陜西省西北農(nóng)林科技大學附屬中學2025年高二下數(shù)學期末經(jīng)典試題含解析

陜西省西北農(nóng)林科技大學附屬中學2025年高二下數(shù)學期末經(jīng)典試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設全集為，集合，，則（）A． B． C． D．2．如圖所示正方形，、分別是、的中點，則向正方形內(nèi)隨機擲一點，該點落在陰影部分內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．3．為直線，為平面，則下列命題中為真命題的是（）A．若，，則 B．則，，則C．若，，則 D．則，，則4．雙曲線x2a2A．y=±2x B．y=±3x5．在的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的系數(shù)為A．336項 B．337項 C．338項 D．1009項6．設，則“，且”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知集合，，則（）A． B． C． D．8．如圖，設D是邊長為l的正方形區(qū)域，E是D內(nèi)函數(shù)與所構成(陰影部分)的區(qū)域，在D中任取一點，則該點在E中的概率是（）A．B．C．D．9．如圖所示，這是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．10．已知，則的展開式中，項的系數(shù)等于（）A．180 B．-180 C．-90 D．1511．某同學將收集到的6組數(shù)據(jù)對，制作成如圖所示的散點圖（各點旁的數(shù)據(jù)為該點坐標），并由這6組數(shù)據(jù)計算得到回歸直線：和相關系數(shù)．現(xiàn)給出以下3個結論：①；②直線恰過點；③．其中正確結論的序號是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③12．現(xiàn)有4種不同品牌的小車各2輛(同一品牌的小車完全相同),計劃將其放在4個車庫中（每個車庫放2輛則恰有2個車庫放的是同一品牌的小車的不同放法共有（）A．144種 B．108種 C．72種 D．36種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)與函數(shù)的圖像有兩個不同的交點，則實數(shù)b的取值范圍是________；14．設某彈簧的彈力與伸長量間的關系為，將該彈簧由平衡位置拉長,則彈力所做的功為_______焦.15．如果復數(shù)的實部與虛部相等，則_______.16．不等式＜恒成立，則a的取值范圍是________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，．（1）當時，求的極值；（2）若且對任意的，恒成立，求的最大值．18．（12分）如圖，在四面體中，，.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若，，四面體的體積為2，求二面角的余弦值.19．（12分）現(xiàn)有10道題，其中6道甲類題，4道乙類題，張同學從中任取3道題解答.（=1\*ROMANI）求張同學至少取到1道乙類題的概率；（=2\*ROMANII）已知所取的3道題中有2道甲類題，1道乙類題.設張同學答對甲類題的概率都是，答對每道乙類題的概率都是，且各題答對與否相互獨立.用表示張同學答對題的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.20．（12分）已知.(1)當，時，求不等式的解集；(2)當，時，的圖象與x軸圍成的三角形面積大于24，求的取值范圍．21．（12分）在國家積極推動美麗鄉(xiāng)村建設的政策背景下，各地根據(jù)當?shù)厣鷳B(tài)資源打造了眾多特色紛呈的鄉(xiāng)村旅游勝地.某人意圖將自己位于鄉(xiāng)村旅游勝地的房子改造成民宿用于出租，在旅游淡季隨機選取100天，對當?shù)匾延械牧g不同價位的民宿進行跟蹤，統(tǒng)計其出租率（），設民宿租金為（單位：元/日），得到如圖所示的數(shù)據(jù)散點圖.（1）若用“出租率”近似估計旅游淡季民宿每天租出去的概率，求租金為388元的那間民宿在淡季內(nèi)的三天中至少有2天閑置的概率.（2）①根據(jù)散點圖判斷，與哪個更適合于此模型（給出判斷即可，不必說明理由）？根據(jù)判斷結果求回歸方程；②若該地一年中旅游淡季約為280天，在此期間無論民宿是否出租，每天都要付出的固定成本，若民宿出租，則每天需要再付出的日常支出成本.試用①中模型進行分析，旅游淡季民宿租金約定為多少元時，該民宿在這280天的收益達到最大？附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為；.參考數(shù)據(jù)：記，，，，，，，，，.22．（10分）設λ是正實數(shù)，（1+λx）20的二項展開式為a0+a1x+a2x2+…+a20x20，其中a0，a1，…，a20，…，均為常數(shù)（1）若a3＝12a2，求λ的值；（2）若a5≥an對一切n∈{0，1，…，20}均成立，求λ的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

利用分式不等式的解法求出集合，求出兩個集合的公共部分即為兩個集合的交集.【詳解】由集合可知；因為，,故選C.研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應滿足的屬性.研究兩集合的關系時，關鍵是將兩集合的關系轉化為元素間的關系，本題實質求滿足屬于集合且屬于集合的元素的集合.2、D【解析】

根據(jù)正方形的對稱性求得陰影部分面積占總面積的比例，由此求得所求概率.【詳解】根據(jù)正方形的對稱性可知，陰影部分面積占總面積的四分之一，根據(jù)幾何概型概率計算公式可知點落在陰影部分內(nèi)的概率為，故選D.本小題主要考查幾何概型的計算，屬于基礎題.3、B【解析】

根據(jù)空間中平面和直線平行和垂直的位置關系可依次通過反例排除，從而得到結果.【詳解】選項：若，則與未必平行，錯誤選項：垂直于同一平面的兩條直線互相平行，正確選項：垂直于同一平面的兩個平面可能相交也可能平行，錯誤選項：可能與平行或相交，錯誤本題正確選項：本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關系的相關命題的判定，通常通過反例，采用排除法的方式來得到結果，屬于基礎題.4、A【解析】分析：根據(jù)離心率得a,c關系，進而得a,b關系，再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程，得結果.詳解：∵e=因為漸近線方程為y=±bax點睛：已知雙曲線方程x2a25、A【解析】

根據(jù)題意，求出的展開式的通項，即可得項的系數(shù)，進而分析可知若系數(shù)為有理數(shù)，必有，、2、、，即可得出答案．【詳解】根據(jù)題意，的展開式的通項為；其系數(shù)為若系數(shù)為有理數(shù)，必有，、、共有336項，故選A．本題考查二項式定理的應用，關鍵是掌握二項式定理的形式，屬于基礎題．6、A【解析】分析：由題意逐一考查充分性和必要性即可.詳解：若“，且”，有不等式的性質可知“”，則充分性成立；若“”，可能，不滿足“，且”，即必要性不成立；綜上可得：“，且”是“”的充分不必要條件.本題選擇A選項.點睛：本題主要考查充分不必要條件的判定及其應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.7、A【解析】分析：根據(jù)題意，求得集合，再利用集合的運算，即可求解．詳解：由題意，，所以，故選A．點睛：本題主要考查了集合的運算問題，其中正確求解集合是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力．8、A【解析】試題分析：正方形面積為1，陰影部分的面積為，所以由幾何概型概率的計算公式得，點在E中的概率是，選A.考點：定積分的應用，幾何概型.9、A【解析】由三視圖可知：該幾何體分為上下兩部分，下半部分是長、寬、高分別為的長方體，上半部分為底面半徑為1，高為2的兩個半圓柱，故其體積為，故選A.10、B【解析】分析：利用定積分的運算求得m的值，再根據(jù)乘方的幾何意義，分類討論，求得xm﹣2yz項的系數(shù)．詳解：3sinxdx=﹣3cosx=﹣3（cosπ﹣cos0）=6，則（x﹣2y+3z）m=（x﹣2y+3z）6，xm﹣2yz=x4yz．而（x﹣2y+3z）6表示6個因式（x﹣2y+3z）的乘積，故其中一個因式取﹣2y，另一個因式取3z，剩余的4個因式都取x，即可得到含xm﹣2yz=x4yz的項，∴xm﹣2yz=x4yz項的系數(shù)等于故選：B．點睛：這個題目考查的是二項式中的特定項的系數(shù)問題，在做二項式的問題時，看清楚題目是求二項式系數(shù)還是系數(shù)，還要注意在求系數(shù)和時，是不是缺少首項；解決這類問題常用的方法有賦值法，求導后賦值，積分后賦值等。11、A【解析】

結合圖像，計算，由求出，對選項中的命題判斷正誤即可得出結果.【詳解】由圖像可得，從左到右各點是上升排列的，變量具有正相關性，所以，①正確；由題中數(shù)據(jù)可得:，，所以回歸直線過點，②正確；又，③錯誤.故選A本題主要考查回歸分析，以及變量間的相關性，熟記線性回歸分析的基本思想即可，屬于?？碱}型.12、C【解析】

根據(jù)題意，分3步進行分析：①、在4種不同品牌的小車任取2個品牌的小車，②、將取出的2個品牌的小車任意的放進2個車庫中，③、剩余的4輛車放進剩下的2個車庫，相同品牌的不能放進同一個車庫，分別分析每一步的情況數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，分3步進行分析：①、在4種不同品牌的小車任取2個品牌的小車，有C42種取法，②、將取出的2個品牌的小車任意的放進2個車庫中，有A42種情況，③、剩余的4輛車放進剩下的2個車庫，相同品牌的不能放進同一個車庫，有1種情況，則恰有2個車庫放的是同一品牌的小車的不同放法共有C42A42×1＝72種，故選：C．點睛：能用分步乘法計數(shù)原理解決的問題具有以下特點：(1)完成一件事需要經(jīng)過n個步驟，缺一不可．(2)完成每一步有若干種方法．(3)把各個步驟的方法數(shù)相乘，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

作出函數(shù)的圖象和直線，由圖形觀察可知它們有兩交點的情形?！驹斀狻孔鞒龊瘮?shù)的圖象和直線，如圖，當直線過點時，，當直線與函數(shù)圖象相切時，，，，（舍去），∴函數(shù)與函數(shù)的圖像有兩個不同的交點時。故答案為：本題考查直線與函數(shù)圖象交點個數(shù)問題，解題時用數(shù)形結合思想，即作出函數(shù)圖象（半個橢圓）及直線當平移直線時觀察它與函數(shù)圖象的交點情況．本題解題時要特別注意函數(shù)圖象只是橢圓的上半部分，不能誤認為是整個橢圓，那就會得出錯誤結論．14、【解析】

用力沿著力的方向移動，則所做的功為，代入數(shù)據(jù)求得結果.【詳解】彈力所做的功為：焦本題正確結果：本題考查函數(shù)值的求解，關鍵是能夠明確彈力做功的公式，屬于基礎題.15、7【解析】

根據(jù)復數(shù)除法運算可求得，根據(jù)實部與虛部相等可構造方程求得結果.【詳解】，，解得：.故答案為：.本題考查根據(jù)復數(shù)的實部和虛部定義求解參數(shù)值的問題，涉及到復數(shù)的除法運算問題，屬于基礎題.16、(－2,2)【解析】

利用指數(shù)函數(shù)的單調性可以得到一元二次不等式恒成立問題，再根據(jù)判別式即可求得結果.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質知y＝x是減函數(shù)，因為＜恒成立，所以x2＋ax＞2x＋a－2恒成立，所以x2＋(a－2)x－a＋2＞0恒成立，所以Δ＝(a－2)2－4(－a＋2)＜0，即(a－2)(a－2＋4)＜0，即(a－2)(a＋2)＜0，故有－2＜a＜2，即a的取值范圍是(－2,2)．本題考查不等式恒成立問題，利用指數(shù)函數(shù)的單調性將指數(shù)不等式轉化為一元二次不等式是本題的關鍵，屬基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）極小值為，無極大值；（2）1.【解析】

（1）將代入，求其單調區(qū)間，根據(jù)單調區(qū)間即可得到函數(shù)的極值.（2）首先將問題轉化為，恒成立，設，求出其單調區(qū)間和最值即可得到的最大值.【詳解】（1）當時，，易知函數(shù)在上為單調增函數(shù)，及所以當，，為減函數(shù).當，，為增函數(shù).所以在時取最小值，即，無極大值.（2）當時，由，即，得.令，則.設，則，在上為增函數(shù)，因為，，所以，且，當時，，，在上單調遞減；當時，，，在上單調遞增．所以，因為，所以，，所以，即的最大值為1．本題第一問考查利用導數(shù)求函數(shù)的極值，第二問考查利用導數(shù)解決恒成立問題，屬于中檔題.18、(1)證明見解析.(2).【解析】分析：（1）作Rt△斜邊上的高，連結，易證平面，從而得證；（2）由四面體的體積為2，，得，所以平面，以，，為，，軸建立空間直角坐標系，利用面的法向量求解二面角的余弦值即可.詳解：解法一：（1）如圖，作Rt△斜邊上的高，連結．因為，，所以Rt△≌Rt△．可得．所以平面，于是．（2）在Rt△中，因為，，所以，，，△的面積．因為平面，四面體的體積，所以，，，所以平面．以，，為，，軸建立空間直角坐標系．則，，，，，，．設是平面的法向量，則，即，可取．設是平面的法向量，則，即，可取．因為，二面角的平面角為鈍角，所以二面角的余弦值為解法二：（1）因為，，所以Rt△≌Rt△．可得．設中點為，連結，，則，，所以平面，，于是．（2）在Rt△中，因為，，所以△面積為．設到平面距離為，因為四面體的體積，所以．在平面內(nèi)過作，垂足為，因為，，所以．由點到平面距離定義知平面．因為，所以．因為，，所以，，所以，即二面角的余弦值為．點睛：本題主要考查空間位置關系的證明和空間角的計算，意在考查學生立體幾何和空間向量的基礎知識的掌握能力和基本的運算能力.證明位置關系和求空間的角都有兩種方法，一是幾何的方法，一是向量的方法，各有特色，要根據(jù)具體情況靈活選擇，提高解析效率.19、（=1\*ROMANI）（=2\*ROMANII）X0123P【解析】（=1\*ROMANI）解法一解法二（=2\*ROMANII）X所有可能取值為0,1,2,3.,,,所求的分布列為X0123P第一小問可以從兩個方面去思考，一是間接法，就是張同學1道乙類題都沒有取到的取法是多少？二是直接法，就是取一道乙類題和兩道甲類體；兩道乙類題和一道甲類體；三道乙類題。三種情況加起來就是共有多少種取法。第二問一是思考隨機變量的所有可能取值，二是算出對應的概率，其中X=1和X=2要注意有兩種情形。最后利用數(shù)學期望的公式求解?！究键c定位】本題考查古典概型，隨機變量的分布列和數(shù)學期望的定義。20、（1）；（2）.【解析】分析：(1)將代入函數(shù)解析式，利用零點分段法，將絕對值不等式轉化為若干個不等式組，最后求并集得到原不等式的解集；(2)結合的條件，將函數(shù)解析式化簡，化為分段函數(shù)的形式，求得相關點的坐標，利用面積公式，得到參數(shù)所滿足的不等關系式，從而求得結果.詳解：(1)當時,.不等式等價于或或解得或，即.所以不等式的解集是.(2)由題設可得,所以函數(shù)的圖象與軸圍成的三角形的三個頂點分別為，，.所以三角形的面積為.由題設知,解得.點睛：該題考查的是有關絕對值不等式的問題，一是需要明確采用零點分段法求解絕對值不等式，二是會應用題的條件，尋找參數(shù)所滿足的對應的式子，最后求解即可得結果.21、（1）（2）①更適合，②181元【解析】

（1）三天中至少有