上海市寶山區(qū)建峰附屬高中2025屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末調(diào)研試題含解析

上海市寶山區(qū)建峰附屬高中2025屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末調(diào)研試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知為正整數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，假設(shè)時(shí)命題為真，即成立，則當(dāng)時(shí)，需要用到的與之間的關(guān)系式是()A． B．C． D．2．已知自然數(shù)，則等于（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，若方程有兩個(gè)相異實(shí)根，且，則實(shí)數(shù)的值等于（）A．-2或2 B．-2 C．2 D．04．根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程為，則

3

4

5

6

7

8

A．， B．， C．， D．，5．設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，其焦距為，點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且恒成立，則橢圓離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．6．下列說法正確的是（）A．若為真命題，則為真命題B．命題“若，則”的否命題是真命題C．命題“函數(shù)的值域是”的逆否命題是真命題D．命題“，關(guān)于的不等式有解”，則為“，關(guān)于的不等式無解”7．已知命題，總有，則為（）A．使得 B．使得C．總有 D．,總有8．5位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組，則不同的報(bào)名方法共有（）A．10種 B．20種 C．25種 D．32種9．下面幾種推理過程是演繹推理的是（）A．在數(shù)列|中，由此歸納出的通項(xiàng)公式B．由平面三角形的性質(zhì)，推測(cè)空間四面體性質(zhì)C．某校高二共有10個(gè)班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推測(cè)各班都超過50人D．兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，如果和是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，則10．在直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.若與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．或11．下列四個(gè)圖各反映了兩個(gè)變量的某種關(guān)系，其中可以看作具有較強(qiáng)線性相關(guān)關(guān)系的是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．①②12．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項(xiàng)志愿者活動(dòng)，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面，不同的安排方法共有（）A．20種 B．30種 C．40種 D．60種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．點(diǎn)2，，3，，4，，若的夾角為銳角，則的取值范圍為______．14．已知函數(shù),若存在實(shí)數(shù)，滿足，且，則的取值范圍是______________.15．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)=______.16．已知函數(shù)，則__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）山西省2021年高考將實(shí)施新的高考改革方案.考生的高考總成績(jī)將由3門統(tǒng)一高考科目成績(jī)和自主選擇的3門普通高中學(xué)業(yè)水平等級(jí)考試科目成績(jī)組成，總分為750分.其中，統(tǒng)一高考科目為語文、數(shù)學(xué)、外語，自主選擇的3門普通高中學(xué)業(yè)水平等級(jí)考試科目是從物理、化學(xué)、生物、歷史、政治、地理6科中選擇3門作為選考科目，語、數(shù)、外三科各占150分，選考科目成績(jī)采用“賦分制”，即原始分?jǐn)?shù)不直接用，而是按照學(xué)生分?jǐn)?shù)在本科目考試的排名來劃分等級(jí)并以此打分得到最后得分。根據(jù)高考綜合改革方案，將每門等級(jí)考試科目中考生的原始成績(jī)從高到低分為共8個(gè)等級(jí).參照正態(tài)分布原則，確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.等級(jí)考試科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí)，將A至E等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī)，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級(jí)成績(jī)。舉例說明1：甲同學(xué)化學(xué)學(xué)科原始分為65分，化學(xué)學(xué)科等級(jí)的原始分分布區(qū)間為，則該同學(xué)化學(xué)學(xué)科的原始成績(jī)屬等級(jí)，而等級(jí)的轉(zhuǎn)換分區(qū)間為那么，甲同學(xué)化學(xué)學(xué)科的轉(zhuǎn)換分為：設(shè)甲同學(xué)化學(xué)科的轉(zhuǎn)換等級(jí)分為，求得.四舍五入后甲同學(xué)化學(xué)學(xué)科賦分成績(jī)?yōu)?6分。舉例說明2：乙同學(xué)化學(xué)學(xué)科原始分為69分，化學(xué)學(xué)科等級(jí)的原始分分布區(qū)間為則該同學(xué)化學(xué)學(xué)科的原始成績(jī)屬等級(jí).而等級(jí)的轉(zhuǎn)換分區(qū)間為這時(shí)不用公式，乙同學(xué)化學(xué)學(xué)科賦分成績(jī)直接取下端點(diǎn)70分?，F(xiàn)有復(fù)興中學(xué)高一年級(jí)共3000人，為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù)，對(duì)六個(gè)選考科目進(jìn)行測(cè)試，其中物理考試原始成績(jī)基本服從正態(tài)分布。且等級(jí)為所在原始分分布區(qū)間為，且等級(jí)為所在原始分分布區(qū)間為，且等級(jí)為所在原始分分布區(qū)間為（1）若小明同學(xué)在這次考試中物理原始分為84分，小紅同學(xué)在這次考試中物理原始分為72分，求小明和小紅的物理學(xué)科賦分成績(jī)；（精確到整數(shù)）.（2）若以復(fù)興中學(xué)此次考試頻率為依據(jù)，在學(xué)校隨機(jī)抽取4人，記這4人中物理原始成績(jī)?cè)趨^(qū)間的人數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望和方差.（精確到小數(shù)點(diǎn)后三位數(shù)）.附：若隨機(jī)變量滿足正態(tài)分布，給出以下數(shù)據(jù)，18．（12分）已知均為正數(shù)，證明：，并確定為何值時(shí)，等號(hào)成立．19．（12分）已知函數(shù).(Ⅰ)若函數(shù)在處取得極值，求的值；(Ⅱ)設(shè)，若函數(shù)在定義域上為單調(diào)增函數(shù)，求的最大整數(shù)值.20．（12分）已知橢圓的離心率為，順次連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，所得到的四邊形面積為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)不垂直于坐標(biāo)軸的直線與相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，且直線的斜率成等比數(shù)列，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.21．（12分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍且經(jīng)過點(diǎn)，平行于的直線在軸上的截距為，交橢圓于兩個(gè)不同點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及的取值范圍；（2）求證直線與軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.22．（10分）已知函數(shù)是奇函數(shù)．（1）求的值；（2）判斷的單調(diào)性，并用定義加以證明；

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】分析：先根據(jù)條件確定式子，再與相減得結(jié)果.詳解：因?yàn)椋?，所?選C.點(diǎn)睛：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查數(shù)列遞推關(guān)系.2、D【解析】分析：直接利用排列數(shù)計(jì)算公式即可得到答案.詳解：.故選：D.點(diǎn)睛：合理利用排列數(shù)計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.3、C【解析】分析：利用導(dǎo)數(shù)法，可得當(dāng)x=﹣1時(shí)，函數(shù)取極大值m+2，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取極小值m﹣2，結(jié)合方程f（x）=0有兩個(gè)相異實(shí)根x1，x2，且x1+x2＜0，可得答案．詳解：∵函數(shù)f（x）=x3﹣3x+m，∴f′（x）=3x2﹣3，令f′（x）=0，則x=±1，當(dāng)x＜﹣1，或x＞1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；當(dāng)﹣1＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；故當(dāng)x=﹣1時(shí)，函數(shù)取極大值m+2，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取極小值m﹣2，又∵方程f（x）=0有兩個(gè)相異實(shí)根x1，x2，且x1+x2＜0，∴m﹣2=0，解得m=2，故選：C．點(diǎn)睛：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的極值，方程根的個(gè)數(shù)判斷，難度中檔．對(duì)于函數(shù)的零點(diǎn)問題，它和方程的根的問題，和兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題是同一個(gè)問題，可以互相轉(zhuǎn)化；在轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)時(shí)，如果是一個(gè)常函數(shù)一個(gè)含參的函數(shù)，注意讓含參的函數(shù)式子盡量簡(jiǎn)單一些。4、B【解析】

試題分析：由表格數(shù)據(jù)的變化情況可知回歸直線斜率為負(fù)數(shù)，中心點(diǎn)為，代入回歸方程可知考點(diǎn)：回歸方程5、B【解析】由題設(shè)可得，即，解之得，即；結(jié)合圖形可得，即，應(yīng)選答案B。點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是建構(gòu)不等式（組），求解時(shí)先依據(jù)題設(shè)條件，將點(diǎn)代入橢圓方程得到，即，解之得，從而求得，然后再借助與橢圓的幾何性質(zhì)，建立了不等式，進(jìn)而使得問題獲解。6、C【解析】

采用命題的基本判斷法進(jìn)行判斷，條件能推出結(jié)論為真，推不出為假【詳解】A.若為真命題，則中有一個(gè)為真命題即可滿足，但推不出為真命題，A錯(cuò)B.命題“若，則”的否命題是：“若，則”，當(dāng)時(shí)，不滿足，B錯(cuò)C.原命題與逆否命題真假性相同，的取值大于零，所以值域?yàn)?，C為真命題D.命題“，關(guān)于的不等式有解”，則為“，關(guān)于的不等式無解”，D錯(cuò)答案選C四種常見命題需要熟悉基本改寫方式，原命題與逆否命題為真，逆命題與否命題為真，原命題與逆命題或否命題真假性無法判斷，需改寫之后再進(jìn)行判斷，命題的否定為只否定結(jié)論，全稱改存在，存在改全稱7、B【解析】

利用全稱命題的否定解答即得解.【詳解】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題可知，￢p為?x0＞0，使得（x0+1）≤1，故選：B．本題主要考查全稱命題的否定，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平.8、D【解析】每個(gè)同學(xué)都有2種選擇，根據(jù)乘法原理，不同的報(bào)名方法共有種，應(yīng)選D.9、D【解析】分析：演繹推理是由普通性的前提推出特殊性結(jié)論的推理．其形式在高中階段主要學(xué)習(xí)了三段論：大前提、小前提、結(jié)論，由此對(duì)四個(gè)命題進(jìn)行判斷得出正確選項(xiàng)．詳解：A在數(shù)列{an}中，a1=1，，通過計(jì)算a2，a3，a4由此歸納出{an}的通項(xiàng)公式”是歸納推理．B選項(xiàng)“由平面三角形的性質(zhì)，推出空間四邊形的性質(zhì)”是類比推理C選項(xiàng)“某校高二（1）班有55人，高二（2）班有52人，由此得高二所有班人數(shù)超過50人”是歸納推理；；D選項(xiàng)選項(xiàng)是演繹推理，大前提是“兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，”，小前提是“∠A與∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角”，結(jié)論是“∠A+∠B=180°，是演繹推理.綜上得，D選項(xiàng)正確故選：D．點(diǎn)睛：本題考點(diǎn)是進(jìn)行簡(jiǎn)單的演繹推理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握演繹推理的定義及其推理形式，演繹推理是由普通性的前提推出特殊性結(jié)論的推理．演繹推理主要形式有三段論，其結(jié)構(gòu)是大前提、小前提、結(jié)論．10、D【解析】

先把曲線，的極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程和一般方程，若與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為直線和半圓有一個(gè)公共點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合討論a的范圍即得解.【詳解】因?yàn)榍€的極坐標(biāo)方程為即故曲線的直角坐標(biāo)方程為：.消去參數(shù)可得曲線的一般方程為：，由于，故如圖所示，若與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線與半圓相切，或者截距當(dāng)直線與半圓相切時(shí)由于為上半圓，故綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是或故選：D本題考查了極坐標(biāo)、參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程、一般方程的互化，以及直線和圓的位置關(guān)系，考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.11、B【解析】

兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖，若樣本點(diǎn)成帶狀分布，則兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系，∴兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系的圖是①和④，故選B．考點(diǎn)：變量間的相關(guān)關(guān)系12、A【解析】

根據(jù)題意，分析可得，甲可以被分配在星期一、二、三；據(jù)此分3種情況討論，計(jì)算可得其情況數(shù)目，進(jìn)而由加法原理，計(jì)算可得答案．解：根據(jù)題意，要求甲安排在另外兩位前面，則甲有3種分配方法，即甲在星期一、二、三；分3種情況討論可得，甲在星期一有A42=12種安排方法，甲在星期二有A32=6種安排方法，甲在星期三有A22=2種安排方法，總共有12+6+2=20種；故選A．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)的夾角為銳角，可得，且不能同向共線解出即可得出．【詳解】1，，2，，的夾角為銳角，，且不能同向共線．解得，．則的取值范圍為．故答案為．本題主要考查了向量夾角公式、向量共線定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．14、【解析】

根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得出之間的關(guān)系，從而可求得取值范圍．【詳解】設(shè)，則與的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為（如圖），∵，且，，∴，，∴，，∴，∵，∴，故答案為．本題考查函數(shù)零點(diǎn)與方程根的分布，解題關(guān)鍵是確定之間的關(guān)系及范圍．如本題中可結(jié)合圖象及函數(shù)解析式得出．15、【解析】分析：純虛數(shù)的表現(xiàn)形式是中，且，根據(jù)這個(gè)條件，列出關(guān)于的方程組，從而可得結(jié)果.詳解：復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，且，，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查純虛數(shù)的定義，意在考查對(duì)基本概念掌握的熟練程度，屬于簡(jiǎn)單題.16、1【解析】

先求內(nèi)層函數(shù)的值，解得函數(shù)值為2，再將2代入求值即可【詳解】當(dāng)時(shí)，滿足對(duì)應(yīng)的表達(dá)式，先求內(nèi)層函數(shù)，當(dāng)時(shí)，滿足對(duì)應(yīng)的表達(dá)式，再求，所以分段函數(shù)求值問題需注意先求解內(nèi)層函數(shù)，再依次求解外層函數(shù)，每一個(gè)括號(hào)內(nèi)對(duì)應(yīng)的值都必須在定義域?qū)?yīng)的區(qū)間內(nèi)進(jìn)行求值三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)小明82分，小紅70分；(2)1.504，0.938【解析】

（1）根據(jù)題意列式求解（2）先確定區(qū)間，再根據(jù)正態(tài)分布求特定區(qū)間概率，最后根據(jù)二項(xiàng)分布求期望與方差.【詳解】解（1）小明同學(xué)且等級(jí)為,設(shè)小明轉(zhuǎn)換后的物理等級(jí)分為，求得．小明轉(zhuǎn)換后的物理成績(jī)?yōu)?2小紅同學(xué)且等級(jí)為，且等級(jí)為所在原始分分布區(qū)間為，小紅為本等級(jí)最低分72,則轉(zhuǎn)換后的物理成績(jī)?yōu)?0分。（2）物理考試原始成績(jī)等級(jí)為所在原始分分布區(qū)間為，人數(shù)所占比例為24%，又因?yàn)槲锢砜荚囋汲煽?jī)基本服從正態(tài)分布，當(dāng)原始分時(shí)，人數(shù)所占比例為則隨機(jī)抽取一個(gè)物理原始成績(jī)?cè)趨^(qū)間的概率為由題可得本題考查新定義理解、利用正態(tài)分布求特定區(qū)間概率以后利用二項(xiàng)分布求期望與方差，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.18、見證明【解析】試題分析：、證明因?yàn)閍，b，c均為正數(shù)，由均值不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，①同理，②故.③所以原不等式成立．當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，①式和②式等號(hào)成立；當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3時(shí)，③式等號(hào)成立．即當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)，原式等號(hào)成立．考點(diǎn)：重要不等式點(diǎn)評(píng)：主要是考查了運(yùn)用重要不等式進(jìn)行放縮來證明不等式的方法，屬于中檔題．19、(1);(2)的最大整數(shù)值為2.【解析】分析：(1)先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)根據(jù)極值定義得0，解得的值,最后列表驗(yàn)證.(2)先轉(zhuǎn)化為恒成立，再利用結(jié)論（需證明），得，可得當(dāng)時(shí)，恒成立；最后舉反例說明當(dāng)時(shí)，，即不恒成立.詳解：(Ⅰ)，若函數(shù)在處取得極值，則，解得.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極值.綜上，.(Ⅱ)由題意知，，.若函數(shù)在定義域上為單調(diào)增函數(shù)，則恒成立.先證明.設(shè)，則.則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以，即.同理，可證，所以，所以.當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，，即不恒成立.綜上所述，的最大整數(shù)值為2.點(diǎn)睛：函數(shù)單調(diào)性問題，往往轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)符號(hào)是否變號(hào)或怎樣變號(hào)問題，即轉(zhuǎn)化為方程或不等式解的問題（有解，恒成立，無解等），而不等式有解或恒成立問題，又可通過適當(dāng)?shù)淖兞糠蛛x轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問題.20、（1）；（2），.【解析】

（1）由橢圓離心率和四邊形的面積公式，求出和的值，即可求得橢圓的方程；（2）若設(shè)直線，，則由直線的斜率成等比數(shù)列，得，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，可求出的值.【詳解】（1），四邊形的面積，，橢圓（2）設(shè)直線，聯(lián)立，消去得：由，得，，或（a）當(dāng)