遼寧省名校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月聯(lián)考 數(shù)學(xué)試題（含解析）

遼寧省名校聯(lián)盟2024?2025學(xué)年高一下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知扇形弧長為，圓心角為，則該扇形面積為（

）A． B． C． D．2．下列函數(shù)既是奇函數(shù)又在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．3．為了得到函數(shù)的圖象，只要把的圖象上所有的點(diǎn)（

）A．向右平移個(gè)單位長度 B．向左平移個(gè)單位長度C．向左平移個(gè)單位長度 D．向右平移個(gè)單位長度4．已知，，且，則（

）A．－3 B．3 C． D．5．的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．6．如圖，在中，，，，則（

）A． B． C．5 D．157．已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)，且，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．是第四象限角 B． C． D．8．已知為的外接圓圓心，若，，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．二、多選題9．對(duì)任意向量，，，下列關(guān)系式中正確的是（

）A． B．C． D．10．對(duì)于函數(shù)，下列說法中正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為 B．函數(shù)在上單調(diào)遞減C．函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸是直線 D．函數(shù)在上有4個(gè)零點(diǎn)11．函數(shù)的部分圖象如圖所示，為圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)，，分別為圖象的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)，若，則下列說法中正確的有（

）A． B．的面積為C． D．是的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心三、填空題12．已知，則．13．已知，．若，，則的值是．14．已知向量，滿足，，則的最大值為，最小值為．四、解答題15．平行四邊形中，，，，求：（1）的值；（2）．16．已知，對(duì)任意都有．（1）求的值；（2）若當(dāng)時(shí)，方程有唯一實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．17．已知向量，，且與的夾角為．（1）求；（2）若與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．某游樂場(chǎng)內(nèi)有一直徑為的摩天輪，已知軸心到地面的高度為．開啟后按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置時(shí)進(jìn)艙，轉(zhuǎn)一周大約需要．（1）一游客坐上摩天輪的座艙，開始轉(zhuǎn)動(dòng)后距離地面的高度為，求轉(zhuǎn)動(dòng)一周過程中，關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)時(shí)，求此游客距離地面的高度；（3）在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周過程中，此游客距離地面高度不少于的時(shí)間有多長？19．設(shè)平面內(nèi)兩個(gè)非零向量的夾角為，定義一種運(yùn)算“”：．試求解下列問題，(1)已知向量滿足，求的值；(2)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，求的值；(3)已知向量，求的最小值.

參考答案1．【答案】C【詳解】設(shè)扇形的半徑為，則，解得，所以扇形的面積為．故選C.2．【答案】D【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由可得，，所以，函數(shù)的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.又，所以，函數(shù)為偶函數(shù).故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，易知函數(shù)的定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.又，所以，函數(shù)為奇函數(shù).又，所以.正弦函數(shù)在上既有增區(qū)間又有減區(qū)間，不滿足題目要求，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，易知函數(shù)的定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.又，所以，函數(shù)為偶函數(shù).故C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，易知函數(shù)的定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.又，所以，函數(shù)為奇函數(shù).又，所以.正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，故D正確.故選D.3．【答案】A【詳解】只要把的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度即可得到函數(shù)的圖象，故選A.4．【答案】B【詳解】由已知，可得，即，整理可得.所以.故選B.5．【答案】A【詳解】要使函數(shù)有意義，則應(yīng)有.由正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)解可得，，所以，函數(shù)的定義域?yàn)?故選A.6．【答案】C【詳解】由得，，所以，即，所以，又，所以，所以，故選C．7．【答案】B【詳解】因?yàn)?，又因?yàn)椋椎媒獾?，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以是第四象限角，且，所以故選B8．【答案】A【詳解】因?yàn)?，故為的中點(diǎn)，而為外心，故為直角三角形，且，取的中點(diǎn)為，連接，則，因?yàn)?，故，故，而為銳角，故，故，所以，而向量在向量上的投影向量為，故選A．9．【答案】CD【詳解】對(duì)于A，，，所以不一定成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，但與不一定相等，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，其中為的夾角，因?yàn)椋傻?，所以恒成立，故C正確；對(duì)于D，根據(jù)向量減法可得：，當(dāng)且僅當(dāng)同向或中有零向量時(shí)等號(hào)成立，故D正確；故選CD．10．【答案】BCD【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，易知函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，作出函?shù)的圖象如下圖所示：所以，函數(shù)的最小正周期為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椋?，函?shù)的一條對(duì)稱軸為直線，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由，解得，當(dāng)時(shí)，，可得，解得，所以，函數(shù)在上有4個(gè)零點(diǎn)，故D正確；故選BCD．11．【答案】AB【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由圖象可知，函數(shù)的最大值為，最小值為，所以.故A正確；對(duì)于B項(xiàng)，不妨設(shè)，，，且，易知.則，，所以，.又，所以有，整理可得.因?yàn)?，所以?根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，所以，有，，，的面積為.故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，由B可知，，所以，.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，由前分析可知，，又函數(shù)圖象過點(diǎn)，所以有，所以有，解得，即.又，所以，.由可得，.令可得，，所以，不是的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心.故D錯(cuò)誤.故選AB.12．【答案】/【詳解】由已知可知.則.代入可得，.13．【答案】【詳解】因?yàn)椋裕?又，所以.所以，，.因?yàn)椋?，所以，，所以?因?yàn)椋?，所?又，，所以.14．【答案】//【詳解】易知，所以有.所以，，當(dāng)且僅當(dāng)同向時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)取最大值3，取最大值為；所以，，當(dāng)且僅當(dāng)反向時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)取最小值1，取最小值為.15．【答案】（1）12（2）【詳解】（1）

易知，.（2）由已知可得，所以，.在中，有，，，由余弦定理及其推論可得.16．【答案】（1）（2）或【詳解】（1）由已知可得，是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱軸.根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱性可知，.又，所以，.（2）當(dāng)時(shí)，，方程有唯一實(shí)根，可轉(zhuǎn)化為與的圖象有唯一交點(diǎn).令，作出函數(shù)的圖象如下圖有圖象可知，當(dāng)或，即或時(shí)，函數(shù)與的圖象有唯一交點(diǎn)，即方程有唯一實(shí)根.17．【答案】（1）（2）【詳解】（1）向量，可得，且，因?yàn)榕c的角為，可得，解得，所以，則，所以．（2）由向量，可得，由，解得，當(dāng)向量與共線時(shí)，可得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．18．【答案】（1），（2）（3）【詳解】（1）設(shè)，由題意知：，，故，，，可取，，故解析式為，．（2），所以當(dāng)時(shí)，求此游客距離地面的高度為．（3）由題得，，即，解得，所以此游客距離地面高度