山西省大同市口泉中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

山西省大同市口泉中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A．1 B．2 C． D．2．某村莊對改村內(nèi)50名老年人、年輕人每年是否體檢的情況進(jìn)行了調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示：每年體檢每年未體檢合計(jì)老年人7年輕人6合計(jì)50已知抽取的老年人、年輕人各25名.則完成上面的列聯(lián)表數(shù)據(jù)錯誤的是()A． B． C． D．3．已知定義在上的函數(shù)滿足，且函數(shù)在上是減函數(shù)，若，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．4．在極坐標(biāo)系中，為極點(diǎn)，曲線與射線的交點(diǎn)為，則（）A． B． C． D．5．在等比數(shù)列中，“是方程的兩根”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知隨機(jī)變量，則參考數(shù)據(jù)：若，A．0.0148 B．0.1359 C．0.1574 D．0.3148.7．橢圓的長軸長為（）A．1 B．2 C． D．8．已知，則中（）A．至少有一個不小于1 B．至少有一個不大于1C．都不大于1 D．都不小于19．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值為（）A． B．2 C．-3 D．10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中N，P的坐標(biāo)分別為，，則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間不可能為（）A． B． C． D．11．甲、乙兩人同時(shí)報(bào)考某一所大學(xué)，甲被錄取的概率為0.6，乙被錄取的概率為0.7，兩人是否被錄取互不影響，則其中至少有一人被錄取的概率為()A．0.12 B．0.42 C．0.46 D．0.8812．有一項(xiàng)活動,在4名男生和3名女生中選2人參加,必須有男生參加的選法有（）種.A．18 B．20 C．24 D．30二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則________.14．的展開式的第3項(xiàng)為______.15．在棱長均為的正三棱柱中，________.16．若在區(qū)間上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程是，直線的參數(shù)方程是(為參數(shù))．求直線被曲線截得的弦長.18．（12分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為．（1）若，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若C上的點(diǎn)到l的距離的最大值為，求．19．（12分）已知函數(shù).(1)判斷的奇偶性并予以證明；(2)求不等式的解集.20．（12分）設(shè)橢圓的離心率為，圓與軸正半軸交于點(diǎn)，圓在點(diǎn)處的切線被橢圓截得的弦長為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)圓上任意一點(diǎn)處的切線交橢圓于點(diǎn)，試判斷是否為定值？若為定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由．21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線：，圓：（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求，的極坐標(biāo)方程；（2）若直線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)，的交點(diǎn)為，，求的面積.22．（10分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和為.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由虛部為0可得答案.【詳解】解：，復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，可得，，故選：C.本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題，注意運(yùn)算準(zhǔn)確.2、D【解析】分析：先根據(jù)列聯(lián)表列方程組，解得a,b,c,d,e,f,再判斷真假.詳解：因?yàn)?，所以選D.點(diǎn)睛：本題考查列聯(lián)表有關(guān)概念，考查基本求解能力.3、B【解析】

利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性可得，距離y軸近的點(diǎn)，對應(yīng)的函數(shù)值較小，可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)滿足，且函數(shù)在上是減函數(shù)，所以可知距離y軸近的點(diǎn)，對應(yīng)的函數(shù)值較??；，且，所以，故選B.本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的核心素養(yǎng).4、B【解析】分析：將兩方程聯(lián)立求出，再根據(jù)的幾何意義即可得到OA的值.詳解：由題可得：，由的幾何意義可得，故選B.點(diǎn)睛：考查極坐標(biāo)的定義和的幾何意義：表示原點(diǎn)到A的距離，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

由韋達(dá)定理可得a4+a12＝﹣3，a4?a12＝1，得a4和a12均為負(fù)值，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得．【詳解】∵a4，a12是方程x2+3x+1＝0的兩根，∴a4+a12＝﹣3，a4?a12＝1，∴a4和a12均為負(fù)值，由等比數(shù)列的性質(zhì)可知a8為負(fù)值，且a82＝a4?a12＝1，∴a8＝﹣1，故“a4，a12是方程x2+3x+1＝0的兩根”是“a8＝±1”的充分不必要條件.故選A．本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)和韋達(dá)定理，注意等比數(shù)列隔項(xiàng)同號，屬于基礎(chǔ)題．6、B【解析】

根據(jù)正態(tài)分布函數(shù)的對稱性去分析計(jì)算相應(yīng)概率.【詳解】因?yàn)榧?，所以，，又，，且，故選：B.本題考查正態(tài)分布的概率計(jì)算，難度較易.正態(tài)分布的概率計(jì)算一般都要用到正態(tài)分布函數(shù)的對稱性，根據(jù)對稱性，可將不易求解的概率轉(zhuǎn)化為易求解的概率.7、B【解析】

將橢圓方程化成標(biāo)準(zhǔn)式，根據(jù)橢圓的方程可求，進(jìn)而可得長軸.【詳解】解：因?yàn)?，所以，即，，所以，故長軸長為故選：本題主要考查了橢圓的定義的求解及基本概念的考查，屬于基礎(chǔ)題．8、B【解析】

用反證法證明，假設(shè)同時(shí)大于，推出矛盾得出結(jié)果【詳解】假設(shè)，，，三式相乘得，由，所以，同理，，則與矛盾，即假設(shè)不成立，所以不能同時(shí)大于，所以至少有一個不大于，故選本題考查的是用反證法證明數(shù)學(xué)命題，把要證的結(jié)論進(jìn)行否定，在此基礎(chǔ)上推出矛盾，是解題的關(guān)鍵，同時(shí)還運(yùn)用了基本不等式，本題較為綜合9、A【解析】

模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到、的值，可得答案【詳解】第1次執(zhí)行循環(huán)體后：，；第2次執(zhí)行循環(huán)體后：，；第3次執(zhí)行循環(huán)體后：，；第4次執(zhí)行循環(huán)體后：，；經(jīng)過4次循環(huán)后，可以得到周期為4，因?yàn)?，所以輸出的值為，故選A．本題考查程序框圖的問題，本題解題的關(guān)鍵是找出循環(huán)的周期，屬于基礎(chǔ)題．10、D【解析】

利用排除法，根據(jù)周期選出正確答案．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)函數(shù)的周期為T，則,所以.因?yàn)樵谶x項(xiàng)D中，區(qū)間長度為

∴在區(qū)間上不是單調(diào)減函數(shù)．所以選擇D本題考查了余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，解決此類問題需要結(jié)合單調(diào)性、周期等．屬于中等題．11、D【解析】由題意知，甲、乙都不被錄取的概率為(1－0.6)(1－0.7)＝0.12.∴至少有一人被錄取的概率為1－0.12＝0.88.故選D.考點(diǎn)：相互獨(dú)立事件的概率.12、A【解析】

分類：（1）人中有人是男生；（2）人都是男生.【詳解】若人中有人是男生，則有種；若人都是男生，則有種；則共有種選法.排列組合中，首先對于兩個基本原理：分類加法、分步乘法，要能充分理解，它是后面解答排列組合綜合問題的基礎(chǔ).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

將分子化為，然后在分式的分子和分母中同時(shí)除以，利用弦化切的思想進(jìn)行計(jì)算.【詳解】，故答案為.本題考查利用弦化切思想進(jìn)行求值，弦化切一般適用于以下兩種情況：（1）分式是關(guān)于角的次分式齊次式，在分式的分子和分母中同時(shí)除以，可將分式化為切的代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算；（2）角弦的二次整式，先除以，將代數(shù)式化為角的二次分式齊次式，然后在分式的分子和分母中同時(shí)除以，可將代數(shù)式化為切的代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算.14、【解析】

利用二項(xiàng)式定理展開式，令可得出答案．【詳解】的展開式的第項(xiàng)為，故答案為．本題考查二項(xiàng)式指定項(xiàng)，解題時(shí)充分利用二項(xiàng)式定理展開式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】

首先畫出正三棱柱，求出邊長和，最后求面積.【詳解】因?yàn)槭钦庵⑶依忾L都為1，是腰長為，底邊長為1的等腰三角形，所以底邊的高，.故答案為本題考查幾何體中幾何量的求法，意在考查空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題型.16、【解析】分析：利用換元法簡化不等式，令t=2x﹣2﹣x，t∈[，]，22x+2﹣2x=t2+2，整理可得a≥﹣（t+），t∈[，]根據(jù)函數(shù)y=t+的單調(diào)性求出最大值即可．詳解：a（2x﹣2﹣x）+≥0在x∈[1，2]時(shí)恒成立，令t=2x﹣2﹣x，t∈[，]，∴22x+2﹣2x=t2+2，∴a≥﹣（t+），t∈[，]，顯然當(dāng)t=是，右式取得最大值為﹣，∴a≥﹣．故答案為[﹣，+∞）．點(diǎn)睛：考查了換元法的應(yīng)用和恒成立問題的轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用．恒成立的問題的解決方法：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（2）若就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為，若恒成立；（3）若恒成立，可轉(zhuǎn)化為（需在同一處取得最值）.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】分析：首先求得直角坐標(biāo)方程，然后求得圓心到直線的距離，最后利用弦長公式整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果；詳解：利用加減消元法消去參數(shù)得曲線的直角坐標(biāo)方程是，同時(shí)得到直線的普通方程是，圓心到直線的距離，則弦長為直線被曲線截得的弦長為點(diǎn)睛：本題考查了圓的弦長公式，極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程互化等，重點(diǎn)考查學(xué)生對基礎(chǔ)概念的理解和計(jì)算能力，屬于中等題．18、（1），；（2）或．【解析】試題分析：（1）直線與橢圓的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立解交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）利用橢圓參數(shù)方程，設(shè)點(diǎn)，由點(diǎn)到直線距離公式求參數(shù)．試題解析：（1）曲線的普通方程為.當(dāng)時(shí)，直線的普通方程為.由解得或.從而與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，.（2）直線的普通方程為，故上的點(diǎn)到的距離為.當(dāng)時(shí)，的最大值為.由題設(shè)得，所以；當(dāng)時(shí)，的最大值為.由題設(shè)得，所以.綜上，或.點(diǎn)睛:本題為選修內(nèi)容，先把直線與橢圓的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立方程，可得交點(diǎn)坐標(biāo)，利用橢圓的參數(shù)方程，求橢圓上一點(diǎn)到一條直線的距離的最大值，直接利用點(diǎn)到直線的距離公式，表示出橢圓上的點(diǎn)到直線的距離，利用三角有界性確認(rèn)最值，進(jìn)而求得參數(shù)的值．19、(1)奇函數(shù)，證明見解析.(2).【解析】分析：(1)先求定義域，判斷是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，再研究與關(guān)系，根據(jù)奇偶性定義判斷，(2)先根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性化簡不等式，再解分式不等式得結(jié)果.詳解：（1）要使函數(shù)有意義．則，解得.故所求函數(shù)的定義域?yàn)椋桑?）知的定義域?yàn)?，設(shè)，則．且，故為奇函數(shù)．(2)因?yàn)樵诙x域內(nèi)是增函數(shù)，因?yàn)?，所以，解得．所以不等式的解集是．點(diǎn)睛：判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個必備條件：(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系．在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)關(guān)系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù))是否成立．20、（1）；（2）見解析.【解析】

（I）結(jié)合離心率，得到a,b,c的關(guān)系，計(jì)算A的坐標(biāo)，計(jì)算切線與橢圓交點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，計(jì)算參數(shù)，即可．（II）分切線斜率存在與不存在討論，設(shè)出M,N的坐標(biāo)，設(shè)出切線方程，結(jié)合圓心到切線距離公式，得到m,k的關(guān)系式，將直線方程代入橢圓方程，利用根與系數(shù)關(guān)系，表示，結(jié)合三角形相似，證明結(jié)論，即可．【詳解】(Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距為，由橢圓的離心率為知，，∴橢圓的方程可設(shè)為.易求得，∴點(diǎn)在橢圓上，∴，解得，∴橢圓的方程為.(Ⅱ)當(dāng)過點(diǎn)且與圓相切的切線斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)切線方程為，由(Ⅰ)知，，，∴.當(dāng)過點(diǎn)且與圓相切的切線斜率存在時(shí)，可設(shè)切線的方程為，，∴，即.聯(lián)立直線和橢圓的方程得，∴，得.∵，∴，，∴.綜上所述，圓上任意一點(diǎn)處的切線交橢圓于點(diǎn)，都有.在中，由與相似得，為定值.本道題考查了橢圓方程的求解，考查了直線與橢圓位置關(guān)系，考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，難度偏難．21、(1)的極坐標(biāo)方程為，的極坐標(biāo)方程為.(2).【解析】分析：（1）直接利用可得的極坐標(biāo)方程，：利用平方法消去參數(shù)，可得其普通方程，利用互化公式可得的極坐標(biāo)方程；（2）將代入，得，利用極徑的幾何意義可得，由三角形面積公式可得結(jié)果.詳解：（1）因?yàn)?，，∴的極坐標(biāo)方程為，的極坐標(biāo)方程為.（2）將代入，得，解得，，.因?yàn)榈陌霃綖?，則的面積.點(diǎn)睛：參數(shù)方程主要通過代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去參數(shù)化為普通方程，通過選取相應(yīng)的參數(shù)可以把普通方程化為參數(shù)方程；利用關(guān)系式，等可以把極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化，這類問題一般我們可以先把曲線方程化為直角坐標(biāo)方程，用直角坐標(biāo)方程解決相應(yīng)問題．22、（1）（2）【解析】試題分析：（1）利用和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系，當(dāng)時(shí)，，將條件轉(zhuǎn)化為項(xiàng)之間