陜西省西安市長安區(qū)一中2025屆高二數(shù)學第二學期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

陜西省西安市長安區(qū)一中2025屆高二數(shù)學第二學期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列四個命題中正確的是①若則;②若則;③若,則;④若則A．①②④ B．②③ C．①④ D．②④2．已知定義在上的函數(shù)，若是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，當時，，則（）A． B． C． D．3．已知集合P={x|x2-2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，則（?RP）∩Q=（）A． B． C． D．4．已知橢圓，則以點為中點的弦所在直線方程為（）A． B．C． D．5．函數(shù)的一個零點落在下列哪個區(qū)間（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）6．在一次抽獎活動中，一個箱子里有編號為至的十個號碼球(球的大小、質地完全相同，但編號不同)，里面有個號碼為中獎號碼，若從中任意取出個小球，其中恰有個中獎號碼的概率為，那么這個小球中，中獎號碼小球的個數(shù)為A． B． C． D．7．某國際會議結束后，中、美、俄等21國領導人合影留念，他們站成兩排，前排11人，后排10人，中國領導人站在前排正中間位置，美俄兩國領導人也站前排并與中國領導人相鄰，如果對其他國家領導人所站位置不做要求，那么不同的站法共有（）A．種 B．種 C．種 D．種8．定義運算，，例如，則函數(shù)的值域為（）A． B． C． D．9．若復數(shù)是純虛數(shù)，則的共軛復數(shù)在復平面內對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．把語文、數(shù)學、英語、物理、化學這五門課程安排在一天的五節(jié)課中，如果數(shù)學必須比語文先上，則不同的排法有多少種（）A．24 B．60 C．72 D．12011．已知三棱錐的每個頂點都在球的球面上，平面，，，，則球的體積為（）A． B． C． D．12．甲、乙、丙三位同學站成一排照相，則甲、丙相鄰的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若隨機變量的分布列如表所示，則______.01Pa14．若圓柱的側面展開圖是一個正方形，則它的母線長和底面半徑的比值是__________．15．從集合{1,2，…，30}中取出五個不同的數(shù)組成單調遞增的等差數(shù)列，則所有符合條件的不同的數(shù)列個數(shù)是______．16．在中，若，則的外接圓半徑，將此結論拓展到空間，可得出的正確結論是：在四面體中，若兩兩垂直，，則四面體的外接球半徑______________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知實數(shù)為整數(shù)，函數(shù)，（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）如果存在，使得成立，試判斷整數(shù)是否有最小值，若有，求出值；若無，請說明理由（注：為自然對數(shù)的底數(shù)）.18．（12分）已知橢圓的左右頂點分別是，，點在橢圓上，過該橢圓上任意一點P作軸，垂足為Q，點C在的延長線上，且．（1）求橢圓的方程；（2）求動點C的軌跡E的方程；（3）設直線（C點不同A、B）與直線交于R，D為線段的中點，證明：直線與曲線E相切；19．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)在其定義域內單調遞增，求實數(shù)的最大值；（2）若存在正實數(shù)對，使得當時，能成立，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周長.21．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)．(1)解不等式；(2)若函數(shù)的最小值為，且，求的取值范圍．22．（10分）環(huán)境問題是當今世界共同關注的問題，我國環(huán)?？偩指鶕?jù)空氣污染指數(shù)PM2.5濃度，制定了空氣質量標準：空氣污染指數(shù)(0，50](50，100](100，150](150，200](200，300](300，＋∞)空氣質量等級優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染某市政府為了打造美麗城市，節(jié)能減排，從2010年開始考察了連續(xù)六年11月份的空氣污染指數(shù)，繪制了頻率分布直方圖，經過分析研究，決定從2016年11月1日起在空氣質量重度污染和嚴重污染的日子對機動車輛限號出行，即車牌尾號為單號的車輛單號出行，車牌尾號為雙號的車輛雙號出行(尾號是字母的，前13個視為單號，后13個視為雙號).王先生有一輛車，若11月份被限行的概率為0.05.(1)求頻率分布直方圖中m的值；(2)若按分層抽樣的方法，從空氣質量等級為良與中度污染的天氣中抽取6天，再從這6天中隨機抽取2天，求至少有一天空氣質量是中度污染的概率；(3)該市環(huán)保局為了調查汽車尾氣排放對空氣質量的影響，對限行兩年來的11月份共60天的空氣質量進行統(tǒng)計，其結果如下表：空氣質量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染天數(shù)112711731根據(jù)限行前6年180天與限行后60天的數(shù)據(jù)，計算并填寫2×2列聯(lián)表，并回答是否有90%的把握認為空氣質量的優(yōu)良與汽車尾氣的排放有關.空氣質量優(yōu)、良空氣質量污染總計限行前限行后總計參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考公式：，其中.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)選項利用判定定理、性質定理以及定義、舉例逐項分析.【詳解】①當都在平面內時，顯然不成立，故錯誤；②因為，則過的平面與平面的交線必然與平行；又因為，所以垂直于平面內的所有直線，所以交線，又因為交線，則，故正確；③正方體上底面的兩條對角線平行于下底面，但是兩條對角線不平行，故錯誤；④因為垂直于同一平面的兩條直線互相平行，故正確；故選：D.本題考查判斷立體幾何中的符號語言表述的命題的真假，難度一般.處理立體幾何中符號語言問題，一般可采用以下方法：（1）根據(jù)判定、性質定理分析；（2）根據(jù)定義分析；（3）舉例說明或者作圖說明.2、A【解析】

根據(jù)是偶函數(shù)判出是函數(shù)的對稱軸，結合是奇函數(shù)可判斷出函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，由此求得的值.【詳解】由于是偶函數(shù)，所以函數(shù)的一條對稱軸為，由于函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)圖像關于原點對稱，故函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，故，故選A.本小題主要考查函數(shù)的奇偶性、考查函數(shù)的對稱性、考查函數(shù)的周期性，考查函數(shù)值的求法，屬于基礎題.3、C【解析】

先化簡集合A，再求，進而求.【詳解】x（x-2）≥0，解得：x≤0或x≥2，即P=（-∞，0]∪[2，+∞）由題意得，=（0,2），∴，故選C.本題考查的是有關集合的運算的問題，在解題的過程中，要先化簡集合，明確集合的運算法則，進而求得結果．4、A【解析】

利用點差法求出直線的斜率，再利用點斜式即可求出直線方程．【詳解】解：設以點為中點的弦與橢圓交于點，，，，則，，分別把點，的坐標代入橢圓方程得：，兩式相減得：，，直線的斜率，以點為中點的弦所在直線方程為：，即，故選：．本題主要考查了點差法解決中點弦問題，屬于中檔題．5、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的零點存在原理判斷區(qū)間端點處函數(shù)值的符號情況，從而可得答案.【詳解】由的圖像在上是連續(xù)不間斷的.且在上單調遞增，又，,根據(jù)函數(shù)的零點存在原理有：在在有唯一零點且在內.故選：B.本題考查函數(shù)的零點所在區(qū)間，利用函數(shù)的零點存在原理可解決，屬于基礎題.6、C【解析】

利用古典概型列出恰有1個中獎號碼的概率的方程，解方程即可．【詳解】依題意，從10個小球中任意取出1個小球，其中恰有1個中獎號碼的概率為，所以，所以n（10﹣n）（9﹣n）（8﹣n）＝180，（n∈N*）解得n＝1．故選：C．本題考查了古典概型的概率公式的應用，考查了計數(shù)原理及組合式公式的運算，屬于中檔題．7、D【解析】

先排美國人和俄國人，方法數(shù)有種，剩下人任意排有種，故共有種不同的站法.8、D【解析】分析：欲求函數(shù)y=1*2x的值域，先將其化成分段函數(shù)的形式，再畫出其圖象，最后結合圖象即得函數(shù)值的取值范圍即可．詳解：當1≤2x時，即x≥0時，函數(shù)y=1*2x=1當1＞2x時，即x＜0時，函數(shù)y=1*2x=2x∴f（x）=由圖知，函數(shù)y=1*2x的值域為：（0，1]．故選D．點睛：遇到函數(shù)創(chuàng)新應用題型時，處理的步驟一般為：①根據(jù)“讓解析式有意義”的原則，先確定函數(shù)的定義域；②再化簡解析式，求函數(shù)解析式的最簡形式，并分析解析式與哪個基本函數(shù)比較相似；③根據(jù)定義域和解析式畫出函數(shù)的圖象④根據(jù)圖象分析函數(shù)的性質．9、C【解析】

由純虛數(shù)的定義和三角恒等式可求得，根據(jù)二倍角公式求得；根據(jù)復數(shù)的幾何意義可求得結果.【詳解】為純虛數(shù)，，即，，，，對應點的坐標為，位于第二象限.則的共軛復數(shù)在復平面內對應的點位于第三象限故選：.本題考查復數(shù)對應點的坐標的問題的求解，涉及到同角三角函數(shù)值的求解、二倍角公式的應用、復數(shù)的幾何意義等知識.10、B【解析】

由題意,先從五節(jié)課中任選兩節(jié)排數(shù)學與語文,剩余的三節(jié)任意排列,則有種不同的排法.本題選擇B選項.11、B【解析】

根據(jù)所給關系可證明，即可將三棱錐可補形成長方體，即可求得長方體的外接球半徑，即為三棱錐的外接球半徑，即可得球的體積.【詳解】因為平面BCD，所以，又AB=4，，所以，又，所以，則．由此可得三棱錐可補形成長方體如下圖所示：設長方體的外接球半徑為，則，所以球的體積為，故選:B.本題考查了三棱錐外接球體積的求法，將三棱錐補全為棱柱是常用方法，屬于中檔題.12、C【解析】分析：通過枚舉法寫出三個人站成一排的所有情況，再找出其中甲、丙相鄰的情況，由此能求出甲、丙相鄰的概率.詳解：三人站成一排，所有站法有：（甲乙丙）、（甲丙乙）、（乙甲丙）、（乙丙甲）、（丙甲乙）、（丙乙甲）共6種，其中甲、丙相鄰有4種，所以，甲、丙相鄰的概率為.故選C.點睛：本題考查古典概型的概率的求法，解題時要注意枚舉法的合理運用.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先由分布列，根據(jù)概率的性質求出，再求出期望，根據(jù)方差的計算公式，即可得出結果.【詳解】由分布列可得：，解得，所以，因此，所以.故答案為：.本題主要考查求離散型隨機變量的方差，熟記計算公式即可，屬于?？碱}型.14、【解析】試題分析：設圓柱的底面半徑為r,母線長為l，由題意r=l，∴考點：本題考查了圓柱展開圖的性質點評：掌握圓柱的性質是解決此類問題的關鍵，屬基礎題15、2【解析】

根據(jù)題意，設滿足條件的一個等差數(shù)列首項為a1，公差為d，d∈N*.確定d的可能取值為1，2，3，【詳解】根據(jù)題意，設滿足條件的一個等差數(shù)列首項為a1，公差為d，必有d∈則a5=a則d的可能取值為1，2，3，…，1．對于給定的d，a1=a5-4d≤30-4d，當a1分別取1，2，3，(如：d=1時，a1≤26，當a1分別取1，2，3，可得遞增等差數(shù)列26個：1，2，3，4，5；2，3，…，6；…；26，21，…，30，其它同理)．當d取1，2，3，…，1時，可得符合要求的等差數(shù)列的個數(shù)為：12故答案為：2．本題主要考查了合情推理，涉及等差數(shù)列的性質，關鍵是確定d的取值范圍，屬于難題.16、【解析】

通過條件三條棱兩兩垂直，可將其補為長方體，從而求得半徑.【詳解】若兩兩垂直,可將四面體補成一長方體，從而長方體的外接球即為四面體的外接球，于是半徑，故答案為.本題主要考查外接球的半徑，將四面體轉化為長方體求解是解決本題的關鍵.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）函數(shù)的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是（2）的最小值為1【解析】

（1）求導函數(shù)后，注意對分式分子實行有理化，注意利用平方差公式，然后分析單調性；（2）由可得不等式，通過構造函數(shù)證明函數(shù)的最值滿足相應條件即可；分析函數(shù)時，注意極值點唯一的情況，其中導函數(shù)等于零的式子要注意代入化簡.【詳解】解：（1）已知，函數(shù)的定義域為，因此在區(qū)間上，在區(qū)間上，所以函數(shù)的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是.（2）存在，，使得成立設，只要滿足即可，易知在上單調遞增，又，，，所以存在唯一的，使得，且當時，；當時，.所以在上單調遞減，在上單調遞增，，又，即，所以.所以，因為，所以，則，又.所以的最小值為1.本題考查導數(shù)的綜合運用，難度較難，也是高考必考的考點.對于極值點唯一的情況，一定要注意極值點處導函數(shù)等于零對應的表達式，這對于后面去計算函數(shù)的最值時去化簡有直接用途.18、（1）；（2）；（3）證明略；【解析】

（1）根據(jù)頂點坐標可知，將代入橢圓方程可求得，進而得到橢圓方程；（2）設，，可得到，將代入橢圓方程即可得到所求的軌跡方程；（3）設，可得直線方程，進而求得和點坐標；利用向量坐標運算可求得，從而證得結論.【詳解】（1）由題意可知：將代入橢圓方程可得：，解得：橢圓的方程為：（2）設，由軸，可得：，即將代入橢圓方程得：動點的軌跡的方程為：（3）設，則直線方程為：令，解得：，即直線與曲線相切本題考查直線與橢圓、直線與圓的綜合應用問題，涉及到橢圓方程的求解、動點軌跡的求解問題、直線與圓位置關系的證明等知識；求解動點軌跡的常用方法是利用動點表示出已知曲線上的點的坐標，從而代入已知曲線方程整理可得動點軌跡.19、（1）4（2）【解析】

（1）先求導，再根據(jù)導數(shù)和函數(shù)的單調性的關系即可求出的范圍，（2）根據(jù)題意可得，因此原問題轉化為存在正實數(shù)使得等式成立，構造函數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)的值域，即可求出的取值范圍．【詳解】解析：（1）由題意得，函數(shù)在其定義域內單調遞增，則在內恒成立，故.因為（等號成立當且僅當即）所以（經檢驗滿足題目），所以實數(shù)的最大值為4.（2）由題意得，則，因此原問題轉化為：存在正數(shù)使得等式成立.整理并分離得，記，要使得上面的方程有解，下面求的值域，，故在上是單調遞減，在上單調遞增，所以，又，故當，，綜上所述，，即實數(shù)的取值范圍為.本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用，考查轉化思想，屬于中檔題．20、（1）（2）【解析】

試題分析：（1）根據(jù)正弦定理把化成，利用和角公式可得從而求得角；（2）根據(jù)三角形的面積和角的值求得，由余弦定理求得邊得到的周長.試題解析：（1）由已知可得（2）又，的周長為考點：正余弦定理解三角形.21、（1）；（2）【解析】分析：(1)由知，分類討論即可求解不等式的解集；(2)由條件，根據(jù)絕對值的三角不等式，求得其最小值，即，再利用均值不等式，求得的最小值，進而得