第3章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 章末重難點(diǎn)歸納總結(jié)（解析版）

第3章函數(shù)的概念與性質(zhì)章末重難點(diǎn)歸納總結(jié)

吶數(shù)的梆析

定義域

吶數(shù)的三亞半解析式

L函數(shù)的概念

僅域

相等訥傲的則版定義域和解析式相同

自然語盲解析式圖像法

一函數(shù)的發(fā)不方法

定義法

用中iWtl

數(shù)

的

概

念■T函數(shù)的竹質(zhì)

與

性

順奇怏ft

定義

為怏性與單洲仙

圖像

次咕散鐵型二次的數(shù)微小

的數(shù)的應(yīng)用

H分股咕數(shù)鐵串基本不等式模型

重點(diǎn)一函數(shù)的簫析

重球點(diǎn)二的數(shù)的三要素

函數(shù)的概

念與性質(zhì)重難點(diǎn)三的數(shù)的性防

重點(diǎn)四重函數(shù)

重點(diǎn)一函數(shù)的辨析

【例1】（2022.全國(guó).高一單元測(cè)試）若函數(shù)y=/（x）的定義域?yàn)閧x|-3Vx<8,x*5},值域?yàn)?/p>

{y\-l<y<2,y^0},則y=/（x）的圖象可能是（）

【解析】選項(xiàng)A中，當(dāng)x=8時(shí)，y=o,不符合題意，排除A；選項(xiàng)C中,存在一個(gè)x對(duì)應(yīng)多個(gè)y值，不是

函數(shù)的圖象，排除C；選項(xiàng)D中，x取不到0,不符合題意，排除D.故選：B.

【一隅三反】

1.（2022?全國(guó)?高一專題練習(xí)）下列圖形中，不能表示以x為自變量的函數(shù)圖象的是（)

【答案】B

【解析】B中，當(dāng)x>0時(shí)，y有兩個(gè)值和X對(duì)應(yīng)，不滿足函數(shù)y的唯一性，A,C,D滿足函數(shù)的定義，故

選：B

2.（2022?全國(guó)?高一專題練習(xí)）下列變量x與>的關(guān)系式中，不能構(gòu)成了是*的函數(shù)關(guān)系的是（）

A.x-y=lB.x2-y=1C.x-2y2=iD.yfx-2y=1

【答案】C

【解析】對(duì)A,由=l得y=x-i是函數(shù)關(guān)系;

對(duì)B,由Y-y=l,得y=/_l是函數(shù)關(guān)系;

對(duì)C,由尤-2y2=1,得y2=g（x_i）,此時(shí)y值不唯一，不是函數(shù)關(guān)系；

對(duì)D,由&-2y=1,得y=是函數(shù)關(guān)系，故選：C

重難點(diǎn)二函數(shù)的三要素

【例2】（1）（2022?江蘇省）函數(shù)〃x）=7匕+石]的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[1,2]B.（1,2）C.（1,2]D.[1,2）

（2）（2022.湖北黃石）已知函數(shù)〃x+2）的定義域?yàn)椋?3,4）,則函數(shù)g（x）=的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A/3X-1

A-B-加C-加D.面

【答案】（1）C（2）C

fx-l>0[X>1/、/■,

【解析】由題意得：2_x>0解得尤<2'即AH的定義域?yàn)椤悖?]?故選：C.

（2）因?yàn)楹瘮?shù)/'（x+2）的定義域?yàn)椋?3,4）,所以“X）的定義域?yàn)椋═6）.又因?yàn)?x-l>0,即所以

函數(shù)g（x）的定義域?yàn)楣蔬x：C.

【例2-2]（2022?湖南?湘陰縣教育科學(xué)研究室高一期末）已知函數(shù)〃6=號(hào)為奇函數(shù).

（1）求實(shí)數(shù)6的值；

⑵若對(duì)任意的xe[0,l],有了（2V-履-耳+|<0恒成立，求實(shí)數(shù)人的取值范圍.

【答案】⑴人=-1

⑵I"

【解析】（1）:函數(shù)〃x）=手的定義域?yàn)镽,且為奇函數(shù)，，/（0）=1+6=0,解得6=-1,經(jīng)驗(yàn)證：

〃力=娛=2=?為奇函數(shù)，符合題意，故6=-1；

（2）?：f（x）=2x--,.?./（X）在R上單調(diào)遞增，>/（-l）=1-2=-j.'：f（2x2-kx-k）+^<0,則

f（2^-kx-k）<~=f（-\）,又函數(shù)〃x）在R上單調(diào)遞增，貝"2/一版一左<一1在xe[0,l]上恒成立，

0q3

k>2（x+1）H-----一4在x￡[0,1]上，旦成立，設(shè)g（x）=2（%+1）H-------—4,令，=x+1,則，￡[1,2],函數(shù)y=2，H—在

X+1X+1f

上遞減，在[祗,2]上遞增，當(dāng)r=l時(shí)，y=5,當(dāng)r=2時(shí)，y=y，故g⑺皿*=?-4=|,則左,，

.?.實(shí)數(shù)%的取值范圍為

【一隅三反】

1.（2022?全國(guó)?高一專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x+1）定義域?yàn)閇1,4],則函數(shù)〃尤-1）的定義域?yàn)?

【答案】[3,6]

【解析】因〃x+1）的定義域?yàn)閇1,4],則當(dāng)UW4時(shí)，2<x+l<5,

即〃x）的定義域?yàn)閇2,5],于是〃％-1）中有2WX-1V5,解得3WxW6,

所以函數(shù)〃彳-1）的定義域?yàn)閇3,6]

故答案為：口,6]

2.（2022?全國(guó)?高一專題練習(xí)）若函數(shù)》=三百的值域是—.

x+2

【答案】（-s，2）u（2,+s）

【解析】'=2-三，，尸2,.?.函數(shù)的值域是：（一s,2）"2,+s）.故答案為：（一8,2）u（2,+s）

3.(2022?全國(guó)?高一專題練習(xí))已知函數(shù)〃同=?七，則/(x)的值域是.

【答案】

,C11??.〃”的值域?yàn)閉。,；，故答案為:0,1

【解析】x+222,..。v-2—~

尤2+22

4.(2022?全國(guó)?高一)函數(shù)/x={U的值域是_______________(用區(qū)間表示)

-x+5,1VXW3

【答案】[0,4]

【解析】當(dāng)-2?x1時(shí)，/(x)=(x+l)2,為開口向上，對(duì)稱軸為x=-l的拋物線，所以/(x)e[0,4),

當(dāng)1WXW3時(shí)，/(x)=r+5,為單調(diào)遞減函數(shù)，所以〃x)e[2,4],

綜上：/(x)e[0,4],即/⑴的值域?yàn)閇0,4].故答案為：[0,4]

5.(2022?全國(guó)?高一單元測(cè)試)已知函數(shù)“X)的定義域?yàn)锽,函數(shù)/'(1-3x)的定義域?yàn)锳=：/，若HxeB,

使得。>/一%+1成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

【答案】0|，+力

"1111「]]

【解析】.."(I—3尤)的定義域?yàn)锳=-,1，，;4x41,-241-3x4;，則B=-2,-.令g(x)=f一％+1,

玉eg,使得a>/_x+i成立，即。大于g(x)在-2,；上的最小值.：g(尤)=(x-g)+1,；.g(x)在

-*]上的最小值為...實(shí)數(shù)a的取值范圍是住,+8

L4j16116

重難點(diǎn)三函數(shù)的性質(zhì)

【例3-1](2022?湖北省漢川市第一高級(jí)中學(xué)高一期末)已知函數(shù)〃%)是定義在(-8,0)U(0,+?)上的奇函

數(shù)，且〃-1)川若對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)力”(。收)且為f,不等式"?:仁)<0恒成立，則不

等式4(x)>0的解集是()

A.(-ao,-l)u(0,l)B.(-00,-1)u(l,+co)

C.(-1,0)51,小)D.(-l,0)U(0,l)

【答案】D

【解析】由題可知，"X)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減，

又“幻為奇函數(shù)，則/(f)=-/(x),且/(-1)=0,故/(1)=0,

設(shè)g(尤)=V(x),貝I］g(-x)=-V(-x)=#(x)=gCO，故g(x)為偶函數(shù)，

又g(x)在區(qū)間(-8,0)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(0,+功上單調(diào)遞減，

又g(-l)=g(l)=0,所以g(尤)>。的解集為(-l,0)U(0,l),

即4(無)的解集為(T,。)(0,1).

故選：D.

【例3-2X2022?全國(guó)?高一單元測(cè)試)(多選)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)“X)在上為增函數(shù)，且/'(x-1)

為偶函數(shù)，則()

A.〃x)的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱B.“X)在(-1,+8)上為增函數(shù)

C./(1)=/(-2)D./(-3)</(0)</

【答案】AD

【解析】因?yàn)?'(x-1)為偶函數(shù)，且函數(shù)/(X)在(一》,-!)上為增函數(shù),

所以/'(X)的圖象關(guān)于直線x=—1對(duì)稱，且/'(X)在(T,")上為減函數(shù)，所以A正確，B不正確;

因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線x=T對(duì)稱，/(1)=/(-3)^/(-2),所以C不正確;

因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線x=—1對(duì)稱，所以〃0)=〃—2),/(一￡|=，一目，又〃無)在(一方一1)上為增

函數(shù)，所以即/(一3)〈/⑼一口，所以D正確.故選：AD.

【例2-3］.(2022?貴州黔西?高一期末)已知函數(shù)〃6=與、是定義在上的奇函數(shù)，且〃1)="

(1)求加,〃的值；

(2)判斷了(x)在上的單調(diào)性，并用定義證明;

【答案】⑴〃7=0,〃=1

(2)〃外在［-1』上單調(diào)遞增，證明見解析

【解析】(1>是定義在［-U］上的奇函數(shù)，:"(。)=-機(jī)=。，解得：機(jī)=0；

/⑴j

經(jīng)檢驗(yàn)：當(dāng)m=0,〃=1時(shí)，=則“一到二一"二一/⑴，.?.“X)為奇函數(shù);

?X十A十L

:.m=0,n=l.

（2）〃％）在［-1』上單調(diào)遞增，證明如下：

設(shè)-1?玉x2?1,

,f（YX%X］_X2（X；+1）-X|（X；+1）_%尤2（&―.）+（%—%）_（%—%）（占尤2—1）

,?八"一八J-二一百一（考+i）G；+i）-—（考+ij（x；+i）-G+D儲(chǔ)+i）；

x,x2<1,Xj-x2<0,Xj+1>0,片+1>0,

??.“X）是在［-M］上單調(diào)遞增.

【一隅三反】

1.（2022?全國(guó)?高一單元測(cè)試）若函數(shù)〃彳）=狽2+2%-1在區(qū)間（-8,6）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

A?卜川B.［-川C.］一”

【答案】A

【解析】當(dāng)即0時(shí)，函數(shù)〃力=2尤-1在R上單調(diào)遞增，

所以/?（*）在（-j6）上單調(diào)遞增，則a=0符合題意；

當(dāng)。力0時(shí)，函數(shù)是二次函數(shù)，又“X）在（-*6）上單調(diào)遞增，

——>61

由二次函數(shù)的性質(zhì)知，Sa,解得-.a<0.

a<06

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是［一：，。］,

O

故選:A.

2.（2022?全國(guó)?高一單元測(cè)試）（多選）關(guān)于函數(shù)y=，4-（x+l『,下列說法正確的是（)

A.在區(qū)間上單調(diào)遞減B.單調(diào)遞增區(qū)間為［-3,-1］

C.最大值為2D.沒有最小值

【答案】ABC

【解析】由"（x+lpNO得-34x41,即函數(shù)y=,4-（x+l『的定義域?yàn)?3,1］.

令t=4-（x+l）2,貝卜=4-（x+iy的圖象是開口向下，對(duì)稱軸為x=—1的拋物線,

所以函數(shù)r=4-（尤+1）2在［-3,-1］上單調(diào)遞增，在［-1,1］上單調(diào)遞減，

又》=〃單調(diào)遞增，所以y=j4-（x+l『在［-3,T上單調(diào)遞增,在［-1,1］上單調(diào)遞減，故A,B正確；

222

ymax=^4-（-1+1）=2,當(dāng)x=-3時(shí)，y=^4-（-3+1）=0,當(dāng)x=1時(shí)，y=^4-（1+1）=0,貝Uymin=°,

故C正確，D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

/、\ax—\,x<a,、

3.（2022?貴州遵義局一期末）（多選）設(shè)函數(shù)〃尤）=2。_,、，“尤）存在最小值時(shí)，實(shí)數(shù)。的值

Ix—2,cix+1,x2a

可能是（）

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】ABC

./、［ax-l,x<a

【解析】解：因?yàn)?尤=,;I、，

［x-2ax+l,x>a

若a>0,當(dāng)時(shí)〃x）=at-l在（Yo,a）上單調(diào)遞增，當(dāng)x--8時(shí)/⑴--oo,此時(shí)函數(shù)不存在最小值；

/\f—1,x<0/、

若4=0,則”x）=21此時(shí)AH=-1,符合題意；

IX+X_U11dli

若a<0,當(dāng)x<a時(shí)/■（力=<^一1在（^0,4）上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)/（x）=x2-2tzx+l,

二次函數(shù)、=尤2-2依+1對(duì)稱軸為x=a,開口向上，此時(shí)在,,+（?）上單調(diào)遞增，

,.fez<0

要使函數(shù)/（x）存在最小值，只需片+］，解得aW-L

綜上可得」0}.

故選：ABC

4.（2021.貴州?遵義航天高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）（多選）哥函數(shù)〃x）=（加一5"?+7）--6在（0,+“）上是增

函數(shù)，則以下說法正確的是（）

A.m=3

B.函數(shù)/'（X）在（-8,0）上單調(diào)遞增

C.函數(shù)/■（%）是偶函數(shù)

D.函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

【答案】ABD

【解析】因?yàn)槟缓瘮?shù)〃月=（療-5加+7）/-6在（0,+向上是增函數(shù)，

所以1m2:根；7一\解得加=3,所以外力=1,

[m-6＞0

所以〃—）=（_尤）3=一尤3=_〃司，故/"）=三為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

所以“X）在（-8,0）上單調(diào)遞增；故選：ABD

重點(diǎn)四募函數(shù)

【例4】1（2022?全國(guó)?高一）已知幕函數(shù)y=/（x）的圖象過點(diǎn)2,一，則下列關(guān)于/（尤）說法正確的是（

I4

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)

C.在（0,+8）單調(diào)遞減D.定義域?yàn)閇0,+8）

【答案】C

【解析】設(shè)幕函數(shù)＞=/（尤）=無“。eR,由題意得：2。=顯,a=-＞,

42

N1

故y=/（x）=x2=尸，定義域?yàn)椋?,+s）,故D錯(cuò)誤；

定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，＞=/（尤）為非奇非偶函數(shù)，A,B錯(cuò)誤；

33

由于-：＜0,故y=/（x）=J5在在（0,+8）單調(diào)遞減，C正確，故選：C

【一隅三反】

m

1.（2022.全國(guó)?高一專題練習(xí)）如圖所示是函數(shù)了=.（兀、weN*且互質(zhì)）的圖象，則（）

A.根、〃是奇數(shù)且一＜1B.優(yōu)是偶數(shù)，”是奇數(shù)，且生＞1

n