山東陽谷縣第五中學2024-2025學年數學高二下期末考試試題含解析

山東陽谷縣第五中學2024-2025學年數學高二下期末考試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．口袋中裝有標號為1,2,3,4,5,6且大小相同的6個球，從袋中一次摸出2個球，記下號碼并放回，若這2個號碼之和是4的倍數或這2個球號碼之和是3的倍數，則獲獎.某人從袋中一次摸出2個球，其獲獎的概率為（）A． B． C． D．2．執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入，那么輸出的（）A．B．C．D．3．已知正方體的棱長為，定點在棱上(不在端點上)，點是平面內的動點，且點到直線的距離與點到點的距離的平方差為，則點的軌跡所在的曲線為A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線4．設函數（為自然對數的底數），若曲線上存在點使得，則的取值范圍是A． B． C． D．5．已知函數的最小正周期為，且其圖象向右平移個單位后得到函數的圖象，則（）A． B． C． D．6．某校有高一學生n名，其中男生數與女生數之比為6:5，為了解學生的視力情況，現要求按分層抽樣的方法抽取一個樣本容量為n10的樣本，若樣本中男生比女生多12人，則n=（A．990 B．1320 C．1430 D．15607．黃金螺旋線又名鸚鵡螺曲線，是自然界最美的鬼斧神工。就是在一個黃金矩形（寬除以長約等于0.6的矩形）先以寬為邊長做一個正方形，然后再在剩下的矩形里面再以其中的寬為邊長做一個正方形，以此循環(huán)做下去，最后在所形成的每個正方形里面畫出1/4圓，把圓弧線順序連接，得到的這條弧線就是“黃金螺旋曲線了。著名的“蒙娜麗莎”便是符合這個比例，現把每一段黃金螺旋線與其每段所在的正方形所圍成的扇形面積設為，每扇形的半徑設為滿足，若將的每一項按照上圖方法放進格子里，每一小格子的邊長為1，記前項所占的對應正方形格子的面積之和為，則下列結論錯誤的是（）A． B．C． D．8．已知，則（）A． B． C． D．9．己知函數,若,則()A． B． C． D．10．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值是（）A．3 B．5 C．7 D．911．已知函數在上的值域為，函數在上的值域為.若是的必要不充分條件，則的取值范圍是（）A． B．C． D．12．下列幾種推理中是演繹推理的序號為（）A．由，，，…猜想B．半徑為的圓的面積，單位圓的面積C．猜想數列，，，…的通項為D．由平面直角坐標系中，圓的方程為推測空間直角坐標系中球的方程為二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．由曲線與圍成的封閉圖形的面積是__________．14．函數（，均為正數），若在上有最小值10，則在上的最大值為__________．15．若變量，滿足約束條件則的最大值為______．16．將4個不同的小球任意放入3個不同的盒子中，則每個盒子中至少有1個小球的概率為________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知m是實數，關于x的方程E：x2﹣mx+（2m+1）＝1．（1）若m＝2，求方程E在復數范圍內的解；（2）若方程E有兩個虛數根x1，x2，且滿足|x1﹣x2|＝2，求m的值．18．（12分）已知函數，且.（Ⅰ）若是偶函數，當時，，求時，的表達式；（Ⅱ）若函數在上是減函數，求實數的取值范圍.19．（12分）為了解某校學生參加社區(qū)服務的情況，采用按性別分層抽樣的方法進行調查．已知該校共有學生960人，其中男生560人，從全校學生中抽取了容量為n的樣本，得到一周參加社區(qū)服務的時間的統(tǒng)計數據如下表：超過1小時不超過1小時男208女12m（1）求m，n；（2）能否有95%的把握認為該校學生一周參加社區(qū)服務時間是否超過1小時與性別有關？（3）以樣本中學生參加社區(qū)服務時間超過1小時的頻率作為該事件發(fā)生的概率，現從該校學生中隨機調查6名學生，試估計6名學生中一周參加社區(qū)服務時間超過1小時的人數．附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.82820．（12分）如圖，已知在四棱錐中，為中點，平面平面，，，，．（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值．21．（12分）唐代餅茶的制作一直延續(xù)至今，它的制作由“炙”、“碾”、“羅”三道工序組成：根據分析甲、乙、丙三位學徒通過“炙”這道工序的概率分別是，，；能通過“碾”這道工序的概率分別是，，；由于他們平時學徒刻苦，都能通過“羅”這道工序；若這三道工序之間通過與否沒有影響，（Ⅰ）求甲、乙、丙三位同學中恰好有一人通過“炙”這道工序的概率，（Ⅱ）設只要通過三道工序就可以制成餅茶，求甲、乙、丙三位同學中制成餅茶人數的分布列.22．（10分）選修4-4：坐標系與參數方程已知直線：（為參數），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系.圓的極坐標方程為.（Ⅰ）求圓心的極坐標；（Ⅱ）設點的直角坐標為，直線與圓的交點為,求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】分析：先求出基本事件的總數，再求出這2個號碼之和是4的倍數或這2個球號碼之和是3的倍數的基本事件，再根據古典概型的概率計算公式求解即可.詳解：從6個球中一次摸出2個球，共有種，2個號碼之和是4的倍數或這2個球號碼之和是3的倍數，共有：9種，獲獎的概率為.故選A.點睛：求古典概型的概率的關鍵是求試驗的基本事件的總數和事件A包含的基本事件的個數，這就需要正確列出基本事件，基本事件的表示方法有列舉法、列表法和樹形圖法，具體應用時可根據需要靈活選擇．2、B【解析】分析：由題意結合流程圖運行程序即可確定程序的輸出結果.詳解：結合所給的流程圖運行程序如下：首先初始化數據：，第一次循環(huán)：，,，此時不滿足；第二次循環(huán)：，,，此時不滿足；第三次循環(huán)：，,，此時不滿足；一直循環(huán)下去，第十次循環(huán)：，,，此時滿足，跳出循環(huán).則輸出的.本題選擇B選項.點睛：識別、運行程序框圖和完善程序框圖的思路(1)要明確程序框圖的順序結構、條件結構和循環(huán)結構．(2)要識別、運行程序框圖，理解框圖所解決的實際問題．(3)按照題目的要求完成解答并驗證．3、D【解析】

作，，連接，以為原點建立空間直角坐標系，利用勾股定理和兩點間距離公式構造，整理可得結果.【詳解】作，，垂足分別為以為原點建立如下圖所示的空間直角坐標系：設，由正方體特點可知，平面，，整理得：的軌跡是拋物線本題正確選項：本題考查立體幾何中點的軌跡問題，關鍵是能夠通過建立空間直角坐標系，求出動點滿足的方程，從而求得軌跡.4、D【解析】

法一：考查四個選項，發(fā)現有兩個特殊值區(qū)分開了四個選項，0出現在了A，B兩個選項的范圍中，出現在了B，C兩個選項的范圍中，故通過驗證參數為0與時是否符合題意判斷出正確選項。法二：根據題意可將問題轉化為在上有解，分離參數得到，，利用導數研究的值域，即可得到參數的范圍。【詳解】法一：由題意可得，，而由可知，當時，＝為增函數，∴時，．∴不存在使成立，故A，B錯；當時，＝，當時，只有時才有意義，而，故C錯．故選D．法二：顯然，函數是增函數，，由題意可得，，而由可知，于是，問題轉化為在上有解．由，得，分離變量，得，因為，，所以，函數在上是增函數，于是有，即，應選D．本題是一個函數綜合題，方法一的切入點是觀察四個選項中與不同，結合排除法以及函數性質判斷出正確選項，方法二是把問題轉化為函數的最值問題，利用導數進行研究，屬于中檔題。5、C【解析】

利用函數的周期求出的值，利用逆向變換將函數的圖象向左平行個單位長度，得出函數的圖象，根據平移規(guī)律得出的值.【詳解】由于函數的周期為，，則，利用逆向變換，將函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，所以，因此，，故選：C.本題考查正弦型函數周期的計算，同時也考查了三角函數圖象的平移變換，本題利用逆向變換求函數解析式，可簡化計算，考查推理能力與運算求解能力，屬于中等題.6、B【解析】

根據題意得出樣本中男生和女生所占的比例分別為611和511，于是得出樣本中男生與女生人數之差為611【詳解】依題意可得(611-511)×n本題考考查分層抽樣的相關計算，解題時要利用分層抽樣的特點列式求解，考查計算能力，屬于基礎題。7、D【解析】

根據定義求數列和，利用化簡求解，利用特殊值否定結論.【詳解】由題意得為以為長和寬矩形的面積，即；；又，故正確；因為，所以D錯誤,選D.本題考查數列求和以及利用遞推關系化簡，考查綜合分析求解能力，屬較難題.8、C【解析】

利用指數函數、對數函數的單調性，將a，b，c分別與1和0比較，得到結論.【詳解】因為所以故選：C本題主要考查指數函數、對數函數的單調性的應用，還考查了轉化化歸的思想和理解辨析的能力，屬于基礎題.9、D【解析】分析：首先將自變量代入函數解析式，利用指對式的運算性質，得到關于參數的等量關系式，即可求得結果.詳解：根據題意有，解得，故選D.點睛：該題考查的是已知函數值求自變量的問題，在求解的過程中，需要對指數式和對數式的運算性質了如指掌.10、D【解析】

由已知的框圖可知，該程序的功能是利用循環(huán)結構計算輸出變量n的值，模擬程序運行的過程，分析循環(huán)中各變量的變化情況，可得答案，本題中在計算S時，還需要結合數列中的裂項求和法解決問題，即：.【詳解】解：由程序框圖知：第一次循環(huán)：初始值為0，不滿足，故，；第二次循環(huán)：當，不滿足，故，；第三次循環(huán)：當，不滿足，故，；第四次循環(huán)：當，不滿足，故，；此時，，滿足，退出循環(huán)，輸出，故選D.本題考查了程序框圖的應用問題，解題時模擬程序框圖的運行過程，便可得出正確的結論，這類題型往往會和其他知識綜合，解題需結合其他知識加以解決.11、B【解析】

先計算出兩個函數的值域，根據是的必要不充分條件可得是的真子集，從而得到的取值范圍.【詳解】因為在上單調遞增，所以，又函數在上單調遞增，于是.因為是的必要不充分條件，所以是的真子集，故有（等號不同時?。?，得，故選B.（1）若是的必要不充分條件，則對應集合是對應集合的真子集；（2）是的充分不必要條件，則對應集合是對應集合的真子集；（3）是的充分必要條件，則對應集合與對應集合相等；（4）是的既不充分又不必要條件，對的集合與對應集合互不包含．12、B【解析】

根據演繹推理、歸納推理和類比推理的概念可得答案.【詳解】A.是由特殊到一般，是歸納推理.B.是由一般到特殊，是演繹推理.C.是由特殊到一般，是歸納推理.D.是由一類事物的特征，得到另一類事物的特征，是類比推理.故選：B本題考查對推理類型的判斷，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】分析：由于兩函數都是奇函數，因此只要求得它們在第一象限內圍成的面積，由此求得它們在第一象限內交點坐標，得積分的上下限．詳解：和的交點坐標為，∴．故答案為1．點睛：本題考查用微積分定理求得兩函數圖象圍成圖形的面積．解題關鍵是確定積分的上下限及被積函數．14、【解析】分析：將函數變形得到函數是奇函數，假設在處取得最小值，則一定在-m處取得最大值，再根據函數值的對稱性得到結果.詳解：，可知函數是奇函數，假設在處取得最小值，則一定在-m處取得最大值，故在上取得的最大值為故答案為：-4.點睛：這個題目考查了函數的奇偶性，奇函數關于原點中心對稱，在對稱點處分別取得最大值和最小值；偶函數關于y軸對稱，在對稱點處的函數值相等，中經常利用函數的這些性質，求得最值.15、9.【解析】分析：畫出可行域，然后結合目標函數求最值即可.詳解：作出如圖所示可行域：可知當目標函數經過點A（2,3）時取得最大值，故最大值為9.點睛：考查簡單的線性規(guī)劃的最值問題，準確畫出圖形，畫出可行域確定最優(yōu)解是解題關鍵，屬于基礎題.16、【解析】試題分析：將個不同的小球任意放入個不同的盒子中，每個小球有種不同的放法，共有種放法，每個盒子中至少有個小球的放法有種，故所求的概率.考點：1、排列組合；2、隨機變量的概率.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）x＝1+2i，或x＝1﹣2i（2）m＝1，或m＝2【解析】

（1）根據求根公式可求得結果；（2）根據實系數多項式虛根成對定理，不妨設x1＝a+bi，則x2＝a﹣bi，根據韋達定理以及|x1﹣x2|＝2，可解得結果.【詳解】（1）當m＝2時，x2﹣mx+（2m+1）＝x2﹣2x+5＝1，∴x，∴x＝1+2i，或x＝1﹣2i．∴方程E在復數范圍內的解為x＝1+2i，或x＝1﹣2i；（2）方程E有兩個虛數根x1，x2，根據實系數多項式虛根成對定理，不妨設x1＝a+bi，則x2＝a﹣bi，∴x1+x2＝2a＝m，，∴∵|x1﹣x2|＝|2bi|＝2，∴b2＝1，∴，∴m＝1，或m＝2．本題考查了求根公式，考查了實系數多項式虛根成對定理，考查了韋達定理，屬于中檔題.18、(1)見解析;(2).【解析】分析：⑴根據偶函數性質，當時，，求出表達式⑵復合函數同增異減，并且滿足定義域詳解：（Ⅰ）∵是偶函數，所以，又當時，∴當時，，∴，所以當時，.（Ⅱ）因為在上是減函數，要使在有意義，且為減函數，則需滿足解得,∴所求實數的取值范圍為.點睛：本題主要考查了復合函數，關鍵是分解為兩個基本函數，利用同增異減的結論研究其單調性，再求參數范圍。19、（1），（2）沒有95%的把握認為該校學生一周參加社區(qū)服務時間是否超過1小時與性別有關（3）估計這6名學生中一周參加社區(qū)服務時間超過1小時的人數是4人【解析】

（1）根據分層抽樣比例列方程求出n的值，再計算m的值；（2）根據題意完善2×2列聯表，計算K2，對照臨界值表得出結論；（3）計算參加社區(qū)服務時間超過1小時的頻率，用頻率估計概率，計算所求的頻數即可．【詳解】（1）根據分層抽樣法，抽樣比例為，∴n＝48；∴m＝48﹣20﹣8﹣12＝8；（2）根據題意完善2×2列聯表，如下；超過1小時不超過1小時合計男生20828女生12820合計321648計算K20.6857＜3.841，所以沒有95%的把握認為該校學生一周參加社區(qū)服務時間是否超過1小時與性別有關；（3）參加社區(qū)服務時間超過1小時的頻率為，用頻率估計概率，從該校學生中隨機調査6名學生，估計這6名學生中一周參加社區(qū)服務時間超過1小時的人數為64（人）．本題考查了列聯表與獨立性檢驗的應用問題及用頻率估計概率的應用問題，考查了運算能力，屬于中檔題．20、（1）見解析；（2）【解析】

分析：（1）由勾股定理可得，可得平面，于是，由正三角形的性質可得，可得底面，從而可得結果；（2）以為，過作的垂線為建立坐標系，利用向量垂直數量積為零列方程組，求出平面的一個法向量與平面的一個法向量，利用空間向量夾角余弦公式可求出二面角的余弦值.詳解：（1）證明：∵，，，，∴，，，，∴，∵平面平面,兩平面的交線為∴平面，∴，∵，為中點，∴，梯形中與相交∴底面，∴平面平