算法設(shè)計與分析貪心算法

演講人：日期:算法設(shè)計與分析貪心算法目錄CATALOGUE01算法概述02核心要素03典型應(yīng)用實(shí)例04正確性驗(yàn)證方法05算法對比分析06實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練PART01算法概述基本定義與特性01基本定義貪心算法是一種在每一步選擇中都采取在當(dāng)前狀態(tài)下最好或最優(yōu)（即最有利）的選擇，從而希望導(dǎo)致結(jié)果是全局最好或最優(yōu)的算法。02特性貪心算法具有無后效性，即某個狀態(tài)以前的過程不會影響以后的狀態(tài)；同時，貪心算法也具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)，即問題的最優(yōu)解包含其子問題的最優(yōu)解。貪心策略核心思想貪心算法通過一系列局部最優(yōu)選擇達(dá)到全局最優(yōu)，每一步選擇都是當(dāng)前狀態(tài)下的最優(yōu)解。局部最優(yōu)逐步構(gòu)造結(jié)果不一定最優(yōu)從問題的某個初始解開始，根據(jù)貪心策略逐步構(gòu)造最優(yōu)解，每一步只考慮當(dāng)前狀態(tài)，不考慮之前的狀態(tài)。由于貪心算法只關(guān)注當(dāng)前狀態(tài)下的最優(yōu)解，因此得到的結(jié)果不一定是全局最優(yōu)解，而可能是次優(yōu)解或近似最優(yōu)解。適用場景與局限性貪心算法適用于那些具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)和貪心選擇性質(zhì)的問題，如哈夫曼編碼、最小生成樹（如Prim算法和Kruskal算法）、最短路徑（如Dijkstra算法）等。適用場景貪心算法不能解決所有問題，特別是那些不具備最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)或貪心選擇性質(zhì)的問題；同時，對于某些問題，貪心算法得到的解與最優(yōu)解相差較大，因此需要使用其他算法進(jìn)行修正或優(yōu)化。局限性0102PART02核心要素最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)局部最優(yōu)解在貪心算法中，局部最優(yōu)解即全局最優(yōu)解，通過逐步構(gòu)建局部最優(yōu)解來達(dá)到全局最優(yōu)解。子問題最優(yōu)性最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)證明在求解過程中，算法每一步都選擇當(dāng)前狀態(tài)下的最優(yōu)解，從而保證最終構(gòu)建的解是全局最優(yōu)的。證明問題的最優(yōu)解包含子問題的最優(yōu)解，從而確保貪心算法的正確性。123貪心選擇性質(zhì)貪心算法在每一步都做出在當(dāng)前看來最好的選擇，從而逐步構(gòu)建全局最優(yōu)解。貪心選擇策略貪心選擇性質(zhì)保證了每一步的局部最優(yōu)解能夠?qū)蛉肿顑?yōu)解。局部最優(yōu)到全局最優(yōu)證明貪心選擇策略的正確性，即證明每一步的貪心選擇都能得到全局最優(yōu)解的一部分。貪心選擇策略的證明算法步驟設(shè)計原則明確問題目標(biāo)設(shè)計貪心策略逐步構(gòu)建解驗(yàn)證解的正確性深入理解問題的本質(zhì)和求解目標(biāo)，確保每一步都朝著目標(biāo)前進(jìn)。根據(jù)問題的特性，設(shè)計有效的貪心選擇策略，確保每一步都能獲得當(dāng)前最優(yōu)解。通過逐步應(yīng)用貪心策略，將問題分解為更小的子問題，逐步構(gòu)建全局最優(yōu)解。在構(gòu)建解的過程中，及時驗(yàn)證解的正確性和可行性，確保最終得到的解是問題的有效解。PART03典型應(yīng)用實(shí)例活動選擇問題問題描述在給定的一組活動中選擇最大數(shù)量的相互不重疊的活動。貪心策略每次選擇結(jié)束時間最早的活動，以便為后面的活動留下更多的時間。復(fù)雜度分析時間復(fù)雜度為O(nlogn)，其中n為活動數(shù)量，主要由排序步驟決定。示例假設(shè)有一組活動{A,B,C,D,E}，開始時間和結(jié)束時間分別為{1,3},{2,4},{0,6},{5,7},{3,8}，則選擇的活動為A,B,D?；舴蚵幋a問題描述構(gòu)造一種可變長度字符編碼，使得文本的總編碼長度最小。貪心策略頻率低的字符用較長的編碼，頻率高的字符用較短的編碼，且編碼為二進(jìn)制前綴碼。復(fù)雜度分析構(gòu)造霍夫曼樹的時間復(fù)雜度為O(nlogn)，其中n為字符種類數(shù)。示例給定字符及其頻率{A:5,B:9,C:12,D:13,E:16,F:45}，構(gòu)造的霍夫曼編碼為{A:1100,B:111,C:010,D:011,E:00,F:10}。最小生成樹算法在一個加權(quán)無向圖中，找到一棵包含所有頂點(diǎn)的樹，使得樹中所有邊的權(quán)值之和最小。問題描述每次選擇連接兩個不同頂點(diǎn)且權(quán)值最小的邊，加入到生成樹中，直到生成樹包含所有頂點(diǎn)。貪心策略Prim算法和Kruskal算法的時間復(fù)雜度分別為O(n^2)和O(eloge)，其中n為頂點(diǎn)數(shù)，e為邊數(shù)。復(fù)雜度分析給定一個包含5個頂點(diǎn)的加權(quán)無向圖，邊的權(quán)值分別為{(A,B):1,(A,C):3,(B,C):1,(B,D):6,(C,D):5,(C,E):4,(D,E):2}，則最小生成樹包含的邊為{(A,B),(B,C),(C,E),(D,E)}。示例PART04正確性驗(yàn)證方法貪心選擇證明策略01最優(yōu)子結(jié)構(gòu)證明問題具有貪心選擇性質(zhì)，即全局最優(yōu)解可以通過一系列局部最優(yōu)選擇得到。02貪心選擇性質(zhì)證明在每一步做出的貪心選擇都是當(dāng)前狀態(tài)下的最優(yōu)選擇，從而保證最終解的最優(yōu)性。數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用證明貪心算法在初始情況下或最簡單情況下是正確的。歸納基礎(chǔ)歸納假設(shè)歸納步驟假設(shè)貪心算法在某一情況下是正確的，并基于此假設(shè)進(jìn)行下一步推導(dǎo)。證明在歸納假設(shè)成立的情況下，貪心算法在下一步仍然保持正確性，從而推導(dǎo)出算法在一般情況下都是正確的。反例分析法構(gòu)造反例修正算法反例分析嘗試構(gòu)造一個不滿足貪心選擇性質(zhì)的問題實(shí)例，或者貪心算法在該實(shí)例上無法得到正確解的情況。分析反例的特點(diǎn)，找出貪心算法在該反例上失敗的原因，從而進(jìn)一步理解貪心算法的適用范圍和限制。根據(jù)反例分析的結(jié)果，對貪心算法進(jìn)行修正或改進(jìn)，以提高其正確性和適用范圍。PART05算法對比分析與動態(tài)規(guī)劃的區(qū)別貪心算法每一步選擇都采取當(dāng)前狀態(tài)下最好或最優(yōu)（即最有利）的選擇，從而希望導(dǎo)致結(jié)果是全局最好或最優(yōu)的算法。動態(tài)規(guī)劃狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程與最優(yōu)子結(jié)構(gòu)將待求解問題分解成若干個子問題，先求解子問題，然后從這些子問題的解中得到原問題的解；利用子問題的重疊性，通過記錄已解決的子問題的答案來避免重復(fù)計算。動態(tài)規(guī)劃通過狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程來逐步求解問題，貪心算法則不一定依賴于狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程；動態(tài)規(guī)劃要求問題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)，貪心算法則不需要。123與分治算法的優(yōu)劣貪心算法每一步選擇當(dāng)前最優(yōu)解，不考慮全局；分治算法將問題分解為更小的相似子問題，遞歸求解。貪心算法與分治算法貪心算法通常具有更高的時間效率，因?yàn)樗恍枰f歸和回溯；但貪心算法可能無法得到全局最優(yōu)解。求解效率貪心算法適用于具有貪心選擇性質(zhì)的問題，即局部最優(yōu)解能導(dǎo)致全局最優(yōu)解；分治算法則適用于可以被分解為更小相似子問題的問題。問題適用性實(shí)際場景選擇依據(jù)對于具有貪心選擇性質(zhì)的問題，貪心算法是更好的選擇；對于需要求解最優(yōu)解的問題，可能需要考慮動態(tài)規(guī)劃或分治算法。問題類型當(dāng)問題規(guī)模較大時，貪心算法由于其高效性可能更具優(yōu)勢；但對于一些規(guī)模較小的問題，其他算法可能同樣有效甚至更優(yōu)。貪心算法通常實(shí)現(xiàn)較為簡單，代碼可讀性較好；而其他算法如動態(tài)規(guī)劃可能實(shí)現(xiàn)較為復(fù)雜，但更能保證解的準(zhǔn)確性。問題規(guī)模貪心算法通常無法保證得到全局最優(yōu)解，但可以得到近似最優(yōu)的解；若需要精確求解，則需考慮其他算法。求解精度01020403實(shí)現(xiàn)難度與代碼可讀性PART06實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練經(jīng)典題目解析哈夫曼編碼構(gòu)建字符出現(xiàn)頻率的哈夫曼樹，頻率高的字符路徑短，頻率低的字符路徑長，實(shí)現(xiàn)壓縮編碼。03將物品按單位重量的價值排序，依次選擇價值最高的物品放入背包，直到背包無法容納更多物品。02背包問題最小生成樹問題通過貪心策略選擇最小權(quán)重的邊，保證生成樹的總權(quán)重最小。01時間復(fù)雜度優(yōu)化技巧優(yōu)先隊列使用優(yōu)先隊列維護(hù)貪心策略中的候選元素，以減少每次選擇的時間開銷。01局部貪心將大問題分解為多個小問題，分別應(yīng)用貪心策略求解，從而降低整體時間復(fù)雜度。02剪枝策略在貪心策略中，提前排除不可能得到最優(yōu)解的情況，以減少不必要的計算。03代碼實(shí)現(xiàn)要點(diǎn)邊界條件處理數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)