上海市上海外國語大學(xué)附中2025年數(shù)學(xué)高二下期末調(diào)研試題含解析

上海市上海外國語大學(xué)附中2025年數(shù)學(xué)高二下期末調(diào)研試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點分別為.若為線段的中點，則點對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A． B． C． D．2．設(shè)函數(shù)，則（）A．為的極大值點 B．為的極小值點C．為的極大值點 D．為的極小值點3．函數(shù)（）A． B．C． D．4．已知雙曲線的右焦點為，為坐標原點，以為圓心、為半徑的圓與軸交于兩點，與雙曲線的一條漸近線交于點，若，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．5．若實數(shù)x、y的取值如表，從散點圖分析，y與x線性相關(guān)，且回歸方程為y=3.5x12345y27812mA．15 B．16 C．16.2 D．176．已如集合，，則（）A． B． C． D．7．設(shè)m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,下列命題中正確的是（）A．若m//α,m//β,則α//β B．若α⊥β，m⊥α，n//β，則m⊥nC．若m⊥α,m//n,則n⊥α D．若α⊥β,m⊥α,則m//β8．若滿足約束條件則的最大值為（）A．5 B． C．4 D．39．用反證法證明命題“關(guān)于x的方程至少有一個實根”時，要做的假設(shè)是（）A．方程至多有一個實根 B．方程至少有兩個實根C．方程至多有兩個實根 D．方程沒有實根10．一個袋中放有大小、形狀均相同的小球，其中紅球1個、黑球2個，現(xiàn)隨機等可能取出小球，當(dāng)有放回依次取出兩個小球時，記取出的紅球數(shù)為；當(dāng)無放回依次取出兩個小球時，記取出的紅球數(shù)為，則（）A．， B．，C．， D．，11．如圖，在平面直角坐標系中，質(zhì)點間隔3分鐘先后從點，繞原點按逆時針方向作角速度為弧度/分鐘的勻速圓周運動，則與的縱坐標之差第4次達到最大值時，運動的時間為（）A．37.5分鐘 B．40.5分鐘 C．49.5分鐘 D．52.5分鐘12．已知變量，滿足約束條件，則目標函數(shù)的最大值為A．7 B．8 C．9 D．10二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上,且球的表面積為,,平面,,則三棱錐的體積為__________．14．的展開式中的系數(shù)為______.15．已知向量滿足：，，當(dāng)取最大值時，______．16．已知曲線的方程為，集合，若對于任意的，都存在，使得成立，則稱曲線為曲線.下列方程所表示的曲線中,是曲線的有__________（寫出所有曲線的序號）①；②；③；④三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線是拋物線的準線，直線，且與拋物線沒有公共點，動點在拋物線上，點到直線和的距離之和的最小值等于2.（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）點在直線上運動，過點做拋物線的兩條切線，切點分別為，在平面內(nèi)是否存在定點，使得恒成立？若存在，請求出定點的坐標，若不存在，請說明理由．18．（12分）已知曲線的極坐標方程為（1）若以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標系，求曲線的直角坐標方程；（2）若是曲線上一個動點，求的最大值，以及取得最大值時點的坐標.19．（12分）已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且.（1）若，角，求角的值；（2）若的面積，，求的值.20．（12分）如圖，已知四棱錐的底面是邊長為2的正方形，底面，.（1）求直線與平面所成的角的大??；（2）求四棱錐的側(cè)面積.21．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）．以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（Ⅰ）求曲線的普通方程和極坐標方程；（Ⅱ）已知曲線的極坐標方程為：，點是曲線與的交點，點是曲線與的交點，且，均異于極點，且，求實數(shù)的值．22．（10分）某種證件的獲取規(guī)則是：參加科目A和科目B的考試，每個科目考試的成績分為合格與不合格，每個科目最多只有2次考試機會，且參加科目A考試的成績?yōu)楹细窈?，才能參加科目B的考試；參加某科目考試的成績?yōu)楹细窈?，不再參加該科目的考試，參加兩個科目考試的成績均為合格才能獲得該證件．現(xiàn)有一人想獲取該證件，已知此人每次參加科目A考試的成績?yōu)楹细竦母怕适牵看螀⒓涌颇緽考試的成績?yōu)楹细竦母怕适?，且各次考試的成績?yōu)楹细衽c不合格均互不影響．假設(shè)此人不放棄按規(guī)則所給的所有考試機會，記他參加考試的次數(shù)為X.（1）求X的所有可能取的值；（2）求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

求出復(fù)數(shù)對應(yīng)點的坐標后可求的坐標.【詳解】兩個復(fù)數(shù)對應(yīng)的點坐標分別為，則其中點的坐標為，故其對應(yīng)點復(fù)數(shù)為，故選：C.本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，注意復(fù)數(shù)對應(yīng)的點是由其實部和虛部確定的，本題為基礎(chǔ)題.2、D【解析】試題分析：因為，所以．又，所以為的極小值點．考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；導(dǎo)數(shù)的運算法則．點評：極值點的導(dǎo)數(shù)為0，但導(dǎo)數(shù)為0的點不一定是極值點．3、A【解析】

由于函數(shù)為偶函數(shù)又過（0，0）,排除Ｂ，Ｃ，Ｄ，所以直接選A.【考點定位】對圖像的考查其實是對性質(zhì)的考查，注意函數(shù)的特征即可，屬于簡單題.4、B【解析】

取的中點，利用點到直線距離公式可求得，根據(jù)可得，從而可求得漸近線方程.【詳解】如圖，取的中點，則為點到漸近線的距離則又為的中點，即：故漸近線方程為：本題正確選項：本題考查雙曲線幾何性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠利用點到直線距離公式和中位線得到之間的關(guān)系.5、D【解析】

計算出樣本的中心點x,y，將該點的坐標代入回歸直線方程可得出【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可得x=1+2+3+4+55由于回歸直線過點x,y，所以，3.5×3-1.3=m+295本題考查回歸直線的基本性質(zhì)，在解回歸直線相關(guān)的問題時，熟悉結(jié)論“回歸直線過樣本的數(shù)據(jù)中心點x,6、A【解析】

求出集合A，B，然后進行交集的運算即可．【詳解】由題意，集合，∴集合．故選：A．本題主要考查了描述法、區(qū)間表示集合的定義，絕對值不等式的解法，以及交集的運算，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．7、C【解析】

結(jié)合空間中點線面的位置關(guān)系，對選項逐個分析即可選出答案.【詳解】對于選項A，當(dāng)m//α,m//β，α,β有可能平行，也有可能相交，故A錯誤；對于選項B，當(dāng)α⊥β，m⊥α，n//β，m,n有可能平行，也可能相交或者異面，故B錯誤；對于選項C，當(dāng)m⊥α,m//n,根據(jù)線面垂直的判定定理可以得到n⊥α，故C正確；對于選項D，當(dāng)α⊥β,m⊥α,則m//β或者m?β，故D錯誤；故答案為選項C.本題考查了空間中直線與平面的位置關(guān)系，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)得答案．【詳解】由約束條件作出可行域如圖，

聯(lián)立，可得，

化目標函數(shù)為，

由圖可知，當(dāng)直線過A時，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為．

故選：A．本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．9、D【解析】

結(jié)論“至少有一個”的反面是“至多有0個”即“一個也沒有”．【詳解】假設(shè)是“關(guān)于x的方程沒有實根”．故選：D.本題考查反證法．掌握命題的否定是解題關(guān)鍵．在有“至多”“至少”等詞語時，其否定要注意．不能弄錯．10、B【解析】

分別求出兩個隨機變量的分布列后求出它們的期望和方差可得它們的大小關(guān)系.【詳解】可能的取值為；可能的取值為，，，，故，.，，故，,故，.故選B.離散型隨機變量的分布列的計算，應(yīng)先確定隨機變量所有可能的取值，再利用排列組合知識求出隨機變量每一種取值情況的概率，然后利用公式計算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回與無放回的區(qū)別.11、A【解析】

分析：由題意可得：yN=，yM=，計算yM﹣yN=sin，即可得出．詳解：由題意可得：yN=，yM=∴yM﹣yN=yM﹣yN=sin，令sin=1，解得：=2kπ+，x=12k+，k=0，1，2，1．∴M與N的縱坐標之差第4次達到最大值時，N運動的時間=1×12+=17.5（分鐘）．故選A．點睛：本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、和差公式、數(shù)形結(jié)合方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．也查到了三角函數(shù)的定義的應(yīng)用，三角函數(shù)的定義指的是單位圓上的點坐標和這一點的旋轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系.12、C【解析】

由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)即可得答案．【詳解】作出可行域如圖，聯(lián)立，解得，化目標函數(shù)為，由圖可知，當(dāng)直線過時，有最大值為9，故選．本題主要考查簡單的線性規(guī)劃問題的解法。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

由題意兩兩垂直，可把三棱錐補成一個長方體，則長方體的外接球就是三棱錐的外接球．由此計算即可．【詳解】∵平面，∴，又，∴三棱錐可以為棱補成一個長方體，此長方體的外接球就是三棱錐的外接球．由，得，∴，即，，．故答案為1．本題考查棱錐及其外接球，考查棱錐的體積，解題是把三棱錐補成長方體，則長方體的外接球就是三棱錐的外接球，而長方體的對角線就是球的直徑，這樣計算方便．14、56【解析】

利用二項式展開式的通項公式，即可容易求得結(jié)果.【詳解】的展開式的通項公式為.令，解得，故其系數(shù)為.故答案為：.本題考查利用二項式通項公式求指定項系數(shù)，屬基礎(chǔ)題.15、【解析】

根據(jù)向量模的性質(zhì)可知當(dāng)與反向時，取最大值，根據(jù)模長的比例關(guān)系可得，整理可求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)且僅當(dāng)與反向時取等號又整理得：本題正確結(jié)果：本題考查向量模長的運算性質(zhì)，關(guān)鍵是能夠確定模長取得最大值時，兩個向量之間的關(guān)系，從而得到兩個向量之間的關(guān)系.16、①③【解析】

將問題轉(zhuǎn)化為：對于曲線上任意一點，在曲線上存在著點使得，據(jù)此逐項判斷曲線是否為曲線.【詳解】①的圖象既關(guān)于軸對稱，也關(guān)于軸對稱，且圖象是封閉圖形，所以對于任意的點，存在著點使得，所以①滿足；②的圖象是雙曲線，且雙曲線的漸近線斜率為，所以漸近線將平面分為四個夾角為的區(qū)域，當(dāng)在雙曲線同一支上，此時，當(dāng)不在雙曲線同一支上，此時，所以，不滿足，故②不滿足；③的圖象是焦點在軸上的拋物線，且關(guān)于軸對稱，連接，再過點作的垂線，則垂線一定與拋物線交于點，所以，所以，所以③滿足；④取，若，則有，顯然不成立，所以此時不成立，所以④不滿足.故答案為：①③.本題考查曲線與方程的新定義問題，難度較難.(1)對于新定義的問題，首先要找到問題的本質(zhì)：也就是本題所考查的主要知識點，然后再解決問題；(2)對于常見的，一定要能將其與向量的數(shù)量積為零即垂直關(guān)系聯(lián)系在一起.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)存在定點，使得恒成立【解析】試題分析：（Ⅰ）作分別垂直和，垂足為，拋物線的焦點為，根據(jù)拋物線的定義可得的最小值即為點到直線的距離，故，從而可得結(jié)果；（Ⅱ）設(shè)，，，，利用導(dǎo)數(shù)得到切線斜率，可設(shè)出切線方程，根據(jù)點在切線上可得到和是一元二次方程的根，利用韋達定理以及平面向量數(shù)量積公式，可得時，從而可得結(jié)論.試題解析：（Ⅰ）作分別垂直和，垂足為，拋物線的焦點為，由拋物線定義知，所以，顯見的最小值即為點到直線的距離，故，所以拋物線的方程為．（Ⅱ）由（Ⅰ）知直線的方程為，當(dāng)點在特殊位置時，顯見兩個切點關(guān)于軸對稱，故要使得，點必須在軸上．故設(shè)，，，，拋物線的方程為，求導(dǎo)得，所以切線的斜率，直線的方程為，又點在直線上，所以，整理得，同理可得，故和是一元二次方程的根，由韋達定理得，，可見時，恒成立，所以存在定點，使得恒成立．18、（1）.（2）最大值為6，.【解析】

(1)利用極坐標化直角坐標的公式求解即可;(2)設(shè)利用三角函數(shù)圖象和性質(zhì)解答得解.【詳解】(1)把曲線的極坐標方程為,化為直角坐標方程為;(2)化出曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).若是曲線上的一個動點,則,可得,其中,故當(dāng)時,取得最大值為,此時,,,,.本題主要考查極坐標和直角坐標方程的互化,考查三角函數(shù)的恒等變換和最值,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力,難度一般.19、（1）或.(2)【解析】

（1）根據(jù)正弦定理，求得，進而可求解角B的大小；（2）根據(jù)三角函數(shù)的基本關(guān)系式，求得，利用三角形的面積公式和余弦定理，即可求解?！驹斀狻浚?）根據(jù)正弦定理得，.，，或.（2），且，.，，.由正弦定理，得.本題主要考查了正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解決三角形的邊角關(guān)系，熟練掌握定理、合理運用是解本題的關(guān)鍵．其中在中，通常涉及三邊三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，當(dāng)涉及兩邊及其中一邊的對角或兩角及其中一角對邊時，運用正弦定理求解；當(dāng)涉及三邊或兩邊及其夾角時，運用余弦定理求解.20、（1）；（2）【解析】

（1）先得到平面的垂