八年級初二數(shù)學第二學期平行四邊形單元達標測試題

一、選擇題

1.如圖，在菱形ABCD中，點廠為邊45的中點，OF與對角線AC交于點G,過點G

作GE_LA。于點E,若48=2,且N1=N2,則下列結論不正確的是（）

A.DFLABB.CG=2GAC.CG=DF+GED.而邊形凹卬c=&T

2.如圖，把正方形A8CD沿對邊中點所在的直線對折后展開，折痕為MV,再過點B折

疊紙片，使點A格在MN上的點尸處，折痕為8E,若48長為2,則EN的長為（（）

A.2>/3-3B.3-2夜C.注D.在

23

3.平行四邊形的一邊長是12,那么這個平行四邊形的兩條對角線的長可以是（）

A.10和34B.18和20C.14和10D.10和12

4.如圖，菱形A6C。中，過頂點。作CE_L6c交對角線6。于E點，己知

乙4二134。，則NBEC的大小為（）

A.23°B.28°C.62°D.67°

5.如圖，正方形ABCD（四邊相等、四內角相等）中，AD=5,點E、F是正方形ABCD內

的兩點，且AE=FC=4,BE=DF=3,則EF的平方為（）

12

A.2B.—C.3D.4

5

6.矩形紙片ABCD中，AB=5,AD=4,將紙片折疊，使點B落在邊CD上的點9處，折

痕為AE.延長交AB的延長線于點M,折痕AE上有點P,下列結論中：

①N例=NQA8'；②PB=PB'；③AE=^；④MB'=CD；⑤若3'P_LC。，貝！

2

EB'=B'P.正確的有（）個

7.如圖，矩形48CD和矩形CEFG,48=1,BC=CG=2,CE=4,點P在邊GF上，點Q在

邊CE上，且PF=CQ,連結AC和PQ,M,N分別是4C,PQ的中點，則MN的長為

A3B6C回D如

22

8.如圖，在菱形ABCD中，AB=AC=1,點E、F分別為選AB、BC上的點，且AE=BF,連接

CE、AF交于點H,連接DH交AC于點0,則下列結論：①△ABF0Z\CAE；②NFHC=/B：

?△ADO^AACH：?S&ABCD=y/3；其中正確的結論個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

9.如圖，己知正方形ABCD的邊長為4,P是對角線BD上一點，PE_LBC于點E,PF1CD

于點F,連接AP,EF,給出下列結論：①PD=J^EC；②四邊形PECF的周長為8；

③4APD一定是等腰三角形；④AP=EF；⑤EF的最小值為2拉；@AP±EF,其中正確結論

的序號為（）

A.①②?@?B.①②④⑤C.②④⑤D.②④

10.如圖，正方形A3CQ中，延長C3至石使。4=2￡4,以E8為邊作正方形

EFGB,延長尸G交。C于M,連接AM,A”，”為A。的中點，連接一”分別與

A8,AM交于點N,K.則下列說法：①4ANH冬4GNF；②NDAM=/NFG；

③FN=2NK；④S&F/S四邊形OWK〃=2:7.其中正確的有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

二、填空題

11.如圖，正方形ABC。的邊長為4,點E為C。邊上的一個動點，以CE為邊向外作正

方形ECFG,連結BG,點、H為BG中點、,連結EH,則EH的最小值為

12.如圖，正方形ABCD中，AB=4,E是BC的中點，點P是對角線AC上一動點，則

PE+PB的最小值為

13.如圖，RSABC中，ZC=90°,AC=2,BC=5,點D是BC邊上一點且CD=1,點P是線段

DB上一動點，連接AP,以AP為斜邊在AP的下方作等展RtZkAOP.當P從點D出發(fā)運動

至點B停止時，點0的運動路徑長為.

c

D

O

14.如圖，四邊形488是菱形，/DA8=48°,對角線AC,8。相交于點。，0H_L4E于

H,連接。H,則/。"。=度.

15.如圖，氏方形紙片ABCD中,AB=6cm,BC=8cm點E是BC邊上一點，連接AE并將

△AEB沿AE折疊，得到△AEBI以C,E,為頂點的三角形是直角三角形時,BE的長為

____________cm.

16.如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=2AB.F是AD的中點，作CE_LAB,垂足E在線段

AB上，連接EF、CF,則卜列結論：（l）NDCF+gND=9（/；（2）ZAEF+ZECF=90°；

⑶SBEC=2SCEF；M）若NB=80。，則NAEF=50°.其中一定成立的是（把所有正確結

論的字號都填在橫線上）.

17.如圖，正方形A8c。的邊長為6,點E、F分別在邊AD、8c上.將該紙片沿EF折疊，

使點八的對應點G落在邊。C上，折痕EF與AG交于點Q,點K為GH的中點，則隨著折

痕EF位置的變化，aGQK周長的最小值為一.

18.如圖，在矩形ABCD中，ZACB=30°,BC=26,點E是邊BC上一動點（點E不與B,

C重合），連接AE,AE的中垂線FG分別交AE于點F,交AC于點G,連接DG,GE.設

AG=a,則點G到BC邊的距離為（用含a的代數(shù)式表示），ADG的面積的最小值為

19.已知：如圖，在ABC中，ADLBC,垂足為點D,BE1AC,垂足為點

M為A8邊的中點，連給ME、MD、ED,設48=4,ND4C=30。則

EM=:EDM的面積為,

20.如圖，點￡、F分別在平行四邊形488邊8c和4D上（E、F都不與兩端點重合），

A77

連結AE、DE、BF、CF,其中4E和8F交于點G,DE和CF交于點H.令一；=〃，

BC

EC

—=w.若機=〃，則圖中有個平行四邊形（不添加別的輔助線）；若

UX--

加+〃=1,且四邊形A8C。的面積為28,則四邊形FGE，的面積為.

三、解答題

21.綜合與實踐.

問題情境：

如圖①，在紙片。ABC。中，AD=5,SABCD=\5,過點A作AE_LBC,垂足為點

E,沿AE剪下△A8E,將它平移至OC￡的位置，拼成四邊形AEE'。.

獨立思考：（1）試探究四邊形AEE'。的形狀.

深入探究：（2）如圖②，在（1）中的四邊形紙片AEE'。中，在EE'.上取一點F,使

EF=4,剪下AEF,爵它平移至VDE■'的位置，拼成四邊形4尸產'Q,試探究四邊形

月尸尸。的形狀：

拓展延伸：（3）在（2）的條件下，求出四邊形Ab尸。的兩條對角線長：

（4）若四邊形ABC。為正方形，請仿照上述操作，進行一次平移，在圖③中畫出圖形，

標明字母，你能發(fā)現(xiàn)什么結論，直接寫出你的結論.

圖①圖②圖③

22.如圖，在菱形ABCD中,AB=2cm,ZADC=120°.動點如F分別從點B、D同時出

發(fā)，都以0.5cm/s的速度向點A、C運動，連接AF、CE,分別取AF、CE的中點G、H.設

運動的時間為ts（0<t<4）.

（1）求證：AF/7CE；

萬

（2）當t為何值時，△ADF的面積為tern?；

2

（3）連接GE、FH.當t為何值時，四邊形EHFG為菱形.

23.如圖①，已知正方形488的邊長為3,點Q是4。邊上的一個動點，點八關于直線

8a的對稱點是點P,連接QP、DP、CP、8P,設4Q=x.

（1）BP+DP的最小值是,此時x的值是；

（2）如圖②，若QP的延長線交CD邊于點M,并且NCPO=90。.

①求證：點M是C。的中點；②求x的值.

（3）若點Q是射線4。上的一個動點，請直接寫出當△COP為等腰三角形時x的值.

D

DD

24.猜想與證明：如圖①擺放矩形紙片ABCD與矩形紙片ECGF,使B,C,G三點在一條直

線上，CE在邊CD上.連結AF,若M為AF的中點，連結DM,ME,試猜想DM與ME的

數(shù)量關系，并證明你的結論.

拓展與延伸：

⑴若將“猜想與證明”中的紙片換成正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF,其他條件不

變，則DM和ME的關系為;

⑵如圖②擺放正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF,使點F在邊CD上，點M仍為AF的

中點，試證明⑴中的結論仍然成立.［提示：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半］

25.(1)問題探究：如圖①，在四邊形48co中，AB//CD,￡是8c的中點，4E是N8A。

的平分線，則線段48,AD,DC之間的等量關系為；

(2)方法遷移：如圖②，在四邊形48co中，AB//CD,AF與DC的延長線交于點F,E是

8c的中點，AE是NBAF的平分線，試探究線段A8,AF,CF之間的等量關系，并證明你的

結論；

(3)聯(lián)想拓展：如圖③，AB//CF,E是8c的中點，點。在線段AE上，/EDF=NBAE,

試探究線段48,DF,CF之間的數(shù)量關系，并證明你的結論.

EF、CF,EF

平分NAEC.

⑴如圖1,求證:CF±EF;

⑵如圖2,延長CE、DA交于點K,過點F作FG〃AB交CE于點G若，點H為FG上一點,

連接CH,若NCHG=NBCE,求證：CH=FK;

⑶如圖3,過點H作HN±CH交AB于點N,若EN=11,FH-GH=1,求GK長.

27.問題背景

若兩個等腰三角形有公共底邊，則稱這兩個等腰三角形的頂角的頂點關于這條底邊互為頂

針點；若再滿足兩個頂角的和是180。，則稱這兩個頂點關于這條底邊互為勾股頂針點.

如圖1,四邊形A8CQ中，8C是一條對角線，AB=AC,DB=DC,則點A與點O

關于8C互為頂針點：若再滿足/A+NO=180。，則點A與點力關于3c互為勾股頂針

初步思考

⑴如圖2,在A8C中，AB=AC,NA8c=30。，D、E為48。外兩點，

EB=EC,NEBC=45"△OBC為等邊三角形.

①點A與點關于8c互為頂針點；

②點。與點關于BC互為勾股頂針點，并說明理由.

實踐操作

⑵在長方形48co中，AB=8,AD=10.

①如圖3,點E在A6邊上，點F在AO邊上，請用圓規(guī)和無刻度的直尺作出點E、F,

使得點E與點C關于8戶互為勾股頂針點.（不寫作法，保留作圖痕跡）

思維探究

②如圖4,點E是直線AB上的動點，點尸是平面內一點，點E與點C關于8P互為勾股

頂針點，直線CP與直線A。交于點尸.在點￡運動過程中，線段3E與線段A廠的長度

是否會相等？若相等，請直接寫出4E的長；若不相等，請說明理由.

28.在四邊形48CD中，對角線AC、8D相交于點0,過點0的直線EF,GH分別交邊

AB.CD,AD、8c于點E、F、G、H.

(1)觀察發(fā)現(xiàn)：如圖①，若四邊形48CD是正方形，且EF_LGH,易知5"支=5.。6，又因

為Sb408=V$四邊影八8CD，所以S四邊形AE0G=____5正方形A8C0；

4

(2)類比探究：如圖②，若四邊形48C。是矩形，且S四邊形AE0G=]s矩形A8C0，若AB=G,

4

AD=b,BE=m,求4G的長(用含a、b、m的代數(shù)式表示)；

(3)拓展遷移：如圖③，若四邊形48C。是平行四邊形，且S四邊形4￡OG=8c0，若八8=

4

3,AD=5,BE=1,則4G=.

圖①圖②圖③

29.如圖，矩形ABCD中，點。是對角線BD的中點，過點0的直線分別交AB,CD于點

E,F.

(1)求證：四邊形DEBF是平行四邊形；

(2)若四邊形DEBF是菱形，則需要增加個條件是,試說明理由；

(3)在(2)的條件下,若AB=8,AD=6,求EF的長.

30.如圖，ABCD的對角線AC,BD相交于點O,ABIAC,AB=6cm,BC=\0cm,

點P從點A出發(fā)，沿A。方向以每秒的速度向終點。運動，連接尸。，并延長交3c

于點Q.設點P的運動時間為/秒.

(1)求的長(用含，的代數(shù)式表示)；

(2)當四邊形ABQP是平行四邊形時，求，的值；

32

(3)當「二玄時，點。是否在線段AP的垂直平分線上？請說明理由.

【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除

一、選擇題

1.D

解析：D

【分析】

A、由四邊形ABCD是菱形，得出對角線平分對角，求得NGAD=N2,得出AG=GD,

AE=ED,由SAS證得△AFGgz^AEG,得出/AFG=/AEG=90°,即可得出A正確；

B、由DFJ_AB,F為邊AB的中點，證得AD=BD,證出4ABD為等邊三角形，得出

NBAC=N1=N2=3O°,由AC=2AB-cosNB4C,AG=-------------，求出AC,

cosNBAC

AG,即可得出B正確；

C、由勾股定理求出DF=JAO?_A—＞，由GE=tanN2?ED求出GE,即可得出C正確;

D、四邊形BFGC的面枳=AABC的面枳-ZXAGF的面枳，可以發(fā)現(xiàn)D不對.

【詳解】

解：???四邊形ABCD是菱形，

ZFAG=ZEAG,Zl=ZGAD,AB=AD，

Z1=Z2,

NGAD=Z2,

?.AG=GD.

GEA.AD,

二.GE垂宜平分AO.

AE=ED.

點尸為A6的中點，

:.AF=AE.

易證AAFG=AAEG(SAS).

ZAFG=ZAFG=90°.

。尸_L48故A正確.

DFLAB點尸為AB的中點，

：.AF=-AB=\,AD=BD.

2

AD=BD=AB，

48力為等邊三角形.

/BAD=/BCD=60。.

...ZB4C=Z1=Z2=3O°.

AC=2ABcosZ.BAC=2x2x—=2y/3>

2

“AF12&

cosABACV33?

~T

.“AkAkCE2G4G

..CG=AC—ACr=273----------=--------

33

:.CG=2GA,故B正確.

GE垂直平分A。，

:.ED=-AD=\t

2

/.DF=y/AD2-AF2=6，

GE=tanZ2ED=}xtan30°=—.

3

力/+GE=G+'3=勺叵=CG.故C正確.

33

ZBAC=Zl=30°,??,A4BC的邊AC上的高等于A3的一半，即為1,

“1A「V3

FG——AG=-----，

23

S四邊形.8=Sgsc-SAGF=gXX1-gX1x""W'故D不正確.

【點睛】

本題考查了菱形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理、三角函數(shù)、線段垂直平分

線的性質、含30°角的直角三角形的性質等知識；本題綜合性強，有一定難度.

2.A

解析：A

【分析】

根據(jù)翻轉變換的性質求出BM、BF,根據(jù)勾股定理計算求出FM的值；再在RtZ\NEF中，運

用勾股定理列方程求解，即可得到EN的長.

【詳解】

???四邊形ABCD為正方形，AB=2,過點B折疊紙片，使點A落在MN上的點F處，

1

/.FB=AB=2,BM=-BC=1,BF=BA=2,ZBMF=90°,

2

則在RtABMF中,

FM=\lBF2-BM2=V22-l2=V3,

，F(xiàn)N=MN-FM=2-6

設AE=FE=X,則EN=1T,

???內△EFN中，NE?+NF2=EF?，

222

A（1-X）+（2-V3）=X,

解得：x=4-2&，

.\EN=1-X=2X/3-3.

故選：A.

【點睛】

本題考查了翻轉變換的性質、勾股定理的應用，掌握翻轉變換是一種對稱變換，折疊前后

圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等是解題的關鍵.

3.B

解析：B

【分析】

作CE〃BD,交AB的延長線于點E,根據(jù)平行四邊形的性質得到4ACE中，

AE=2AB=24,再根據(jù)三角形的三邊關系即可得到答案.

【詳解】

解：如圖，作CE〃BD,交AB的延長線于點E,

VAB=CD,DC//AB

???四邊形BECD是平行四邊形，

ACE=BD,BE=CD=AB,

，在4ACE中，AE=2AB=24<AC+CE,

???四個選項中只有A,B符合條件，但是10,34,24不符合三邊關系，

故選：B.

【點睛】

此題考查平行四邊形的性質，三角形的三邊關系，利用平行線將對角線及邊轉化為三角形

是解題的關鍵.

4.D

解析：D

【分析】

先說明ABD=NADC=NCBD,然后再利用三角形內角和180°求出即可NCBD度數(shù),最后再

用直.角三角形的內角和定理解答即可.

【詳解】

解：???菱形ABCD

.\AB=AD

AZABD=ZADC

.\ZABD=ZCBD

又二NA=134。

:.ZCBD=ZBDC=ZABD=ZADB=g(180o-134°)=23°

，NBEC=90°-23°=67°

故答案為D.

【點睛】

本題主要考查了菱形的性質，解題的關鍵是掌握菱形的對角線平分每一組對角和三角形內

角和定理.

5.A

解析：A

【分析】

根據(jù)AB=5,AE=4,BE=3,可以確定4ABE為直角三角形，延長BE構建出直角三角形，

在利用勾股定理求出EF的平方即可.

【詳解】

???四邊形ABCD是正方形，

AAB=BC=CD=AD=5,

如圖，延長BE交CF于點G,

VAB=5,AE=4,BE=3,

/.AE2+BE2=AB2

???△ABE是直角三角形，

同理可得aDFC是直角三角形，

VAE=FC=4,BE=DF=3,AB=CD=5,

AAABE^ACDF,

:.ZBAE=ZDCF,

???ZABC=ZAEB=902,

AZCBG=ZBAE,

同理可得，ZBCG=ZCDF=ZABE,

△ABE^ABCG,

ACG=BE=3,BG=AE=4,

.\EG=4-3=1,GF=4-3=1,

AEF2=EG2+GF2=1+1=2

故選擇:A

【點睛】

此題考查三角形的判定，勾股定理的運用，根據(jù)已知條件構建直角三角形求值是解題的關

鍵.

6.C

解析:c

【分析】

①由翻折知/ABE=NAB'E=909,再證NM=NCB『NB，AD即可；②借助軸對稱可知；③利

用計算，勾股定理求BQ,構造方程，求EB,在構造勾股定理求④由相似

2

CB'：BM=CE：BE,BM=y,在計算B'M>5；⑤證退仃g—吒得BE=B，P,再證菱形即

可.

【詳解】

①由折疊性質知NABE=NAB，E=903

.*.ZCB'E+ZAB'D=90?

,:ZD=905

.*.ZB'AD+ZAB'D=905

/.ZCB'E=ZB'AD,

VCD/7MB,

/.ZM=ZCB,E=ZB'AD；

②點P在對稱軸上，則BP=BP；

③由翻折，AB=AB'=5,AD=4,

由勾股定理DB=3,

ACB'=5-3=2,

設BE=x=B'E,CE=4-x,

在RtZ\B'CE中，ZC=90°,

由勾股定理(4-x)2+22=X2,

解得X=J,

2

53

.\CE=4--=-,

22

在RtZXABE中，ZABE=90c,

???△ECB'S/\EBM,

.'.CB'：BM=CE：BE,

35

..2：BM=一：—

22

10

>5=CD；

⑤連接BB',由對稱性可知，BG=B,G,EP_LBB',

BE〃B'P,

.,.△BEG^ABfPG,

ABE=BZP,

???四邊形BPB，E為平行四邊形,

又BE=EB',

所以四邊形BPBT是菱形，

所以PB'=B'E.

故選擇：C.

【點睛】

此題考查了矩形的性質、圖形的翻折變換以及相似三角形的性質等知識的應用，此題的關

鍵是能夠發(fā)現(xiàn)^BEG名△B，PG.

7.C

解析：c

【分析】

連接CF,交PQ于R,延長AD交EF于H,連接AF,則四邊形ABEH是矩形，求出FH=

1,AF=J%"?+FH?=屈，由ASA證得△RFPgARCQ,得出RP=RQ，則點R與點M

重合，得出MN是ACAF的中位線，即可得出結果.

【詳解】

解：連接CF,交PQ于R,延長AD交EF于H,連接AF：如圖所示：

則四邊形ABEH是矩形，

，HE=AB=1,AH=BE=BC+CE=2+4=6,

???四邊形CEFG是矩形，

/.FG/7CE,EF=CG=2,

/.ZRFP=ZRCQ,/RPF=NRQC,FH=EF-HE=2-1=1,

在R3AHF中，由勾股定理得：AF=sjAH2FH2=7624-l2=>/37?

4RFP=RCQ

在ARFP和^RCQ中，<PF=CQ,

NRPF=RQC

.,.△RFP^ARCQ(ASA),

，RP=RQ,

.?.點R與點M重合，

???點N是AC的中點，

/.MN是^CAF的中位線，

【點睛】

本題考查了矩形的判定與性質、平行線的性質、勾股定理、全等三角形的判定與性質、三

角形中位線定理等知識；作輔助線構建全等三角形是解題的關鍵.

8.B

解析：B

【分析】

根據(jù)菱形的性質，利用SAS證明即可判斷①；根據(jù)4ABFgZ\CAE得到NBAF=NACE,再利

用外角的性質以及菱形內侑度數(shù)即可判斷②；通過說明/CAHH/DAO,判斷

△ADOgZXACH不成立，可判斷③；再利用菱形邊長即可求出菱形面積，可判斷④.

【詳解】

解：?.?在菱形ABCD中，AB=AC=1,

???△ABC為等邊三角形，

AZB=ZCAE=60°,

又?.?AE=BF,

AAABF^ACAE(SAS),故①正確：

ZBAF=ZACE,

:.ZFHC=ZACE+ZHAC=ZBAF+ZHAC=600,故②正確；

VZB=ZCAE=60°,

則在△ADO和AACH中，

Z0AD=60o=ZCAB,

???NCAHH60。，即/CAHH/DAO,

???△ADOg^ACH不成立，故③錯誤；

VAB=AC=1,過點A作AG_LBC,垂足為G,

,1

AZBAG=30°,BG=—,

2

.___________伺

?*,AG=[—BG?~，

???菱形ABCD的面積為：BCxAG=\速=旦,故④f音誤；

22

故正確的結論有2個,

故選B.

【點睛】

本題考查了全等三角形判定和性質，菱形的性質和面積，等邊三角形的判定和性質，外角

的性質，解題的關鍵是利用菱形的性質證明全等.

9.A

解析：A

【分析】

①根據(jù)正方形的對角線平分對角的性質，得APDF是等腰直角三角形，在RSDPF中，

DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2,求得DP=72EC.

②先證明四邊形PECF為矩形，根據(jù)等腰直角三角形和矩形的性質可得其周長為2BC,則四

邊形PECF的周長為8；

③根據(jù)P的任意性可以判斷4APD不一定是等腰三角形；

④由②可知，四邊形PECF為矩形，則通過正方形的軸對稱性，證明AP=EF：

⑤當AP最小時，EF最小，EF的最小值等于2五；

⑥證明NPFH+NHPF=90°,則AP_LEF.

【詳解】

①如圖，延長FP交AB與G,連PC,延長AP交EF與H,

VGF/7BC,

AZDPF=ZDBC.

???四邊形ABCD是正方形

.\ZDBC=45°

.\ZDPF=ZDBC=45O,

.*.ZPDF=ZDPF=45O,

,\PF=EC=DF,

???在RtADPF中,DP2=DF24-PF2=EC2+EC2=2EC2,

ADP=V2EC.故①正確；

②PF1CD,ZBCD=90°,

???四邊形PECF為矩形,

，四邊形PECF的周長=2CE+2PE=2CE+2BE=2BC=8,故②正確；

③???點P是正方形ABCD的對角線BD上任意一點，ZADP=45度,

當NPAD=45度或67.5度或90度時，ZkAPD是等腰三角形，

除此之外，4APD不是等腰三角形，

故③錯誤.

④丁四邊形PECF為矩形，

PC=EF,

由正方形為軸對稱圖形，

AAP=PC,

AAP=EF,

故④正確；

⑤由EF=PC=AP,

工當AP最小時,EF最小，

則當AP_LBD時，BPAP=-BD=yx472=272W，EF的最小值等于2衣，故⑤正確；

?VGF/7BC,

.\ZAGP=90°,

.\ZBAP+ZAPG=90°,

VZAPG=ZHPF,

.,.ZPFH+ZHPF=90°,

/.AP±EF,

故⑥正確；

本題正確的有：①②④⑤?;

故選：A.

【點睛】

本題考查了正方形的性質，垂直的判定，等腰三角形的性質，勾股定理的運用.本題難度

較大，綜合性較強，在解答時要認真審題.

10.A

解析；A

【分析】

根據(jù)正方形的性質，以及中點的性質可得△FGN^^HAN,即證①；利用角度之間的等量

關系的轉換可以判斷②；根據(jù)△AKHS^MKF,進而利用相似三角形的性質即可判斷③；

]AH2v1

設AN=—AG=x,則AH=2x,FM=6x,根據(jù)△AKHs/\MKF得出——=—=-,再利用三

2MF6x3

角形的面積公式求出ZXAFN的面積，再利用SDHKM=S—~SAKH即可求出四邊形DHKM

的面積，作比即可判斷④.

【詳解】

丁四邊形EFGB是正方形，CE=2EB,四邊形ABCD是正方形

，G為AB中點，ZFGN=ZHAN=90°,AD=AB

即FG=AG=GB=—AB

2

又H是AD的中點

1

AH=-AD

2

AFG=HA

又NFNG=NHNA

???△FGN絲△HAN,故①正確；

VZDAM+ZGAM=90°

XZNFG+ZFNG=90°

HPZFNG=ZGAM

VZFNG+ZNFG+90°=180°

NAMD+NDAM+90°=180°

ZFNG=ZGAM=ZAMD

:,4DAM=4NFG,故②正確；

由圖可得：MF=FG+MG=3EB

△AKH^AMKF

KHAH1

-MF_3

，KF=3KH

又?.?NH=NF

且FH=KF+KH=4KH=NH+NF

.\NH=NF=2KH

AKH=KN

???FN=2NK,故③正確；

VAN=GNJLAN+GN=AG

,可設AN=LAG=x,貝ljAH=2x,FM=6x

2

ALJ2Y1

由題意可得：△AKHS/XMKF且相似比為：一=—=-

MF6x3

???△AKH以AH為底邊的高為：-x2x=-x

42

112

^DHKM=-SAKH=-xADxDM--xAHx—x

乙乙.J

1.1172

=—x2oxx4x——x2oxx—x=-x

2222

2

**,SAFN：SDHKM=y?故④正確；

故答案選擇A.

【點睛】

本題考查了矩形、全等三角形的判定與性質以及相似三角形的判定與性質，難度較大，需

要熟練掌握相關基礎知識.

二、填空題

11.亞

【分析】

過B點作HE的平行線交AC于。點，延長EG交AB于I點，得到B0=2HE,其中。點在線

段AC上運動，再由點到直線的距離垂線段最短求出B0的長即可求解.

【詳解】

解：過B點作HE的平行線交AC于。點，延長EG交AB于I點，如下圖所示：

TH是BG的中點，且BO與HE平行，

，HE為△BOG的中位線，且BO為HE,

故要使得HE最短，只需要BO最短即可，

當E點位于C點時，則。點與C點重合，

當E點位于D點時，則0點與A點重合，

故E點在CD上運動時，。點在AC上運動，

由點到直線的距離垂線段最短可知，當BO_LAC時，此時B0最短，

???四邊形ABCD是正方形，

為等腰直角三角形，且BC=4,、

.?.B0=噌4=26,

V2&

???HE=-BO=>/2

2t

故答案為：\p2.

【點睛】

本題考查了正方形的性質，等腰直角三角形的性質，點到直線的距離垂線段最短等知識

點，本題的關鍵是要學會將要求的HE線段長轉移到線段B0上.

12.275

【詳解】

由于點B與點D關于AC對稱，所以如果連接DE,交AC于點P,那PE+PB的值最小.在

《△CDE中，由勾股定理先計算出DE的長度，即為PE+PB的最小值.連接DE,交AC于點

P,連接BD.

???點B與點D關于AC對稱，

ADE的長即為PE+PB的最小值，

VAB=4,E是BC的中點,

/.CE=2,

在RtZkCDE中，DE=2石.

D

考點：（1）、軸對稱-最短路線問題；（3）、正方形的性質.

13.2加

【解析】

分析：過。點作OE_LCA于E,OF_LBC于F,連接CO,如圖，易得四邊形OECF為矩形，

由AAOP為等腰直角三角形得到OA=OP,ZAOP=90°,則可證明△OAEgZXOPF,所以

AE=PF,OE=OF,根據(jù)角平分線的性質定理的逆定理得到CO平分NACP,從而可判斷當P

從點D出發(fā)運動至點B停止時，點。的運動路徑為一條線段，接著證明

CE=y（AC+CP）,然后分別計算P點在D點和B點時0C的長，從而計算它們的差即可得

到P從點D出發(fā)運動至點B停止時，點0的運動路徑長.

連接CO,如圖，

VAAOP為等腰直角三角形,

/.OA=OP,ZAOP=90°,

易得四邊形OECF為矩形，

???NEOF=90°,CE=CF,

.*.ZAOE=ZPOF,

.,.△OAE^AOPF,

，AE=PF,OE=OF,

ACO平分NACP,

???當P從點D出發(fā)運動至點B停止時，點0的運動路徑為一條線段,

VAE=PF,

即AC-CE=CF-CP,

而CE=CF,

/.CE=—(AC+CP),

2

五

.??OC=&CE=](AC+CP),

當AC=2,CP=CD=1時，0C=—x(2+1)

22

當AC=2,CP=CB=5時，0C=顯x(2+5)=2^,

22

???當P從點D出發(fā)運動至點B停止時，點0的運動路徑長=速-述=2五.

22

故答案為2夜.

點睛：本題考查了軌跡：靈活運用幾何性質確定圖形運動過程中不變的幾何量，從而判定

軌跡的幾何特征，然后進行幾何計算.也考查了全等三用形的判定與性質.

14.24

【分析】

由菱形的性質可得OD=OB,ZCOD=90°,由直角三角形的斜邊中線等于斜邊的一半，可

得OH=，BD=OB,可得NOHB=NOBH,由余角的性質可得NDHO=NDCO,即可求解.

2

【詳解】

【解答】解：???四邊形八BC。是菱形，

：.OD=OB,ZCOD=90a,ZDAB=ZDCB=48°,

：.OH=-BD=OB

2t

：,ZOHB=ZOBH,

又,：AB"3,

:?NOBH=/ODC,

在RtZXCO。中，ZODC+ZDCO=90°,

4RtADHB+,ZDHO+ZOHB=9O0,

；?NDH0=NDC0=二NDCB=24。,

2

故答案為：24.

【點睛】

本題考查了菱形的性質，直角三角形斜邊中線的性質，余角的性質，是幾何綜合題，判斷

出OH是BD的一半，和/DHO=NDCO是解決本題的關鍵.

15.3或6

【詳解】

@ZBzEC=90°時，如圖BNBEB'=90°,

B'

DD

C

bECBE

圖1圖2

由翻折的性質得NAEB=NAEB4x9(r=45。，

/.△ABE是等腰直角三角形，

/.BE=AB=6cm；

(2)ZEBX=90°時,如圖2,

由翻折的性質NAB，E=NB=90。，

:?A、B\C在同一直線上，

AB'=AB,BE=B'E,

由勾股定理得，AC=JA*+BC?=\/6+4=10cm,

:.BZC=1O6=4cm,

設BE=BzE=x,則EC=8-x,

在RtABTC中,BT^BX^EC2,

即X?+42=(8-X)2,

解得x=3,

即BE=3cm,

綜上所述，BE的長為3或6cm.

故答案為3或6.

16.(1)(2)⑷

【分析】

由平行四邊形的性質和等腰三角形的性質得出⑴正確；

由ASA證明△AEFgADMF,得出EF=MF,ZAEF=ZM,由直角三角形斜邊上的中線性質得

出CF=；EM=EF,由等腰三角形的性質得出NFEC=NECF,得出⑵正確；

證出SAEFC=S.MFM，由MC>BE,得出S^BECV2sAEFC，得出⑶錯誤：

由平行線的性質和互余兩侑的關系得出⑷正確；即可得出結論.

【詳解】

⑴??嚇是AD的中點，

AAF=FD,

'在口ABCD中，AD=2AB.

AAF=FD=CD=AB,

AZDFC=ZDCF,

VAD/7BC,

.\ZDFC=ZFCB,ZBCD+ZD=180°,

.\ZDCF=ZBCF,

1

AZDCF=-ZBCD,

2

AZDCF+-ZD=90°,故⑴正確;

2

???四邊形ABCD是平行四邊形，

AABZ/CD,

AZA=ZMDF,

???F為AD中點,

???AF=「D,

在4AEF和△DMF中，

ZA=AFDM

AF=DF,

/AFE=NDFM

.,.△AEF^ADMF(ASA),

.\EF=MF,ZAEF=ZM,

VCE±AB,

.*.ZAEC=90°,

/.ZAEC=ZECD=90°,

VFM=EF,

1

,\CF=-EM=EF,

2

Z.ZFEC=ZECF,

:.ZAEF+ZECF=ZAEF+ZFEC=ZAEC=90°,故(2)正確;

(3)VEF=FM,

SAEFC=SACFM，

VMC>BE,

二?SABECV2sAEFC，故(3)錯誤：

(4)VZB=80°,

/.ZBCE=90o-80o=10°,

VABZ/CD,

.*.ZBCD=180°-80o=100°,

.\ZBCF=-ZBCD=50°,

2

，ZFEC=ZECF=500-10',=40<,,

.\ZAEF=90o-40o=50°,故⑷正確.

故答案為：⑴(2)⑷.

【點睛】

本題主要考查了平行四邊形的性質、等腰三角形的性質和判定、全等三角形的判定與性

質、直角三角形斜邊上的中線性質等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明

△AEF^ADMF是解題關鍵.

17.3+3石.

【分析】

取AB的中點M,連接DQ,QM,DM.證明QM=QK,QG=DQ,求出DQ+QM的最小值

即可解決問題.

【詳解】

取48的中點M,連接DQ,QM,DM.

???四邊形48CD是正方形，

.\AD=AB=6,ZDAM=^ADG=90a,

\'AM=BM=3,

???DM=dAB2+AM?=V62+32=36

*：GK=HKtAB,GH關于EF對稱,

：?QM=QK,

VZADG=90<>,AQ=QG,

???Oa=AQ=QG,

■:/XQGK的周長=GK+QG+QZ=3+0Q+QM.

又???0Q+QM20M,

.?.0Q+QM236,

???△QGK的周長的最小值為3+3后，

故答案為3+3萬.

【點睛】

本題考查了折疊的性質、正方形的性質、勾股定理、最值問題，解題的關鍵是取AB的中

點M,確定QG+QK=QD+QM,屬于中考?？碱}型.

4-a2G

18.

23

【分析】

先根據(jù)直角三角形含30度角的性質和勾股定理得AB=2,AC=4,從而得CG的長，作輔助

線，構建矩形ABHM和高線GM,如圖2,通過畫圖發(fā)現(xiàn)：當GE_LBC時，AG最小，即。

最小，可計算。的值，從而得結論.

【詳解】

???四邊形ABCD是矩形，

JNB=90°,

VZACB=30°,BC=273>

，AB=2,AC=4,

VAG=?,

:.CG=4-a,

如圖1,過G作MH_LBC于H,交AD于M,

圖1

RtZXCGH中，NACB二30°,

14-a

GH=—CG=

2~2~

則點G到BC邊的距離為手,

VHM±BC,AD/7BC,

AHM1AD,

.\ZAMG=90°,

VZB=ZBHM=90",

工四邊形ABHM是矩形，

AHM=AB=2,

-4-67a

，GM二2-GH=2------=—,

22

???SAADG=—AD?MG=-x2\/3x—=>

2222

當。最小時，^ADG的面積最小，

如圖2,當GE_LBC時，AG最小，即a最小，

D

J

BEC