浙江省嘉興市南湖區(qū)第一中學(xué)2025年高二下數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)檢測(cè)試題含解析

浙江省嘉興市南湖區(qū)第一中學(xué)2025年高二下數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則A． B． C． D．2．已知奇函數(shù)在上是增函數(shù)，若，，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．4．《九章算術(shù)》是中國(guó)古代第一部數(shù)學(xué)專著，成于公元一世紀(jì)左右，系統(tǒng)總結(jié)了戰(zhàn)國(guó)、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就.其中《方田》一章中記載了計(jì)算弧田（弧田就是由圓弧和其所對(duì)弦所圍成弓形）的面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式：弧田面積=12（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差.按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積與其實(shí)際面積之間存在誤差.現(xiàn)有圓心角為2π3，弦長(zhǎng)為403m的弧田.其實(shí)際面積與按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算出弧田的面積之間的誤差為（）平方米.（其中A．15 B．16 C．17 D．185．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，且為奇函數(shù)，則不等式的解集為A． B． C． D．6．已知為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．7．設(shè)，向量，若，則等于()A． B． C．－4 D．48．設(shè)函數(shù)的定義域A，函數(shù)的值域?yàn)锽，則（）A． B． C． D．9．直線（為參數(shù)）上與點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)是A． B．C．或 D．或10．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（）A．2019 B．1 C．0 D．-111．已知直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)k的值為（）A． B．1 C． D．12．設(shè)函數(shù)滿足則時(shí)，()A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值C．既有極大值又有極小值 D．既無極大值也無極小值二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知二項(xiàng)式展開式的第項(xiàng)與第項(xiàng)之和為零，那么等于____________.14．投籃測(cè)試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測(cè)試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過測(cè)試的概率為__________．15．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是______．16．在長(zhǎng)方體中，，，則直線與平面所成角的正弦值為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為紀(jì)念“五四運(yùn)動(dòng)”100周年，某校團(tuán)委舉辦了中國(guó)共產(chǎn)主義青年團(tuán)知識(shí)宣講活動(dòng)活動(dòng)結(jié)束后，校團(tuán)委對(duì)甲、乙兩組各10名團(tuán)員進(jìn)行志愿服務(wù)次數(shù)調(diào)查，次數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果用莖葉圖記錄如下，乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中以表示．（1）若甲組服務(wù)次數(shù)的平均值不小于乙組服務(wù)次數(shù)的平均值，求圖中所有可能的取值；（2）團(tuán)委決定對(duì)甲、乙兩組中服務(wù)次數(shù)超過15次的團(tuán)員授予“優(yōu)秀志愿者”稱號(hào)設(shè)，現(xiàn)從所有“優(yōu)秀志愿者”里任取3人，求其中乙組的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．18．（12分）如圖，在正四棱柱中，，，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.（1）若，求異面直線與所成角的大小；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值；（3）若二面角的大小為，求實(shí)數(shù)的值.19．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線過點(diǎn)，其參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）若與交于，兩點(diǎn)，求的值.20．（12分）已知橢圓的焦距為2，左右焦點(diǎn)分別為，以原點(diǎn)為圓心，以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)不過原點(diǎn)的直線與橢圓C交于兩點(diǎn),若直線與的斜率分別為，且，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；21．（12分）小王每天自己開車上班，他在路上所用的時(shí)間（分鐘）與道路的擁堵情況有關(guān).小王在一年中隨機(jī)記錄了200次上班在路上所用的時(shí)間，其頻數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表，用頻率近似代替概率.（分鐘）15202530頻數(shù)（次）50506040（Ⅰ）求小王上班在路上所用時(shí)間的數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）若小王一周上班5天，每天的道路擁堵情況彼此獨(dú)立，設(shè)一周內(nèi)上班在路上所用時(shí)間不超過的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.22．（10分）如圖，已知點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線，的斜率都存在．（1）若直線過原點(diǎn)，求證：為定值；（2）若直線不過原點(diǎn)，且，試探究是否為定值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出的值.【詳解】由題得，故答案為：D(1)本題主要考查奇函數(shù)的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和分析推理計(jì)算能力.(2)奇函數(shù)f(-x)=-f(x).2、D【解析】

利用奇函數(shù)性質(zhì)，將a轉(zhuǎn)化成，利用單調(diào)性比較函數(shù)值大小，先比較自變量的大小，再根據(jù)增函數(shù)，即可比較函數(shù)值的大小關(guān)系.【詳解】根據(jù)題意，為奇函數(shù)，則，又由，又由在上是增函數(shù)，則有，故選：D.比較指數(shù)值或?qū)?shù)值時(shí)可以跟1或0進(jìn)行比較再排列出大小順序.3、B【解析】

根據(jù)等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，可得在定義域中有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，然后利用根的分布情況，可得，最后利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，可得結(jié)果.【詳解】令，依題意得方程有兩個(gè)不等正根，，則，，令，在上單調(diào)遞減，，故的取值范圍是，故選：B本題考查根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)求參數(shù)，還考查二次函數(shù)根的分布問題，難點(diǎn)在于使用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，化繁為簡(jiǎn)，屬中檔題.4、B【解析】分析：先根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算出弧田的面積，再利用扇形面積減去三角形面積得實(shí)際面積，最后求兩者之差.詳解：因?yàn)閳A心角為2π3，弦長(zhǎng)為403m因此根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算出弧田的面積為12實(shí)際面積等于扇形面積減去三角形面積，為12因此兩者之差為1600π3點(diǎn)睛：扇形面積公式12lr=125、B【解析】

構(gòu)造函數(shù)，則得的單調(diào)性，再根據(jù)為奇函數(shù)得，轉(zhuǎn)化不等式為，最后根據(jù)單調(diào)性性質(zhì)解不等式.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上單獨(dú)遞減，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以.因此不等式等價(jià)于，即，選B.利用導(dǎo)數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實(shí)質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)研究對(duì)應(yīng)函數(shù)單調(diào)性，而對(duì)應(yīng)函數(shù)需要構(gòu)造.構(gòu)造輔助函數(shù)常根據(jù)導(dǎo)數(shù)法則進(jìn)行：如構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造等6、A【解析】因，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，應(yīng)選答案A。7、D【解析】

直接利用向量垂直的充要條件列方程求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，化為，解得，故選D.利用向量的位置關(guān)系求參數(shù)是命題的熱點(diǎn)，主要命題方式有兩個(gè)：（1）兩向量平行，利用解答；（2）兩向量垂直，利用解答.8、B【解析】

根據(jù)二次根式的性質(zhì)求出，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出，取交集即可．【詳解】，，解得：，而單調(diào)遞增，故值域：，，故選：．本題考查定義域值域的求法，考查交集等基本知識(shí)，是基礎(chǔ)題9、D【解析】

直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求出t的值，再求出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】由，得，則，則所求點(diǎn)的坐標(biāo)為或.故選D本題主要考查直線的參數(shù)方程和兩點(diǎn)間的距離公式，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

根據(jù)題意推導(dǎo)出函數(shù)的對(duì)稱性和周期性，可得出該函數(shù)的周期為，于是得出可得出答案．【詳解】函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，，所以，函數(shù)的周期為，且，，，，，，，故選C．本題考查抽象函數(shù)求值問題，求值要結(jié)合題中的基本性質(zhì)和相應(yīng)的等式進(jìn)行推導(dǎo)出其他性質(zhì)，對(duì)于自變量較大的函數(shù)值的求解，需要利用函數(shù)的周期性進(jìn)行求解，考查邏輯推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題．11、D【解析】由得，設(shè)切點(diǎn)為，則，，，，對(duì)比，，，故選D.12、D【解析】

函數(shù)滿足，，令，則，由，得，令，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的最小值為.又在單調(diào)遞增，既無極大值也無極小值，故選D.考點(diǎn)：1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值及函數(shù)的求導(dǎo)法則.【方法點(diǎn)睛】本題主要考察抽象函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的求導(dǎo)法則，屬于難題.求解這類問題一定要耐心讀題、讀懂題，通過對(duì)問題的條件和結(jié)論進(jìn)行類比、聯(lián)想、抽象、概括，準(zhǔn)確構(gòu)造出符合題意的函數(shù)是解題的關(guān)鍵；解這類不等式的關(guān)鍵點(diǎn)也是難點(diǎn)就是構(gòu)造合適的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)時(shí)往往從兩方面著手：①根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的“形狀”變換不等式“形狀”；②若是選擇題，可根據(jù)選項(xiàng)的共性歸納構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù).本題通過觀察導(dǎo)函數(shù)的“形狀”，聯(lián)想到函數(shù)，再結(jié)合條件判斷出其單調(diào)性，進(jìn)而得出正確結(jié)論.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

用項(xiàng)式定理展開式通項(xiàng)公式求得第4項(xiàng)和第5項(xiàng)，由其和為0求得．【詳解】二項(xiàng)式展開式的第項(xiàng)為，第5項(xiàng)為，∴，解得．故答案為：1．本題考查二項(xiàng)式定理，考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．14、【解析】該同學(xué)通過測(cè)試的概率為，故答案為.15、【解析】分析：先求出函數(shù)的定義域，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)小于0求出的范圍，寫成區(qū)間形式，可得到函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.詳解：函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，得函?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于簡(jiǎn)單題.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟為：求出，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間.16、【解析】分析：過作，垂足為，則平面，則即為所求平面角，從而可得結(jié)果.詳解：依題意，畫出圖形，如圖，過作，垂足為，由平面，可得，所以平面，則即為所求平面角，因?yàn)?，，所以，故答案?點(diǎn)睛：本題考查長(zhǎng)方體的性質(zhì)，以及直線與平面所成的角，屬于中檔題.求直線與平面所成的角由兩種方法：一是傳統(tǒng)法，證明線面垂直找到直線與平面所成的角，利用平面幾何知識(shí)解答；二是利用空間向量，求出直線的方向向量以及平面的方向向量，利用空間向量夾角余弦公式求解即可.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）的取值為0或1或1．（1）見解析，【解析】

（1）根據(jù)甲組服務(wù)次數(shù)的平均值不小于乙組服務(wù)次數(shù)的平均值列不等式，由此求得的可能取值.（1）根據(jù)超幾何分布的分布列計(jì)算公式，計(jì)算出分布列并求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）甲組10名團(tuán)員服務(wù)次數(shù)的平均值為，乙組10名團(tuán)員服務(wù)次數(shù)的平均值為．由題意得，即．故圖中的取值為0或1或1．（1）由圖知，甲組“優(yōu)秀志愿者”有1人，乙組“優(yōu)秀志愿者”有3人．由題意，隨機(jī)變量的所有可能取值為1，1，3，則．所以的分布列為113故．本小題主要考查根據(jù)莖葉圖計(jì)算平均數(shù)，考查超幾何分布分布列和期望的計(jì)算，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）異面直線與所成角為；（2）與平面所成角的正弦值為；（3）二面角的大小為，的值為.【解析】分析：（1）由題意可得和的坐標(biāo)，可得夾角的余弦值；（2）求出平面的法向量，即可求出答案；（3）設(shè)，表示出平面的法向量和平面的法向量，利用二面角的大小為，即可求出t.詳解：（1）當(dāng)時(shí)，，，，，，則，，故，所以異面直線與所成角為．（2）當(dāng)時(shí)，，，，，，則，，設(shè)平面的法向量，則由得，不妨取，則，此時(shí)，設(shè)與平面所成角為，因?yàn)椋瑒t，所以與平面所成角的正弦值為．（3）由得，，，設(shè)平面的法向量，則由得，不妨取，則，此時(shí)，又平面的法向量，故，解得，由圖形得二面角大于，所以符合題意．所以二面角的大小為，的值為．點(diǎn)睛：本題考查空間向量的數(shù)量積和模長(zhǎng)公式.19、(1)；.(2).【解析】分析：第一問將參數(shù)方程消參，求得其普通方程，對(duì)于曲線，將方程兩邊同時(shí)乘以，再結(jié)合極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，求得極坐標(biāo)方程，第二問將直線的參數(shù)方程寫出=成標(biāo)準(zhǔn)形式，代入曲線方程，整理，利用韋達(dá)定理求得兩根和與兩根積，結(jié)合直線出參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求得結(jié)果.詳解：（1）由（為參數(shù)），可得的普通方程為，又的極坐標(biāo)方程為，即，所以的直角坐標(biāo)方程為．（2）的參數(shù)方程可化為（為參數(shù)），代入得：，設(shè)，對(duì)應(yīng)的直線的參數(shù)分別為，，，，所以，，所以．點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)坐標(biāo)系與參數(shù)方程的知識(shí)，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有參數(shù)方程與普通方程的互化，極坐標(biāo)方程與平面直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義等，在解題的過程中，需要注意韋達(dá)定理的應(yīng)用以及直線的參數(shù)方程是否是標(biāo)準(zhǔn)式.20、（1）（2）線恒過定點(diǎn)，詳見解析【解析】

（1）根據(jù)焦距得到，根據(jù)圓心到直線的距離得到，由得到，從而得到橢圓方程；（2）直線，聯(lián)立得到，然后表示，代入韋達(dá)定理，得到和的關(guān)系，從而得到直線過的定點(diǎn).【詳解】(1)由題意可得，即，由直線與圓相切，可得，解得，即有橢圓的方程為；(2)證明：設(shè)，將直線代入橢圓，可得，即有，，由，即有，代入韋達(dá)定理，可得，化簡(jiǎn)可得，則直線的方程為，即，故直線恒過定點(diǎn)；本題考查求橢圓方程，直線與橢圓的關(guān)系，橢圓中的定點(diǎn)問題，屬于中檔題.21、(Ⅰ)；(Ⅱ)答案見解析.【解析】分析：（Ⅰ）先由題得到x=15,20,25,30，再求出其對(duì)應(yīng)的概率，最后得到X的分布列和期望.（Ⅱ）利用二項(xiàng)分布求的分布列及數(shù)學(xué)期望.詳解：（Ⅰ），，，，的分布列為15202530所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，每天上班在路上所用時(shí)間不超過的概率為，依題意，，分布列為，，012345.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，考查二項(xiàng)分布，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)若～則利用該公式可以提高計(jì)算效率.22、（1）見解析（2），詳見解析【解析】

（1）設(shè)，，由橢圓對(duì)稱