烏市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案

烏市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sinx\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(3\pi\)D.\(4\pi\)2.若\(a\gtb\)，則下列不等式成立的是（）A.\(a^2\gtb^2\)B.\(ac\gtbc\)C.\(a+c\gtb+c\)D.\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}\)3.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則公差\(d\)為（）A.1B.2C.3D.44.直線\(y=2x+1\)的斜率是（）A.\(\frac{1}{2}\)B.1C.2D.35.圓\((x-1)^2+(y+2)^2=4\)的圓心坐標(biāo)是（）A.\((1,-2)\)B.\((-1,2)\)C.\((1,2)\)D.\((-1,-2)\)6.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(-1,1)\)，則\(\vec{a}+\vec\)等于（）A.\((0,3)\)B.\((0,-3)\)C.\((2,1)\)D.\((2,3)\)7.函數(shù)\(y=\log_2x\)的定義域是（）A.\((0,+\infty)\)B.\((-\infty,0)\)C.\([0,+\infty)\)D.\((-\infty,+\infty)\)8.若\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，且\(\alpha\)是第一象限角，則\(\cos\alpha\)等于（）A.\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)C.\(\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\)D.\(\frac{1}{2}\)9.拋物線\(y^2=4x\)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.\((1,0)\)B.\((0,1)\)C.\((-1,0)\)D.\((0,-1)\)10.從\(5\)名男生和\(3\)名女生中選\(2\)人，恰好一男一女的選法有（）種A.15B.20C.25D.30二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=|x|\)2.關(guān)于直線方程\(Ax+By+C=0\)（\(A\)、\(B\)不同時(shí)為\(0\)），說法正確的有（）A.當(dāng)\(A=0\)時(shí)，直線平行于\(x\)軸B.當(dāng)\(B=0\)時(shí)，直線平行于\(y\)軸C.直線的斜率為\(-\frac{A}{B}\)（\(B\neq0\)）D.直線在\(y\)軸上的截距為\(-\frac{C}{B}\)（\(B\neq0\)）3.以下哪些是等比數(shù)列的性質(zhì)（）A.\(a_n^2=a_{n-1}\cdota_{n+1}\)（\(n\gt1\)）B.若\(m+n=p+q\)，則\(a_m\cdota_n=a_p\cdota_q\)C.前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)（\(q\neq1\)）D.等比數(shù)列的公比\(q\)可以為\(0\)4.對(duì)于函數(shù)\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)，下列說法正確的是（）A.\(A\)決定函數(shù)的振幅B.\(\omega\)決定函數(shù)的周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)C.\(\varphi\)決定函數(shù)的初相D.該函數(shù)的值域是\([-A,A]\)5.以下屬于基本不等式應(yīng)用的有（）A.已知\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，\(x+y=1\)，求\(xy\)的最大值B.已知\(a\)，\(b\)為正實(shí)數(shù)，求\(\frac{a+b}{2}\)與\(\sqrt{ab}\)的大小關(guān)系C.求函數(shù)\(y=x+\frac{1}{x}\)（\(x\gt0\)）的最小值D.已知\(x\)，\(y\)滿足\(x^2+y^2=1\)，求\(x+y\)的最大值6.已知向量\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，則下列運(yùn)算正確的是（）A.\(\vec{a}\cdot\vec=x_1x_2+y_1y_2\)B.若\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(x_1y_2-x_2y_1=0\)C.\(|\vec{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}\)D.\(\vec{a}-\vec=(x_1-x_2,y_1-y_2)\)7.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a\gtb\gt0\)）的性質(zhì)有（）A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)為\(2a\)B.短軸長(zhǎng)為\(2b\)C.焦距為\(2c\)（\(c^2=a^2-b^2\)）D.離心率\(e=\frac{c}{a}\)，\(0\lte\lt1\)8.下列關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說法正確的是（）A.函數(shù)\(y=x^n\)的導(dǎo)數(shù)\(y^\prime=nx^{n-1}\)B.導(dǎo)數(shù)可以用來求函數(shù)的切線斜率C.若\(f^\prime(x)\gt0\)，則函數(shù)\(f(x)\)在相應(yīng)區(qū)間單調(diào)遞增D.導(dǎo)數(shù)為\(0\)的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)9.對(duì)于復(fù)數(shù)\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)），下列說法正確的是（）A.實(shí)部是\(a\)B.虛部是\(b\)C.\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)D.若\(z_1=a_1+b_1i\)，\(z_2=a_2+b_2i\)，則\(z_1+z_2=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i\)10.以下哪些曲線是圓錐曲線（）A.圓B.橢圓C.拋物線D.雙曲線三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.若\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，則\(a-c\gtb-d\)。（）3.函數(shù)\(y=\tanx\)的定義域是\(\{x|x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\}\)。（）4.若直線\(l_1\)：\(A_1x+B_1y+C_1=0\)與\(l_2\)：\(A_2x+B_2y+C_2=0\)平行，則\(\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\neq\frac{C_1}{C_2}\)。（）5.等比數(shù)列的首項(xiàng)不能為\(0\)。（）6.函數(shù)\(y=\cos^2x-\sin^2x\)的最小正周期是\(\pi\)。（）7.向量\(\vec{a}\)與\(\vec\)的夾角\(\theta\)的范圍是\([0,\pi]\)。（）8.橢圓\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1\)的焦點(diǎn)在\(x\)軸上。（）9.若函數(shù)\(f(x)\)在\(x=x_0\)處可導(dǎo)，且\(f^\prime(x_0)=0\)，則\(x=x_0\)是函數(shù)的極值點(diǎn)。（）10.復(fù)數(shù)\(z=3+4i\)的共軛復(fù)數(shù)是\(3-4i\)。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=3x^2-2x+1\)的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)。答案：對(duì)于二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)，對(duì)稱軸\(x=-\frac{2a}\)，此函數(shù)\(a=3\)，\(b=-2\)，對(duì)稱軸\(x=\frac{1}{3}\)。把\(x=\frac{1}{3}\)代入函數(shù)得\(y=\frac{2}{3}\)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為\((\frac{1}{3},\frac{2}{3})\)。2.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_5=9\)，求其通項(xiàng)公式\(a_n\)。答案：先求公差\(d\)，\(a_5=a_1+4d\)，即\(9=1+4d\)，解得\(d=2\)。通項(xiàng)公式\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。3.求過點(diǎn)\((1,2)\)且斜率為\(3\)的直線方程。答案：由直線的點(diǎn)斜式方程\(y-y_0=k(x-x_0)\)（\((x_0,y_0)\)為直線上一點(diǎn)，\(k\)為斜率），已知點(diǎn)\((1,2)\)，斜率\(k=3\)，則直線方程為\(y-2=3(x-1)\)，整理得\(3x-y-1=0\)。4.計(jì)算\(\int_{0}^{1}(x^2+1)dx\)。答案：根據(jù)積分公式\(\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C\)，\(\int_{0}^{1}(x^2+1)dx=(\frac{1}{3}x^3+x)\big|_{0}^{1}=(\frac{1}{3}+1)-(0+0)=\frac{4}{3}\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論基本不等式\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)（\(a,b\gt0\)）在實(shí)際生活中的應(yīng)用。答案：在實(shí)際中，比如建筑用料問題，已知矩形面積求最小周長(zhǎng)用料時(shí)可利用此不等式。設(shè)長(zhǎng)為\(a\)，寬為\(b\)，面積\(S=ab\)一定，周長(zhǎng)\(L=2(a+b)\)，由基本不等式可得\(a+b\geq2\sqrt{ab}\)，可據(jù)此求周長(zhǎng)最小值。2.探討直線與圓的位置關(guān)系有哪些判斷方法。答案：一是幾何法，比較圓心到直線的距離\(d\)與圓半徑\(r\)的大小，\(d\gtr\)時(shí)相離，\(d=r\)時(shí)相切，\(d\ltr\)時(shí)相交；二是代數(shù)法，聯(lián)立直線與圓的方程，消元后看所得一元二次方程的判別式\(\Delta\)，\(\Delta\gt0\)相交，\(\Delta=0\)相切，\(\Delta\lt0\)相離。3.說說你對(duì)函數(shù)單調(diào)性在高中數(shù)學(xué)中的理解及應(yīng)用場(chǎng)景。答案：函數(shù)單調(diào)性反映函數(shù)值隨自變量變化的趨勢(shì)。在高中數(shù)學(xué)中，可用于比較函數(shù)值大小，求解函數(shù)最值。比如求函數(shù)在某區(qū)間上的最值，通過判斷單調(diào)性確定增減區(qū)間，進(jìn)而找到最值點(diǎn)。也可用于解不等式，利用單調(diào)性去掉函數(shù)符號(hào)求解。4.談?wù)劦缺葦?shù)列和等差數(shù)列在性質(zhì)上的異同點(diǎn)。答案：相同點(diǎn)：都有通項(xiàng)公式來表示數(shù)列中項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系。不同點(diǎn)：等差數(shù)列是后一項(xiàng)與前一項(xiàng)差值為定值，等比數(shù)列是后一項(xiàng)與前一項(xiàng)比值為定值。等差數(shù)列有等差