廣西桂林市龍勝中學2025年高二數(shù)學第二學期期末檢測試題含解析

廣西桂林市龍勝中學2025年高二數(shù)學第二學期期末檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知向量，，則（）A． B． C． D．2．某軍工企業(yè)為某種型號的新式步槍生產(chǎn)了一批槍管，其口徑誤差（單位：微米）服從正態(tài)分布，從已經(jīng)生產(chǎn)出的槍管中隨機取出一只，則其口徑誤差在區(qū)間內的概率為（）（附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，）A． B． C． D．3．在二項式的展開式中，的系數(shù)為（）A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．804．設復數(shù)，若，則的概率為（）A． B． C． D．5．先后拋擲一枚質地均勻的骰子5次,那么不能作為隨機變量的是()A．出現(xiàn)7點的次數(shù) B．出現(xiàn)偶數(shù)點的次數(shù)C．出現(xiàn)2點的次數(shù) D．出現(xiàn)的點數(shù)大于2小于6的次數(shù)6．在某項測量中，測量結果，且，若在內取值的概率為,則在內取值的概率為（）A． B． C． D．7．已知為自然對數(shù)的底數(shù)，則函數(shù)的單調遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．8．下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在區(qū)間上單調遞減的函數(shù)是（）A． B． C． D．9．若，則等于（）A． B． C． D．10．甲?乙?丙?丁?戊5名同學報名參加社區(qū)服務活動,社區(qū)服務活動共有關愛老人?環(huán)境監(jiān)測?教育咨詢?交通宣傳?文娛活動五個項目,每人限報其中一項,記事件為“5名同學所報項目各不相同”,事件為“只有甲同學一人報關愛老人項目”,則()A． B． C． D．11．古代“五行”學認為：“物質分金、木、土、水、火五種屬性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.”將五種不同屬性的物質任意排成一列，但排列中屬性相克的兩種物質不相鄰，則這樣的排列方法有A．5種 B．10種C．20種 D．120種12．已知對任意實數(shù)，有，且時，，則時（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，事件A＝“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B＝“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)＝________.14．設某同學選擇等級考科目時，選擇物理科目的概率為0.5，選擇化學科目的概率為0.6，且這兩個科目的選擇相互獨立，則該同學在這兩個科目中至少選擇一個的概率是________15．若曲線(為常數(shù))不存在斜率為負數(shù)的切線，則實數(shù)的取值范圍是__________．16．復數(shù)（i是虛數(shù)單位）的虛部是_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知復數(shù)（a∈R,i為虛數(shù)單位）（I）若是純虛數(shù)，求實數(shù)a的值；（II）若復數(shù)在復平面上對應的點在第二象限，求實數(shù)a的取值范圍18．（12分）推廣組合數(shù)公式，定義，其中，，且規(guī)定．（1）求的值；（2）設，當為何值時，函數(shù)取得最小值？19．（12分）已知函數(shù)f（x）=x2（x-1）．（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；（2）求f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值和最小值．20．（12分）有甲、乙兩個游戲項目，要參與游戲，均需每次先付費元（不返還），游戲甲有種結果：可能獲得元，可能獲得元，可能獲得元，這三種情況的概率分別為，，；游戲乙有種結果：可能獲得元，可能獲得元，這兩種情況的概率均為.（1）某人花元參與游戲甲兩次，用表示該人參加游戲甲的收益（收益=參與游戲獲得錢數(shù)-付費錢數(shù)），求的概率分布及期望；（2）用表示某人參加次游戲乙的收益，為任意正整數(shù)，求證：的期望為.21．（12分）已知直線l的極坐標方程是，以極點為原點，極軸為x軸的非負半軸建立平面直角坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位，曲線C的參數(shù)方程為（是參數(shù)）.（1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程；（2）求曲線C上的點到直線l的距離的最小值.22．（10分）已知定圓：，動圓過點且與圓相切，記圓心的軌跡為．(1)求曲線的方程；(2)已知直線交圓于兩點.是曲線上兩點，若四邊形的對角線，求四邊形面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

先求出的坐標，再根據(jù)向量平行的坐標表示，列出方程，求出.【詳解】由得，解得，故選A．本題主要考查向量的加減法運算以及向量平行的坐標表示．2、C【解析】

根據(jù)已知可得，結合正態(tài)分布的對稱性，即可求解.【詳解】.故選：C本題考查正態(tài)分布中兩個量和的應用，以及正態(tài)分布的對稱性，屬于基礎題.3、A【解析】

根據(jù)二項展開式的通項，可得，令，即可求得的系數(shù)，得到答案.【詳解】由題意，二項式的展開式的通項為，令，可得，即展開式中的系數(shù)為，故選A.本題主要考查了二項式定理的應用，其中解答中熟記二項展開式的通項是解答本題的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.4、C【解析】

試題分析：，作圖如下，可得所求概率,故選C.考點：1、復數(shù)及其性質；2、圓及其性質；3、幾何概型.5、A【解析】

根據(jù)隨機變量的定義可得到結果.【詳解】拋擲一枚骰子不可能出現(xiàn)點，出現(xiàn)點為不可能事件出現(xiàn)點的次數(shù)不能作為隨機變量本題正確選項：本題考查隨機變量的定義，屬于基礎題.6、B【解析】

根據(jù)，得到正態(tài)分布圖象的對稱軸為，根據(jù)在內取值的概率為0.3，利用在對稱軸為右側的概率為0.5，即可得出答案．【詳解】∵測量結果，∴正態(tài)分布圖象的對稱軸為，∵在內取值的概率為0.3，∴隨機變量在上取值的概率為，故選B．本小題主要考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義、概率的基本性質等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題．7、A【解析】因，故當時，函數(shù)單調遞增，應選答案A。8、D【解析】

由奇函數(shù)和偶函數(shù)圖象的對稱性，根據(jù)的圖象和的定義域便可判斷出錯誤，而由的單調性便可判斷選項錯誤，從而得出正確．【詳解】選項：根據(jù)的圖象知該函數(shù)非奇非偶，可知錯誤；選項：的定義域為，知該函數(shù)非奇非偶，可知錯誤；選項：時，為增函數(shù)，不符合題意，可知錯誤；選項：，可知函數(shù)為偶函數(shù)，根據(jù)其圖象可看出該函數(shù)在上單調遞減，可知正確.本題正確選項：本題考查奇函數(shù)和偶函數(shù)圖象的對稱性，函數(shù)單調性的問題，屬于基礎題．9、D【解析】

中最大的數(shù)為，包含個數(shù)據(jù)，且個數(shù)據(jù)是連續(xù)的正整數(shù)，由此可得到的表示.【詳解】因為，所以表示從連乘到，一共是個正整數(shù)連乘，所以.故選：D.本題考查排列數(shù)的表示，難度較易.注意公式：的運用.10、A【解析】

由條件概率與獨立事件可得：，P(AB)=，所以P(A|B)=，得解.【詳解】由已知有事件概率為：，事件概率為：P(AB)=，所以P(A|B)=，故選：A.本題考查條件概率的計算，條件概率的兩種求法:(1)定義法:先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=即可；(2)基本事件法:借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A),再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB),得P(B|A)=，本題屬于基礎題.11、B【解析】

根據(jù)題意，可看做五個位置排列五個數(shù)，把“金、木、土、水、火”用“1，2，3，4，5”代替．根據(jù)相克原理，1不與2,5相鄰，2不與1,3相鄰，依次類推，用分布計數(shù)原理寫出符合條件的情況.【詳解】把“金、木、土、水、火”用“1，2，3，4，5”代替．1不與2,5相鄰，2不與1,3相鄰，所以以“1”開頭的排法只有“1，3，5，2，4”或“1，4，2，5，3”兩種，同理以其他數(shù)開頭的排法都是2種，所以共有種．選B.本題考查分步計數(shù)原理的應用，考查抽象問題具體化，注重考查學生的思維能力，屬于中檔題.12、B【解析】由條件知：是奇函數(shù)，且在內是增函數(shù)；是偶函數(shù)，且在內是增函數(shù)；所以在內是增函數(shù)；在內是減函數(shù)；所以時，故選B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】試題分析：利用互斥事件的概率及古典概型概率計算公式求出事件A的概率，同樣利用古典概型概率計算公式求出事件AB的概率，然后直接利用條件概率公式求解．解：P（A）=，P（AB）=．由條件概率公式得P（B|A）=．故答案為．點評：本題考查了條件概率與互斥事件的概率，考查了古典概型及其概率計算公式，解答的關鍵在于對條件概率的理解與公式的運用，屬中檔題．14、0.8【解析】

根據(jù)相互獨立事件概率的計算公式,及對立事件的概率求法,即可求解.【詳解】因為選擇物理科目的概率為0.5,選擇化學科目的概率為0.6,所以既不選擇物理也不選擇化學的概率為所以由對立事件的性質可知至少選擇一個科目的概率為故答案為:本題考查了獨立事件的概率求法,對立事件的性質應用,屬于基礎題.15、【解析】分析：令y′≥1在（1，+∞）上恒成立可得a，根據(jù)右側函數(shù)的值域即可得出a的范圍．詳解：y′=+2ax，x∈（1，+∞），∵曲線y=lnx+ax2（a為常數(shù)）不存在斜率為負數(shù)的切線，∴y′=≥1在（1，+∞）上恒成立，∴a≥﹣恒成立，x∈（1，+∞）．令f（x）=﹣，x∈（1，+∞），則f（x）在（1，+∞）上單調遞增，又f（x）=﹣＜1，∴a≥1．故答案為：．點睛：利用導數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構造函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題.16、-1【解析】

由題意，根據(jù)復數(shù)的運算，化簡得，即可得到復數(shù)的虛部．【詳解】由題意，復數(shù)，所以復數(shù)的虛部為．本題主要考查了復數(shù)的四則運算及復數(shù)的分類，其中解答中熟記復數(shù)的四則運算，正確化簡、運算復數(shù)，再利用復數(shù)的概念求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（II）【解析】

（I）計算出，由其實部為0，虛部不為0可求得值；（II）計算出，由其實部小于0，虛部大于0可求得的取值范圍．【詳解】解：（I）由復數(shù)得=（）（）=3a+8+（6-4a）i若是純虛數(shù)，則3a+8=0，（6-4a）≠0，解得a=-（II）=若在復平面上對應的點在第二象限，則有解得-本題考查復數(shù)的乘除運算，考查復數(shù)的概念與幾何性質，屬于基礎題．18、（1）；（2）當時，取得最小值.【解析】

（1）根據(jù)題中組合數(shù)的定義計算出的值；（2）根據(jù)題中組合數(shù)的定義求出函數(shù)，然后利用基本不等式求出函數(shù)的最小值，并計算出等號成立對應的的值.【詳解】（1）由題中組合數(shù)的定義得；（2）由題中組合數(shù)的定義得．因為，由基本不等式得，當且僅當時，等號成立，所以當時，取得最小值．本題考查組合數(shù)的新定義，以及利用基本不等式求函數(shù)最值，解題的關鍵就是利用題中組合數(shù)的新定義進行化簡、計算，考查運算求解能力，屬于中等題.19、(1)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．(2)最大值，最小值．【解析】分析：（1）求導數(shù)后，由可得增區(qū)間，由可得減區(qū)間．（2）根據(jù)單調性求出函數(shù)的極值和區(qū)間的端點值，比較后可得最大值和最小值．詳解：（1）∵，∴．由，解得或；由，解得，所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．（2）由（1）知是的極大值點，是的極小值點，所以極大值，極小值，又，，所以最大值，最小值．點睛：（1）求單調區(qū)間時，由可得增區(qū)間，由可得減區(qū)間，解題時注意導函數(shù)的符號與單調性的關系．（2）求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值時，可先求出函數(shù)的極值和區(qū)間的端點值，通過比較后可得最大值和最小值．20、（1）分布列見解析，期望為；（2）見解析．【解析】分析：（1）表示該人參加游戲甲的收益，可能取值為，，，，分布列為：（2）用表示某人參加次游戲乙的收益可能取值為，，，…，，…（且），每次獨立，獲獎的概率為.滿足二項分布。詳解：（1）則的所有可能取值為，，，，，，，，，，；（2）證明：的所有可能取值為，，，…，，…（且），（且），，，兩式相加即得，所以.點睛：（1）離散型隨機變量的分布列，根據(jù)題意，搞清隨機變量的最小值和最大值，其它值隨之確定。（2）根據(jù)題意，要能判斷出是否為二項分布，抓題目的關鍵詞：事件相互獨立（放回），每次事件成功的概率相等.（3）二項分布的期望公式，方差21、(1),(2)0.【解析】

(1)展開兩角和的正弦,結合極坐標與直角坐標的互化公式可得直線的普通方程,把（是參數(shù)）消去參數(shù)，可得曲線的直角坐標方程;(2)設曲線上的點寫出點到直線的距離公式,利用三角函數(shù)求最值.【詳解】由得直線的普通方程為由（是參數(shù)）,消去參數(shù),可得曲線的直角坐標方程為.(2)設曲