人教版九年級數(shù)學下冊27. 2.1　相似三角形的判定 課件

第二十七章相似

27.2.1相似三角形的判定

第一課時平行線分線段成比例一、情景導入1．相似多邊形的對應角______，對應邊________，對應邊的比叫做__________．2．如圖，△ABC和△A′B′C′相似需要滿足什么條件？相似用符號“∽”表示，讀作“相似于”．△ABC與△A′B′C′相似記作“△ABC∽△A′B′C′”．ABCA′B′C′相等成比例相似比二、探究新知1．平行線分線段成比例(基本事實)如圖①，小方格的邊長都是1，直線a∥b∥c，分別交直線m，n于A1，A2，A3，B1，B2，B3．A1A2A3B1B2B3mnabc圖①二、探究新知(1)計算你有什么發(fā)現(xiàn)？A1A2A3B1B2B3mnabc圖①二、探究新知(2)將b向下平移到如圖②的位置，直線m，n與直線b的交點分別為A2，B2．你在問題(1)中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論還成立嗎？如果將b平移到其他位置呢？A1A2A3B1B2B3mnabc圖②二、探究新知(3)根據(jù)前兩問，你認為在平面上任意作三條平行線，用它們截兩條直線，截得的對應線段成比例嗎？A1A2A3B1B2B3mnabc圖②二、探究新知歸納：一般地，我們有平行線分線段成比例的基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例．符號語言：若a∥b∥c

，則A1A2A3B1B2B3bc二、探究新知想一想：

1．如何理解“對應線段”？2．“對應線段”成比例都有哪些表達形式？二、探究新知2．平行線分線段成比例定理的推論如圖，直線a∥b∥c，由平行線分線段成比例的基本事實，我們可以得出圖中對應成比例的線段，把直線n向左或向右任意平移，這些線段依然成比例．A1A2A3B1B2B3bcmna二、探究新知直線n向左平移到B1與A1重合的位置，說說圖中有哪些成比例線段？把圖中的部分線擦去，得到新的圖形，剛剛所說的線段是否仍然成比例？A1A2A3bcmB1B2B3naA1(B1)A2A3B2B3(B1)二、探究新知歸納：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應線段成比例．A1(B1)A2A3B2B3A2(B2)A1A3B1B3二、探究新知例1如圖，在△ABC中，EF∥BC．(1)如果E、F分別是AB和AC上的點，AE＝BE＝7，F(xiàn)C＝4，那么AF的長是多少？(2)如果AB＝10，AE＝6，AF＝5，那么FC的長是多

少？ABCEF二、探究新知解：(1)∵∴解得AF＝4．二、探究新知(2)∵∴解得AC＝∴FC＝AC－AF＝二、探究新知3．相似三角形的引理

如圖，在△ABC中，D為AB上任意一點，過點D作BC的平行線DE，交AC于點E．問題1

△ADE與△ABC的三個角分別相等嗎？問題2

分別度量△ADE與△ABC的邊長，它們的邊長是否對應成比例？BCADE二、探究新知問題3你認為△ADE與△ABC之間有什么關系？平行移動DE的位置，你的結(jié)論還成立嗎？通過度量，我們發(fā)現(xiàn)△ADE∽△ABC，且只要DE∥BC，這個結(jié)論恒成立．BCADE二、探究新知想一想：我們通過度量三角形的邊長，知道△ADE∽△ABC，但要用相似的定義去證明它，我們需要證明什么？

由前面的結(jié)論，我們可以得到什么？還需證明什么？BCADE二、探究新知由前面的結(jié)論可得需要證明的是

而除DE外，其他的線段都在△ABC的邊上，要想利用前面學到的結(jié)論來證明三角形相似，需要怎樣做呢？可以將DE平移到BC邊上去．BCADE二、探究新知用相似的定義證明△ADE∽△ABC．證明：在△ADE與△ABC中∠A＝∠A．∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C．如圖，過點D作DF∥AC，交BC于點F．∵DE∥BC，DF∥AC，CABDEF二、探究新知∴∵四邊形DFCE為平行四邊形，∴DE=FC，∴∴△ADE∽△ABC．二、探究新知由此我們得到判定三角形相似的定理：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．二、探究新知三角形相似的兩種常見類型：“A”型

“X”型DEABCABCDE三、課堂小結(jié)推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊延長線)，所得的對應線段成比例．相似三角形判定的引理：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例．平行線分線段成比例四、課堂訓練1．如圖，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中錯誤的是()．

A．B．C.D.ACEBDFl2l1l3D四、課堂訓練2．如圖，DE∥BC，則_______

；FG∥BC，則_______

．ABCEDFG四、課堂訓練3．已知：如圖，AB∥EF∥CD，圖中共有_______

對相似三角形．CDABEFO3四、課堂訓練4．若△ABC與△A′B′C′相似，一組對應邊的長為AB＝3cm，A′B′＝4cm，那么△A′B′C′與△ABC的相似比是_____．4︰3四、課堂訓練5．如圖，在△ABC中，DE∥BC，則△____∽△

____，對應邊的比例式為＝

____＝

____．BCADEADEABC四、課堂訓練6．已知△ABC∽△A1B1C1，相似比是1∶4，△A1B1C1∽△A2B2C2，相似比是1∶5，則△ABC與△A2B2C2的相似比為_______．1∶20四、課堂訓練7．如圖，在□ABCD中，EF∥AB，DE∶EA＝2∶3，EF＝4，求CD的長．解：∵EF∥AB，DE∶EA＝2∶3，∴△DEF∽△DAB．∴即解得AB＝10．又∵四邊形ABCD為□，∴CD＝AB＝10．DACBEF四、課堂訓練8．如圖，已知菱形ABCD內(nèi)接于△AEF，AE＝5cm，AF＝4cm，求菱形的邊長．解：∵四邊形ABCD為菱形，∴CD∥AB，∴設菱形的邊長為xcm，則CD＝AD＝xcm，DF＝(4－x)cm，∴解得x＝

∴菱形的邊長為cm．五、作業(yè)教科書第42頁習題27.2第4，5題．

第二十七章相似

27.2.1

相似三角形的判定

第二課時三邊成比例的兩個三角形相似一、情景導入1．什么是相似三角形？在前面的課程中，我們學過哪些判定三角形相似的方法？2．證明三角形全等有哪些方法？3．類似于判定三角形全等的SSS方法，我們能不能通過三邊來判定兩個三角形相似呢？

ABCDE一、情景導入

畫△ABC和△A′B′C′，使

動手量一量這兩個三角形的角，它們分別相等嗎？這兩個三角形是否相似？ABCC′B′A′二、探究新知通過測量不難發(fā)現(xiàn)∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，又因為兩個三角形的邊對應成比例，所以△ABC∽△A′B′C′．下面我們用前面所學得定理證明該結(jié)論．ABCC′B′A′二、探究新知證明：

在線段AB(或延長線)上截取AD＝A′B′，過點D作DE∥BC交AC于點E．∵DE∥BC

，∴△ADE∽△ABC．

∴又

AD＝A′B′，∴C′B′A′BCADE二、探究新知∴DE＝B′C′，EA＝C′A′．∴△ADE≌△A′B′C′，△A′B′C′∽△ABC．二、探究新知歸納：由此我們得到利用三邊判定三角形相似的定理：三邊成比例的兩個三角形相似．符號語言：∵∴△

ABC∽△A′B′C′．二、探究新知例1

判斷圖中的兩個三角形是否相似，并說明理由．ABC33.54DFE1.82.12.4二、探究新知解：在△ABC

中，AB＞BC＞CA，在△DEF中，

DE＞

EF＞FD．∵∴∴△ABC∽△DEF．二、探究新知方法總結(jié)：判定三角形相似的方法之一：如果題中給出了兩個三角形的三邊的長，分別算出三條對應邊的比值，看是否相等．注意：計算時最長邊與最長邊對應，最短邊與最短邊對應．二、探究新知例2

如圖，在Rt△ABC與Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90o，且求證：△A′B′C′∽△ABC．二、探究新知證明：由已知條件得AB＝2A′B′，AC＝2A′C′，∴BC2＝AB2－AC2＝(2A′B′)2－(2A′C′)2＝4A′B′2－4A′C′2＝4(A′B′2－A′C′2)＝4B′C′2＝(2B′C′)2．∴BC＝2B′C′，∴△A′B′C′∽△ABC．(三邊對應成比例的兩個三角形相似)二、探究新知例3

如圖，在△ABC和△ADE中，

∠BAD＝20°，求∠CAE的度數(shù)．ABCDE二、探究新知解：∵∴△ABC∽△ADE．∴∠BAC＝∠DAE，∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．∵∠BAD＝20°，∴∠CAE＝20°．二、探究新知例4如圖，已知AB∶AD＝BC∶DE＝AC∶AE，找出圖中相等的角(對頂角除外)，并說明你的理由．ABCDE二、探究新知解：在△ABC和△ADE中，∵

AB∶CD＝BC∶DE＝AC∶AE，∴△ABC∽△ADE．∴∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，∠C＝∠E．∴∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD．∴∠BAD＝∠CAE．故圖中相等的角有∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，∠C＝∠E，∠BAD＝∠CAE．三、課堂小結(jié)三邊成比例的兩個三角形相似

利用三邊判定兩個三角形相似相似三角形的判定定理的運用四、課堂訓練1．已知△ABC和△DEF，根據(jù)下列條件判斷它們是否相似．(1)AB＝3，BC＝4，AC＝6，

DE＝6，EF＝8，DF＝9；(2)AB＝4，BC＝8，AC＝10，DE＝20，EF＝16，DF＝8；(3)AB＝12，BC＝15，AC＝24，DE＝16，EF＝20，DF＝30．是否否四、課堂訓練2．如圖，在大小為4×4的正方形網(wǎng)格中，是相似三角形的是()．

A．①和②

B．②和③C．①和③

D．②和④①②③④C四、課堂訓練3．如圖，∠APD＝90°，AP＝PB＝BC＝CD，下列結(jié)論正確的是(

)．A．△PAB∽△PCA

B．△PAB∽△PDA

C．△ABC∽△DBA

D．△ABC∽△DCA

ACBPDC四、課堂訓練解析：設AP＝PB＝BC＝CD＝1，∵∠APD＝90°，∴AB＝

AC＝

AD＝

∵

AB∶BC＝BD∶AB＝AD∶AC，∴△ABC∽△DBA，故選C．四、課堂訓練4．根據(jù)下列條件，判斷△ABC與△A′B′C′是否相似：AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝8cm，A′B′＝12cm，B′C′＝18cm，A′C′＝21cm．答案：不相似．四、課堂訓練5．如圖，△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，求證：△ABC∽△EFD．四、課堂訓練證明：∵△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，∴∴∴△ABC∽△EFD．四、課堂訓練6．如圖，某地四個鄉(xiāng)鎮(zhèn)A，B，C，D之間建有公路，已知AB＝14千米，AD＝28千米，BD＝21千米，DC＝31.5千米，公路AB與CD平行嗎？說出你的理由．ACBD2814214231.5四、課堂訓練解：公路AB與CD平行．∴∴△ABD∽△BDC，∴∠ABD＝∠BDC，∴AB∥DC．五、作業(yè)教科書第34頁練習第2，3題．教科書第42頁習題27.2第1，2題．第二十七章相似

27.2.1相似三角形的判定

第三課時兩邊成比例且夾角相等的

兩個三角形相似一、情景導入1．回憶我們學習過的判定三角形相似的方法．類比證明三角形全等的方法，猜想證明三角形相似還有哪些方法？2．類似于判定三角形全等的SAS方法，能不能通過兩邊和夾角來判定兩個三角形相似呢？二、探究新知用刻度尺和量角器畫△ABC和△A′B′C′，使∠A＝∠A′，量出BC及B′C′的長，它們的比值等于k嗎？再量一量兩個三角形另外的兩個角，你有什么發(fā)現(xiàn)？△ABC與△A′B′C′有何關系？改變k和∠A的值的大小，是否有同樣的結(jié)論？二、探究新知如圖，在△ABC與△A′B′C′中，已知∠A＝∠A′，求證：△ABC∽△A′B′C′．證明：在△A′B′C′的邊A′B′上截取點D，使A′D＝AB．過點D作DE∥B′C′，交A′C′于點

E．∵DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′．∴BACDEB'A'C'二、探究新知∵A′D＝AB，∴∴A′E＝AC．

又∠A′＝∠A．∴△A′DE≌△ABC，∴△A′B′C′∽△ABC．二、探究新知歸納：由此得到利用兩邊和夾角來判定三角形相似的定理：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似．符號語言：∵∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′．BACB'A'C'二、探究新知思考：對于△ABC和△A′B′C′，如果A′B′∶AB＝A′C′∶AC．∠B＝∠B′，這兩個三角形一定會相似嗎？

不會，如下圖，因為不能證明構(gòu)造的三角形和原三角形全等．

A

B

C

A′

B′

B″

C′二、探究新知結(jié)論：如果兩個三角形兩邊對應成比例，但相等的角不是兩條對應邊的夾角，那么兩個三角形不一定相似，相等的角一定要是兩條對應邊的夾角．二、探究新知例1根據(jù)下列條件，判斷△ABC

和△A′B′C′是否相似，并說明理由：∠A＝120°

，AB＝7cm，AC＝14cm，∠A′＝120°，A′B′＝3cm，A′C′＝6cm．解：∵∴又∠A′＝∠A，∴△ABC∽△A′B′C′．二、探究新知例2

如圖，△ABC與△ADE都是等腰三角形，AD＝AE，AB＝AC，∠DAB＝∠CAE．求證：△ABC∽△ADE．證明：∵△ABC與△ADE是等腰三角形，∴AD＝AE，AB＝AC，∴又∵∠DAB＝∠CAE，∴∠DAB+∠BAE＝∠CAE+∠BAE，即∠DAE＝∠BAC，∴△ABC∽△ADE．ABCDE二、探究新知例3如圖，D，E分別是△ABC的邊AC，AB上的點，AE＝1.5，AC＝2，BC＝3，且求DE的長．ACBED二、探究新知解：∵AE＝1.5，AC＝2，

∴又∵∠EAD＝∠CAB，∴△ADE∽△ABC，∴∴二、探究新知例4如圖，在△ABC

中，CD是邊AB上的高，且

求證∠ACB＝90°．ABCD二、探究新知證明：

∵CD是邊AB上的高，∴∠ADC＝∠CDB＝90°．∵∴△ADC∽△CDB．∴∠ACD＝∠B，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝∠B＋∠BCD＝90°．方法總結(jié)：解題時需注意隱含條件，如垂直關系，三角形的高等．三、課堂小結(jié)兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似利用兩邊及夾角判定三角形相似相似三角形的判定定理的運用四、課堂訓練1．判斷．(1)兩個等邊三角形相似．

()(2)兩個直角三角形相似．

()(3)兩個等腰直角三角形相似．

(

)(4)有一個角是50°的兩個等腰三角形相似．

()×√√×四、課堂訓練2．如圖，D是△ABC一邊BC上一點，連接AD，使△ABC∽△DBA的條件是()．

A．AC∶BC＝AD∶BDB．AC∶BC＝AB∶

ADC．AB2＝CD·BCD．AB2＝BD·

BCABCDD四、課堂訓練3．如圖△AEB和△FEC_______

(填“相似”或“不相似”)．54303645EAFCB相似四、課堂訓練4．如圖，已知△ABC中，D為邊AC上一點，P為邊AB上一點，AB＝12，AC＝8，AD＝6，當AP的長度為

_______

時，△ADP和△ABC相似．ABCD4或9四、課堂訓練解：當△ADP∽△ACB時，AP∶AB＝AD∶AC，∴AP∶12＝6∶8.解得

AP＝9；當△ADP∽△ABC時，AD∶AB＝AP∶AC，∴6∶12＝AP∶8，解得

AP＝4．∴當AP的長度為4或9時，△ADP和△ABC相似．ABCDPP四、課堂訓練5．如圖，在四邊形ABCD中，已知∠B＝∠ACD，

AB＝6，BC＝4，AC＝5，CD＝

，求AD的長．ABCD四、課堂訓練解：∵AB＝6，BC＝4，AC＝5，CD＝

，

∴又∵∠B＝∠ACD，∴△ABC∽△DCA，∴

∴四、課堂訓練6．如圖，∠DAB＝∠CAE，且AB·AD＝AE·AC，求證△ABC∽△AED．

證明：∵

AB·AD＝AE·AC，∴

又∵

∠DAB＝∠CAE，∴∠DAB＋∠BAE＝∠CAE＋∠BAE，即∠DAE＝∠BAC，∴

△ABC∽△AED．

ABCDE五、作業(yè)教科書第42頁習題27.2第3題．第二十七章相似

27.2.1相似三角形的判定

第四課時兩角分別相等的兩個三角形相似

一、情景導入學校舉辦活動，需要三個內(nèi)角分別為90°，60°，30°的形狀相同，大小不同的三角紙板若干．小明手上的測量工具只有一個量角器，他該怎么做呢？？？？二、探究新知與同伴合作，一人畫△ABC，另一人畫△A′B′C′，使∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，探究下列問題：問題一度量AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′的長，并計算出它們的比值．你有什么發(fā)現(xiàn)？CABA'B'C'二、探究新知問題二試證明△A′B′C′∽△ABC．證明：在△ABC的邊AB(或AB的延長線)上，截取AD＝A′B′，過點D作DE∥BC，交AC于點E，則有△ADE∽△ABC，∠ADE＝∠B．∵∠B＝∠B′，∴∠ADE＝∠B′．又∵

AD＝A′B′，∠A＝∠A′，∴△ADE≌△A′B′C′．∴△A′B′C′∽△ABC．CAA'BB'C'DE二、探究新知歸納：由此得到利用兩組角判定兩個三角形相似的定理：兩角分別相等的兩個三角形相似．符號語言：∵∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∴△ABC∽△A'B'C'．CABA'B'C'二、探究新知例1

如圖，△ABC和△DEF中，∠A＝40°，∠B＝80°，∠E＝80°，∠F＝60°．求證：△ABC∽△DEF．證明：∵在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝80°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝60°．∵在△DEF中，∠E＝80°，∠F＝60°．∴

∠B＝∠E，∠C＝∠F．∴△ABC∽△DEF．ACBFED二、探究新知例2

如圖，弦AB和CD相交于⊙O內(nèi)一點P，求證：PA·PB＝PC·PD．證明：連接AC，DB．∵∠A和∠D都是弧CB所對的圓周角，∴∠A＝_______．同理∠C＝_______，∴△PAC∽△PDB．∴__________即PA·PB＝PC·PD．∠D∠BODCBAP三、課堂小結(jié)

兩角分別相等的兩個三角形相似利用兩角判定三角形相似相似三角形的判定定理的運用四、課堂訓練1．如圖，在△ABC和△A'B'C'中，若∠A＝60°，∠B＝40°，∠A'＝60°，當∠C'＝_____時，△ABC∽△A'B'C'．80°CABB'C'A'四、課堂訓練2．如圖，△ABC中，AE交BC于點D，∠C＝∠E，AD∶DE＝3∶5，AE＝8，BD＝4，則DC的長等于()．

A．B．

C．

D．ACABDE四、課堂訓練3．如圖，點D在AB上，當∠_______

＝∠_______

(或∠_______

＝∠_______

)時，

△ACD∽△ABC．ACD

B

ACBADBABDC四、課堂訓練4．如圖，⊙O的弦AB，CD相交于點P，若PA＝3，

PB＝8，PC＝4，則PD＝____．

6ODCBAP四、課堂訓練5．如圖，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求證：△ADE∽△EFC．證明：∵DE∥BC，EF∥AB，∴∠AED＝∠C，∵∠A＝∠FEC．∴△ADE∽△EFC．AEFBCD五、作業(yè)教科書第36頁練習第1題．教科書第57頁復習題27第1，2，3題．第二十七章形似

27.2.1相似三角形的判定

第五課時直角三角形相似的判定一、情景導入1．

回憶我們學習過的判定三角形相似的方法．2．類似于判定三角形全等的方法，能不能通過直角邊與斜邊來判定兩個三角形相似呢？二、探究新知利用兩組角判定兩個三角形相似的定理：兩角分別相等的兩個三角形相似．符號語言：∵∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∴△ABC∽△A'B'C'．CABA'B'C'二、探究新知歸納：由此得到一個判定直角三角形相似的方法：有一個銳角相等的兩個直角三角形相似．二、探究新知思考：對于兩個直角三角形，我們還可以用“HL”判定它們?nèi)龋敲?，滿足斜邊和一直角邊成比例的兩個直角三角形相似嗎？二、探究新知證明：設______________＝k，則AB＝kA′B′，AC＝kA′B′．由__________

，得∴

∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．CAA'BB'C'勾股定理二、探究新知歸納：由此得到另一個判定直角三角形相似的方法：斜邊和一直角邊成比例的兩個直角三角形相似．二、探究新知例1

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8．E是AC上一點，AE＝5，ED⊥AB，垂足為D.求AD的長．解：∵ED⊥AB，∴∠EDA＝90°．又∠C＝90°，∠A＝∠A，DABCE二、探究新知∴△AED∽△ABC．∴∴二、探究新知例2如圖，已知：∠ACB＝∠ADC＝90°，AD＝2，CD＝

，當AB的長為____________時，△ACB與△ADC相似．CABD二、探究新知解析：∵∠ADC＝90°，AD＝2，CD＝

，∴要使這兩個直角三角形相似，有兩種情況：(1)當Rt△ABC∽Rt△ACD時，有AC

:AD＝AB∶AC，即∶2＝AB∶

，解得AB＝3；(2)當Rt△ACB∽Rt△CDA時，有AC

:CD＝AB∶AC，即∶

＝AB∶

，解得AB＝

∴當AB的長為3或時，這兩個直角三角形相似．三、課堂小結(jié)

兩角分別相等的兩個三角形相似相似三角形的判定定理的運用直角三角形相似的判定四、課堂訓練

1．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，依據(jù)下列各組條件判定這兩個三角形是否相似．(1)∠A＝35°，∠B′＝55°：_______

；(2)AC＝3，BC＝4，A′C′＝6，B′C′＝8：_______

；(3)AB＝10，AC＝8，A′B′＝25，B′C′＝15：_______

．相似相似相似四、課堂訓練2．如圖，已知AB∥DE，∠AFC＝∠E，則圖中相似三角形共有()．

A．1對B．2對C．3對D．4對C四、課堂訓練3．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D．若AB＝6，AD＝2，則AC＝_______

，BD＝_______

，BC＝_______

．DBCA18四、課堂訓練4．如圖，△ABC

的高AD，BE交于點F．求證：DCABEF四、課堂訓練證明：

∵△ABC的高AD，BE交于點F，∴∠FEA＝∠FDB＝90°，∠AFE＝∠BFD(對頂角相等)．∴△FEA

∽△FDB，∴四、課堂訓練5．如圖，∠1＝∠2＝∠3，求證：△ABC∽△ADE．證明：∵∠BAC＝∠1＋∠DAC，∠DAE＝∠3＋∠DAC，∠1＝∠3，∴∠BAC＝∠DAE．∵

∠C＝180°－∠2－∠DOC

，∠E＝180°－∠3－∠AOE，∠DOC

＝∠AOE(對頂角相等)，∴∠C＝∠E．∴△ABC∽△ADE．ABCDE132O四、課堂訓練6．如圖，BE是△ABC的外接圓O的直徑，CD是△ABC

的高，求證：AC·BC＝BE·CD．證明：連接CE，則∠A＝∠E．又∵BE是△ABC的外接圓O的直徑，∴∠BCE＝90o＝∠ADC．∵∠A＝∠E，∠BCE＝∠ADC，∴△ACD∽△EBC．∴

∴AC·BC＝BE·CD．ODCBAE五、作業(yè)教科書第36頁練習第2，3題．第二十七章相似

27.2.2

相似三角形的性質(zhì)

一、情景導入1．相似三角形的判定方法有哪幾種？定義：對應邊成比例，對應角相等的兩個三角形相似；平行于三角形一邊，與另外兩邊相交所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；三邊成比例的兩個三角形相似；兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；兩角分別相等的兩個三角形相似；一組直角邊和斜邊成比例的兩個直角三角形相似．一、情景導入2．三角形除了三個角，三條邊外，還有哪些要素？高；中線；角平分線；周長；面積3．如果兩個三角形相似，那么，對應的這些要素有什么關系呢？二、探究新知如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，它們對應高，對應中線，對應角平分線的比各是多少？ABCA'B'C'二、探究新知解：如圖，分別作出△ABC和△A'B'C'

的高AD和A'D'．則∠ADB＝∠A'D'B'＝90°．∵△ABC∽△A′B′C′，∴

∠B＝∠B'

，∴

△ABD∽△A'

B'

D'

．∴ABCA'B'C'D'D二、探究新知歸納：由此我們可以得到：

相似三角形對應高的比等于相似比．類似地，可以證明相似三角形對應中線、角平分線的比也等于相似比．一般地，我們有：相似三角形對應線段的比等于相似比．二、探究新知想一想：相似三角形的周長比也等于相似比嗎？為什么？

二、探究新知如果△ABC∽△A'B'C'，相似比為k，那么因此AB＝kA'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'，從而二、探究新知

如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，它們的面積比是多少？ABCA'B'C'二、探究新知由前面的結(jié)論，我們有ABCA'B'C'D'D二、探究新知歸納：由此得出：相似三角形面積的比等于相似比的平方．二、探究新知例1

已知△ABC∽△DEF，BG，EH分別是△ABC和△DEF的角平分線，BC＝6cm，EF＝4cm，BG＝4.8cm．求EH的長．DEFHAGBC二、探究新知解：∵△ABC∽△DEF，∴

(相似三角形對應角平分線的比等于相似比)．∴

解得EH＝3.2cm

．∴故EH的長為3.2cm．二、探究新知1．如果兩個相似三角形的對應高的比為2∶3，那么對應角平分線的比是_______，對應邊上的中線的比是_____．

2．△ABC與△A′B′C′

的相似比為3∶4，若BC邊上的高AD＝12cm，則B′C′

邊上的高A'D'＝_______．2∶32∶316cm二、探究新知3．已知兩個三角形相似，請完成下列表格：相似比2k……周長比……面積比10

000……24100100kk2二、探究新知4．把一個三角形變成和它相似的三角形，(1)如果邊長擴大為原來的5倍，那么面積擴大為原來的______倍；(2)如果面積擴大為原來的100倍，那么邊長擴大為原來的______倍．2510二、探究新知5．兩個相似三角形的一對對應邊分別是35cm，14cm，(1)它們的周長差60cm，這兩個三角形的周長分別是________________；(2)它們的面積之和是58cm2，這兩個三角形的面積分別是______________．100cm，40cm100cm，40cm二、探究新知例2如圖，D，E分別是AC，AB上的點，已知△ABC的面積為100cm2，且求四邊形BCDE的面積．解：∵∠BAC＝∠DAE，且∴

△ADE∽△ABC．∵它們的相似比為3∶5，∴面積比為9∶25．又∵△ABC的面積為100

cm2，∴△ADE的面積為36cm2．∴四邊形BCDE的面積為100－36＝64(cm2)．BCADE三、課堂小結(jié)相似三角形的性質(zhì)相似三角形對應線段的比等于相似比相似三角形面積的比等于相似比的平方相似三角形性質(zhì)的運用四、課堂訓練1．判斷：(1)一個三角形的各邊長擴大為原來的5倍，這個三角形的周長也擴大為原來的5倍．(

)(2)一個四邊形的各邊長擴大為原來的9倍，這個四邊形的面積也擴大為原來的9倍．

()√×四、課堂訓練2．在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，

∠A＝∠D，AP，DQ是中線，若AP＝2，則DQ的值()．

A．2B．4C．1D．C四、課堂訓練3．連接三角形兩邊中點的線段把三角形截成的一個小三角形與原三角形的周長比等于_____

，面積比等于_____．4．兩個相似三角形對應的中線長分別是6cm和18cm，若較大三角形的周長是42cm，面積是12cm2，則較小三角形的周長____cm，面積為____cm2．1∶21∶414四、課堂訓練5．如圖，這是圓桌正上方的燈泡(點A)發(fā)出的光線照射桌面形成陰影的示意圖，已知桌面的直徑為1.2米，桌面距離地面為1米，若燈泡距離地面3米，則地面上陰影部分的面積約為多少(結(jié)果保留兩位小數(shù))？解：∵FH＝1米，AH＝3米，桌面的直徑為1.2米，∴AF＝AH－FH＝2(米)，DF＝1.2÷2＝0.6(米)．ADEFCBH四、課堂訓練∵DF∥CH，∴△ADF∽△ACH．∴即解得

CH＝0.9米．∴陰影部分的面積為：答：地面上陰影部分的面積為2.54平方米．四、課堂訓練6．△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和△EFC的面積分別為4和9，求△ABC的面積．解：∵

DE∥BC，EF∥AB，∴△ADE∽△ABC，∠ADE＝∠EFC，∠A＝∠CEF．∴△ADE∽△EFC．又∵

S△ADE∶S△EFC＝4∶9，∴AE∶EC＝2∶3．ABCDFE四、課堂訓練則AE∶AC＝2∶5，∴S△ADE∶S△ABC＝4∶25，∴S△ABC＝25．四、課堂訓練7．如圖，△ABC中，DE∥BC，DE分別交AB，AC于點D，E，S△ADE＝2S△DCE，求S△ADE∶S△ABC．解：過點D作AC的垂線，交點為F，則∴ABCDE四、課堂訓練又∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴即S△ADE∶S△ABC

＝4∶9．五、作業(yè)教科書第39頁練習第2，3題．教科書第57頁復習題27第8，9，10題．第二十七章相似

27.2相似三角形

27.2.3相似三角形應用舉例一、情景導入世界上最寬的河

——亞馬遜河怎樣測量河寬？一、情景導入利用相似三角形可以解決一些不能直接測量的物體的高度及兩物之間的距離問題．一、情景導入據(jù)傳說，古希臘數(shù)學家，天文學家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的頂部立一根木桿，借助太陽光線構(gòu)成兩個相似三角形，來測量金字塔的高度．二、探究新知例1

如圖，木桿EF長2m，它的影長FD為3m，測得OA為201m，求金字塔的高度BO．解：太陽光是平行的光，因此∠BAO＝∠EDF．又∠AOB＝∠DFE＝90°，∴△ABO∽△DEF．∴∴因此金字塔的高度為134m．二、探究新知歸納：測高方法一：測量不能到達頂部的物體的高度，可以用“在同一時刻物高與影長成正比例”的原理解決．表達式：物1高∶物2高＝影1長∶影2長二、探究新知想一想：還可以有其他測量方法嗎？OBEF＝OAAF△ABO∽△AEFOB＝OA·EFAFAFEBO┐┐平面鏡二、探究新知測高方法二：測量不能到達頂部的物體的高度，也可以用“利用鏡子的反射測量高度”的原理解決．二、探究新知例2如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標點P，在近岸取點Q和S，使點P，Q，S共線且直線PS與河垂直，接著在過點S且與PS垂直的直線a上選擇適當?shù)狞cT，確定PT與過點Q且垂直PS的直線b的交點R．已知測得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，請根據(jù)這些數(shù)據(jù)，計算河寬PQ．PRQSbTa二、探究新知解：∵∠PQR＝∠PST＝90o，∠P＝∠P，∴△PQR∽△PST．

∴即PQ×90＝(PQ＋45)×60．解得

PQ＝90．因此，河寬大約為90m．二、探究新知例3

如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標作為點A，再在河的這一邊選點B和C，使AB⊥BC，然后，再選點E，使EC⊥BC，用視線確定BC和AE的交點D．此時如果測得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求兩岸間的大致距離AB．

EADCB60m50m120m二、探究新知解：∵∠ADB＝∠EDC，∠ABC＝∠ECD＝90°，

∴△ABD∽△ECD．∴即解得

AB＝100．

因此，兩岸間的大致距離為100m．二、探究新知歸納：測量如河寬等不易直接測量的物體的寬度，常構(gòu)造相似三角形求解．二、探究新知例4如圖，左，右并排的兩棵大樹的高分別是AB＝8m和CD＝12m，兩樹底部的距離BD＝5m，一個人估計自己眼睛距離地面1.6m，她沿著正對這兩棵樹的一條水平直路l從左向右前進，