上海市六十中學2025屆數(shù)學高二下期末質(zhì)量檢測試題含解析

上海市六十中學2025屆數(shù)學高二下期末質(zhì)量檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．定義在上的函數(shù)滿足，且當時，，對，，使得，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．2．用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60°”時，反設正確的是()A．假設三內(nèi)角都不大于60° B．假設三內(nèi)角都大于60°C．假設三內(nèi)角至多有一個大于60° D．假設三內(nèi)角至多有兩個大于60°3．已知雙曲線的離心率為2，過右焦點且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點.設到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為和，且則雙曲線的方程為A． B．C． D．4．已知曲線：，：，則下面結(jié)論正確的是（）A．把上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線B．把上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C．把上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線D．把上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線5．若是關(guān)于x的實系數(shù)方程的一個虛數(shù)根，則（）A．， B．， C．， D．，6．若，則“成等比數(shù)列”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．的展開式中各項系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項為A．-40 B．-20 C．20 D．408．已知直線y＝3x﹣1與曲線y＝ax+lnx相切，則實數(shù)a的值為（）A．1 B．2 C．3 D．49．是雙曲線的右焦點，過點向的一條漸近線引垂線，垂足為，交另一條漸近線于點，若，則的離心率是（）A． B． C． D．10．將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲次，正面向上的次數(shù)為，則（）A． B．C． D．11．已知扇形的圓心角為，弧長為，則扇形的半徑為（）A．7 B．6 C．5 D．412．已知復數(shù)，若，則實數(shù)的值為()A． B．6 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在正方體中，與所成角的大小為________.14．8人排成前后兩排，前排3人后排5人，甲、乙在后排，且不相鄰的排法有幾種______15．已知，則展開式中的系數(shù)為__________．16．已知函數(shù)的定義域是，關(guān)于函數(shù)給出下列命題：①對于任意，函數(shù)是上的減函數(shù)；②對于任意，函數(shù)存在最小值；③存在，使得對于任意的，都有成立；④存在，使得函數(shù)有兩個零點．其中正確命題的序號是________．(寫出所有正確命題的序號)三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知集合（1）若，求實數(shù)的值；（2）若命題命題且是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍．18．（12分）已知橢圓的右頂點為，定點，直線與橢圓交于另一點.（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）試問是否存在過點的直線與橢圓交于兩點，使得成立？若存在，請求出直線的方程；若不存在，請說明理由.19．（12分）已知f(x)＝|x2－4x＋3|.(1)作出函數(shù)f(x)的圖象；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，并指出其單調(diào)性；(3)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四個不相等的實根}.20．（12分）在中，己知（1）求的值；（2）求的值.21．（12分）已知函數(shù).（1）畫出函數(shù)的大致圖象，并寫出的值域；（2）若關(guān)于的不等式有解，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù)，.（1）若在區(qū)間上單調(diào)，求的取值范圍；（2）設，求證：時，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由題知問題等價于函數(shù)在上的值域是函數(shù)在上的值域的子集．當時，，由二次函數(shù)及對勾函數(shù)的圖象及性質(zhì)，得此時，由，可得，當時，．則在的值域為．當時，，則有，解得，當時，，不符合題意；當時，，則有，解得．綜上所述，可得的取值范圍為．故本題答案選．點睛：求解分段函數(shù)問題應對自變量分類討論，討論的標準就是自變量與分段函數(shù)所給出的范圍的關(guān)系，求解過程中要檢驗結(jié)果是否符合討論時的范圍．討論應該不重復不遺漏．2、B【解析】

“至少有一個”的否定變換為“一個都沒有”，即可求出結(jié)論.【詳解】“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60°”時，反設是假設三內(nèi)角都大于.故選：B.本題考查反證法的概念，注意邏輯用語的否定，屬于基礎題.3、A【解析】

分析：由題意首先求得A,B的坐標，然后利用點到直線距離公式求得b的值，之后利用離心率求解a的值即可確定雙曲線方程.詳解：設雙曲線的右焦點坐標為（c>0），則，由可得：，不妨設：，雙曲線的一條漸近線方程為，據(jù)此可得：，，則，則，雙曲線的離心率：，據(jù)此可得：，則雙曲線的方程為.本題選擇A選項.點睛：求雙曲線的標準方程的基本方法是待定系數(shù)法．具體過程是先定形，再定量，即先確定雙曲線標準方程的形式，然后再根據(jù)a，b，c，e及漸近線之間的關(guān)系，求出a，b的值．如果已知雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標準方程，可利用有公共漸近線的雙曲線方程為，再由條件求出λ的值即可.4、C【解析】

由題意利用誘導公式得，根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．【詳解】已知曲線，，∴把上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，可得的圖象，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線的圖象，故選C．本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，屬于基礎題．5、D【解析】

利用實系數(shù)一元二次的虛根成對原理、根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．【詳解】解：∵1i是關(guān)于x的實系數(shù)方程x2+bx+c＝0的一個復數(shù)根，∴1i是關(guān)于x的實系數(shù)方程x2+bx+c＝0的一個復數(shù)根，∴，解得b＝﹣2，c＝1．故選：D．本題考查了實系數(shù)一元二次的虛根成對原理、根與系數(shù)的關(guān)系，屬于基礎題．6、B【解析】分析：根據(jù)等比數(shù)列的定義和等比數(shù)列的性質(zhì)，即可判定得到結(jié)論．詳解：由題意得，例如，此時構(gòu)成等比數(shù)列，而不成立，反之當時，若，則，所以構(gòu)成等比數(shù)列，所以當時，構(gòu)成等比數(shù)列是構(gòu)成的等比數(shù)列的必要不充分條件，故選B．點睛：本題主要考查了等比數(shù)列的定義和等比數(shù)列的性質(zhì)，其中熟記等比數(shù)列的性質(zhì)和等比數(shù)列的定義的應用是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力．7、D【解析】令x=1得a=1.故原式=．的通項，由5-2r=1得r=2,對應的常數(shù)項=80，由5-2r=-1得r=3,對應的常數(shù)項=-40，故所求的常數(shù)項為40，選D解析2.用組合提取法,把原式看做6個因式相乘，若第1個括號提出x,從余下的5個括號中選2個提出x，選3個提出；若第1個括號提出，從余下的括號中選2個提出，選3個提出x.故常數(shù)項==-40+80=408、B【解析】

對函數(shù)求導，設切點，表示出切線方程，與已知切線相同，從而得到關(guān)于和的方程組，解出的值.【詳解】設切點，因為，所以所以切線斜率則切線為整理得又因為切線方程為所以得，解得故選B項.本題考查利用導數(shù)的幾何意義，未知切點表示切線方程，屬于中檔題.9、A【解析】試題分析：由題意得，因此，選A.考點：雙曲線離心率【名師點睛】求雙曲線的離心率（取值范圍）的策略求雙曲線離心率是一個熱點問題．若求離心率的值，需根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b，c的方程求解，若求離心率的取值范圍，需轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b，c的不等式求解，正確把握c2＝a2＋b2的應用及e＞1是求解的關(guān)鍵．10、D【解析】分析：將一枚硬幣連續(xù)拋擲5次，正面向上的次數(shù)，由此能求出正面向上的次數(shù)的分布列詳解：將一枚硬幣連續(xù)拋擲5次，正面向上的次數(shù).故選D.點睛：本題考查離散型隨機變量的分布列的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意二項分布的合理運用．11、B【解析】

求得圓心角的弧度數(shù)，用求得扇形半徑.【詳解】依題意為，所以．故選B.本小題主要考查角度制和弧度制轉(zhuǎn)化，考查扇形的弧長公式的運用，屬于基礎題.12、D【解析】

根據(jù)題目復數(shù)，且，利用復數(shù)的除法運算法則，將復數(shù)z化簡成的形式，再令虛部為零，解出的值，即可求解出答案．【詳解】，∵，∴，則．故答案選D．本題主要考查了利用復數(shù)的除法運算法則化簡以及根據(jù)復數(shù)的概念求參數(shù)．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

記點正上方的頂點為，在正方體中，得到即是與所成的角，進而可得出結(jié)果.【詳解】如圖，記點正上方的頂點為，在正方體中，顯然，所以即是與所成的角，易得：故答案：本題主要考查異面直線所成的角，在幾何體中作出異面直線所成的角，即可求解，屬于常考題型.14、8640【解析】

根據(jù)題意，分2步進行分析：①，在除甲乙之外的6人中任選3人，與甲乙一起排在后排，滿足甲乙不相鄰，②，將剩下的三人全排列，安排在前排，由分步計數(shù)原理計算可得答案?！驹斀狻扛鶕?jù)題意，分2步進行分析：①，在除甲乙之外的6人中任選3人，與甲乙一起排在后排，由于甲乙不能相鄰，則有C6②，將剩下的三人全排列，安排在前排，有A3則有1440×6=8640種排法；故答案為：8640。(1)解排列組合問題要遵循兩個原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進行分類；二是按事情發(fā)生的過程進行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)。(2)不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法。15、448.【解析】由題意可得：,則展開式的通項公式為：，令可得：,則的系數(shù)為：.16、②④【解析】函數(shù)的定義域是，且，當時，在恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故①錯誤；對于，存在，使，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以對于任意，函數(shù)存在最小值，故②正確；函數(shù)的圖象在有公共點，所以對于任意，有零點，故③錯誤；由②得函數(shù)存在最小值，且存在，使，當時，，當時，，故④正確；故填②④.點睛：本題的易錯點在于正確理解“任意”和“存在”的含義，且正確區(qū)分兩者的不同.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1).(2)或.【解析】分析：（1）分a＞0和a＜0兩種情況討論是否存在滿足條件的實數(shù)a的值，綜合討論結(jié)果，可得答案；（2）若p是q充分不必要條件，則A?B，分類討論，可得滿足條件的a的取值范圍．詳解：(1)當時當時顯然故時，，（2）當時，則解得當時，則綜上是的充分不必要條件，實數(shù)的取值范圍是或.點睛：注意區(qū)別：“命題是命題的充分不必要條件”與“命題的充分不必要條件是命題”18、（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，或【解析】

（1）由已知可得，再將點代入橢圓方程，求出即可；（2）設，由已知可得，結(jié)合，可得，從而有，驗證斜率不存在時是否滿足條件，當斜率存在時，設其方程為，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系，得出關(guān)系式，結(jié)合，即可求解.【詳解】（Ⅰ）由橢圓的右頂點為知，.把點坐標代入橢圓方程，得.解得.所以橢圓的標準方程為.（Ⅱ），所以.由，得，即，所以.設，，則，，所以.①當直線的斜率不存在時，直線的方程為，，這與矛盾.②當直線的斜率存在時，設直線的方程為.聯(lián)立方程得.，.由可得，，即.整理得.解得.綜上所述，存在滿足條件的直線，其方程為或.本題考查橢圓的標準方程、直線與橢圓的位置關(guān)系，要熟練應用根與系數(shù)關(guān)系設而不求方法解決相交弦問題，考查計算求解能力，屬于中檔題.19、(1)見解析.(2)見解析.(3)M＝{m|0<m<1}.【解析】

（1）借助對稱性作f（x）=|x2﹣4x+3|的圖象即可，（2）由圖象寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間即可；（3）作f（x）=|x2﹣4x+3|與y=m的圖象，由二者的交點個數(shù)確定出集合M．【詳解】(1)當x2－4x＋3≥0時，x≤1或x≥3，∴f(x)＝∴f(x)的圖象為：(2)由函數(shù)的圖象可知f(x)的單調(diào)區(qū)間是(－∞，1]，(2，3)，(1，2]，[3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2，3)是減區(qū)間；(1，2]，[3，＋∞)是增區(qū)間.(3)由f(x)的圖象知，當0<m<1時，f(x)＝m有四個不相等的實根，所以M＝{m|0<m<1}.（1）函數(shù)零點個數(shù)（方程根的個數(shù)）的判斷方法：①結(jié)合零點存在性定理，利用函數(shù)的單調(diào)性、對稱性確定函數(shù)零點個數(shù)；②利用函數(shù)圖像交點個數(shù)判斷方程根的個數(shù)或函數(shù)零點個數(shù)．（2）本題將方程實根個數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點的問題解決，解題時注意換元法的應用，以便將復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題處理。20、(1);(2)【解析】

（1）通過，可計算出C