高中一年級(jí)數(shù)學(xué)《函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系(2)》

函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系(2)

高一年級(jí)數(shù)學(xué)主講人：

一、復(fù)習(xí)1.函數(shù)的零點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)的定義:一般地，如果函數(shù)y＝f(x)在實(shí)數(shù)α處的函數(shù)值等于零，即f(α)＝0，則α叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn).2.零點(diǎn)存在定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的，并且f(a)f(b)<0(即在區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值異號(hào))，則函數(shù)在區(qū)間(a，b)中至少有一個(gè)零點(diǎn)，即?x0∈(a，b)，

f(x0)＝0.練習(xí)1.若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b的零點(diǎn)是2和－4，則a＝____，b＝_____.解析：∵2，?4是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，∴f(2)＝0，f(?4)＝0，即

解得練習(xí)2.已知函數(shù)f(x)的部分x、f(x)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表:則函數(shù)f(x)存在零點(diǎn)的區(qū)間為()A.[1,2]和[2,3] B.[2,3]和[3,4] C.[2,3],[3,4]和[4,5] D.以上均有可能答案：Dx123456f(x)136.13615.552-3.9210.88-52.488-232.064（一）二分法1.二分法的概念對(duì)于在區(qū)間

上連續(xù)不斷且f(a)f(b)＜0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近為零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.由函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)的方程根的關(guān)系，可用二分法來求方程的近似解.例1.求函數(shù)f(x)=x3?x?1在區(qū)間[1,1.5]內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)(精確度0.1).解：由于f(1)=1?1?1=?1<0,

f(1.5)=3.375?1.5?1=0.875>0,

∴f(x)在區(qū)間[1,1.5]上存在零點(diǎn),

取區(qū)間[1,1.5]作為計(jì)算的初始區(qū)間,

用二分法逐次計(jì)算列表如下:端(中)點(diǎn)坐標(biāo)中點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)零點(diǎn)所在區(qū)間

[1,1.5]1.25f(1.25)<0[1.25,1.5]1.375f(1.375)>0[1.25,1.375]1.3125f(1.3125)<0[1.3125,1.375]1.34175f(1.34375)>0[1.3125,1.34375]∵1.3125≈1.3,1.34375≈1.3,即兩端精確到0.1時(shí)的近似值相等了,∴結(jié)束，且知:近似解為1.3.

例2.給出四個(gè)函數(shù)圖像，不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的是()答案AABCD練習(xí).求函數(shù)f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一個(gè)正的零點(diǎn)(精確到0.1).解：由于f(1)=?6＜0，f(2)＝4＞0，可取區(qū)間[1，2]作為計(jì)算的初始區(qū)間.用二分法逐次計(jì)算，列表如下：至此可以看出，區(qū)間[1.71875,1.734375]的左右端點(diǎn)精確到0.1的近似值都為1.7，所以1.7就是所求函數(shù)零點(diǎn)精確到0.1的實(shí)數(shù)解，即為函數(shù)的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn).例3.若函數(shù)f(x)＝ax2?x?1僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：①若a＝0，則f(x)＝?x?1為一次函數(shù)，易知函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)；（二）零點(diǎn)綜合應(yīng)用②若a≠0，則函數(shù)f(x)為二次函數(shù)，若其只有一個(gè)零點(diǎn)，則方程ax2?x?1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故判別式

綜上，當(dāng)

或

時(shí)，函數(shù)f(x)僅有一個(gè)零點(diǎn).例4.若二次函數(shù)f(x)＝x2?2x＋m在區(qū)間(0,4)上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解析：m＝?x2＋2x在(0,4)上有解，

又?x2＋2x＝?(x?1)2＋1，∴y＝?x2＋2x在(0,4)上的值域?yàn)??8,1]，∴?8<m≤1.例5.已知關(guān)于x的二次方程ax2

?

2(a＋1)x＋a?1＝0有兩個(gè)根，且一個(gè)根大于2，另一個(gè)根小于2，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:令f(x)＝ax2?2(a＋1)x＋a?1，依題意知，函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，且一個(gè)零點(diǎn)大于2，一個(gè)零點(diǎn)小于2.∴f(x)的大致圖象如圖所示：

或,即

或解得0＜a＜5，∴a的取值范圍為(0,5).則a應(yīng)滿足例6.若函數(shù)f(x)＝(m?2)x2＋mx＋2m＋1的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間(?1,0)和區(qū)間(1,2)內(nèi)，則m的取值范圍是_____．解析：依題意，結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象分析可知，m需滿足即解得:課堂小結(jié)1.判斷一個(gè)函數(shù)能否用二分法求其零點(diǎn)的依據(jù)是：其圖象在零點(diǎn)附近是連續(xù)不斷的，且該零點(diǎn)為變號(hào)零點(diǎn).因此，用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的方法僅對(duì)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)適合.2.二分法的實(shí)質(zhì)是通過“取中點(diǎn)”，不斷縮小零點(diǎn)所在區(qū)間的范圍.在選擇區(qū)間[a，b]時(shí)要使其長(zhǎng)度盡可能小，以減少運(yùn)算次數(shù).當(dāng)區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)的值按照給定的精確度所取的近似值相同時(shí)，這個(gè)相同的近似值就是函數(shù)的近似零點(diǎn).3.在求和函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問題中，一