2025年青島版八年級數(shù)學(xué)下冊 專項突破提升（二） 勾股定理的綜合應(yīng)用

專項突破提升（二）勾股定理的綜合應(yīng)用

建議用時：90分鐘滿分：154分

類型一利用勾股定理求線段長

1.（8分）如圖,AB=3C=CD=DE=ER,ZCBA=ZDCA=ZEDA=ZFEA=90°,

以點A為圓心、AF長為半徑作圓弧與數(shù)軸交于點P。若點A表示的數(shù)為0,點

3表示的數(shù)為1,求AP的長。

解：在RtZXABC中，由勾股定理，得AC=V12+12=魚,

22

同理，AD=J(V2)+1=V3,

+12=2,AF=V22+l2=V5o

由題意，AP=AF=V5o

2.（10分）如圖，在四邊形A3CD中，AB=13,BC=5,CD=15,AD=9,對角

ACXBCo

⑴求AC的長；

⑵求四邊形ABC。的面積。

AD

RC

解：(1)：A3=13,BC=5,AC±BC,

2222

：.AC=yjAB-BC=V13-5=12o

(2)VAC=12,CD=15,AD=9,

：.CD2=AC2+AD2,

...△ADC是直角三角形，ZCAD=90°,

四邊形ABCD的面積為5c?AC+-AD?AC=-X5X12+ix9X12=84O

2222

類型二利用勾股定理的逆定理判斷三角形形狀

3.（4分）已知三角形的三邊長分別為a,b,c,若（a—5）2+|〃一12|+A/C—13=0,

則△43。是（C）

A.以a為斜邊的直角三角形

B.以人為斜邊的直角三角形

C.以c為斜邊的直角三角形

D.不是直角三角形

4.（10分）如圖，已知正方形A3CD的邊長為4,E為A3中點，R為AD上的一

點，5.AF=-AB,求證：ZFEC=90°o

4

證明：?.,正方形A3CD的邊長為4,SLAF=-AB,

4

：.AF=1,FD=3,DC=BC=4O

,：E為A3的中點，：.AE=EB=2O

在RtZ\A"中，由勾股定理，得EF=7AF2+AE2=7r+22=遍,

在中，由勾股定理，得72+￡）C2=A/32+42=5,

在RtAEBC中，由勾股定理，得EC=y/EB2+BC2=V22+42=2瓜

:.EC1+EF2=FC2,

:./XEFC是以EC,ER為直角邊的直角三角形，

：.ZFEC=90°o

類型三利用勾股定理解決立體圖形的展開問題

5.（4分）如圖，一圓柱體的底面周長為24cm,高AB為5cm,3c是直徑，一只

螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點C的最短路程是（C）

A.6cmB.12cm

C.13cmD.16cm

6.（10分）一只螞蟻沿圖1中正方體的表面從頂點A爬到頂點B,圖2是圖1正

方體的表面展開圖，設(shè)正方體的棱長為1。

⑴在圖2中標出點3的位置；

⑵求螞蟻從點A到點B爬行的最短路徑長。

圖1圖2

解：（1）如圖，點3即為所求。

（2）如圖,連接A及

?.?正方體的棱長為1,

：.AC=2,BC=1,

：.AB=yJI2+22=V5,

...螞蟻從點A到點B爬行的最短路徑長是V5o

7.（10分）如圖，長方體的高為5cm,底面長為4cm,寬為1cm。

⑴點4與點C2之間的距離是多少？

⑵若一只螞蟻從點上爬到點Q,則爬行的最短路程是多少？

彳2B?

解：（I）：長方體的高為5cm,底面長為4cm,寬為1cm,

...A2c2=V42+l2=舊(cm),

22

.,.AiC2=y/A1A^+A2C^=l5+(V17)=V42(cm),

.?.點4與點。2之間的距離是用emo

(2)如圖1,A2G=，52+52=5所(cm)。

22

如圖2,A2C1=V9+I=V82(cm)o

22

如圖3,A2C1=V6+4=2V13(cm)o

V5V2<2V13<V82,I.一只螞蟻從點A2爬到點。，爬行的最短路程是5聲cm。

圖1圖2圖3

類型四利用勾股定理解決平面圖形的折疊問題

8.（4分）如圖，在矩形A3CD中，AB=3cm,AD=9cm,將此矩形折疊，使點

3與點。重合，折痕為EE則△ABE的面積為（C）

A.3cm2

C.6cm2

9.（8分）如圖，在矩形紙片A3CD中，已知AD=8,折疊紙片使邊A3與對角線

AC重合，點3落在點R處，折痕為AE,且所=3,求A3的長。

解：?四邊形A3CD是矩形，AD=8,

：.BC=8o

AAEF是由AAEB翻折而成,

：.BE=EF=3,AB=AF,是直角三角形,

CE=BC~BE=8-3=5o

在RtACEF中，CF=y/CE2-EF2=V52-32=4。

設(shè)A3=x。在RtZXABC中，AC1=AB2+BC~,

即(x+4)2=f+82。

解得x=6oAB=6o

類型五勾股定理及其逆定理的綜合應(yīng)用

10.(8分)一塊試驗田的形狀如圖，已知NADC=90。，AB=24m,3c=26m,

AD=6m,CD=8m,求這塊試驗田的面積。

解：如圖，連接AC。

：ZADC=90°,

：.△ADC為直角三角形。

在RtAADC中,AD=6m,CD=8m,

根據(jù)勾股定理，得AC=AM￡)2+DC2=[62+82=10(m)。

又,.,AB=24m,BC=26m,

.\102+242=262,

:.AB2+AC2=CB2,

...△ACB為直角三角形，ZCAB=90°,

：.SABCD=S^ABC+SMCD=~AB>AC+-AD?CD=iX24X10+iX6X8=

2222

144(m2)o

答：這塊試驗田的面積是144m2。

IL(10分)如圖，等腰三角形ABC的底邊3C=10cm,。是腰A3上一點，且

C￡)=8cm,BD=6cmo

(1)求證：△BDC是直角三角形；

(2)求AC的長。

A

⑴證明：???3￡>2+。02=62+82=100,

3c2=102=100,

：.BD2+DC2=BC2,

...△BDC是直角三角形，ZBDC=90°o

(2)解：'：ZBDC=90°,

：.ZADC=90°o

在RtZXADC中，由勾股定理，得A￡>2+CD2=A02。

VCD=8cm,BD=6cm,

：.AB=AC=AD+BD=(AD+6)cm,

即AD2+82=(AD+6)2,解得AD=1。

7”

.*.AC=AD+6=1+6=y(cm)o

12.(10分)在一條東西走向的河的一側(cè)有一村莊C,河邊原有兩個取水點A,B,

其中AB=AC。由于某種原因，由。到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，某村為方便村民取

水，決定在河邊新建一個取水點H(點A,H,B在一條直線上)，并新修一條路

CHo測得C3=3km,CH=2Akm,HB=1.8kmo

(1)問：CH是否為從村莊C到河邊的最近路？請通過計算加以說明。

(2)求原來的路線AC的長。

解：（1）是。理由：在△CHB中，

"：CH2+BH2=2.42+1.82=9,BC2=9,

:.CH2+BH2=BC2,

是直角三角形，/CHB=90。,

CH±AB,

：.CH是從村莊C到河邊的最近路。

（2）設(shè)AC=xkm,則AH=（xT.8）km。

在RtAACH中，

由勾股定理，得AC2=A42+CH2,

.".X2=（X—1.8）2+2.42,解得X=2.5。

答：原來的路線AC的長為2.5km。

類型六勾股定理在數(shù)軸或網(wǎng)格中的應(yīng)用

13.（4分）如圖，數(shù)軸上的點A表示的數(shù)是一2,點3表示的數(shù)是1,CBLAB于

點、B,且3c=2,以點A為圓心、AC長為半徑畫弧交數(shù)軸于點。，則點。表示

的數(shù)為（C）

-3-2-10

A.V13B.V134-2

C.V13-2D.2

14.（8分）如圖，在4X4的正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都是1,畫出兩個

邊長為無理數(shù)的兩個正方形，且使它的每個頂點都在小正方形的頂點上，并求出

所畫正方形的邊長。

邊長為

解：如圖所示。（答案不唯一）

邊長為魚邊長為武

15.（10分）如圖，在平面直角坐標系中有一個△ABC。

⑴寫出△ABC各頂點的坐標；

(2)寫出過網(wǎng)格交點且兩端點分別在AB,AC上的線段DE,CR的長;

(3)求△ABC的面積。

解：(1)4(4,7),B(l,1),C(8,3)o

(2)由題中圖形，可知DE=3,CF=6o

(3)SAABC=SACFB+5AACF=jX6X(2+4)=18。

類型七勾股定理中的分類討論思想

16.(4分)若RtAABC的兩邊長為5和12,則第三邊長為(D)

A.13B.26

C.VT19D.13或71再

17.(4分)在△ABC中，AB=15,AC=13,高AD=12,則BC的長14或4。

類型八勾股定理的實際應(yīng)用

18.(8分)某位數(shù)學(xué)家曾提出過“荷花問題”：“平平湖水清可鑒，面上半尺生

紅蓮；出泥不染亭亭立，忽被強風(fēng)吹一邊；漁人觀看忙向前，花離原位二尺遠;

能算諸君請解題，湖水如何知深淺？”請用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識回答這個問題。

解：如圖,

由題意，知AC=2尺，AD=0.5尺。

在RtZ\ACD中，由勾股定理，得C￡>2=AC2—A￡)2=22—0.52=3.75。

設(shè)湖水深BD為x尺,則BC為（x+0.5）尺。

在RtABCD中，由勾股定理，得BD2+CD2=BC2,

即爐+3.75=（》+0.5）2,

解得x=3.5o

答：湖水深3.5尺。

19.（8分）如圖，秋千。4靜止的時候，踏板離地高一尺（AC=1尺），將它往前推

進兩步（E3=10尺），此時踏板升高離地五尺（3。=5尺），求秋千繩索（。4或。3）

的長度。

解：設(shè)OAOB=x尺。

?：EC=BD=5尺