2025年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)過關(guān)練：解直角三角形

第18關(guān)解直角三角形

基礎(chǔ)練

考點(diǎn)1銳角三角函數(shù)

“2024云南］如圖在△ABC中，若NB=90o,AB=3,BC=4,則tanA=()

2.[2024重慶江北區(qū)一模]如圖，在RtAABC中,NC=90。若tanB=提則sinA的值為（）

3.[2024天津紅橋區(qū)三模]ttan45°+2sin30°的值為()

A.lB.V3C.2D.2V2

4.[2024河北張家口一模]一架梯子（長度不變）一端放在水平地面上，梯子跟地面所成的銳角為/A,下列關(guān)于/

A的三角函數(shù)值與梯子的傾斜程度之間關(guān)系的敘述，正確的是（）

A.sinA的值越大梯子越陡

B.cosA的值越大梯子越陡

C.tanA的值越小才弟子越陡

D梯子的傾斜程度與NA的三角函數(shù)值無關(guān)

5.[2024廣東廣州二模]在正方形網(wǎng)格中,NAOB如圖放置，則cos/AOB的值為（）

A宿B.『C.iD,2

6.[2024江蘇常州一模]在RSABC中,NC=90。，sin/=芻則tanA二.

考點(diǎn)2解直角三角形

7.[2024甘肅臨夏州]如圖，在△ABC中,AB=AC=5,sinB=:則BC的長是

A.3B.6C.8D.9

BC

8.[2024吉林長春]2024年5月29日16時(shí)12分，“長春凈月一號(hào)”衛(wèi)星搭乘谷神星一號(hào)火箭在黃海海域成功發(fā)射.

當(dāng)火箭上升到點(diǎn)A時(shí)，位于海平面R處的雷達(dá)測(cè)得點(diǎn)R到點(diǎn)A的距離為a千米，仰角為0,則此時(shí)火箭距海平

面的高度AL為（）

A.asinO千米?千米

siny

C.acosO千米Z）.—千米

cost/

9.[2024寧夏]如圖1是三星堆遺址出土的陶本儂），圖2是其示意圖.已知管狀短流AB=2cm,四邊形BCDE是器

身,BE〃CD,BC=DE=11cm,/ABE=12（F,NCBE=80。.器身底部CD距地面的高度為21.5cm，則該陶番管狀短流口A

距地面的高度約為cm（結(jié)果精確到0.1cm）.（參考數(shù)據(jù)：sin80°?0.9848,cos80°?0.1736,tan80°~5.6713,V3

-1.732）

10.[2024四川眉山]如圖，斜坡CD的坡度i=l:2,在斜坡上有一棵垂直于水平面的大樹AB,當(dāng)太陽光與水平面的

夾角為60。時(shí)，大樹在斜坡上的影子BE長為10米、則大樹AB的高為米.

11.如圖，在△ABC中,AD_LBC,AE是BC邊上的中線,AB=10,AD=6,ianNACB=l.

⑴求BC的長；

⑵求sinZDAE的值.

12.2024黑龍江大慶］如圖，CD是一座南北走向的大橋，一輛汽車在筆直的公路1上由北向南行駛，在A處測(cè)

得橋頭C在南偏東30。方向上，繼續(xù)行駛1500米后到達(dá)B處，測(cè)得橋頭C在南偏東60。方向上，橋頭D在南偏東

45。方向上，求大橋CD的長度.（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：V3x1.73）

13.［2024甘肅蘭州］單擺是一種能夠產(chǎn)生往復(fù)擺動(dòng)的裝置、某興趣小組利用擺球和擺線進(jìn)行與單擺相關(guān)的實(shí)驗(yàn)探

究，并撰寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告如下.

實(shí)驗(yàn)主題探究擺球運(yùn)動(dòng)過程中高度的變化

實(shí)驗(yàn)用具擺球，擺線，支架，攝像機(jī)等

如圖1,在支架的橫桿點(diǎn)0處用擺線懸掛一個(gè)擺球，將擺球拉高后松手，擺球開始

往復(fù)運(yùn)動(dòng).（擺線的長度變化忽略不計(jì)）

如圖2,擺球靜止時(shí)的位置為點(diǎn)A，拉緊擺線將擺球拉至點(diǎn)B處,BD±OA.ZBO

實(shí)驗(yàn)說明A=64°,BD=20.5cm;當(dāng)擺球運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C時(shí),NCOA=37o,CE，OA（點(diǎn)O,A,B,C,D,E在同一平

面內(nèi)）

0

區(qū)仔

實(shí)驗(yàn)圖示

圖1圖2

解決問題：根據(jù)以上信息，求ED的長.（結(jié)果精確到0.1cm）

參考數(shù)據(jù)：sin37。加.60,cos37°=0.80,tan37°=0.75,sin64°=0.90,cos64°=0.44,tan64°=2.05.

提升練

14.[2024江蘇常州模擬]將RtAABC的各邊長都擴(kuò)大至原來的2倍，則cosA的值（)

A不變B.變大

C.變小D.無法判斷

15.[2024廣東梅州一模必ABC中,NA,/B都是銳角，且sinX=芋,cosB=抑必ABC的形狀是（）

A.直角三角形

B.鈍角三角形

C.銳角三角形

D.銳角三角形或鈍角三角形

16.[2024廣東深圳二模]如圖是某滑雪場一段雪道的示意圖，該雪道的平均坡角約為20。,在此雪道向下滑行1

00米，高度大約下降了（）

CB

4工米8衛(wèi)工米

sin20cos20

C.lOOsin20。米D.100cos20。米

17J2024湖南]如圖，左圖為《天工開物》記載的用于春（ch6ng）搗谷物的工具——“碓（dui）”的結(jié)構(gòu)簡圖，右圖為

其平面示意圖.已知ABLCD于點(diǎn)B,AB與水平線1相交于點(diǎn)OQELL若BC=4分米,OB=12分米/BOE=60。廁點(diǎn)

C到水平線1的距離CF為分米（結(jié)果用含根號(hào)的式子表示）.

18.[2024山東泰安]在綜合實(shí)踐課上，數(shù)學(xué)興趣小組用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量大汶河某河段的寬度.他們?cè)诤影兑粋?cè)

的瞭望臺(tái)上放飛一只無人機(jī).如圖，無人機(jī)在河上方距水面高60米的點(diǎn)P處測(cè)得瞭望臺(tái)正對(duì)岸A處的俯角為50。，

測(cè)得瞭望臺(tái)頂端C處的俯角為63.6°,已知瞭望臺(tái)BC高12米（圖中點(diǎn)A,B,C,P在同一平面內(nèi)）.那么大汶河此河段的

寬AB為米.（參考數(shù)據(jù)：sin40"?|,sin63.6°?巳tan500儀|,tan63.6°?2）

5017X63.6°

AB

第18題圖第19題圖

19.[2024河南南陽校級(jí)模擬]如圖，在邊長相同的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A,B,C,D都在這些小正方形的頂點(diǎn)

上，AB與CD相交于點(diǎn)P,則tan/APD的值為.

20.[2024江西]將圖1所示的七巧板，拼成圖2所示的四邊形ABCD,連接AC,則tan/CAB=

B

圖2

21.[2024江蘇南京校級(jí)模擬]如圖，在直角三角形ABC中,/C=9（T,BC=3,AC=4,點(diǎn)D是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)/

BDC=%/BAC=|3,有以下結(jié)論：

①0°<P<a<90°,且tana>tan。；

②0°<P<a<90°,且cosa>cos[3;

③當(dāng)D為AC中點(diǎn)時(shí)，sin^DBA=要；

65

④當(dāng)BD平分NCBA時(shí),tan|3=2tana.其中，正確的是.（填序號(hào)）

CDA

22.[2024內(nèi)蒙古通遼]在“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)課上，活動(dòng)小組測(cè)量一棵楊樹的高度.如圖，從C點(diǎn)測(cè)得楊樹底端B

點(diǎn)的仰角是30。，BC長6米，在距離C點(diǎn)4米處的D點(diǎn)測(cè)得楊樹頂端A點(diǎn)的仰角為45°,求楊樹AB的高度（精

確至U01米,AB,BC,CD在同一平面內(nèi)，點(diǎn)C、D在同一水平線上，參考數(shù)據(jù)：V3?1.73）.

23.[2024山東荷澤校級(jí)模擬]已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角NA,NB,NC的對(duì)邊分別為a,b,c.

觀察若/A=35o,/B=45。,

則有sin245°+COS245°=1,

a_b_c

sin35°sin45°sinlOO。'

sinlOO0=sin(35°+45°)=sin35°cos45°+

sin45°cos35°,SA?iBC=-ac-sinB.

模仿：已知乙4=60°,c=|a.

⑴求sinC的直

⑵若a=7,求SAABC.

24.[2024重慶A卷]如圖，甲、乙兩艘貨輪同時(shí)從A港出發(fā)，分別向B,D兩港運(yùn)送物資，最后到達(dá)A港正東

方向的C港裝運(yùn)新的物資.甲貨輪沿A港的東南方向航行40海里后到達(dá)B港，再沿北偏東60。方向航行一定距離

到達(dá)C港.乙貨輪沿A港的北偏東60。方向航行一定距離到達(dá)D港，再沿南偏東30。方向航行一定距離到達(dá)C港.

慘考數(shù)據(jù)：V2~1.41,73?1.73,76?2.45)

(1)求A,C兩港之間的距離(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位).

(2)若甲、乙兩艘貨輪的速度相同(?？緽,D兩港的時(shí)間相同)，哪艘貨輪先到達(dá)C港?請(qǐng)通過計(jì)算說明.

25.[2024安徽]科技社團(tuán)選擇學(xué)校游泳池進(jìn)行一次光的折射實(shí)驗(yàn).如圖，光線自點(diǎn)B處發(fā)出，經(jīng)水面點(diǎn)E折射

到池底點(diǎn)A處.已知BE與水平線的夾角a=36.9。,點(diǎn)B到水面的距離BC=1.20m,點(diǎn)A處水深為1.20m,到池壁的水

平距離AD=2.50m.點(diǎn)B,C,D在同一條豎直線上，所有點(diǎn)都在同一豎直平面內(nèi).記入射角為P，折射角為丫，求型的

siny

值（精確到0.1）.

參考數(shù)據(jù)：sin36.9°~0.60,cos36.9°~0.80,tan36.9°?0.75.

26.[2024貴州]綜合與實(shí)踐：小星學(xué)習(xí)解直角三角形知識(shí)后，結(jié)合光的折射規(guī)律進(jìn)行了如下綜合性學(xué)習(xí).

【實(shí)驗(yàn)操作】

第一步：將長方體空水槽放置在水平桌面上，一束光線從水槽邊沿A處投射到底部B處，入射光線與水槽內(nèi)

壁AC的夾角為NA；

第二步：向水槽注水,水面上升到AC的中點(diǎn)E處時(shí)，停止注水直線NN為法線，AO為入射光線，OD

為折射光線）

【測(cè)量數(shù)據(jù)】

如圖點(diǎn)A,B,C,D,E,F,O,N,N在同一平面內(nèi),測(cè)得AC=20cm,/A=45。折射角/DON=32。.

【問題解決】

根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)操作和測(cè)量的數(shù)據(jù)，解答下列問題：

⑴求BC的長：

⑵求B,D之間的距離（結(jié)果精確到0.1cm）.（參考數(shù)據(jù):sin32°?0.52,cos32°=0.84,tan32°=0.62）

27J2024廣東］中國新能源汽車為全球應(yīng)對(duì)氣候變化和綠色低碳轉(zhuǎn)型作出了巨大貢獻(xiàn).為滿足新能源汽車的充電

需求，某小區(qū)增設(shè)了充電站，下圖是矩形充電站PQMN的平面示意圖、矩形ABCD是其中一個(gè)停車位、經(jīng)測(cè)量、

ZABQ=60°,AB=5,4m,CE=1,6m,GH±CD,GH是另一個(gè)車位的寬，所有車位的長、寬分別相同，按圖示并列劃定.

根據(jù)以上信息回答下列問題：(結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)：V3X1.73)

⑴求PQ的長；

(2)該充電站有20個(gè)停車位，求PN的長

28J2024江蘇連云港］圖1是古代數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中對(duì)“邑的計(jì)算”的相關(guān)研究.數(shù)學(xué)興趣小組也

類比進(jìn)行了如下探究：如圖2,正八邊形游樂城A】A?A3A4A5A6A7A8的邊長為jkm,南門O設(shè)立在AeA,邊

的正中央，游樂城南側(cè)有一條東西走向的道路BM,A6A7在BM上(門寬及門與道路間距離忽略不計(jì))，東側(cè)有一

條南北走向的道路BC,C處有一座雕塑.在A1處測(cè)得雕塑在北偏東45。方向上，在A2處測(cè)得雕塑在北偏東59。方

向上.

(1)4。4遇2=-<^-CA2AI—_°;

(2)求點(diǎn)A1到道路BC的距離；

(3)若該小組成員小李出南門O后沿道路MB向東行走，求她離B處不超過多少千米，才能確保觀察雕塑不會(huì)

受到游樂城的影響.

（結(jié)果精確到0.1km,參考數(shù)據(jù)：V2~1.41,sin76°~0.97,tan76°?4.00,sin59°?0.86,tan59°~1.66）

|C

北

第18關(guān)解直角三角形

1.c解析:因?yàn)樵贏ABC中/B=90*AB=3,BC=4,所以tanA=箓=*

2.B解析:在RfABC中,?.NC=90。，.?.tanB=*=之

BC3

設(shè)AC=4x,BC=3x,

由勾股定理得AB=7(4x)2+(3x)2=5x,sinA==|^=|.

3.C4.A5.A

6.±

3

解析：由sinA=g/C=90。,可設(shè)BC=4x廁AB=5x,在RtAABC中,由勾股定理得AC=3xtan/=^|=

4x_4

3x3，

7.B解析:過點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為M,

在RbABM中.sinB=%=:

AB5

AM=5X=4,BM=V52-42=3.

又?.AB=AC/.BC=2BM=6.

8.A解析:在Rt^ALR中,AR=a/ARL=6,sin0=

，AL=AR-sine=asine千米.

9.34.1

解析：如圖，過點(diǎn)C作CF,BE,垂足為F,過點(diǎn)A作AG，EB交EB的延長線于點(diǎn)G,

?.zABE=120°,

..NABG=180°-NABE=60°,

在RtAABG中,AB=2cm,

???AG=AB-sin60°=2xf=V3(cm),

在RtABCF中,NEBC=80°,BC=11cm,

CF=BC-sin80°~llx0.9848=10.8328(cm),

1.器身底部CD距地面的高度為21.5cm,

，該陶吞管狀短流DA距地面的高度=V3+10.8328+21.5?34.1(cm),

,該陶吞管狀短流口A距地面的高度約為34.1cm.

10.(4V15-2V5

解析：如圖，過點(diǎn)E作AB的垂線，交AB的延長線于點(diǎn)H,

易知EHIICF,

貝UNBEH=NDCF,

在RbBEH中,tar)NBEH=tariNBCF=

設(shè)BH=x米廁EH=2x米

BE=y/EH2+BH2=國米=10米，

;.x=2V5

BH=2V5米EH=4V5米，

?.zEAH=180o-60o-90o=30o,

.-.AH=V3EH=4同米,

ABAH-BH=(4V15-2西)米.

，大樹AB的高為(4V15-2遙)米.

11.(1)14⑵唱

解析:(l)；AD，BC,AB=10,AD=6,

BD='AB?-AD2=V102-62=8.

?.tanzACB=l,/.CD=AD=6,

BC=BD+CD=8+6=14.

(2)/AE是BC邊上的中線，

???CE=-BC=7,

2，

DE=CE-CD=7-6=1,

-.AD±BC,

???AE=y/AD2+DE2=V62+l2=V37,

DF

???sin^DAE=—1V37

AE-V37-37'

12.548米

解析：分別過點(diǎn)C和點(diǎn)D作AB的垂線,垂足分別為M,N,

在Rt^CBM中，tan/CBM=需=tan60°=V3

所以CM=V3BM,

在RbACM中，tanX=^=tan30°=^

V3BM

因?yàn)锳M=AB+BM,AB=1500米，所以=與則BM=750米

1500+BM

所以CM=750舊米，

所以DN=CM=750VI米.

在RbDBN中，tan/DBN=器=tan45°=1,

所以BN=DN=750百米，所以MN=BN—=（7508—750）米，貝!]CD=MN=750遮-750*548（米）,

故大橋CD的長度為548米.

13.8.2cm

解析:在RtAOBD中/ODB=90°,zBOA=64°,BD=20.5cm,tan^BOA=—,smzBOA=—,

ODOB

r20.520.5

，2Q.0n5?——，0n.9n0n?——,

ODOB

.-.OD=10cm,OB~22.78cm,在RbCOE中,OC=OB=22.78cm/COA=37°,

???cosHM吟，即0.80?

.QE=18.224（cm）,

ED=OE-OD~8.2cm.

14.A

15.C解析：sinX=~,cosB=

..NA=45°/B=60°,..NC=75°,

."ABC的形狀是銳角三角形.

16.C解析:由題意得AB，BC,在RtMBC中,NACB=20°,.?在此雪道向下滑行100米，高度大約下降了100si

n20°米

17.(6-2V3

解析:延長DC交I于點(diǎn)H,連接OC,在RbOBH中/BOH=90°-60°=30°,OB=12,

..BH=12xtan30°=4V3,OH=8V3

S&OBH=S40cH+S4OBC，

■■-lOB-BH=lOH-CF+lOB.BC.

即jxl2x4V3=|x8V3CF+|x12x4./.CF=(6-2何分米

18.74

解析:如圖，過點(diǎn)P作PE±AB于點(diǎn)E.過點(diǎn)C作CF±PE于點(diǎn)F,

貝［|NNPC=NPCF=63.6。，

zMPA=zBAP=50°,BC=EF=12米PE=60米

.?.PF=PE-EF=48米，

在RtWFC在tan63.6°=?2,

,■,CF=24米,.BE=24米,

在Rt^APE中,tan50°=第嗔

.-.AE=50米,..AB=AE+BE=74米.

19.2

解析：如圖，連接BE,

B

?.四邊形BCED是正方形，

-11

DF=CF=：CD,BF=；BE,CD=BE,BE_LCD,BF=CF,

根據(jù)題意得ACIIBD,

.'.△ACP--ABDP,

，DP:CP=BD:AC=1:3,

.-.DP:DF=1:2,

11

DP=PF=-CF=-BF,

22

在RtWBF中，tan/BPF=祭=2,

,.-zAPD=zBPF,.,.tanzAPD=2.

20.-

2

解析：設(shè)AC與BD交于點(diǎn)。,由七巧板可知AABD和ABCD是全等的等腰直角三角形，

..AB=BD=CD/ABD=NBDC=90°,

/.ABIICD,

.?四邊形ABCD是平行四邊形，

11

OB=-BD=-AB,

22

tan/CAB=tan^OAB=—=

AB2

21.①

解析:〔2BDC是ABAD的外角,

.,.zBDC=zA+zABD.

.'.ZBDC>ZAK即a>0,又,.NC=90。，

...0°<B<a<90°,且tana>tanp,cosa<cosps

故①正確，②錯(cuò)誤；

?.NC=9(T,BC=3、AC=4,

AB=>JAC2+BC2=V42+32=5,過點(diǎn)D作DE_LAB,垂足為E,當(dāng)D為AC中點(diǎn)時(shí)，CD=4。=|71C=2,

BD=y/BC2+CD2—V32+22=V13,

???^^ABC-S^BCD+SABD”

???^AC-BC=^CD-BC+^AB-DE,即3x4=2x3+5DE/.*.DE=|

在Rt^BDE中.sin/DBA=需=言=嚼故③錯(cuò)誤；

當(dāng)BD平分NCBA0f--DE±AB,DC±BC,

，DC=DE,

^LABC=S2CD+S^BDA，

/.-AC,BC=LDC,BC+-AB?DE,

222

.?.3x4=3DC+5DE/.8DC=12z

??.DC==

2，

在RSBCD中，tanNBDC=tana=~=4=2,

2

在RtABCA中,tan^BAC-tan夕=^|=|,

，tanBH2tana,故④錯(cuò)誤.

綜上，正確的是①.

!2.6.2米

解析:延長AB交DC于H,則NAHD=90。，

.2BCH=3(r,BC=6米，

...B"=(BC=3米，CH=^-BC=V33米，

?.zADC=45°,

.-.AH=DH=CD+CH=(4+3㈣米，

AB=4"-=4+3舊-3=1+3百=6.2(米).

答：楊樹AB的高度約為6.2米.

23.(l)sinC=^(2)SAylBC=6V3

解析：(1)由觀察可知，-、=吃=/=三，二sinC=當(dāng).

s\nAs\nBsinC里smC14

2

(2)va=7,???c=|a=3,

由觀察得sin2c+cos2c=1,

2z->.7c169

???cosc=1—sin^c=——，

196

c13

，COSL=——,

14’

又由觀察可得sin/B=sin(A+C)=sinAcosC+cos4sinC=yx||+jx^=S^ABC---SINB=6

24.(1)A,C兩港之間的距離約為77.2海

里(2)甲貨輪先到達(dá)；理由見解析

解析：(1)過點(diǎn)B作BE_LAC,垂足為E.

在RMAEB中/BAE=45°,AB=40,

.?.AE=BE=40sin45°=20V2

在RbEBC中/EBC=60°,

EC=E5tan60°=V3EB=20限

：.ACAE+EC=20>/2+20V6-77.2.

答：A,C兩港之間的距離約為77.2海里.

(2)在RbEBC中/EBC=60°,EB=20V2

CB=2EB=40V2.

?.?甲貨輪的航線為A-B-C,

???AB+BC=40+40V2?96.4

,「乙貨輪沿A港的北偏東60。方向航行一定距離到達(dá)D港，C港在D港的南偏東30。方向，

.?.zADC=90°.

在RSADC中,NDAC=30)AC=20V2+20歷

CD=|XC=10V2+10V6,AD=XCcos30°=—AC=10V6+30V2.

,「乙貨輪的航線為A-D-C,

???AD+DC=10V6+30V2+10V2+10V6=20V6+40V2?105.4.

1?兩艘貨輪的航行速度相等，目96.4<105.4,.?.甲貨輪先到達(dá)C港.

25.1.3

解析:過點(diǎn)E作EH，AD,垂足為點(diǎn)H,由題意可知/CEB=a=36.9°,EH=1.20,=焉5"耗=1.60,

AH=AD-CE=2.50-1.60=0.90,

故.AE=7AH2+EH?=V0.902+1.202=1.50.

于是siny=—=-=0.60.

rAE1.50

又sin￡=sin^CBE=—=cos^CEB=

BE

cos36.9%0.80,故陋=照?1.3.

siny0.60

26.(l)20cm(2)3.8cm

解析：(1)在RfABC中/A=45°.

，NABC=45°.，BC=AC=20cm.

(2)由題意可知ON=EC=|XC=10cm,

/.NB=ON=10cm,

?.zDON=32°,

.■.DN=ON-tanzDON