2025年中考數(shù)學(xué)中考專項特訓(xùn)-命題與證明

2025年中考數(shù)學(xué)中考必考知識點專題特訓(xùn)

命題與證明

1.請將下列命題改寫成“如果……，那么……”的形式，再指出命題的條件和結(jié)論.

(1)同號兩數(shù)的和一定不是負(fù)數(shù)；

(2)若x=2,則l-5x=O；

(3)互為倒數(shù)的兩個數(shù)的積為1.

2.舉反例說明下列命題是假命題.

(1)若爐=0.16,則x=0.4.

(2)如果Zl+/2=88。，那么Nlw/2.

3.如圖，直線AB,CD被直線BC所截，分別在ZABC和NBCD的內(nèi)部作射線BE和射線CF.現(xiàn)有以下三個條件:

①AS，BC,C"BC；②Z1=N2;?BE//CF.

⑴請你以①②作為題設(shè)，③作為結(jié)論，用“如果…那么…”的形式，寫出這個命題；

(2)判斷(1)中命題的真假，若為真命題，請寫出理由；若為假命題，請舉出反例.

4.寫出下列命題的逆命題，并判斷每對互逆命題的真假.

(1)如果"＞方,那么同；

⑵如果。=)，那么/=凡

5.命題：如果。是不等于0的數(shù)，那么(。+1)2一定大于

(1)判斷這個命題的真假；

(2)仿照題中命題，寫一個關(guān)于(a-葉與"大小關(guān)系的真命題.

6.命題“如果。＞。力＞0,那么點＞0”.

(1)寫出這個命題的逆命題.

(2)這個逆命題是真命題嗎？請證明.

7.張老師在黑板上寫了三個算式，希望同學(xué)們認(rèn)真觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律.請你結(jié)合這些算式，解答下列問題:

請觀察以下算式：①32-F=8xl;②52-3=8x2;③72-5?=8x3;……

(1)請你寫出第④個符合上述規(guī)律的算式___________；

(2)驗證規(guī)律：設(shè)兩個連續(xù)奇數(shù)為2”+1.2”-1(其中〃為正整數(shù))，請驗證它們的平方差是8的倍數(shù)；

(3)拓展延伸：命題“兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差是8的倍數(shù)”是命題.(填“真”或“假”)

8.說出下列命題的逆命題，并判斷每對互逆命題的真假：

⑴如果。=0,那么加=0;

(2)周長相等的三角形的面積相等；

(3)如果兩個數(shù)都是正數(shù)，那么這兩個數(shù)的差是正數(shù).

9.如圖，現(xiàn)有以下三個論斷：①2〃CB；②ZB=/DCF；③ZBADMBCD.請以其中兩個論斷為條件，第三個

論斷為結(jié)論構(gòu)造新的命題.

(1)請寫出所有的命題.(可以寫成“如果……那么……”的形式)

(2)請選擇其中一個真命題進行論證.

10.如圖，直線a,b,c被直線加，"所截，有下列命題：

@ZBAC=ZBDC-②NAFE=NFED；@m//n.

從①②③中選出兩個作為條件，第三個作為結(jié)論，寫出一個真命題，并說明理由.

H.數(shù)學(xué)源于生活.如圖，從風(fēng)箏的骨架我們可以抽象出一種特殊的四邊形一箏形.

(1)請你給“箏形”下定義；

(2)根據(jù)你下的定義，畫出兩個不同的“箏形”，并分別用符號語言寫出每個圖中的數(shù)量關(guān)系；

(3)用示意圖表示下列概念之間的關(guān)系：四邊形、箏形、平行四邊形、長方形.

12.某數(shù)學(xué)興趣小組探究命題“兩邊分別平行的兩個角相等”是否是真命題，甲同學(xué)認(rèn)為該命題是真命題，作

圖如圖①所示，已知AB〃DE,AC〃DF,AC與DE交于點G.

(1)根據(jù)甲同學(xué)的作圖及題設(shè)，求證：

(2)乙同學(xué)對甲同學(xué)的判斷提出質(zhì)疑，認(rèn)為該命題不一定成立，是假命題，作圖如圖②所示，題設(shè)與甲同學(xué)相

同，得到NAW/D,根據(jù)乙同學(xué)的作圖，試判斷原命題是否是真命題，并說明理由.

13.反證法是數(shù)學(xué)證明的一種重要方法.請將下面運用反證法進行證明的過程補全.

已知：在VABC中，AB=AC.求證：ZB<90°.

試卷第2頁，共4頁

證明：假設(shè).

,/AB=AC,

：.ZB=ZC>90°,

/.ZA+ZB+Z01800,

這與.

A不成立.

ZB<90°

14.小穎同學(xué)要證明命題“角的平分線上的點到這個角的兩邊距離相等”是正確的，她先畫出了如圖所示的圖

形，并寫出了不完整的已知和求證：

己知：如圖，NABP=NCBP,點￡)在射線班上，

求證:

(1)補全圖形，已知和求證；

⑵按小穎的想法寫出證明過程.

(3)請寫出“角的平分線上的點到這個角的兩邊距離相等”的逆命題，它是真命題嗎？并加以證明.

15.寫出下列命題的逆命題，并判斷原命題與逆命題的真假.

(1)內(nèi)錯角相等.

(2)若兩個角相加等于180°,則這兩個角互為鄰補角.

16.指出下列命題的題設(shè)和結(jié)論：

(1)如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；

(2)相交的兩條直線一定不平行.

17.用反證法證明"三角形三個內(nèi)角中，至少有一個內(nèi)角小于或等于60。.”

已知：/A,NB,NC是VABC的內(nèi)角.

求證：/A,NB,NC中至少有一個內(nèi)角小于或等于60。.

18.寫出下列命題的逆命題，并判斷真假.

⑴三角形三個內(nèi)角的和等于180。；

(2)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.

19.反證法的思想也時常體現(xiàn)在人們的日常交流中，下面是有關(guān)的一個例子：

媽媽：小華，聽說鄰居小芳全家這兒天正在外地旅游.

小華：媽媽，不可能，我昨天和今天上午都還在學(xué)校碰到了她和她媽媽呢！

上述對話中，小華要告訴媽媽的命題是什么？他是如何推斷該命題的正確性的？在你的日常生活中也有類似

的例子嗎？請舉一至兩個例子.

20.求證：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.

(1)你會選擇哪一種證明方法？

(2)如果你選擇反證法，先怎樣假設(shè)？結(jié)果和什么產(chǎn)生矛盾？

試卷第4頁，共4頁

參考答案

1.(1)如果兩個數(shù)是同號，那么這兩個數(shù)的和一定不是負(fù)數(shù).條件是兩個數(shù)是同號，結(jié)論是這兩個數(shù)的和一定

不是負(fù)數(shù)

⑵如果x=2,那么l-5x=0.條件是x=2,結(jié)論是l-5x=0

(3)如果兩個數(shù)互為倒數(shù)，那么這兩個數(shù)的積為1.條件是兩個數(shù)互為倒數(shù)，結(jié)論是這兩個數(shù)的積為1

【分析】本題主要考查了命題的相關(guān)知識，掌握命題的定義是解題的關(guān)鍵；

(1)首先分別找出命題的條件和結(jié)論，條件用“如果”開始，結(jié)論用“那么”開始；

(2)首先分別找出命題的條件和結(jié)論，條件用“如果”開始，結(jié)論用“那么”開始；

(3)首先分別找出命題的條件和結(jié)論，條件用“如果”開始，結(jié)論用“那么”開始；

【詳解】(1)解：如果兩個數(shù)是同號，那么這兩個數(shù)的和一定不是負(fù)數(shù).條件是兩個數(shù)是同號，結(jié)論是這兩

個數(shù)的和一定不是負(fù)數(shù)；

(2)解：如果x=2,那么l-5x=0.條件是x=2,結(jié)論是l-5x=0；

(3)解：如果兩個數(shù)互為倒數(shù)，那么這兩個數(shù)的積為1.條件是兩個數(shù)互為倒數(shù)，結(jié)論是這兩個數(shù)的積為1.

2.(l)x=-0.4

(2)Zl=Z2=44°

【分析】本題主要考查假命題的判斷，注意只要舉出一個反例則就可以說明命題是假命題.

(1)由％=-0.4時，爐=o.i6求解即可；

(2)由Z1=N2=44。時，/1+/2=88。求解即可.

【詳解】(1)當(dāng)％=-0.4時，爐=016,

???工不一定等于。4

???命題為假命題；

(2)當(dāng)Z1=N2=44。時，Zl+Z2=88°

；?此時Z1=N2

???命題為假命題.

3.⑴見解析

⑵真命題，理由見解析

【分析】本題主要考查命題和平行線的判定，垂直的定義，

(1)根據(jù)命題的規(guī)則寫出結(jié)論即可；

(2)有垂直得4BC=/PC5=90。，進一步得到NE5C=ZFC3,根據(jù)平行線的判定即可.

【詳解】(1)解：如果AB-LBC,CD1BC,Z1=Z2,那么此〃CF；

(2)解：該命題為真命題，理由如下：

.AB1BC,CDLBC,

:.ZABC=/DCB=90°,

答案第1頁，共10頁

Z1=Z2,

:.ZABC-Z1=ZDCB-Z2,

:.ZEBC=ZFCBf

貝|J3石〃CF.

4.(1)如果時＞例,那么原命題與逆命題都是假命題

(2)如果"=/，那么a=b,原命題是真命題，逆命題是假命題

【分析】本題考查了逆命題，命題的真假，解題關(guān)鍵是寫出原命題的逆命題.

(1)先判斷原命題的真假，再寫出逆命題，再判斷命題的真假；

(2)先判斷原命題的真假，再寫出逆命題，再判斷命題的真假.

【詳解】(1)解：如果那么同＞例，這是假命題，

例如：a=l,b=-2f滿足但不滿足|。|＞例，

其逆命題為：如果|〃|＞網(wǎng)，那么心例,這是假命題，

例如：a=-2fb=\,滿足時＞同，但不滿足

(2)解:如果〃=＞，那么02=死這是真命題，

其逆命題為：如果/=/，那么a=A,這是假命題，

例如：a=2,b=-2,滿足/=凡但不滿足a=b.

5.(1)這是一個假命題

(2)如果〃小于《，則(a-琰＞片.

【分析】本題考查了命題的真假，完全平方公式，整式的化簡，關(guān)鍵是由完全平方公式計算出結(jié)果，才能說

明問題.

(1)由(〃+1)2-/=2〃+1,知2〃+1不一定大于0,即可得到答案；

(2)利用與/大小關(guān)系寫出一個真命題.

【詳解】(1)解：g+i)2_〃

=a2+2a+1-a2

-2a+1,

?:2〃+1不一定大于0,即5+1)2不一定大于

?w?這個命題是假命題，

(2)解:(a-l)2-a2

=/—2a+1—a?

=-2a+1f

當(dāng)-2a+l＞0,即a＜g時，

???如果〃小于!，那么ST)?一定大于

6.(1)如果"＞0,那么。＞o,b＞0

(2)這個命題的逆命題是假命題，證明見解析

答案第2頁，共10頁

【分析】本題考查的是寫出命題的逆命題，判斷一個命題是真命題還是假命題.

(1)逆命題就是題設(shè)和結(jié)論互換，可得逆命題是若必＞0,則。＞。，〃＞0,

(2)舉反列判斷命題真假即可.

【詳解】(1)解：命題“如果。＞0,b＞0,那么曲＞0"

逆命題是“若〃＞0,則。＞0為＞0”，

(2)解：?.?當(dāng)必＞0時，也有。＜0,b＜o(jì),

如：a=—l,b=-2fab=2,ab＞0,而a＜0,b＜0

???“若必＞0,則的結(jié)論不成立，

逆命題是假命題.

7.(1)92-7=8x4

(2)見解析

⑶假

【分析】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，規(guī)律探索問題；

(1)根據(jù)前三個式子的規(guī)律即可寫出第四個式子的規(guī)律；

(2)對于(2〃+1)2-(2”1)2,利用完全平方公式展開，再合并同類項即可；

(3)設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為2”,2n+2,計算(2"+2)2_(2研,根據(jù)結(jié)果即可判斷真假.

【詳解】(1)解：由前三個式子知，第四個式子為：92-72=8x4;

故答案為：92-72=8x4;

(2)解：(2〃+1)2-(2〃-1)2

=4/+4〃+1-(4九2-4〃+1)

=4/+4n+l—4n2+4n—1

=8〃；

而8〃是8的倍數(shù)，貝I](2"+1)。-(21)2是8的倍數(shù)，

即兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù)；

(3)解：設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為2%2"+2,

則(2n+2)2一(2〃y=4w2+8n+4-4n2=4(2九+1),

而%+1是奇數(shù)，故4(2九+1)不是8的倍數(shù)，

即命題：兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差是8的倍數(shù)是假命題；

故答案為：假.

8.⑴見解析

(2)見解析

(3)見解析

【分析】本題考查了逆命題，命題真假的判斷，熟練掌握命題是解題的關(guān)鍵.

(1)先根據(jù)命題與逆命題的關(guān)系寫出逆命題，再判斷真假即可.

答案第3頁，共10頁

(2)先根據(jù)命題與逆命題的關(guān)系寫出逆命題，再判斷真假即可.

(3)先根據(jù)命題與逆命題的關(guān)系寫出逆命題，再判斷真假即可.

【詳解】(1)解：“如果。=0,那么刈=0”的逆命題是“如果"=0,那么。=0”,

原命題是真命題，逆命題是假命題；

(2)解：“周長相等的三角形的面積相等”的逆命題是“面積相等的三角形的周長相等”，

原命題是假命題，逆命題是假命題；

(3)解：“如果兩個數(shù)都是正數(shù)，那么這兩個數(shù)的差是正數(shù)”的逆命題是“如果兩個數(shù)的差是正數(shù)，那么這兩

個數(shù)都是正數(shù)”，

原命題是假命題，逆命題也是假命題.

9.⑴見解析；

(2)見解析.

【分析】本題考查的是命題、平行線的判定和性質(zhì)，掌握命題的概念、平行線的判定定理和性質(zhì)定理是解題

的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)命題的概念按要求解答；

(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)定理、判定定理證明結(jié)論.

【詳解】(1)解：第一種：如果心〃CB,NB=NDCF,那么ZRW=NBCD；

第二種：ZBAD=ZBCD,那么NB=NDCF；

第三種：如果==那么陋〃CB.

(2)解：證明第一種：???4V/CB,

.■.ZBA￡>+ZB=180°,

ZDCF+ZBCD=180°,ZB=ZDCF,

：.ZB+ZBC￡>=180°,

ZBAD=ZBCD-

證明第二種：

:.ZBAD+AB=\m0,

ZBAD=ZBCD,

.-.ZBC￡>+ZB=180o,

AB//CD,

:.ZB=ZDCF；

證明第三種：：NOB+N5CD=180。，ZB=ZDCF9

ZB+ZBCD=180°,

/BAD=/BCD,

ZB+ZBAD=1SO°,

答案第4頁，共10頁

/.AD//CB.

10.見解析

【分析】本題考查命題的證明，根據(jù)命題的定義，選擇條件和結(jié)論，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)，進行證明即

可.

【詳解】從題干中選出其中的兩個作為條件，第三個作為結(jié)論，可以構(gòu)造出3個命題，分別為：①②今③

②③=①①③=②.以上3個命題都是真命題，

①②嗎

-ZAFE=ZFED,

:.b//c,

.\ZCAB+ZABD=180°f

ZBAC=ZBDCf

:.ZABD+ZBDC=18O°,

/.m|n.

②③通

ZAFE=ZFED9

:.b//c,

:.ZCAB+ZABD=1SO°f

.m\\ny

ZABD+ZBDC=180°,

:.ZBAC=ZBDC；

①③處

.m\nf

ZABD+ZBDC=180°,

,/BAC=/BDC,

:.ZBAC+ZABD=1SO°f

:.b//c,

:.ZAFE=ZFED.

11.⑴見詳解

(2)見詳解

(3)見詳解

【分析】該題考查了定義，根據(jù)題意對“箏形”下定義是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)“箏形”的特征表述即可，答案不唯一；

(2)畫出符合題意的圖形，根據(jù)圖象用數(shù)學(xué)符號描述即可；

答案第5頁，共10頁

（3）根據(jù)四邊形、箏形、平行四邊形、長方形的相同特征和不同特征解答即可.

【詳解】（1）解：“箏形”定義：兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”.

（2）不是真命題，見解析

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，對頂角相等，根據(jù)平行線的性質(zhì)找出角度之間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵.

（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)證明即可；

（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)證明即可.

【詳解】（1）解：AB//DE,AC//DFf

ZA=ZCGE,ZD=NCGE,

:.ZA=ZD；

（2）解：兩邊分別平行的兩個角相等是假命題，

如圖②，AB//DE,AC//DFf

ZA+ZDGA=180°,ZD=ZCGE.

.ZDGA=ZCGEf

/.ZA+ZD=180°.

即兩邊分別平行的兩個角相等或互補，原命題不是真命題.

13.ZB>90°；三角形內(nèi)角和定理或三角形的內(nèi)角和等于180。相矛盾；此假設(shè)

【分析】根據(jù)反證法的證明步驟分析即可.

【詳解】解：證明：假設(shè)4290。

VAB=ACf

答案第6頁，共10頁

ZB=ZC>90°,

/.ZA+ZB+Z01800,

這與三角形內(nèi)角和定理或三角形的內(nèi)角和等于180。相矛盾.

此假設(shè)不成立.

ZB<90°,

故答案為：4290。；三角形內(nèi)角和定理或三角形的內(nèi)角和等于180。相矛盾；此假設(shè).

【點睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理，等邊對等角及反證法，反證法的一般步驟是：①假設(shè)命題的結(jié)

論不成立；②從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；③由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定原命題的結(jié)

論正確.

14.(1)見解析

(2)見解析

(3)在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上.它是真命題，證明見解析

【分析】(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)直接畫圖，直接填寫已知條件和結(jié)論即可；

(2)通過證明全等三角形得到邊相等即可；

(3)根據(jù)逆命題的定義直接寫出逆命題，然后證明全等三角形，再證明角平分線即可.

【詳解】(1)補全圖形如圖所示.

己知：如圖，ZABP=NCBP，點D在射線BP上，DEIBA,DFLBC,垂足分別為E,F.

求證：DE=DF.

(2)DE±BA,DF±BC.

ZDEB=NDFB=90。.

在“BED和△BFD中，

ZDEB=NDFB

-ZABP=NCBP

BD=BD

:._BED、BFD(AAS).

DE=DF.

(3)在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上.

它是真命題.

已知：如圖，點尸為-ABC內(nèi)一點，PD±AB,PEJ.BC,垂足分別為Q,E,且=

求證：BP平分/ABC.

證明：：P￡>_LAB,PE_LBC,垂足分別為￡>,E.

答案第7頁，共10頁

/.NBDP=NBEP=90°.

在RtADBP和Rt,EBP中，

fPD=PE

[BP=BP

；,Rt^DBPSSRt.EBP(HL).

.??Z1=Z2(全等三角形的對應(yīng)角相等).

EP平分/ABC.

【點睛】此題考查角平分線的性質(zhì)和判定，解題關(guān)鍵是通過全等三角形證明對應(yīng)邊和對應(yīng)角的等量關(guān)系

15.(1)內(nèi)錯角相等的逆命題是相等的角是內(nèi)錯角，逆命題是假命題，原命題是假命題

(2)若兩個角相加等于180。,則這兩個角互為鄰補角的逆命題是若兩個角互為鄰補角，則兩個角相加等于180。，

逆命題是真命題，原命題是假命題

【分析】(1)先根據(jù)逆命題的定義寫出逆命題，再判斷真假即可；

(2)先根據(jù)逆命題的定義寫出逆命題，再判斷真假即可.

【詳解】(1)解：內(nèi)錯角相等的逆命題是相等的角是內(nèi)錯角，逆命題是假命題，原命題是假命題；

(2)解：若兩個角相加等于180。，則這兩個角互為鄰補角的逆命題是若兩個角互為鄰補角，則兩個角相加等

于180。，逆命題是真命題，原命題是假命題.

【點睛】本題考查原命題、逆命題、互逆命題、命題、真命題、假命題等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會判斷命題

的真假，屬于中考?？碱}型.

16.(1)見詳解

(2)見詳解

【分析】⑴命題是“如果...那么...”，“如果”后面的是題設(shè)，“那么”后面的是結(jié)論;

(2)把命題改寫為“如果…那么...”的形式，從而得到命題的題設(shè)和結(jié)論.

【詳解】(1)解：題設(shè)是兩條直線都與第三條直線平行，結(jié)論是這兩條直線也互相平行；

(2)解：“相交的兩條直線一定不平行”可改寫為“如果兩條直線相交，那么它們一定不平行”，

故題設(shè)是兩條直線相交，結(jié)論是它們一定不平行.

【點睛】本題主要考查了命題的組成，理解命題題設(shè)和結(jié)論的含義是解題關(guān)鍵.

17.見解析

【分析】根據(jù)反證法證明方法，先假設(shè)結(jié)論不成立，然后得到與定理矛盾，從而證得原結(jié)論成立.

【詳解】證明：假設(shè)求證的結(jié)論不成立，那么三角形中所有角都大于60。，

.-.ZA+ZB+ZC>180°,

答案第8頁，共10頁

這與三角形的三內(nèi)角和為180。相矛盾.

;假設(shè)不成立，

.?.三角形三內(nèi)角中至少有一個內(nèi)角小于或等于60度.

【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理考查反證法，解題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟.反證法的步驟是:

（1）假設(shè)結(jié)論不成立；（2）從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；（3）假設(shè)不成立，則結(jié)論成立.在假設(shè)結(jié)論不成立時，要

注意考