2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題 4 二次函數(shù)解析式的實(shí)際應(yīng)用（含答案）

專(zhuān)題4二次函數(shù)解析式的實(shí)際應(yīng)用類(lèi)型1·由實(shí)物規(guī)律得到二次函數(shù)1.新新考向·綜合與實(shí)踐|每領(lǐng)跑原創(chuàng)|【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】蜜蜂的蜂巢結(jié)構(gòu)非常精美，每個(gè)巢室都是由多個(gè)六邊形組成的(如圖1)，小星同學(xué)對(duì)蜂巢結(jié)構(gòu)十分感興趣，他用若干個(gè)形狀、大小均相同的正六邊形模具，模仿蜂巢結(jié)構(gòu)拼接成如圖2所示的若干個(gè)圖案.愛(ài)思考的小星發(fā)現(xiàn)，在每個(gè)拼接成的圖案中，所需正六邊形模具的總個(gè)數(shù)隨著第一層(最下面一層)正六邊形模具個(gè)數(shù)的變化而變化.【提出問(wèn)題】在拼接成的圖案中，所需正六邊形模具的總個(gè)數(shù)y與第一層正六邊形模具的個(gè)數(shù)x之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系?【分析問(wèn)題】小星同學(xué)結(jié)合實(shí)際操作和計(jì)算得到如下表所示的數(shù)據(jù)：第一層正六邊形模具的個(gè)數(shù)x1234拼接圖案中所需正六邊形模具的總個(gè)數(shù)y171937在平面直角坐標(biāo)系中描出上表中各對(duì)數(shù)值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，如圖3，小星根據(jù)圖3中點(diǎn)的分布情況，猜想其圖象可能是二次函數(shù)圖象的一部分.為了驗(yàn)證自己的猜想，小星從“形”的角度出發(fā)，借助“割補(bǔ)”的思想，把拼接圖案中上半部分的正六邊模具(虛線(xiàn)部分)移到下面(如圖4)，并把第一層缺少的正六邊形模具(陰影部分)補(bǔ)全，再拼接到一起(如圖5)，使每一層正六邊形模具的數(shù)量相同，借助此圖形求出正六邊形模具的總個(gè)數(shù)，再減去用于補(bǔ)全圖形的正六邊形模具的個(gè)數(shù)，即可求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.【解決問(wèn)題】(1)直接寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若小星同學(xué)按圖2的方式拼接圖案，共用了169個(gè)正六邊形模具，求他拼接成的圖案中第一層正六邊形模具的個(gè)數(shù)；(3)如圖6，作正六邊形模具的外接圓，圓心為O，已知點(diǎn)A，B為正六邊形模具相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)，AB=23類(lèi)型2·由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到二次函數(shù)2.【問(wèn)題背景】鷹眼系統(tǒng)是一種用于許多體育比賽中的球類(lèi)判決技術(shù)，它能夠追蹤、記錄和預(yù)測(cè)球的軌跡.如圖，分別為足球比賽中某一時(shí)刻的鷹眼系統(tǒng)預(yù)測(cè)畫(huà)面(圖1)和截面示意圖(圖2)，攻球員位于點(diǎn)O，守門(mén)員位于點(diǎn)A，OA的延長(zhǎng)線(xiàn)與球門(mén)線(xiàn)相交于點(diǎn)B，且點(diǎn)A，B均在足球軌跡正下方，足球的飛行軌跡可看成拋物線(xiàn)的一部分.已知OB=28m，AB=8m，足球飛行的水平速度為15m/s.【數(shù)據(jù)分析】小星想要得到拋物線(xiàn)的解析式，通過(guò)調(diào)研，他得到了足球飛行的水平距離s(單位：m.水平距離=水平速度×?xí)r間)與離地高度h(單位：m)的鷹眼數(shù)據(jù)如下表：s/m912151821h/m4.24.854.84.2(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)足球落地時(shí)，s=_m;【解決問(wèn)題】(2)求h關(guān)于s的函數(shù)解析式(不需要寫(xiě)出s的取值范圍)；(3)守門(mén)員在攻球員射門(mén)瞬間就作出防守反應(yīng)，當(dāng)守門(mén)員位于足球正下方時(shí)，足球離地高度不大于守門(mén)員的最大防守高度視為防守成功.已知守門(mén)員面對(duì)足球后退的速度為2.5m/s,最大防守高度為2.5m；背對(duì)足球向球門(mén)前進(jìn)過(guò)程中的最大防守高度為1.8m.①若守門(mén)員選擇面對(duì)足球后退，能否成功防守?請(qǐng)說(shuō)明理由；若守門(mén)員背對(duì)足球向球門(mén)前進(jìn)并成功防守，直接寫(xiě)出此過(guò)程守門(mén)員的最小速度.3.新新考向·跨學(xué)科融合如圖，在一條筆直的滑道上有黑、白兩個(gè)小球同向運(yùn)動(dòng)，黑球在點(diǎn)A處開(kāi)始減速，此時(shí)白球在黑球右側(cè)70cm處.小聰測(cè)量黑球減速后的運(yùn)動(dòng)速度v(單位：cm/s)、運(yùn)動(dòng)距離y(單位：cm)隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(單位：s)變化的數(shù)據(jù)，整理部分?jǐn)?shù)據(jù)得下表：運(yùn)動(dòng)時(shí)間t/s01234運(yùn)動(dòng)速度v/(cm/s)109.598.58運(yùn)動(dòng)距離y/cm09.751927.7536(1)若v與t的數(shù)量變化關(guān)系滿(mǎn)足一次函數(shù)，則v與t之間的函數(shù)解析式為；(2)在平面直角坐標(biāo)系中，描出上表中各對(duì)t與y數(shù)值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，把這些點(diǎn)用光滑的曲線(xiàn)連接，發(fā)現(xiàn)圖象是拋物線(xiàn)的一部分，求y與t之間的函數(shù)解析式；(3)①黑球在某3s的時(shí)間內(nèi)的平均速度有沒(méi)有可能為6cm/s?若有可能，請(qǐng)求出是從哪個(gè)時(shí)間開(kāi)始的；若沒(méi)有可能，請(qǐng)說(shuō)明理由；探究某個(gè)時(shí)間范圍內(nèi)，黑球的初始速度v?、最終速度v?和這段時(shí)間的平均速度v'的數(shù)量關(guān)系.(4)若白球一直以2cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，則黑球在減速過(guò)程中會(huì)不會(huì)碰到白球?請(qǐng)說(shuō)明理由.4.過(guò)程學(xué)習(xí)【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】小迪同學(xué)利用無(wú)人機(jī)玩“投彈”游戲，無(wú)人機(jī)以不變的速度水平飛行，他發(fā)現(xiàn)在不同高度釋放小球，小球落地點(diǎn)與小球釋放點(diǎn)之間的水平距離有所不同.【提出問(wèn)題】為了準(zhǔn)確投中目標(biāo)，需要知道小球釋放點(diǎn)與地面的豎直高度和小球釋放點(diǎn)與落地點(diǎn)的水平距離之間的關(guān)系.【分析問(wèn)題】小迪控制無(wú)人機(jī)在不同的高度釋放小球，分別測(cè)量了小球釋放點(diǎn)與落地點(diǎn)的水平距離和豎直高度，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下表：小球釋放點(diǎn)與落地點(diǎn)的水平距離x/m00.81.62.43.244.8小球釋放點(diǎn)與落地點(diǎn)的豎直高度y/m00.20.81.83.257.2小迪同學(xué)建立平面直角坐標(biāo)系，描出上面表格中每對(duì)數(shù)值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，得到圖1，小迪根據(jù)圖1中點(diǎn)的分布情況，確定其圖象是二次函數(shù)圖象的一部分，從而確定在一定高度釋放小球的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條拋物線(xiàn).【解決問(wèn)題】如圖2，小迪控制無(wú)人機(jī)在距地面20m的豎直高度(OE=20m)水平向右飛行.為了更形象地描述，小迪在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出的拋物線(xiàn)與小球釋放后的運(yùn)動(dòng)軌跡一致.(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出圖2中y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求此時(shí)小球釋放點(diǎn)O與落地點(diǎn)F之間的水平距離EF的長(zhǎng)；(2)在距點(diǎn)E正前方12m(AE=12m)的地面點(diǎn)A處,有一高度為5m(AD=5m),直徑為43m(3)若在距(2)中的圓柱形目標(biāo)的正前方N處(AN=23m)有一建筑物(建筑物的豎直高度大于20m)的側(cè)面外形為直線(xiàn)l，直線(xiàn)l與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)M，與地面的夾角為45°(∠MNE=45°)，S為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，ST⊥MN于點(diǎn)T，則ST是點(diǎn)S距建筑物的距離.求小球在擊中圓柱形目標(biāo)的過(guò)程中，與建筑物的最小距離.類(lèi)型3·由實(shí)物情境得到二次函數(shù)5.新新趨勢(shì)·項(xiàng)目化學(xué)習(xí)根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù).如何調(diào)整蔬菜大棚的結(jié)構(gòu)?素材1我國(guó)的大棚種植技術(shù)已十分成熟.如圖1，一塊土地上有一個(gè)蔬菜大棚，其橫截面頂部為拋物線(xiàn)形(如圖2)，大棚的一端固定在墻體OA上，另一端固定在墻體BC上，其橫截面有2根支架DE,FG,其中OA=1m,OB=6m,DE=BC=3、4m,OF=DF=BD.素材2已知大棚共有支架400根，為增加棚內(nèi)空間，擬將圖2中棚頂向上調(diào)整，支架總數(shù)不變，對(duì)應(yīng)支架的長(zhǎng)度變化如圖3所示，調(diào)整后點(diǎn)C，E上升相同的高度，增加的支架價(jià)格為60元/m(接口處忽略不計(jì))，現(xiàn)有支架改造經(jīng)費(fèi)32000元.---問(wèn)題解決任務(wù)1確定大棚形狀在圖2中建立合適的平面直角坐標(biāo)系，求拋物線(xiàn)的解析式.任務(wù)2嘗試改造方案當(dāng)CC任務(wù)3擬定最優(yōu)方案只考慮支架改造經(jīng)費(fèi)的情況下，求CC'的最大值.專(zhuān)題4二次函數(shù)解析式的實(shí)際應(yīng)用1.解:1y=3詳解方法一：設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=ax把點(diǎn)(1,1).(2,7)、(3、19)代入、得{a+b+c=1.4a+2b+c=7,9a+3b+c=19.∴y=3x方法二：觀(guān)察可得拼接圖案的第一層有x個(gè)正六邊形模具，第x層的正六邊形模具個(gè)數(shù)最多，有(2x-1)個(gè).將拼接圖案進(jìn)行割補(bǔ)、得到新的圖案共有x層，且每層正六邊形模具的個(gè)數(shù)為x+(2x-1)=3x-1.∴新的圖案中正六邊形模具的總個(gè)數(shù)為x(3x-1).∴拼接圖案中所需正六邊形模具的總個(gè)數(shù)為x(3x-1)-2x?1∴y=3x(2)由(1),知y=3把y=169代入,得169=3解得x1∴小星拼接成的圖案中第一層有8個(gè)正六邊形模具.(3)如圖,設(shè)正六邊形其他頂點(diǎn)分別為C,D,E,F,連接AD,BD.根據(jù)正六邊形及其外接圓的性質(zhì)易知，AD為⊙O的直徑，∠BAD=60°,線(xiàn)段BD的長(zhǎng)即為邊AB,DE間的距離.∴∠ABD=90°.∴∠ADB=30°.∵AB=2∴⊙O的直徑=4π∴AB=12設(shè)第一層有x個(gè)正六邊形模具.∴第x層的正六邊形模具個(gè)數(shù)最多，有(2x-1)個(gè)，拼接成的圖案共有(2x-1)層，其中有x層的高度按⊙O的直徑計(jì)算，(x-1)層的高度按正六邊形的邊長(zhǎng)計(jì)算.∴拼接圖案的最大寬度為23①當(dāng)拼接圖案的高與長(zhǎng)方形桌子的長(zhǎng)平行時(shí)，令{23(2x?1)≤80,∵x為整數(shù),∴x最大取12.②當(dāng)拼接圖案的高與長(zhǎng)方形桌子的寬平行時(shí)，令{23(2x?1)≤100,∵x為整數(shù),∴x最大取13.把x=12代入y=3x把x=13代入y=3x∵469>397,∴最多可以放下469個(gè)正六邊形模具.2.解:(1)30詳解由表格可知,當(dāng)s=9和s=21時(shí),h相等,當(dāng)s=12和s=18時(shí),h相等.∴拋物線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)s=15對(duì)稱(chēng).∵當(dāng)s=0時(shí),h=0,∴當(dāng)s=30時(shí),h=0.(2)根據(jù)表格，知拋物線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)s=15對(duì)稱(chēng).∴拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(15，5).∴設(shè)h關(guān)于s的函數(shù)解析式為?=a把點(diǎn)(12,4.8)代入,得a解得a=?∴?=?(3)①不成功.理由如下：設(shè)ts時(shí)，足球位于守門(mén)員的正上方.根據(jù)題意,得15t=(28-8)+2.5t.解得t=1.6.∴s=15×1.6=24.把s=24代入?=?1?=?∵3.2>2.5，超過(guò)守門(mén)員防守的最大高度，∴若守門(mén)員選擇面對(duì)足球后退，則守門(mén)不成功.②此過(guò)程守門(mén)員的最小速度為35詳解設(shè)守門(mén)員的速度為vm/s，且ts時(shí)，足球位于守門(mén)員的正上方.根據(jù)題意，得15t=(28-8)+vt.解得t=∴s=15?把s=30015?v,?=1.8代入?解得v1∴此過(guò)程守門(mén)員的最小速度為353.解:(1)v=-0.5t+10(0≤t≤20)(2)∵當(dāng)t=0時(shí),y=0,∴設(shè)y與t之間的函數(shù)解析式為.y=a把點(diǎn)(2,19),(4,36)代入,得{4a+2b=19,16a+4b=36.解得∴y與t之間的函數(shù)解析式為y=?(3)①有可能.設(shè)從ns開(kāi)始，3s的時(shí)間內(nèi)的平均速度為6cm/s.∴6=解得n=∴從132②由(1),知v=-0.5t+10,0≤t≤20.把v=v把t=20-2v。代入y=?1y=?把t=20-2v?代入y=?1y=?∵平均速度2v1)?整理，得v(4)不會(huì).理由如下：設(shè)從黑球減速開(kāi)始t?s時(shí)黑球碰到白球.∴?整理，得t∵△=(?32)∴黑球在減速過(guò)程中不會(huì)碰到白球.4.解：(1)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=?詳解設(shè)小球釋放點(diǎn)與地面的豎直高度和小球釋放點(diǎn)與落地點(diǎn)的水平距離之間的函數(shù)解析式為y=ax{0.2=0.64a+0.8b,0.8=2.56a+1.6b.解得∴y=∵圖3中平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出的拋物線(xiàn)與小球釋放后的運(yùn)動(dòng)軌跡一致，∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=?∵OE=20,∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為-20.當(dāng)y=-20時(shí),?20=?解得x=8(負(fù)值已舍)，∴此時(shí)小球釋放點(diǎn)O與落地點(diǎn)F之間的水平距離EF的長(zhǎng)為8m.(2)∵無(wú)人機(jī)水平向右飛行，∴拋物線(xiàn)y=?5設(shè)平移后的拋物線(xiàn)解析式為y=?由(1),得F(8,-20),EF=8.∴AF=AE--EF=12-8=4.∴m=4.∵AB=4∴BE=AE+AB=12+43∴C把點(diǎn)C12+43?15代入y=?解得m1綜上所述，當(dāng)無(wú)人機(jī)水平飛行4m至12m的范圍內(nèi)釋放小球可以擊中目標(biāo).(3)根據(jù)(2)可知，拋物線(xiàn)y=?5∴平移后的拋物線(xiàn)解析式為y=?如圖,過(guò)點(diǎn)M作MH⊥EN于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)S分別作ST⊥MN于點(diǎn)T,SQ∥MH交直線(xiàn)MN于點(diǎn)Q.根據(jù)題意,得MH=OE=20,∠MNE=45°.∵M(jìn)H⊥EN,∴∠MHN=90°.∴∠HMN=45°=∠MNE.∴MH=NH=20.∵SQ∥MH,∴∠SQT=∠HMN=45°.∵ST⊥MN,∴∠STQ=90°.∴在Rt△STQ中.sin∴ST=SQ?∵AN=23,AE=12,∴EN=AE+AN=35.∴N(35,-20).∴EH=EN-NH=35-20=15.∴M(15,0).設(shè)直線(xiàn)MN的解析式為y=kx+b.把點(diǎn)M(15,0),N(35,-20)代入、得{15k+b=0,35k+b=?20.解得∴直線(xiàn)MN的解析式為：y=-x+15.∵y=?∴設(shè)Sx∴SQ=?x+15??5∵516>0,∴當(dāng)x=685時(shí)，SQ有最小值、最小值為∴小球在擊中圓柱形目標(biāo)的過(guò)程中、與建筑物的最小距離為115.解：任務(wù)1：以點(diǎn)O為原點(diǎn)、OB所在直線(xiàn)為x軸，建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系、∴A(0,1),C(6,3.4).設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a∵OF=DF=BD,OB=6,∴OF=DF=BD=2.又DE=BC,∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=?∴b=?10a.∴y=a把點(diǎn)C(6,3.4)代入,得36a-60a+1=3.4.解得a=?∴拋物線(xiàn)的解析式為y=?任務(wù)2：如圖2，建立與任務(wù)1相同的平面直角坐標(biāo)系.∵CC'=1,∴C'(6,4.4).∵調(diào)整后點(diǎn)C，E上升相同的高度，∴改造后對(duì)稱(chēng)軸不變.設(shè)改造后拋物線(xiàn)的解析式為y=m把點(diǎn)C'(6,4.4)代入,得36m-60m+1=4.4.解得m=?∴改造后拋物線(xiàn)的解析式為y=?把x=2代入y=?110x把x=2代入y=?17120x∴