上海市普陀區(qū)2025屆高二下數(shù)學期末教學質量檢測模擬試題含解析

上海市普陀區(qū)2025屆高二下數(shù)學期末教學質量檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)的導數(shù)是，若，都有成立，則()A． B．C． D．2．定積分等于()A． B． C． D．3．若離散型隨機變量的概率分布列如下表所示，則的值為()1A． B． C．或 D．4．若關于x的不等式對任意的恒成立，則可以是（）A．， B．，C．， D．，5．對兩個變量x，y進行回歸分析，得到一組樣本數(shù)據：（x1，y1），（x2，y2），…（xn，yn），則下列說法中不正確的是A．由樣本數(shù)據得到的回歸方程必過樣本點的中心B．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好C．用相關指數(shù)R2來刻畫回歸效果，R2越小，說明模型的擬合效果越好D．兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數(shù)的絕對值越接近于1.6．若則滿足條件的集合A的個數(shù)是A．6 B．7 C．8 D．97．函數(shù)有（）A．極大值，極小值3 B．極大值6，極小值3C．極大值6，極小值 D．極大值，極小值8．已知集合,,則（）A． B． C． D．9．已知x,y的取值如下表，從散點圖知，x,y線性相關，且y=0.6x+a，則下列說法正確的是（x1234y1.41.82.43.2A．回歸直線一定過點(2.2,2.2)B．x每增加1個單位，y就增加1個單位C．當x=5時，y的預報值為3.7D．x每增加1個單位，y就增加0.7個單位10．已知，則的展開式中，項的系數(shù)等于（）A．180 B．-180 C．-90 D．1511．己知函數(shù)，其中為函數(shù)的導數(shù)，求（）A． B． C． D．12．函數(shù)，則在點處的切線方程為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)在和時取極小值，則實數(shù)a的取值范圍是________．14．已知復數(shù)z＝，其中i是虛數(shù)單位，則z的實部為________．15．如圖，以長方體的頂?shù)诪樽鴺嗽c，過的三條棱所在的直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，若的坐標為，則的坐標為________16．已知、滿足，則的最小值為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）近日，某地普降暴雨，當?shù)匾淮笮吞釅伟l(fā)生了滲水現(xiàn)象，當發(fā)現(xiàn)時已有的壩面滲水，經測算，壩而每平方米發(fā)生滲水現(xiàn)象的直接經濟損失約為元，且滲水面積以每天的速度擴散．當?shù)赜嘘P部門在發(fā)現(xiàn)的同時立即組織人員搶修滲水壩面，假定每位搶修人員平均每天可搶修滲水面積，該部門需支出服裝補貼費為每人元，勞務費及耗材費為每人每天元．若安排名人員參與搶修，需要天完成搶修工作．寫出關于的函數(shù)關系式；應安排多少名人員參與搶修，才能使總損失最小．（總損失＝因滲水造成的直接損失+部門的各項支出費用）18．（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的普通方程為.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求曲線和直線的極坐標方程；（2）若直線與曲線交于，兩點，求.19．（12分）設分別為橢圓的左、右焦點，點為橢圓的左頂點，點為橢圓的上頂點，且.（1）若橢圓的離心率為，求橢圓的方程；（2）設為橢圓上一點，且在第一象限內，直線與軸相交于點，若以為直徑的圓經過點，證明：點在直線上.20．（12分）莫言是中國首位獲得諾貝爾文學獎的文學家，國人歡欣鼓舞。某高校文學社從男女生中各抽取50名同學調查對莫言作品的了程度，結果如下：閱讀過莫言的作品數(shù)（篇）0～2526～5051～7576～100101～130男生36111812女生48131510

（1）試估計該學校學生閱讀莫言作品超過50篇的概率.（2）對莫言作品閱讀超過75篇的則稱為“對莫言作品非常了解”，否則為“一般了解”，根據題意完成下表，并判斷能否有的把握認為“對莫言作品的非常了解”與性別有關？非常了解一般了解合計男生女生合計注：K2＝P(K2≥k0)0.250.150.100.050.025k01.3232.0722.7063.8415.02421．（12分）已知復數(shù)，(其中是虛數(shù)單位).(1)當為實數(shù)時，求實數(shù)的值；(2)當時，求的取值范圍.22．（10分）已知常數(shù),函數(shù).(1)討論在區(qū)間上的單調性;(2)若存在兩個極值點,且,求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】分析：由題意構造函數(shù)，結合函數(shù)的單調性整理計算即可求得最終結果.詳解：令，則：，由，都有成立，可得在區(qū)間內恒成立，即函數(shù)是區(qū)間內單調遞減，據此可得：，即，則.本題選擇D選項.點睛：函數(shù)的單調性是函數(shù)的重要性質之一，它的應用貫穿于整個高中數(shù)學的教學之中.某些數(shù)學問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調性無關，但如果我們能挖掘其內在聯(lián)系，抓住其本質，那么運用函數(shù)的單調性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數(shù)的單調性進行全面、準確的認識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據題目的特點，構造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.2、B【解析】

由定積分表示半個圓的面積，再由圓的面積公式可求結果?！驹斀狻坑深}意可知定積分表示半徑為的半個圓的面積，所以，選B.1．由函數(shù)圖象或曲線圍成的曲邊圖形面積的計算及應用，一般轉化為定積分的計算及應用，但一定要找準積分上限、下限及被積函數(shù)，且當圖形的邊界不同時，要討論解決．(1)畫出圖形，確定圖形范圍；(2)解方程組求出圖形交點坐標，確定積分上、下限；(3)確定被積函數(shù)，注意分清函數(shù)圖形的上、下位置；(4)計算定積分，求出平面圖形的面積．2．由函數(shù)求其定積分，能用公式的利用公式計算，有些特殊函數(shù)可根據其幾何意義，求出其圍成的幾何圖形的面積，即其定積分．有些由函數(shù)的性質求函數(shù)的定積分。3、A【解析】由離散型隨機變量ξ的概率分布表知：.解得.故選：A.4、D【解析】

分別取代入不等式，得到答案.【詳解】不等式對任意的恒成立取得：取得：排除A,B,C故答案為D本題考查了不等式恒成立問題，用特殊值法代入數(shù)據是解題的關鍵.5、C【解析】由樣本數(shù)據得到的回歸方程必過樣本中心，正確；殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好，正確用相關指數(shù)R2來刻畫回歸效果,R2越大，說明模型的擬合效果越好，不正確，線性相關系數(shù)|r|越大，兩個變量的線性相關性越強，故正確。故選：C.6、C【解析】

根據題意A中必須有1，2這兩個元素，因此A的個數(shù)應為集合4，的子集的個數(shù)．【詳解】解：，集合A中必須含有1，2兩個元素，因此滿足條件的集合A為，，，，，，，共8個．故選C．本題考查了子集的概念，熟練掌握由集合間的關系得到元素關系是解題的關鍵有n個元素的集合其子集共有個7、C【解析】

對原函數(shù)求導，通過導函數(shù)判斷函數(shù)的極值，于是得到答案.【詳解】根據題意，，故當時，；當時，；當時，.故在處取得極大值；在處取得極小值，故選C.本題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)極值，難度不大.8、D【解析】分析：先化簡集合P,Q，再求.詳解：由題得，，所以.故答案為：D.點睛：本題主要考查集合的化簡與交集運算，意在考查學生對這些知識的掌握水平，屬于基礎題.9、C【解析】

由已知求得樣本點的中心的坐標，代入線性回歸方程即可求得a值，進一步求得線性回歸方程，然后逐一分析四個選項即可得答案．【詳解】解：由已知得，x=1+2+3+44=2.5，由回歸直線方程y^=0.6x+a^恒過樣本中心點（2.5，2.2），得2.2=0.6×2.5+∴回歸直線方程為y?x每增加1個單位，y就增加1個單位，故B錯誤；當x＝5時，y的預測值為3.1，故C正確；x每增加1個單位，y就增加0.6個單位，故D錯誤．∴正確的是C．故選C．本題考查線性回歸直線方程，解題關鍵是性質：線性回歸直線一定過點(x10、B【解析】分析：利用定積分的運算求得m的值，再根據乘方的幾何意義，分類討論，求得xm﹣2yz項的系數(shù)．詳解：3sinxdx=﹣3cosx=﹣3（cosπ﹣cos0）=6，則（x﹣2y+3z）m=（x﹣2y+3z）6，xm﹣2yz=x4yz．而（x﹣2y+3z）6表示6個因式（x﹣2y+3z）的乘積，故其中一個因式取﹣2y，另一個因式取3z，剩余的4個因式都取x，即可得到含xm﹣2yz=x4yz的項，∴xm﹣2yz=x4yz項的系數(shù)等于故選：B．點睛：這個題目考查的是二項式中的特定項的系數(shù)問題，在做二項式的問題時，看清楚題目是求二項式系數(shù)還是系數(shù)，還要注意在求系數(shù)和時，是不是缺少首項；解決這類問題常用的方法有賦值法，求導后賦值，積分后賦值等。11、A【解析】

設，判斷奇偶性和導數(shù)的奇偶性，求和即可得到所求值．【詳解】解：函數(shù)設，則即，即，則，又，，可得，即有，故選：．本題考查函數(shù)的奇偶性和導數(shù)的奇偶性，考查運算能力，屬于中檔題．12、A【解析】分析：先求導數(shù)，根據導數(shù)幾何意義得切線斜率，再根據點斜式求切線方程.詳解：因為，所以所以切線方程為選A.點睛：求曲線的切線要注意“過點P的切線”與“在點P處的切線”的差異，過點P的切線中，點P不一定是切點，點P也不一定在已知曲線上，而在點P處的切線，必以點P為切點.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】分析：根據題意在和時取極小值即0,1為導函數(shù)等于零的根，故可分解因式導函數(shù)，然后根據在0,1處要取得極小值從而確定a的取值范圍.詳解：由題可得：，令故原函數(shù)有三個極值點為0,1，a，即導函數(shù)有三個解，由在0,1處要取得極小值所以0和1的左邊導函數(shù)的值要為負值，右邊要為正值，故a值只能放在0和1的中間，所以a的取值范圍是.點睛：考查函數(shù)的極值點的定義和判斷，對定義的理解是解題關鍵，屬于中檔題.14、【解析】分析：先化簡復數(shù)z＝,再確定復數(shù)z的實部.詳解：由題得z＝=，所以復數(shù)z的實部為，故答案為.點睛：(1)本題主要考查復數(shù)的運算和復數(shù)的實部的概念，意在考查學生對這些基礎知識的掌握水平和基本運算能力.(2)復數(shù)的實部是a,虛部為b，不是bi.15、【解析】

根據的坐標，求的坐標，確定長方體的各邊長度，再求的坐標.【詳解】點的坐標是，，，，，故答案為:.本題考查向量坐標的求法，意在考查基本概念和基礎知識，屬于簡單題型.16、4【解析】

此題考查線性規(guī)劃問題，只需認真作出不等式表示的平面區(qū)域，把目標函數(shù)轉化為截距式求值即可.【詳解】作出不等式表示的平面區(qū)域，如圖所示：令，則，作出直線l:,平移直線l，由圖可得，當直線經過點B時，直線在y軸上的截距最大，此時取得最小值，得B(2，2),代入故填4.本題主要考查學生的作圖能力及分析能力，難度較小.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）應安排名民工參與搶修，才能使總損失最小【解析】

（1）由題意得要搶修完成必須使得搶修的面積等于滲水的面積，即可得，所以；（2）損失包＝滲水直接經濟損失+搶修服裝補貼費+勞務費耗材費，即可得到函數(shù)解析式，再利用基本不等式，即可得到結果．【詳解】由題意，可得，所以．設總損失為元，則當且僅當，即時，等號成立，所以應安排名民工參與搶修，才能使總損失最小．本題主要考查了函數(shù)的實際應用問題，以及基本不等式求最值的應用，其中解答中認真審題是關鍵，以及合理運用函數(shù)與不等式方程思想的有機結合，及基本不等式的應用是解答的關鍵，屬于中檔題，著重考查了分析問題和解答問題的能力．18、(1)，;(2).【解析】

（1）先將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，再化為極坐標方程；根據直線過原點，即可得的極坐標方程．（2）聯(lián)立直線的極坐標方程與曲線的極坐標方程，根據極徑的關系代入即可求得的值．【詳解】（1）由曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），得曲線的普通方程為，所以曲線的極坐標方程為，即.因為直線過原點，且傾斜角為，所以直線的極坐標方程為.（2）設點，對應的極徑分別為，，由，得，所以，，又，，所以.本題考查了參數(shù)方程、普通方程和極坐標方程的轉化，利用極坐標求線段和，屬于中檔題．19、（1）；（2）見解析【解析】

（1）設，由，得，且，得，，，∴橢圓的方程為；（2）由題意，得，∴橢圓的方程，則，，，設，由題意知，則直線的斜率，直線的方程為，當時，，即點，直線的斜率為，∵以為直徑的圓經過點，∴，∴，化簡得，又∵為橢圓上一點，且在第一象限內，∴，，，由①②，解得，，∴，即點在直線上．20、（1）（2）見解析【解析】試題分析：（1）根據古典概型概率公式求出閱讀某莫言作品在篇以上的頻率，從而估計該校學生閱讀莫言作品超過50篇概率；（2）利用公式K2＝求得，與鄰界值比較，即可得到結論.試題解析：（1）由抽樣調查閱讀莫言作品在50篇以上的頻率為，據此估計該校學生閱讀莫言作品超過50篇的概率約為；（2）非常了解一般了解合計男生302050女生252550合計5545100根據列聯(lián)表數(shù)據得所以沒有75%的把握認為對莫言作品的非常了解與性別有關.【方法點睛】本題主要考查古典概型概率公式以及獨立性檢驗，屬于難題.獨立性檢驗的一般步驟：（1）根據樣本數(shù)據制成列聯(lián)表；（2）根據公式計算的值；(3)查表比較與臨界值的大小關系，作統(tǒng)計判斷.（注意：在實際問題中，獨立性檢驗的結論也僅僅