考研數(shù)2試題及答案

考研數(shù)2試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$在$x=1$處（）A.連續(xù)B.可導(dǎo)C.有定義D.極限存在2.設(shè)函數(shù)$y=e^{2x}$，則$y^\prime$等于（）A.$e^{2x}$B.$2e^{2x}$C.$e^{x}$D.$2e^{x}$3.若$\intf(x)dx=F(x)+C$，則$\intf(2x)dx$等于（）A.$F(2x)+C$B.$\frac{1}{2}F(2x)+C$C.$2F(2x)+C$D.$F(x)+C$4.曲線$y=x^3-3x$的拐點(diǎn)是（）A.$(0,0)$B.$(1,-2)$C.$(-1,2)$D.$(2,2)$5.設(shè)向量組$\alpha_1=(1,1,0)$，$\alpha_2=(0,1,1)$，$\alpha_3=(1,0,1)$，則該向量組（）A.線性相關(guān)B.線性無(wú)關(guān)C.部分相關(guān)D.無(wú)法判斷6.矩陣$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$的特征值為（）A.1，1B.2，2C.1，2D.0，07.當(dāng)$x\to0$時(shí)，$x-\sinx$是$x^3$的（）A.高階無(wú)窮小B.低階無(wú)窮小C.同階但非等價(jià)無(wú)窮小D.等價(jià)無(wú)窮小8.函數(shù)$z=x^2+y^2$在點(diǎn)$(1,1)$處沿向量$\vec{l}=(1,1)$的方向?qū)?shù)為（）A.$2\sqrt{2}$B.$\sqrt{2}$C.2D.49.微分方程$y^{\prime\prime}+y=0$的通解是（）A.$y=C_1\cosx+C_2\sinx$B.$y=C_1e^x+C_2e^{-x}$C.$y=C_1+C_2x$D.$y=C_1x+C_2x^2$10.定積分$\int_{0}^{1}x^2dx$的值為（）A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{1}{2}$C.1D.3二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)連續(xù)的有（）A.$y=\frac{1}{x}$B.$y=\sinx$C.$y=\lnx$D.$y=\sqrt{x}$2.下列哪些是求導(dǎo)公式（）A.$(x^n)^\prime=nx^{n-1}$B.$(\sinx)^\prime=\cosx$C.$(\lnx)^\prime=\frac{1}{x}$D.$(e^x)^\prime=e^x$3.關(guān)于定積分性質(zhì)正確的有（）A.$\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx$（$k$為常數(shù)）B.$\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx$C.$\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx$D.若$f(x)\geq0$，$x\in[a,b]$，則$\int_{a}^f(x)dx\geq0$4.下列向量組可能線性相關(guān)的有（）A.含有零向量的向量組B.向量個(gè)數(shù)大于向量維數(shù)的向量組C.兩個(gè)向量對(duì)應(yīng)分量成比例D.三個(gè)三維向量構(gòu)成的向量組5.矩陣的初等變換包括（）A.交換兩行（列）B.以非零數(shù)$k$乘某一行（列）的所有元素C.把某一行（列）所有元素的$k$倍加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上去D.轉(zhuǎn)置6.下列哪些是多元函數(shù)的概念（）A.偏導(dǎo)數(shù)B.全微分C.方向?qū)?shù)D.二重積分7.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.$y=x^3$B.$y=\sinx$C.$y=\frac{1}{x}$D.$y=\cosx$8.下列關(guān)于極限的運(yùn)算法則正確的是（）A.$\lim\limits_{x\toa}[f(x)+g(x)]=\lim\limits_{x\toa}f(x)+\lim\limits_{x\toa}g(x)$B.$\lim\limits_{x\toa}[f(x)g(x)]=\lim\limits_{x\toa}f(x)\cdot\lim\limits_{x\toa}g(x)$C.若$\lim\limits_{x\toa}g(x)\neq0$，則$\lim\limits_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim\limits_{x\toa}f(x)}{\lim\limits_{x\toa}g(x)}$D.$\lim\limits_{x\toa}kf(x)=k\lim\limits_{x\toa}f(x)$（$k$為常數(shù)）9.微分方程的類型有（）A.一階線性微分方程B.二階常系數(shù)齊次線性微分方程C.可分離變量的微分方程D.全微分方程10.下列關(guān)于函數(shù)極值的說(shuō)法正確的是（）A.駐點(diǎn)一定是極值點(diǎn)B.極值點(diǎn)可能是不可導(dǎo)點(diǎn)C.函數(shù)在極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0D.用二階導(dǎo)數(shù)判斷駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)時(shí)，若二階導(dǎo)數(shù)大于0則為極小值點(diǎn)三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)，則一定在該點(diǎn)連續(xù)。（）2.若$\int_{a}^f(x)dx=0$，則$f(x)$在$[a,b]$上恒為0。（）3.向量組中向量個(gè)數(shù)小于向量維數(shù)時(shí)，向量組一定線性無(wú)關(guān)。（）4.矩陣$A$可逆的充要條件是$|A|\neq0$。（）5.函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$處偏導(dǎo)數(shù)存在，則函數(shù)在該點(diǎn)可微。（）6.無(wú)窮小量與有界函數(shù)的乘積是無(wú)窮小量。（）7.微分方程的通解包含了該方程的所有解。（）8.若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上單調(diào)遞增，則$f^\prime(x)>0$在$[a,b]$上恒成立。（）9.兩個(gè)矩陣等價(jià)，則它們的秩相等。（）10.函數(shù)$y=x^2$在$(-\infty,0)$上是凸函數(shù)。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+1$的單調(diào)區(qū)間和極值。答案：$f^\prime(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$。令$f^\prime(x)=0$，得$x=0$，$x=2$。當(dāng)$x\lt0$或$x\gt2$時(shí)，$f^\prime(x)\gt0$，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)$0\ltx\lt2$時(shí)，$f^\prime(x)\lt0$，函數(shù)單調(diào)遞減。極大值$f(0)=1$，極小值$f(2)=-3$。2.計(jì)算不定積分$\intx\cosxdx$。答案：用分部積分法，設(shè)$u=x$，$dv=\cosxdx$，則$du=dx$，$v=\sinx$。$\intx\cosxdx=x\sinx-\int\sinxdx=x\sinx+\cosx+C$。3.求矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$的逆矩陣。答案：$|A|=1\times4-2\times3=-2$，$A_{11}=4$，$A_{12}=-3$，$A_{21}=-2$，$A_{22}=1$，伴隨矩陣$A^=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}$，$A^{-1}=-\frac{1}{2}A^=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$。4.求函數(shù)$z=x^2+y^2$在約束條件$x+y=1$下的極值。答案：由$x+y=1$得$y=1-x$，代入$z=x^2+y^2$得$z=x^2+(1-x)^2=2x^2-2x+1$。$z^\prime=4x-2$，令$z^\prime=0$，得$x=\frac{1}{2}$，$y=\frac{1}{2}$，極值$z(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)$f(x)=\begin{cases}x^2\sin\frac{1}{x},&x\neq0\\0,&x=0\end{cases}$在$x=0$處的可導(dǎo)性與連續(xù)性。答案：連續(xù)性：$\lim\limits_{x\to0}f(x)=\lim\limits_{x\to0}x^2\sin\frac{1}{x}=0=f(0)$，連續(xù)。可導(dǎo)性：$f^\prime(0)=\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}=0$，可導(dǎo)。2.討論向量組$\alpha_1=(1,1,1)$，$\alpha_2=(1,2,3)$，$\alpha_3=(1,3,t)$的線性相關(guān)性。答案：設(shè)$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=0$，得方程組$\begin{cases}k_1+k_2+k_3=0\\k_1+2k_2+3k_3=0\\k_1+3k_2+tk_3=0\end{cases}$，系數(shù)行列式$D=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&t\end{vmatrix}=t-5$。當(dāng)$t\neq5$時(shí)，$D\neq0$，向量組線性無(wú)關(guān)；當(dāng)$t=5$時(shí)，$D=0$，向量組線性相關(guān)。3.討論多元函數(shù)可微、偏導(dǎo)數(shù)存在、連續(xù)之間的關(guān)系。答案：可微能推出偏導(dǎo)數(shù)存在且函數(shù)連續(xù)；