天津市靜海區(qū)2025年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

天津市靜海區(qū)2025年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若存在，使得不等式成立，則實數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．2．設(shè)地球的半徑為R，在緯度為的緯線圈上有A,B兩地，若這兩地的緯線圈上的弧長為，則A,B兩地之間的球面距離為（）A． B． C． D．3．已知曲線C：y＝，曲線C關(guān)于y軸的對稱曲線C′的方程是（）A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝ D．y＝4．把函數(shù)的圖象上所有點向左平行移動個單位長度，再把所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象所表示的函數(shù)是（）.A． B．C． D．5．在的展開式中，二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)為（）A． B． C． D．6．復(fù)數(shù)z滿足z=2i1-iA．1－i B．1＋2i C．1＋i D．－1－i7．下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后在生產(chǎn)產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗（噸）的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)：根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的線性回歸方程為，那么表中的值為（）A． B． C． D．8．如圖是調(diào)查某地區(qū)男女中學(xué)生喜歡理科的等高條形圖，陰影部分表示喜歡理科的百分比，由圖得到結(jié)論不正確的為（）A．性別與是否喜歡理科有關(guān)B．女生中喜歡理科的比為C．男生不喜歡理科的比為D．男生比女生喜歡理科的可能性大些9．德國數(shù)學(xué)家狄利克在1837年時提出：“如果對于x的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應(yīng)，則y是x的函數(shù)，”這個定義較清楚地說明了函數(shù)的內(nèi)涵．只要有一個法則，使得取值范圍中的每一個值，有一個確定的y和它對應(yīng)就行了，不管這個對應(yīng)的法則是公式、圖象，表格述是其它形式已知函數(shù)f（x）由右表給出，則的值為（）A．0 B．1 C．2 D．310．以下四個命題，其中正確的個數(shù)有（）①由獨立性檢驗可知，有的把握認(rèn)為物理成績與數(shù)學(xué)成績有關(guān)，某人數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀，則他有99%的可能物理優(yōu)秀.②兩個隨機變量相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1；③在線性回歸方程中，當(dāng)解釋變量每增加一個單位時，預(yù)報變量平均增加0.2個單位；④對分類變量與，它們的隨機變量的觀測值來說，越小，“與有關(guān)系”的把握程度越大.A．1 B．2 C．3 D．411．若y=fx在-∞,+∞可導(dǎo)，且lim△x→0fA．23 B．2 C．3 D．12．下列值等于1的積分是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若過拋物線的焦點，且傾斜角為的直線交拋物線于，，則__________．14．某校高一年級有名學(xué)生，其中女生人，按男女比例用分層抽樣的方法從該年級學(xué)生中抽取一個容量為的樣本，則應(yīng)抽取的男生人數(shù)是__________．15．已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是_______.16．給出下列演繹推理：“自然數(shù)是整數(shù)，，所以是整數(shù)”，如果這是推理是正確的，則其中橫線部分應(yīng)填寫___________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）IC芯片堪稱“國之重器”其制作流程異常繁瑣，制作IC芯片核心部分首先需要制造單晶的晶圓，此過程主要是加入碳，以氧化還原的方式，將氧化硅轉(zhuǎn)換為高純度的硅.為達(dá)到這一高標(biāo)準(zhǔn)要求,研究工作人員曾就是否需采用西門子制程（Siemensprocess）這一工藝技術(shù)進(jìn)行了反復(fù)比較,在一次實驗中，工作人員對生產(chǎn)出的50片單晶的晶圓進(jìn)行研究，結(jié)果發(fā)現(xiàn)使用了該工藝的30片單晶的晶圓中有28片合格,沒有使用該工藝的20片單晶的晶圓中有12片合格.（1）請?zhí)顚?×2列聯(lián)表并判斷:這次實驗是否有99.5%的把握認(rèn)為單晶的晶圓的制作效果與使用西門子制程（Siemensprocess）這一工藝技術(shù)有關(guān)?使用工藝不使用工藝合格合格不合格合計50（2）在得到單晶的晶圓后，接下來的生產(chǎn)制作還前對單晶的晶圓依次進(jìn)行金屬濺鍍，涂布光阻，蝕刻技術(shù)，光阻去除這四個環(huán)節(jié)的精密操作，進(jìn)而得到多晶的晶圓，生產(chǎn)出來的多晶的晶圓經(jīng)過嚴(yán)格的質(zhì)檢,確定合格后才能進(jìn)入下一個流程，如果生產(chǎn)出來的多晶的晶圓在質(zhì)檢中不合格,那么必須依次對前四個環(huán)節(jié)進(jìn)行技術(shù)檢測并對所有的出錯環(huán)節(jié)進(jìn)行修復(fù)才能成為合格品.在實驗的初期，由于技術(shù)的不成熟，生產(chǎn)制作的多晶的晶圓很難達(dá)到理想狀態(tài)，研究人員根據(jù)以往的數(shù)據(jù)與經(jīng)驗得知在實驗生產(chǎn)多晶的晶圓的過程中，前三個環(huán)節(jié)每個環(huán)節(jié)生產(chǎn)正常的概率為23，第四個環(huán)節(jié)生產(chǎn)正常的概率為34,且每個環(huán)節(jié)是否生產(chǎn)正常是相互獨立的.前三個環(huán)節(jié)每個環(huán)節(jié)出錯需要修復(fù)的費用均為20元，第四環(huán)節(jié)出錯需要修復(fù)的費用為10元參考公式:K參考數(shù)據(jù):P(0.150.100.050.0250.010.0050.001K2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82818．（12分）（1）已知，是虛數(shù)單位，若，是純虛數(shù)，寫出一個以為其中一根的實系數(shù)一元二次方程；（2）求純虛數(shù)的平方根．19．（12分）已知拋物線C的頂點為原點，焦點F與圓的圓心重合.（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)定點，當(dāng)P點在C上何處時，的值最小，并求最小值及點P的坐標(biāo)；（3）若弦過焦點，求證：為定值.20．（12分）已知函數(shù)，其中，.（1）若，，求的值；（2）若，，求的最大值；（3）若，求證：.21．（12分）如圖，在四面體中，，.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若，，四面體的體積為2，求二面角的余弦值.22．（10分）已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的最大值；（2）令，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若，正實數(shù)滿足，證明.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】設(shè)，則當(dāng)時，，單調(diào)遞減當(dāng)時，，單調(diào)遞增存在，成立，，故選點睛：本題利用導(dǎo)數(shù)求解不等式問題，在解答此類問題時的方法可以分離參量，轉(zhuǎn)化為最值問題，借助導(dǎo)數(shù)，求出新函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最值，解出參量的取值范圍，本題較為基礎(chǔ)．2、D【解析】

根據(jù)緯線圈上的弧長為求出A,B兩地間的徑度差，即可得出答案。【詳解】設(shè)球心為O，緯度為的緯線圈的圓心為O′，則∠O′AO=,∴O′A=OAcos∠O′AO=Rcos,設(shè)A,B兩地間的徑度差的弧度數(shù)為，則Rcos=,∴=,即A,B兩地是⊙O′的一條直徑的兩端點，∴∠AOB=,∴A,B兩地之間的球面距離為．答案：D．本題涉及到了地理相關(guān)的經(jīng)緯度概念。學(xué)生需理解其基本概念，將題干所述信息轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)相關(guān)知識求解。3、A【解析】

設(shè)所求曲線上任意一點，由關(guān)于直線的對稱的點在已知曲線上，然后代入已知曲線，即可求解．【詳解】設(shè)所求曲線上任意一點，則關(guān)于直線的對稱的點在已知曲線，所以，故選A．本題主要考查了已知曲線關(guān)于直線的對稱的曲線方程的求解，其步驟是：在所求曲線上任取一點，求得其關(guān)于直線的對稱點，代入已知曲線求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．4、A【解析】

先根據(jù)左加右減的性質(zhì)進(jìn)行平移，再根據(jù)橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍時的值變?yōu)樵瓉淼谋?，得到答案．【詳解】解：向左平移個單位，即以代，得到函數(shù)，再把所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，即以代，得到函數(shù)：．故選：A．本題主要考查三角函數(shù)的變換，屬于基礎(chǔ)題．5、B【解析】

根據(jù)展開式中二項式系數(shù)最大的項是，由此求出它的系數(shù)．【詳解】的展開式中，二項式系數(shù)最大的項是其系數(shù)為-1．

故選B.．本題考查了二項式展開式系數(shù)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．6、D【解析】

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案．【詳解】z=2i1-i=2i(1+i)本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．7、A【解析】

先求出這組數(shù)據(jù)的樣本中心點，樣本中心點是用含有t的代數(shù)式表示的，把樣本中心點代入變形的線性回歸方程，得到關(guān)于t的一次方程，解方程，得到結(jié)果．【詳解】∵由回歸方程知=，解得t=3，故選A．】本題考查回歸分析的初步應(yīng)用，考查樣本中心點的性質(zhì)，考查方程思想的應(yīng)用，是一個基礎(chǔ)題，解題時注意數(shù)字計算不要出錯．8、C【解析】

本題為對等高條形圖，題目較簡單，逐一排除選項，注意陰影部分位于上半部分即可．【詳解】解：由圖可知，女生喜歡理科的占，故B正確；男生喜歡理科的占，所以男生不軎歡理科的比為，故C不正確；同時男生比女生喜歡理科的可能性大些，故D正確；由此得到性別與喜歡理科有關(guān)，故A正確．故選：．本題考查等高條形圖等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．9、D【解析】

采用逐層求解的方式即可得到結(jié)果.【詳解】∵，∴，則，∴，又∵，∴，故選D．本題主要考查函數(shù)的基礎(chǔ)知識，強調(diào)一一對應(yīng)性，屬于基礎(chǔ)題．10、B【解析】對于命題①認(rèn)為數(shù)學(xué)成績與物理成績有關(guān)，不出錯的概率是99%，不是數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀，物理成績就有99%的可能優(yōu)秀，不正確；對于④，隨機變量K2的觀測值k越小，說明兩個相關(guān)變量有關(guān)系的把握程度越小，不正確；容易驗證②③正確，應(yīng)選答案B。11、D【解析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】∵lim△x→0∴23即23則f'故選D．本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計算，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的極限定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．12、C【解析】

分別求出被積函數(shù)的原函數(shù)，然后根據(jù)定積分的定義分別計算看其值是否為1即可．【詳解】解：選項A，xdxx2，不滿足題意；選項B，（x+1）dx＝（x2+x）1，不滿足題意；選項C，1dx＝x1﹣0＝1，滿足題意；選項D，dxx0，不滿足題意；故選C．考點：定積分及運算．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先求直線AB的方程，再利用弦長公式求.【詳解】由題得拋物線的焦點為，所以直線AB的方程為，即.把代入得，所以=.故答案為：本題主要考查拋物線的弦長的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.14、【解析】

先求出男生的抽樣比,再乘以樣本容量即可得到應(yīng)抽取的男生人數(shù).【詳解】因為某校高一年級有名學(xué)生，其中女生人,所以其中男生有180-80=100人,所以男生抽樣比為,若抽取一個容量為的樣本,則應(yīng)抽取的男生人數(shù)是人.故答案為:25.本題考查了分層抽樣,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

根據(jù)，確定參數(shù)的取值范圍.【詳解】若滿足，則.故答案為：本題考查根據(jù)集合的包含關(guān)系，求參數(shù)的取值范圍，屬于簡單題型.16、是自然數(shù).【解析】分析：直接利用演繹推理的三段論寫出小前提即可.詳解：由演繹推理的三段論可知：“自然數(shù)是整數(shù)，是自然數(shù)，是整數(shù)”，故答案為是自然數(shù).點睛：本題考查演繹推理的三段論的應(yīng)用，考查對基本知識的掌握情況.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）22.5元.【解析】

（1）先列出列聯(lián)表，再根據(jù)列表求出K2=253＞7.879，從而有99.5%的把握認(rèn)為晶圓的制作效果與使用西門子制程這一工藝技術(shù)有關(guān)．（2）設(shè)Ai表示檢測到第i個環(huán)節(jié)有問題，（i＝1，2，3，4），X表示成為一個合格的多晶圓需消耗的費用，則X的可能取值為：0，10，20，30，40，50，60，70【詳解】（1）使用工藝不使用工藝合格合格281240不合格2810合計302050K故有99.5%的把握認(rèn)為單晶的晶圓的制作效果與使用西門子制程這一工藝技術(shù)有關(guān).（2）設(shè)X表示成為一個合格的多晶的晶圓還需要消耗的費用，則X的可能取值為：0，10，20，30，40，50，60，70.P(X=0)=P(X=10)=P(X=20)=P(X=30)=P(X=40)=P(X=50)=P(X=60)=P(X=70)=所以X分布列為：X010203040506070P248361218631故E(X)=0×24故平均還需要耗費22.5元.本題考查獨立檢驗的應(yīng)用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．18、（1）（2）或【解析】

(1)先求出的值，再寫出一個以為其中一根的實系數(shù)一元二次方程；(2)設(shè)，求出即得解.【詳解】(1)所以，所以.所以.一個以為其中一根的實系數(shù)一元二次方程是.(2)設(shè)，所以所以，所以或.故純虛數(shù)的平方根為或.本題主要考查純虛數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的運算，考查復(fù)數(shù)的平方根的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.19、（1）（2）4（3）1，【解析】

分析：（1）化圓的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)，可得拋物線的焦點坐標(biāo)，從而可得拋物線方程；（2）設(shè)點在拋物線的準(zhǔn)線上的射影為點，根據(jù)拋物線定義知,要使的值最小，必三點共線，從而可得結(jié)果；（3），設(shè)，，根據(jù)焦半徑公式可得，利用韋達(dá)定理化簡可得結(jié)果.詳解：（1）由已知易得，則求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程C為.（2）設(shè)點P在拋物線C的準(zhǔn)線上的攝影為點B，根據(jù)拋物線定義知要使的值最小，必三點共線.可得，.即此時.（3），設(shè)所以.點睛：本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡單性質(zhì)及利用拋物線的定義求最值，屬于難題.與拋物線的定義有關(guān)的最值問題常常實現(xiàn)由點到點的距離與點到直線的距離的轉(zhuǎn)化：(1)將拋物線上的點到準(zhǔn)線的距化為該點到焦點的距離，構(gòu)造出“兩點之間線段最短”，使問題得解；(2)將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，利用“點與直線上所有點的連線中垂線段最短”原理解決.本題是將到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，再根據(jù)幾何意義解題的.20、（1）；（2）；（3）見解析．【解析】分析：（1）賦值法：求（2）先求通項公式，利用解出，設(shè)第項的系數(shù)最大，所以（3）時，，利用組合數(shù)的公式化簡求解。詳解：（1），時，，令得，令得，可得；（2），，不妨設(shè)中，則或，中的最大值為；（3）若，，，因為，所以.點睛：（1）二項式定理求系數(shù)和的問題，采用賦值法。（2）求解系數(shù)的最大項，先設(shè)最大項的系數(shù)，注意所求的是第項的系數(shù)，計算不等式采用消去法化簡計算，取整數(shù)。（3）組合數(shù)公式的計算整體變形，構(gòu)造的結(jié)構(gòu)，一般采用計算，不要展開。21、(1)證明見解析.(2).【解析】分析：（1）作Rt△斜邊上的高，連結(jié)，易證平面，從而得證；（2）由四面體的體積為2，，得，所以平面，以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用面的法向量求解二面角的余弦值即可.詳解：解法一：（1）如圖，作Rt△斜邊上的高，連結(jié)．因為，，所以Rt△≌Rt△．可得．所以平面，于是．（2）在Rt△中，因為，，所以，，，△的面積．因為平面，四面體的體積，所以，，，所以平面．以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系．則，，，，，，．設(shè)是平面的法向量，則，即，可取．設(shè)是平面的法向量，則，即，可?。驗?，二面角的平面角為鈍角，所以二面角的余弦值為解法二：（1）因為，，所以Rt△≌Rt△．可得．設(shè)中點為，連結(jié)，，則，，所以平面，，于是．（2）在Rt△中，因為，，所以△面積為．設(shè)到平面距離為，因為四面體的體積，所以．在平面內(nèi)過作，垂足為，因為，，所以．由點到平面距離定義知平面．因為，所以．因為，，所以，，所以，即二面角的余弦值為．點睛：本題主要考查空間位置關(guān)系的證明和空間角的計算，意在考查學(xué)生立體幾何和空間向量的基礎(chǔ)知識的掌握能力和基本的運算能力.證明位置關(guān)系和求空