞遠路的不同路線共有幾種？【分析】由圖可知，由到有6種方法，由到有7種不繞遠路的方法（把繞遠的路線去掉），然后根據(jù)乘法原理即可解決．【解答】解：由到有6種方法，由到有7種不繞遠路的方法，根據(jù)乘法原理可知：由經過到有種方法．答：選擇不繞遠路的不同路線共有42種．【點評】尋找不繞遠路的路線，要按照一定的邏輯次序來排列可能路線，做到不重復數(shù)，也不遺漏．【典例三】如圖所示，小寧從家到少年宮，如果只是向東或向北走，一共有多少種不同的路線可走？【分析】先將路線標上數(shù)字，分別寫出路線，再計數(shù)．【解答】解：如圖所示：，路線有：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；共有7條路線．答：一共有7種不同的路線可走．【點評】解決本題要有順序地寫出路線，做到不重不漏．一．選擇題（共3小題）1．觀察圖：從西村到東村，走路線最近．A．西村荒地少年宮東村 B．西村體育場東村 C．西村少年宮東村2．如圖，一只小蟲要從點爬到點，如果這只小蟲只能向上爬或向右爬，那么，請你幫忙給它選擇最短的路線，你認為最短的路線有條．A．1 B．2 C．3 D．43．如圖所示，從到需沿圖中線段行走，那么由經到的最短路線有條．A．2 B．12 C．20 D．40二．填空題（共8小題）4．一長方體長、寬、高分別為3、2、1厘米，一只小蟲從一頂點出發(fā)，沿棱爬行，如果要求不走重復路線，小蟲回到出發(fā)頂點所走最長路徑是厘米，最短路徑是厘米．5．如圖，三只螞蟻分別站在同一條直線的不同點上，如果它們同時用同樣的速度朝箭頭所指的方向爬行，螞蟻最先吃到米粒，理由是。6．如圖是小明家到學校的三條線路圖，如果讓你幫助小明推薦一條上學最近的路線，推薦第條，請用數(shù)學語言說明理由：。7．沿著格子線（如圖），從點經過點到達點，沿最短路線走，有種不同的走法．8．如圖，在長、寬、高分別為，，的長方體上有一只螞蟻從頂點出發(fā)，要爬到頂點，這只螞蟻爬過的線路正好最短并經過點，則長．9．一個旅游團從地出發(fā)，最后目的地是處，他們要游覽圖上所有的古跡．圖上的數(shù)字是千米．這些旅游者要按最短的路線游覽，距離是千米．10．如圖，正方形和正方形的邊長都是3厘米．一條小蟲從點出發(fā)，先爬到點，然后沿箭頭所指方向（經過點后不拐彎）再連續(xù)爬行2003厘米后，它離點最近．11．如圖中、、處分別有一個籃球，東東從點去搶球，他去處最近，能最快搶到球。三．解答題12．圖是一個正方體紙盒。一只螞蟻從爬到，最近的路線是什么？從爬到，最近的路線又是什么？13．下圖是一張道路圖，每段路旁標注的數(shù)字表示小山羊走完這段路所需的分鐘數(shù)。問：小山羊從出發(fā)走到最快需要多少分鐘？14．一個長方體的長、寬、高分別是，，，一只螞蟻從頂點出發(fā)，沿棱爬行，如果要求不走重復路線，那么螞蟻回到出發(fā)時的頂點時，所走的最長路徑是多少厘米？15．周末，樂樂要去找酷酷玩，從樂樂家到酷酷家有下面幾條路可以走。你能說出哪條路最近，哪條路最遠嗎？16．某個旅游景點的地圖如圖所示，其中、、、、、是6個景點，連線表示這兩個景點之間有道路相連，數(shù)字表示走這段路所需要的時間（單位：分鐘）?，F(xiàn)在要從開始游覽全部景點，并返回，最少需要多久？（不計算在景點逗留的時間）17．操作題．小明家住甲村，奶奶家住乙村．小明星期天要從家里出發(fā)北山坡打柴，又到南山坡打柴，最后送到奶奶家．小明怎樣走路程最近（畫圖表示）．18．如圖，在街道上有、、、、五棟居民樓，為使五棟樓的居民到車站的距離之和最短，車站應立于何處？19．西湖小區(qū)有一個由三個大小不同的等邊三角形組成的綠化美化園區(qū)（如圖），從地到地，走哪條路最近？走這條路和走這條路的路程一樣嗎？為什么？20．“五一”長假就要到了，小新和爸爸決定去黃山玩．聰明的小朋友請你找找看從北京到黃山的最短路線共有幾條呢？21．如圖：從甲地到乙地有兩條線路，哪條線路近一些？參考答案一．選擇題（共3小題）1．【分析】從西村到東村，有三條路：，西村荒地少年宮東村；，西村體育場東村；，西村少年宮東村；根據(jù)圖易知：荒地、少年宮、西村構成一個三角形，兩邊之和（西村荒地的路程荒地少年宮的路程）大于第三邊（西村少年宮的路程），所以的路程要比的路程近；估測可知：西村體育場的路程與西村少年宮的路程相差不大，而體育場東村的路程比少年宮東村的路程要遠的多，所以的路程要比的路程進．【解答】解：由圖可知：從西村到東村，走“西村少年宮東村”路線最近．故選：．【點評】本題根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，以及估測的方法求解．2．【答案】【分析】動手畫一畫，找出走得方格的邊長最少的路線就最短．【解答】解：如圖所示：，共有3條最短的路線，都走過3個方格的邊長．故選：．【點評】尋找最短路線，不能走“回頭路”，要按照一定的邏輯次序來排列可能路線，做到不重復數(shù)，也不遺漏．3．【答案】【分析】要使行走的路線最短，只能橫向向右行走或縱向向下行走，以此為依據(jù)，從到只有2種走法；然后利用求最短路線的方法：“標數(shù)法”就可一次標出每個交叉點的走法．【解答】解：根據(jù)分析畫圖如下：所以由經到的最短路線有20條．故選：．【點評】利用求最短路線的方法：“標數(shù)法”時，要注意縱向和橫向邊沿的走法．二．填空題（共8小題）4．【分析】長方形的頂點都是奇點，要將它們都變成偶點才能從一個頂點出發(fā)，回到原頂點且路線不重復，這就需要去掉4條棱．但顯然不可能都去掉長度為1厘米的或去掉3條長度為1厘米的，這樣它的路就斷了，但可去掉兩條1厘米、兩條2厘米的梭，所以最長路徑是（厘米），最短路徑是厘米．【解答】解：如圖，長方形的頂點都是奇點，要將它們都變成偶點才能從一個頂點出發(fā)，回到原頂點且路線不重復，這就需要去掉4條棱．但顯然不可能都去掉長度為1的或去掉3條長度為1厘米的．故去掉，，，，后，可沿走．共長（厘米）最短路徑，假設從點出發(fā)，到點，再到點，再到點，然后回到點，路徑最短為：（厘米）．故答案為：18，6．【點評】本題通過畫圖來解決比較直觀．5．【答案】乙，直線外的一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短。【分析】根據(jù)“垂線段最短”的性質解答。【解答】解：如圖，三只螞蟻分別站在同一條直線的不同點上，如果它們同時用同樣的速度朝箭頭所指的方向爬行，乙螞蟻最先吃到米粒，理由是直線外的一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短。故答案為：乙，直線外的一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短?！军c評】解答本題的關鍵是熟練掌握“垂線段最短”的性質。6．【答案】②，兩點之間垂線段最短?！痉治觥繌男∶骷业綄W校有3條路，第一條路：小明家郵局學校；第二條路：小明家學校；第三條路：小明家商店學校；第一條路和第二條路組成了一個三角形，兩邊之和大于第三邊，所以①②。第二路和第三條路組成近似三角形，同理③②。【解答】解：根據(jù)分析可得；③②，①②故答案為：②，兩點之間垂線段最短?！军c評】本題考查了學生對三角形性質的掌握。7．【分析】要使行走的路線最短，只能橫向向右行走或縱向向上行走，以此為依據(jù)，從到只有2種走法；然后利用求最短路線的方法，列舉出即可．【解答】解：由圖可知：最短路線是7個格子，路線為：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；從點經過點到達點，沿最短路線走，有8種不同的走法；故答案為：8．【點評】此題考查了排列與組合問題，解題的關鍵是得到從經點到只能向右或向上，注意按順序依次數(shù)出，做到不重復不遺漏．8．【分析】要求長方體中兩點之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長方體展開，然后利用兩點之間線段最短解答，如圖連接，交于點，這就是螞蟻爬行的最短路線，根據(jù)題干可知：分米，分米，又因為，所以，由此即可求得的長度．【解答】解：根據(jù)展開圖分析和兩點之間線段最短可得：就是螞蟻爬行的最短路線，且，，（分米），答：的長為分米．故答案為：．【點評】此題主要考查了平面展開圖，求最短路徑，解決此類題目的關鍵是把長方體的側面展開“化立體為平面”，利用平行線間的對應線段成比例即可解決．9．【分析】要想走的路程最短，則需要盡量不迂回走，少走彎路即可，所以路線為：，再把各段路程相加即可．【解答】解：最短路線為：，則總路程為：，（千米）．答：這些旅游者要按最短的路線游覽，距離是790千米．故答案為：790．【點評】解決本題的關鍵是找出最短路線，再計算．10．【分析】通過分析，小蟲從點出發(fā)，爬行8條邊又回到點，即小蟲的爬行周期為8條邊，據(jù)此求出小蟲連續(xù)爬行2003厘米，爬過的正方形的邊數(shù)，從而求出小蟲到達的位置，做出判斷．【解答】解：發(fā)現(xiàn)小蟲爬行8條邊又回到點，也就是小蟲的爬行周期為8條邊；連續(xù)爬行2003厘米，共爬行正方形的邊數(shù)為：（條（厘米），也就是爬行了667條邊后，又往前爬行了2厘米；那么667條邊有幾個周期呢？（個周期）（條邊），小蟲這時爬行到點后，又向前爬行了3條邊，到達點；因為小蟲爬行了667條邊后，又往前爬行了2厘米，所以小蟲應超過點2厘米，應在距離點厘米處．綜上，小蟲離點最近．故答案為：．【點評】此題求出小蟲爬過的正方形的邊數(shù)和爬行周期，是解決問題的關鍵．11．【答案】。【分析】根據(jù)點到直線的距離垂線段最短判斷即可。【解答】解：根據(jù)點到直線的距離垂線段最短可得：圖中、、處分別有一個籃球，東東從點去搶球，他去處最近，能最快搶到球。故答案為：。【點評】本題主要考查了最短線路問題，解題的關鍵是明確點到直線的距離垂線段最短。三．解答題12．【答案】【分析】要求正方體中兩點之間的最短路徑，最直接的作法，就是將正方體展開，然后利用兩點之間線段最短解答?！窘獯稹拷猓壕G色為爬到最近的路線。黃色為爬到最近的路線。【點評】本題考查兩點之間直線最短。13．【答案】18分鐘?！痉治觥糠纸涍^左上角的點到，從經過中間的交叉點到，或從經過右下角的點到，三種情況求解?！窘獯稹拷猓簭慕涍^左上角的點到至少要：（分鐘）從經過中間的交叉點到至少要：（分鐘）從經過右下角的點到至少要：（分鐘）答：小山羊從出發(fā)走到最快需要18分鐘?！军c評】本題是一道有關最短路線問題的題目，要注意分三種情況求解。14．【答案】18厘米?！痉治觥恳刮浵佀叩穆窂阶铋L，應從點出發(fā)，在上面走2條長和1條寬，接下來在后面都1條高，再在下面走2條長和1條寬；最后在前面走1條高回到出發(fā)點，進而確定走的長、寬、高的條數(shù)，然后根據(jù)已知數(shù)據(jù)，列式計算，即可解答?！窘獯稹拷猓捍穑核叩淖铋L路徑是18厘米?！军c評】本題是一道關于長方體的題目，解答本題的關鍵是掌握長方體的特征。15．【答案】第②條路最近，第①條和第③條路最遠?！痉治觥坑^察圖形可得：先向下走的這條路線①的總長度是長方形的一個長與寬的和；對路線③進行平移，可得此條路線的總長度也是長方形的一個長與寬的和；再結合兩點之間線段最短，可知②線路最短，本題即可解答?！窘獯稹拷猓悍治隹芍旱冖跅l路最近，第①條和第③條路最遠?！军c評】本題是一道找最短路線的題目，可利用平移法進行解答。16．【答案】240分鐘?！痉治觥勘绢}是一道有關優(yōu)化、萬以內數(shù)的加減法的題目；由于到和到所需要的時間要比到的時間長很多，如果走不重復路線的話時間不是最短的，最短路徑為。【解答】解：根據(jù)題意分析可知，最短路徑為。（分鐘）答：最少需要240分鐘?！军c評】本題考查了最短路線知識，結合題意分析解答即可。17．【分析】根據(jù)兩點之間，直線段最短，這就是一種極端情況；如圖，用“對稱”方法找出甲和乙，連接甲乙后交北山坡于，交南山坡于．據(jù)此解答．【解答】解：兩點之間，直線段最短，這就是一種極端情況．如圖，用“對稱”方法找出甲和乙，連接甲乙后交北山坡于，交南山坡于；小明應在處打柴，在處打柴．小明應按一下線路走：甲村乙村，此時路程最近．【點評】明確“兩點之間，直線段最短”，是解答此題的關鍵．18．【答案】棟居民樓處?！痉治觥繉⑽鍡澗用駱强闯?個點，因為兩點之間線段最短，又因為點的個數(shù)是奇數(shù)，所以要使五棟樓的居民到車站的距離之和最短，車站應設在點。【解答】解：將五棟居民樓看