上海市復(fù)旦大學(xué)附中2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

上海市復(fù)旦大學(xué)附中2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．把函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)都縮小到原來的一半，縱坐標(biāo)保持不變，再把圖象向右平移個單位，這是對應(yīng)于這個圖象的解析式為（）A． B．C． D．2．復(fù)數(shù)z滿足z?i=1+2i(iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．的展開式中的系數(shù)為（）A．5 B．10 C．20 D．304．已知i是虛數(shù)單位，若z=1+i1-2i，則z的共軛復(fù)數(shù)A．-13-i B．-15．已知雙曲線的一個焦點坐標(biāo)為，且雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則該雙曲線的方程為()A． B． C． D．或6．若隨機變量服從正態(tài)分布，且，（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)，且，則()A． B． C． D．8．已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，是上一點，是直線與的一個交點，若，則（）A．8 B．4 C．6 D．39．將曲線按變換后的曲線的參數(shù)方程為（）A． B． C． D．10．已知，均為正實數(shù)，且，則的最小值為（）A．20 B．24 C．28 D．3211．已知集合，，全集，則等于（）A． B． C． D．12．已知空間向量1，，，且，則A． B． C．1 D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)的對稱軸方程為__________．14．若一個圓錐的側(cè)面展開圖是面積為的半圓面，則該圓錐的底面半徑為_______.15．設(shè)函數(shù)，.若，且的最小值為-1，則實數(shù)的值為__________．16．函數(shù)在點處切線的斜率為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）（1）若展開式中的常數(shù)項為60，求展開式中除常數(shù)項外其余各項系數(shù)之和；（2）已知二項式（是虛數(shù)單位，）的展開的展開式中有四項的系數(shù)為實數(shù)，求的值.18．（12分）已知函數(shù)f(x)=|2x-1|-|x+2|.（1）求不等式f(x)≥3的解集；（2）若關(guān)于x的不等式f(x)≥t2-3t在[19．（12分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）設(shè)，若不等式對任意恒成立，求的取值范圍.20．（12分）2019年某地初中畢業(yè)升學(xué)體育考試規(guī)定：考生必須參加長跑.擲實心球.1分鐘跳繩三項測試，三項測試各項20分，滿分60分．某學(xué)校在初三上學(xué)期開始時，為掌握全年級學(xué)生1分鐘跳繩情況，按照男女比例利用分層抽樣抽取了100名學(xué)生進(jìn)行測試，其中女生54人，得到下面的頻率分布直方圖，計分規(guī)則如表1：（1）規(guī)定：學(xué)生1分鐘跳繩得分20分為優(yōu)秀，在抽取的100名學(xué)生中，男生跳繩個數(shù)大等于185個的有28人，根據(jù)已知條件完成表2，并根據(jù)這100名學(xué)生測試成績，能否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生1分鐘跳繩成績優(yōu)秀與性別有關(guān)？附：參考公式臨界值表：（2）根據(jù)往年經(jīng)驗，該校初三年級學(xué)生經(jīng)過一年的訓(xùn)練，正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)都有明顯進(jìn)步．假設(shè)今年正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)比初三上學(xué)期開始時個數(shù)增加10個，全年級恰有2000名學(xué)生，所有學(xué)生的跳繩個數(shù)X服從正態(tài)分布N（μ，σ2）（用樣本數(shù)據(jù)的平值和方差估計總體的期望和方差，各組數(shù)據(jù)用中點值代替）①估計正式測試時，1分鐘跳182個以上的人數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）；②若在全年級所有學(xué)生中任意選取3人，正式測試時1分鐘跳195個以上的人數(shù)為ξ，求ξ占的分布列及期望．21．（12分）已知橢圓滿足：過橢圓C的右焦點且經(jīng)過短軸端點的直線的傾斜角為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)為坐標(biāo)原點，若點在直線上，點在橢圓C上，且，求線段長度的最小值.22．（10分）某學(xué)校高三年級學(xué)生某次身體素質(zhì)體能測試的原始成績采用百分制，已知所有這些學(xué)生的原始成績均分布在內(nèi)，發(fā)布成績使用等級制，各等級劃分標(biāo)準(zhǔn)見下表．百分制85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等級ABCD規(guī)定：A，B，C三級為合格等級，D為不合格等級為了解該校高三年級學(xué)生身體素質(zhì)情況，從中抽取了n名學(xué)生的原始成績作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計．按照，，，，的分組作出頻率分布直方圖如圖1所示，樣本中分?jǐn)?shù)在80分及以上的所有數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖2所示求n和頻率分布直方圖中的x，y的值，并估計該校高一年級學(xué)生成績是合格等級的概率；根據(jù)頻率分布直方圖，求成績的中位數(shù)精確到；在選取的樣本中，從A，D兩個等級的學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研，求至少有一名學(xué)生是A等級的概率．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】試題分析：函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)都縮小到原來的一半，縱坐標(biāo)保持不變得到，再把圖象向右平移個單位，得到.考點：三角函數(shù)圖像變換.2、D【解析】

利用復(fù)數(shù)的四則運算法則，可求出z=1+2ii【詳解】由題意，z=1+2ii=1+2本題考查了復(fù)數(shù)的四則運算，考查了學(xué)生對復(fù)數(shù)知識的理解和掌握，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

根據(jù)乘法分配律和二項式展開式的通項公式，列式求得的系數(shù).【詳解】根據(jù)乘法分配律和二項式展開式的通項公式，題目所給表達(dá)式中含有的為，故展開式中的系數(shù)為，故選D.本小題主要考查二項式展開式通項公式的應(yīng)用，考查乘法分配律，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

通過分子分母乘以分母共軛復(fù)數(shù)即可化簡，從而得到答案.【詳解】根據(jù)題意z=1+i1+2i本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，共軛復(fù)數(shù)的概念，難度較小.5、A【解析】分析：先利用雙曲線的漸近線相互垂直得出該雙曲線為等軸雙曲線，再利用焦點位置確定雙曲線的類型，最后利用幾何元素間的等量關(guān)系進(jìn)行求解.詳解：因為該雙曲線的兩條漸近線互相垂直，所以該雙曲線為等軸雙曲線，即，又雙曲線的一個焦點坐標(biāo)為，所以，即，即該雙曲線的方程為.故選D.點睛：本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，要注意以下等價關(guān)系的應(yīng)用：等軸雙曲線的離心率為，其兩條漸近線相互垂直.6、B【解析】設(shè)，則，根據(jù)對稱性，，則，即，故故選：B．7、C【解析】分析：由題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的定義整理計算即可求得最終結(jié)果.詳解：由題意可得：,即：.本題選擇C選項.點睛：本題主要考查函數(shù)在某一點處導(dǎo)數(shù)的定義及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.8、D【解析】

設(shè)點、，由，可計算出點的橫坐標(biāo)的值，再利用拋物線的定義可求出.【詳解】設(shè)點、，易知點，，，，解得，因此，，故選D.本題考查拋物線的定義，解題的關(guān)鍵在于利用向量共線求出相應(yīng)點的坐標(biāo)，考查計算能力，屬于中等題．9、D【解析】由變換：可得：,代入曲線可得：，即為：令(θ為參數(shù))即可得出參數(shù)方程．故選D.10、A【解析】分析：由已知條件構(gòu)造基本不等式模型即可得出.詳解：均為正實數(shù)，且，則當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.的最小值為20.故選A.點睛：本題考查了基本不等式的性質(zhì)，“一正、二定、三相等”.11、D【解析】

先解出集合、，再利用補集和交集的定義可得出.【詳解】因為，即或，所以，則，應(yīng)選答案D.本題考查集合的交集和補集的運算，同時也涉及了二次不等式與對數(shù)不等式的解法，考查運算求解能力，屬于中等題.12、C【解析】

利用向量垂直的充要條件，利用向量的數(shù)量積公式列出關(guān)于x的方程，即可求解x的值．【詳解】由題意知，空間向量1，，，且，所以，所以，即，解得.故選C．本題主要考查了向量垂直的充要條件，以及向量的數(shù)量積的運算，其中解答中熟記向量垂直的條件和數(shù)量積的運算公式，準(zhǔn)確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：令，解出即可.詳解：函數(shù)，對稱軸方程為，故答案為：.點睛：考查了余弦函數(shù)的圖像的性質(zhì)》14、1【解析】

先根據(jù)側(cè)面展開是面積為的半圓算出圓錐的母線，再根據(jù)側(cè)面展開半圓的弧長即底面圓的周長求解.【詳解】如圖所示：設(shè)圓錐的半徑為r，高為h，母線長為l，因為圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為l，面積為的半圓面，所以，解得，因為側(cè)面展開半圓的弧長即底面圓的周長，所以，故圓錐的底面半徑.本題考查圓錐的表面積的相關(guān)計算.主要依據(jù)側(cè)面展開的扇形的弧長即底面圓的半徑，扇形的弧長和面積計算公式.15、2【解析】分析：先表示函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值，最后根據(jù)的最小值為-1得實數(shù)的值.詳解：因為，設(shè)，則所以因為，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；即當(dāng)時，.點睛：兩函數(shù)關(guān)系問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式或方程，從而求出參數(shù)的取值范圍或值.16、【解析】

求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算得，即可得到切線的斜率．【詳解】由題意，函數(shù)，則，所以，即切線的斜率為，故答案為．本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求解曲線在某點處的切線的斜率，其中解答中熟記導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，以及準(zhǔn)確求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或1【解析】

（1）求展開式的通項，根據(jù)常數(shù)項為60解得a的值，然后在原解析式中代入x=1求得各項系數(shù)之和，進(jìn)而求出結(jié)果.（2）求出展開式的通項，因為展開式中有四項的系數(shù)為實數(shù)，所以r的取值為0,2,4,6，則可得出n的所有的可能的取值.【詳解】解：（1）展開式的通項為，常數(shù)項為，由，，得．令，得各項系數(shù)之和為．所以除常數(shù)項外其余各項系數(shù)之和為．（2）展開式的通項為，因為展開式中有四項的系數(shù)為實數(shù)，且，，所以或1．本題考查二項式展開式的通項，考查求二項式特定項的系數(shù)，以及虛數(shù)單位的周期性，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）(-∞,-43]∪[6,+∞)【解析】試題分析：（1）將f(x)的表達(dá)式以分段函數(shù)的形式寫出，將原題轉(zhuǎn)化為求不等式組的問題，最后對各個解集求并集得出原不等式的解集；（2）f(x)≥t2-3t在[0,1]上無解相當(dāng)于f(x)試題解析：（1）由題意得f(x)={x-3,x≥則原不等式轉(zhuǎn)化為{x≥12x-3≥3或∴原不等式的解集為(-∞,-4（2）由題得f(x)由（1）知，f(x)在[0,1]上的最大值為-1，即解得t>3+52或t<3-519、（1）；（2）．【解析】

(1)把a=2代入原函數(shù)解析式中，求出函數(shù)在x=1時的導(dǎo)數(shù)值，直接利用直線方程的點斜式寫直線方程；(2)設(shè),即h(x)>0恒成立，對函數(shù)求導(dǎo)，分，，三種情況得到函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時，，，切點為，，，曲線在點處的切線方程為，即.（2）設(shè)，，不等式對任意恒成立，即函數(shù)在上的最小值大于零.①當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，的最小值為，由可得，，.②當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，最小值為，由可得，即.③當(dāng)，即時，可得最小值為，，，故.即，綜上可得，的取值范圍是.導(dǎo)數(shù)問題經(jīng)常會遇見恒成立的問題：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（2）若就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為，若恒成立；（3）若恒成立，可轉(zhuǎn)化為（需在同一處取得最值）.20、（1）不能有的把握認(rèn)為認(rèn)為學(xué)生1分鐘跳繩成績優(yōu)秀與性別有關(guān)；（2）①，②分布列見解析，期望值為.【解析】

（1）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)填寫好聯(lián)表，通過計算出，由此判斷不能有99%的把握認(rèn)為認(rèn)為學(xué)生分鐘跳繩成績優(yōu)秀與性別有關(guān).（2）根據(jù)頻率分布計算出平均數(shù)和方差，由此求得正態(tài)分布，計算出的概率，進(jìn)而估計出個以上的人數(shù).利用二項分布概率計算公式計算出概率，由此求得分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）表2如下圖所示：由公式可得因為所以不能有99%的把握認(rèn)為認(rèn)為學(xué)生1分鐘跳繩成績優(yōu)秀與性別有關(guān).（2）①而，故服從正態(tài)分布,故正式測試時，1分鐘跳182個以上的人數(shù)約為1683人.②,服從的分布列為：0123P本小題主要考查列聯(lián)表獨立性檢驗，考查正態(tài)分布均值和方差的計算，考查二項分布分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，屬于中檔題.21、（I）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）設(shè)出短軸端點的坐標(biāo)，根據(jù)過右焦點與短軸端點的直線的傾斜角為，可以求出斜率，這樣就可以求出，再根據(jù)右焦點，可求出，最后利用求出，最后寫出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)點的坐標(biāo)分別為，其中，由，可得出等式，求出線段長度的表達(dá)式，結(jié)合求出的等式和基本不等式，可以求出線段長度的最小值.【詳解】（I）設(shè)橢圓的短軸端點為