第3章 空間向量及其應(yīng)用 單元綜合提優(yōu)專練（解析版）2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期（滬教版選擇性必修一）

第3章空間向量及其應(yīng)用單元綜合提優(yōu)專練(解析版)

錯(cuò)誤率：易錯(cuò)題號(hào)：

一、單選題

1.(2021?上海市松江二中高二期中)已知向量｛a,b,c｝是空間的一組基底，則下列可以構(gòu)成基底的一組向

量是()

A.a+b，a，a-bB.a+b>b，a-b

C.a+b>c■>a-bD.a+b>2a—b>a-b

【標(biāo)準(zhǔn)答案】C

空間的一組基底，必須是不共面的三個(gè)向量，利用向量共面的充要條件可證明A、3、O三個(gè)選項(xiàng)中的

向量均為共面向量，利用反證法可證明C中的向量不共面

【詳解詳析】

解：(a+4+(°-8)=2",a,a+b,a-B共面，不能構(gòu)成基底，排除A；

[a+b)-(a-b)=2b,b,a+b，a-b共面，不能構(gòu)成基底，排除8；

2a-b=—^a-b^+—^a+b^,a+b>a-b,—B共面，不能構(gòu)成基底，排除O;

若c、a+b，a-b共面，則c=/l(a+b)+%(a-6)=(4+m)a+(4-，〃M,貝I]°、b、c為共面向量，止匕與

｛o,b,c｝為空間的一組基底矛盾，故八a+b，a-b可構(gòu)成空間向量的一組基底.

故選：C.

【名師指路】

本題主要考查了空間向量基本定理，向量共面的充要條件等基礎(chǔ)知識(shí)，判斷向量是否共面是解決本題的

關(guān)鍵，屬于中檔題.

2.(2019?上海市延安中學(xué)高二期中)如圖，四個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體排成一個(gè)正四棱柱，A3是一條側(cè)棱，

月(i=1,2,…,8)是上底面上其余的八個(gè)點(diǎn),則集合｛>卜=A2?Ag,i=1、2、3、…、8｝中的元素個(gè)數(shù)

)

A.1B.2C.4D.8

【標(biāo)準(zhǔn)答案】A

本題首先可根據(jù)圖像得出AQ=AB+Be,然后將轉(zhuǎn)化為A^+川.股，最后根據(jù)棱長(zhǎng)為1以及

48八B片即可得出結(jié)果.

【詳解詳析】

由圖像可知，AP^AB+BP,,

2

貝ljAB-AP^AB^AB+BP\=AB+ABBPi,

因?yàn)槔忾L(zhǎng)為1,AB八BP',

所以ABAP,=AB+Bq=1+0=1，

故集合\y\y=AB-APi,i=1、2、3、…、8｝中的元素個(gè)數(shù)為1,

故選：A.

【名師指路】

本題考查向量數(shù)量積的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠利用平面向量線性運(yùn)算將所求向量數(shù)量積轉(zhuǎn)化為已知模長(zhǎng)

的向量和有垂直關(guān)系向量的數(shù)量積的運(yùn)算問(wèn)題，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，考查集合中元素的性質(zhì)，是

中檔題.

3.（2022?上海?高三月考）長(zhǎng)方體A3Cr）-AB|G。，AB=A4,=10,AD=25,尸在左側(cè)面ADDA上，

已知尸到AR、AA的距離均為5,則過(guò)點(diǎn)尸且與AC垂直的長(zhǎng)方體截面的形狀為（)

A.六邊形B.五邊形

C.四邊形D.三角形

【標(biāo)準(zhǔn)答案】B

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，先利用向量找出截面與AA、AD和48的交點(diǎn)，再過(guò)

Q作QFIIMN交BG于F,過(guò)/作ER//QM,交于E,即可判斷截面形狀.

【詳解詳析】

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則尸（20,0,5）,A（25,0,10）,C（0,10,0）,.-.^=（-25,10,-10）,

設(shè)截面與40交于。（％0,10）,則P。=&-20,0,5）,

.-，AC-Pe=-25（xe-20）-50=0,解得兀=18,即0（18,0,1。），

設(shè)截面與4。交于”（如,。,。），貝U=（如-20,0-5）,

.?，4C-PM=-25（XM-20）+50=0,解得%=22,即“（22,0,0）,

設(shè)截面與AB交于N（25,6,0）,則=（3,yw,0）,

.14??時(shí)=-25x3+10〉'=。，解得W=7$,即N（25,7.5,0）,

過(guò)。作QF//MN,交4G于F，設(shè)尸（號(hào),10,10）,則。戶=（4-18,10,0）,

則存在4使得。尸=2MN,gp（^F-18,10,0）=/l（3,7.5,0）,解得號(hào)=22,故/在線段4G上，

過(guò)F作M//Q0,交BBi于E,設(shè)E（25,10,ZE）,則詼=（—3,0,10—z",

則存在〃使得石片=〃°聞，即（—3,0,10—ZE）=M（4,0,—10）,解得ZE=2.5,故E在線段5⑸上，

綜上，可得過(guò)點(diǎn)尸且與4C垂直的長(zhǎng)方體截面為五邊形QMNEF.

【名師指路】

本題考查截面的形狀的判斷，解題的關(guān)鍵是先利用向量找出截面與42、AD和的交點(diǎn)，即可利用平

面的性質(zhì)找出其它點(diǎn)的位置.

4.（2021?上海?高二期中）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別為瓦14￡的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在

正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足MPLCW,則下列說(shuō)法正確的是（

B.線段的最大值為立

A.點(diǎn)P可以是棱B片的中點(diǎn)

2

C.點(diǎn)尸的軌跡是正方形D.點(diǎn)尸軌跡的長(zhǎng)度為2+君

【標(biāo)準(zhǔn)答案】D

在正方體ABCD-A與G2中，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以ZM、DC,方向?yàn)閤軸、y軸、2軸正方

向，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)確定點(diǎn)P的軌跡，在逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.

【詳解詳析】

在正方體ABCD-A旦GR中，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以D4、DC、方向?yàn)閤軸、、z軸正方

向，建立空間直角坐標(biāo)系,

因?yàn)樵撜襟w的棱長(zhǎng)為1,M,N分別為3〃,4c的中點(diǎn),

則0(0,0,0),嗚另,咽,1,：c(o,i,o),

所以CN=1,O,1；設(shè)p(x,y,z),則=

因?yàn)镸P_L&V,

所以《+z—!=0,2x+4z—3=0,當(dāng)兀=1時(shí)，z=-；當(dāng)x=0時(shí)，z=g；

212J244

取小臼，小切，G1，T,《。，。梳)，

連接所，F(xiàn)G,GH,HE,則所=GH=(0,1,0),EH=FG=(-1,0,

所以四邊形EFG”為矩形,

則所-CN=0，EH-CN=0,即砂_LOV,EHLCN,

又EFEH=E,且EFu平面￡FG",EHu平面EFGH,

所以CN_L平面EFGH,

又EM==所以M為EG中點(diǎn)，則Me平面￡FG〃,

所以，為使必有點(diǎn)Pe平面EFGH,又點(diǎn)尸在正方體的表面上運(yùn)動(dòng),

所以點(diǎn)尸的軌跡為四邊形EFGH,

因此點(diǎn)「不可能是棱B用的中點(diǎn)，即A錯(cuò);

又|葉網(wǎng)=1,網(wǎng)=|而卜冬所以|叫平用,則點(diǎn)尸的軌跡不是正方形;

且矩形￡FGH的周長(zhǎng)為2+2x或=2+君，故C錯(cuò)，D正確;

2

因?yàn)辄c(diǎn)/為EG中點(diǎn)，則點(diǎn)M為矩形EFG”的對(duì)角線交點(diǎn)，所以點(diǎn)/到點(diǎn)E和點(diǎn)G的距離相等，且最

大，所以線段MP的最大值為由，故B錯(cuò).

2

故選：D.

【名師指路】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵在于建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法，由求出

動(dòng)點(diǎn)軌跡圖形，即可求解.

5.（2021?上海?曹楊二中高三期中）已知正方體ABCD-ABCiR的棱長(zhǎng)為2,E、F分別是棱AA1、4。

的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為底面ABCO內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，若直線2P與平面3所無(wú)公共點(diǎn)，則點(diǎn)尸的軌跡

A.V2+1B.75C.血+等D."

【標(biāo)準(zhǔn)答案】B

【思路指引】

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC、所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)

P（a/,0）,計(jì)算出平面詆的一個(gè)法向量加的坐標(biāo)，由已知條件得出=可得出。、匕所滿足的

等式，求出點(diǎn)尸的軌跡與線段AD、2c的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得結(jié)果.

【詳解詳析】

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA.DC、所在直線分別為無(wú)、丁、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則5(220)、后(2,0,1)、尸(1,0,2)、。(0,0,2),設(shè)點(diǎn)尸(a也0),

BE=(0,-2,l),EF=(-1,0,1),設(shè)平面5石F的法向量為機(jī)=(x,y,z),

由＜，，取z=2,可得根=(2,1,2),

m-EF=-x+z=0

DF=(a,b,—2),由題意可知，RP〃平面BEF,則2P?%=2a+b—4=0,

令6=0,可得a=2；令b=2,可得a=l.

所以，點(diǎn)P的軌跡交線段A￡＞于點(diǎn)A(2,0,0),交線段BC的中點(diǎn)”(1,2,0),

所以，點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為|=J(2-+(0-2『=6.

故選：B.

6.(2022?上海?高三月考)如圖一副直角三角板，現(xiàn)將兩三角板拼成直二面角，得到四面體ABCD,則下

列敘述正確的是()

①平面BCD的法向量與平面ACD的法向量垂直；

②異面直線BC與AD所成的角為60。；

③四面體ABCO有外接球；

④直線DC與平面ABC所成的角為30°.

A.②④B.③C.③④D.①②③④

【標(biāo)準(zhǔn)答案】C

【思路指引】

①由題設(shè)四面體相關(guān)側(cè)面的關(guān)系即可判斷正誤；②過(guò)。、C作BC、的平行線且交于尸，連接A尸，

則NAZ"就是異面直線8C與AD的夾角，設(shè)8。=1求相關(guān)邊的長(zhǎng)度，再應(yīng)用余弦定理求8$//10下；③

由四面體的性質(zhì)即可知正誤；④由面面垂直確定。C與平面ABC所成的角是NDCS,即知線面角的大小.

【詳解詳析】

①平面BCD的法向量與平面ABC的法向量垂直，而與平面ACD的法向量不垂直，故錯(cuò)誤；

②過(guò)。作BC的平行線，過(guò)C作5。的平行線，兩平行線交于點(diǎn)歹，聯(lián)結(jié)AF,則NADF就是異面直線

3c與AD的夾角，過(guò)A作AE_L8C,聯(lián)結(jié)即、EF,

若BD=1,則BO=2,BC=26,A8=AC=",

由面BDCc面ABC=3C,面面ABC,BDu面BDC,

8￡)_1面43。，ABi面ABC,則8。_LA8,同理可證FC_LAC,

/.AD=AF=y/10,DF=26,易得cosZADF=—,故錯(cuò)誤；

③由于所有的四面體都有外接球，故正確；

④因?yàn)槠矫鍭BC,所以DC與平面ABC所成的角是“CB=30。，正確.

故選：C

二、填空題

7.(2018?上海?復(fù)旦附中高二期末)點(diǎn)4L2,1),7(3,3,2),C(A+1,4,3),若AB,AC的夾角為銳

角，則2的取值范圍為.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】(-2,4)u(4,+。)

【思路指引】

根據(jù)AB,AC的夾角為銳角，可得A8.AC>0，且不能同向共線?解出即可得出.

【詳解詳析】

AB=(2,1,1),AC=(2,2,2),

42,4。的夾角為銳角，.14?/^：=2彳+2+2>0，且不能同向共線.

解得2>-2,2^4.則4的取值范圍為(-2,4)u(4,+8).

故答案為(-2,4)。(4,+8).

【名師指路】

本題主要考查了向量夾角公式、向量共線定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

8.(2021.上海交大附中閔行分校高二月考)如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-AiBiCiDi中，E為BC的

中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段DiE上，點(diǎn)P到直線CCi的距離的最小值為.

A

【標(biāo)準(zhǔn)答案】半

【詳解詳析】

點(diǎn)P到直線CC1的距離等于點(diǎn)P在平面ABCD上的射影到點(diǎn)C的距離，設(shè)點(diǎn)P在平面ABCD上的射影

為P',顯然點(diǎn)P到直線CCi的距離的最小值為PC的長(zhǎng)度的最小值，當(dāng)PC_LDE時(shí)，PC的長(zhǎng)度最小，

。樂(lè)

止匕時(shí)P，C=E2x1=T.

9.(2019?上海市青浦區(qū)第一中學(xué)高二期中)已知直線/的一個(gè)方向向量1=(4,3,1),平面。的一個(gè)法向量

n=(m,3,-5),且///a,貝j］機(jī)=

【標(biāo)準(zhǔn)答案】-1

【思路指引】

由題意可得，根據(jù)線面平行可得d_L〃，則d.〃=0，進(jìn)而得至I]4祖+9-5=0,解得即可.

【詳解詳析】

解:由題意可得d_Lw，貝！j4ni+9-5=0

解得=-1

【名師指路】

本題主要考查了直線與平面的位置關(guān)系，根據(jù)線面平行、線面垂直的性質(zhì)得到平面的法向量與平行于平

面的直線垂直，考查了空間向量垂直的坐標(biāo)表示.

10.（2019?上海?曹楊二中高二期末）已知非零向量〃、b及平面向量〃是平面a的一個(gè)法向量，則

n-b=O是“向量6所在直線在平面a內(nèi)”的條件.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】必要不充分

【思路指引】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解詳析】

解：若向量九是平面a的法向量，則〃」a,

若〃.b=0,則方//a,則向量6所在直線平行于平面a或在平面a內(nèi)，即充分性不成立，

若向量b所在直線平行于平面?；蛟谄矫鎍內(nèi)，則6〃a,

向量■是平面a的法向量，

幾_La，

則及_Lb,即神=0,即必要性成立,

則〃"=0是向量0所在直線平行于平面a或在平面a內(nèi)的必要條件，

故答案為：必要不充分

【名師指路】

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)向量和平面的位置關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

11.（2020?上海?復(fù)旦附中青浦分校高三月考）在斜三棱柱A4G-4BC中，8C的中點(diǎn)為44=。，

AG=b,AA=c，則4M可用a、b、c表示為.

-1--

【標(biāo)準(zhǔn)答案】c+-（b-a）

在斜三棱柱A4G-ABC中,利用三角形法則轉(zhuǎn)化4M為基底的線性運(yùn)算求解.

【詳解詳析】

在中，BiM=BlB+BM，又BC的中點(diǎn)為=ggC

A#G-A3C是斜三棱柱，B?=BC,B{B=\A

在中耳

B1M=AA+1B1C1,M181G4G=AG-A

\4M=AA+g(AG-43])=c+g(b_a)

故答案為：c+-(b-a)

【名師指路】

本題考查空間向量的線性運(yùn)算.

用已知向量表示某一向量的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：

(1)用已知向量來(lái)表示某一向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.

(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的

始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量.

(3)在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立.

12.(2020?上海?模擬預(yù)測(cè))在正方體ABCD-4耳。田中，點(diǎn)M和N分別是矩形A8CD和的中

心，若點(diǎn)尸滿足。尸="DA+aDM+kDV,其中徵、〃、keR,且〃2+〃+左=1,則點(diǎn)尸可以是正方體表

面上的點(diǎn).

【標(biāo)準(zhǔn)答案】B,(或C或，AC耳邊上的任意一點(diǎn))

【思路指引】

因?yàn)辄c(diǎn)尸滿足+左DV,其中m、“、k&R,Rm+n+k=l,所以點(diǎn)A,三點(diǎn)共面，

只需要找到平面與正方體表面的交線即可.

【詳解詳析】

解：因?yàn)辄c(diǎn)P滿足QP=++左LW,其中加、n、kwR,S.m+n+k=l,

所以點(diǎn)AM,N三點(diǎn)共面，

因?yàn)辄c(diǎn)M和N分別是矩形ABCD和BB?C的中心，

所以CN=B]N,AM=MC,

連接MV,44,則MNA耳,所以，AC與即為經(jīng)過(guò)AM,N三點(diǎn)的平面與正方體的截面，

故點(diǎn)尸可以是正方體表面上的點(diǎn)耳(或C或，AC左邊上的任意一點(diǎn))

故答案為：片(或C或、AC耳邊上的任意一點(diǎn))

【名師指路】

此題考查空間向量基本定理及推論，同時(shí)考查了學(xué)生的直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，屬于中檔

13.（2020?上海?高三月考）正三棱錐的一個(gè)側(cè)面與底面的面積之比為2:3,則這個(gè)三棱錐的側(cè)面和底面所

成二面角的大小為.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】600

【思路指引】

由題意作出正三棱錐S-ABC,設(shè)。為底面ASC的中心，過(guò)S作交A3于點(diǎn)E,連接EO,可得

NSEO為側(cè)面和底面所成二面角的平面角，由條件導(dǎo)隨==，得出第=2,從而得出答案.

sABC3\OE\

【詳解詳析】

如圖在正三棱錐S-45C中，設(shè)0為底面,ASC的中心，連接SO,則50,平面ABC.

過(guò)S作SELAB交AB于點(diǎn)E,連接EO

則SO_L,又SE_L,且SEcSO=S,所以AB_L平面SEO

則OE，AB,所以Z.SEO為側(cè)面和底面所成二面角的平面角.

3

在正三角形MC中，。為中心，s=sOBC+S0AB+S0AC=3SOAB=-|AB||OE|

由條件有產(chǎn)---P----可-得閣2

||AB|-|OE|

在直角三角形SOE中，cosZSEO=^|i=1

所以NSEO=60。

故答案為：60°

【名師指路】

本題考查三棱錐的線面關(guān)系，正三棱錐的側(cè)面面積與底面積的關(guān)系，考查二面角，屬于中檔題.

14.（2019?上海交大附中高二期中）已知A,B,C,尸為半徑為R的球面上的四點(diǎn)，其中A民AC,8c間的球

ITTT1T

面距離分別為一A,~R,~R,^OP=xOA+yOB+zOC,其中。為球心，則x+y+z的最大值是

322

【標(biāo)準(zhǔn)答案】4

3

【思路指引】

OP

根據(jù)球面距離可求得AABC三邊長(zhǎng)，利用正弦定理可求得AABC所在小圓的半徑；。「'=」一，根據(jù)

x+y+z

R,,

平面向量基本定理可知P,AB,C四點(diǎn)共面，從而將所求問(wèn)題變?yōu)榈牡淖畲笾?；根?jù)|。耳最小值為球心

到AABC所在平面的距離，可求得|。尸［最小值，代入可求得所求的最大值.

【詳解詳析】

1TTT71

QAB間的球面距離為§尺:.ZAOB=-:.AB=2Rsin-=R

36

同理可得：BC=AC=42R

松+叱―AB2

cosC=sinC=

2ACBC44

???AABC所在小圓的半徑：r工旦=^R

2sinC7

OPxOA+yOB+zOC

設(shè)OP=一^一P',A氏C四點(diǎn)共面

x+y+zx+y+zx+y+zx+y+z

OPR

x+y+z=---1?

OP'1*1

若x+y+z取最大值，則需PH取最小值

I。尸［最小值為球心到AABC所在平面的距離d=一產(chǎn)=^.R

.?G+y+z)=q=且

v7max>/213

-----R

7

本題正確結(jié)果：孚

【名師指路】

本題考查球面距離、球的性質(zhì)的應(yīng)用、平面向量基本定理的應(yīng)用、正余弦定理解三角形等知識(shí)；關(guān)鍵是

能夠構(gòu)造出符合平面向量基本定理的形式，從而證得四點(diǎn)共面，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為半徑與球心到小圓面距離

的比值的最大值的求解的問(wèn)題.

15.（2018?上海市張堰中學(xué)高二月考）如圖，已知正方體A8CD-ABGR的棱長(zhǎng)為4,點(diǎn)E、尸分別是線段

AB、GA上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸是上底面4片GR內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)P到平面的

距離,則當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí),PE的最小值是.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】26

【思路指引】

通過(guò)題意可知當(dāng)E,F分別是AB,G2上的中點(diǎn)，尸為正方形A與GR中心時(shí)，PE取最小值，利用兩點(diǎn)間

距離計(jì)算即可求出.

【詳解詳析】

如圖建立空間直角坐標(biāo)系：

設(shè)A￡=a,DF=b,Ogfc4,噫必4,P(尤,y,4),01!k4,藤64,

則下(0,44),E(4,a,0),PF=(-x*一y,0),

點(diǎn)P到F的距離等于點(diǎn)P到平面ABB^的距離，

.加+—了=(4_幻2,整理得尸點(diǎn)軌跡方程：x=2-他券，

所以P到平面ABB.A,的距離PP=d,1=4-尤=2+S3,

8

所以4nin=2,此時(shí)P與尸共線垂直DG,

又|陽(yáng)=yld2+P'E2<74+16=2小

二當(dāng)EF分別是AB,GR上的中點(diǎn)，尸為正方形431GA中心時(shí)，尸石取最小值，

此時(shí)尸(2,2,4),E(4,2,0),"0,2,4).

故答案為：2后

【名師指路】

本題主要考查了利用空間向量求兩點(diǎn)間的距離，及結(jié)合圖形研究最值問(wèn)題，屬于難題.

16.(2022?上海?高三月考)在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸(X,y,z)滿足：x2+y2+z2=16,平面a過(guò)點(diǎn)

M(l,2,3),且平面a的一個(gè)法向量”=(1,1,1),則點(diǎn)尸在平面a上所圍成的封閉圖形的面積等于

【標(biāo)準(zhǔn)答案】4萬(wàn)

【思路指引】

由題意，點(diǎn)尸在球面上，所以點(diǎn)P在平面a上所圍成的封閉圖形即為平面a截球面所得的截面圓，根據(jù)

球的截面性質(zhì)求出截面圓的半徑「即可求解.

【詳解詳析】

解：由題意，點(diǎn)尸在以(0,0,0)為球心，半徑為4的球面上，

所以點(diǎn)尸在平面a上所圍成的封閉圖形即為平面a截球面所得的截面圓，

因?yàn)槠矫鎍的方程為lx(x-l)+lx(y-2)+lx(z-3)=0,即無(wú)+y+z-6=0,

所以球心(0,0,0)到平面a的距離為d=42T>=2—，

所以截面圓的半徑r=,4?-僅⑹，=2,截面圓的面積為S==4萬(wàn)，

所以點(diǎn)尸在平面a上所圍成的封閉圖形的面積等于4萬(wàn).

故答案為：4萬(wàn).

三、解答題

17.（2021?上海市復(fù)旦中學(xué)高三月考）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為矩形，上4,平面A3CD,

AP=AB,尸是PB的中點(diǎn)，E是BC上的動(dòng)點(diǎn).

（1）證明：PE1.AF；

（2）若BC=2BE=2gB,求直線R4與平面PDE所成角的大小.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）60°.

【思路指引】

（1）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，證明=0即可；

（2）求出平面尸DE的法向量，根據(jù)$111。=卜0$<〃,/12>|即可求出.

【詳解詳析】

解：（1）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)AP=AB—2,BE=a,

則4(0,0,0),5(0,2,0),P(0,0,2),F(0,1,1),磯。,2,0),

于是，PE=(a,2,—2),A歹=(0,1,1),

則PE-AF=O，所以AFJ_PE.

⑵若BC=2BE=2有AB,則可460,0),尸。=卜&0,-2),PE=(2瓜2,-2),

設(shè)平面尸/汨的法向量為〃=（x,y,z）,

n-PD=014A-2z=0

令x=1,貝！Jz=2A/3,y=y(3,

n-PE=。'得：MX+2,-2Z=0

于是〃=（1,后2月,而#=（0,0,2）.

II\n-AP\

設(shè)AP與平面PDE所成角為d,所以sine=kos<〃,A尸—=—,

11忖網(wǎng)2

所以AP與平面PDE所成角。為60。.

18.（2021?上海?高二月考）如圖，在正四棱錐P-ABCD中，底面正方形的對(duì)角線AC與交于點(diǎn)。,

CM

且AB=2,OP=3.點(diǎn)M在線段PC上，設(shè)專=彳.

（1）若4=g，求直線AM與總所成角的余弦值；

（2）若平面ABM與平面E4C所成銳二面角的余弦值為述，求彳的值.

10

【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）叵；（2）2=-.

115

【思路指引】

（1）由題可知AC，5￡>,OP,平面ABC。，則以Q4為％軸，。8為丁軸，OP為二軸，建立空間直角坐標(biāo)

系，當(dāng)為=：時(shí)，寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，得出40=-^-,0,-,PB=（0,拒，-3）,再利用空間向量法求空間異面

直線的夾角，即可得出直線A"與PB所成角的余弦值;

（2）設(shè)M（a,6,c）,貝Uc看=2孱>,進(jìn)而得出點(diǎn)"（歷0,32）,根據(jù)空間向量求法向量的方法，求出平

’2虎-&、

面的法向量力=,根據(jù)線面垂直的判定定理可得出。，平面尸，從而得出平面

I323AC

ACP的法向量蔡=方=（0/,0）,最后利用空間向量求二面角的方法，可列出

/\m-n\13J2

cos(inn/=----------——_-.........

'lml-l?ljI『今&:10,從而可求出力的值?

【詳解詳析】

解：(1)由題可知，正四棱錐尸-ABCD且四邊形ABCD是正方形，

所以AC_L5￡>,OP_L平面ABC。，

則以。為原點(diǎn)，。4為了軸，02為〉軸，。尸為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則40,0,0),C(-0,0,0),尸(0,0,3),M一孝，°弓，8(。，&,。)，

京=(_述，0,3[病=(0,也,一3),

22

設(shè)直線40與尸3所成角為。,

—>—>9

|AM-5|2_V33

貝ljcos0=

\AM\-\PB\

???直線AM與總所成角的余弦值為叵.

11

(2)設(shè)M(a,6,c),則國(guó)即(。+應(yīng)也)=(&，。，3為,

“+應(yīng)=&,：.乂(及入一垃,0,34),

/?=0,c=3A

AB=(-0,y/2,0),AM=(&-2忘,0,32),AP=(-插,0,3),AC=(-260,0),

設(shè)平面ABM的法向量力=(x,y,z),

n-AB=-后x+\[ly=02A/2—-\/2A

取尤=1,得〃=['，32J

n-AM=(>/22-2A/2)X+32Z=0

由于3DJ.AC,OPL^ABCD,

可知3D_LOP,且OPcAC=O,則B￡>_L平面ACP,

則平面ACP的法向量藍(lán)=&=(0,1,0)，

???平面ABM與平面PAC所成銳二面角的余弦值為述,

10

/\m-n\1372

cos(m,n)\=-------=一,—=---

???|mNn|(2艮防10,

32

7

2

解得：A=1.

19.(2021?上海?高二月考)如圖，正方形ABCD所在平面與平面四邊形AB￡F所在的平面互相垂直,

△4BE是等腰直角三角形，AB=AE,FA=FE,ZAEF=45°.

(1)求證：￡F_L平面3CE；

(2)設(shè)線段CD、AE的中點(diǎn)分別為尸、M,求證：〃平面BCE；

(3)求二面角/一的余弦值.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3)駕.

【思路指引】

(1)根據(jù)題意，由面面垂直的性質(zhì)得出3C，平面進(jìn)而得出由等腰直角三角形的性質(zhì)

得出FE_LEB,最后根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證明跖_(tái)L平面BCE；

(2)由題意可知/場(chǎng)，AS,通過(guò)線面垂直的判定定理可證出平面A3CD,從而以AD,AB,AE方向

分別為X,y,z軸正方向，建立空間坐標(biāo)系，令正方形A5CD的邊長(zhǎng)為2,求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，得出

前=(-以及平面3CE的一個(gè)法向量話=(o,_i「i),利用空間向量的數(shù)量積得出句>￡>=()，通

過(guò)空間向量法即可證明PM//平面BCE；

(3)設(shè)平面EBD的一個(gè)法向量〃=(x,y,z),通過(guò)空間向量求法向量的方法求得〃=(1,1,3),危=(0,0,2)

為平面A5CD的一個(gè)法向量，最后根據(jù)空間向量求二面角的方法，即可求出二面角尸-3D-A的余弦值.

【詳解詳析】

解：（1）..,平面ABEF_L平面ABCD,且平面）平面ABCD=AB,

由于正方形A3CD,所以3CJ_AB,

3C_L平面ABEF,

又由￡Fu平面ABEF,

BC上EF,

又：AABE是等腰直角三角形，AB=AE,則N3￡A=45。，

在，AEF中，F(xiàn)A=FE,ZAEF=45°,

:./FEB=90°,即FE_L￡B,

又,：EBBC=B,且EB,3Cu平面BCE,

，EF_L平面BCE；

（2）因?yàn)椤鰽BE是等腰直角三角形，AB=AE,所以AE_LAB,

又平面ABEF_1_平面ABCD,且平面ABEF平面ABCD=AB,

所以AE_L平面A5CD,因此AE_LA￡>,即AD,AB,AE兩兩垂直，

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，4￡）,4民45方向分別為工，y,2軸正方向，建立空間坐標(biāo)系,

令正方形A5CD的邊長(zhǎng)為2,貝人

A（O,O,O）,B（O,2,O）,C（2,2,0）,D（2,0,0）,E（0,0,2）,F（0,-l,l）,P（2,l,0）,M（0,0,l）,

由（1）得￡F_L平面BCE,則d=（o,_i,_i）為平面BCE1的一個(gè)法向量，

又?,癡=（-2,-1,1），

則戰(zhàn).Ek=0x（-2）+（-l）x（-l）+（-l）xl=0，

—>—>

PM1EF'

：.PM//平面BCE；

（3）設(shè)平面FBD的一個(gè)法向量〃=（x,y,z）,

法=（2,-2,0）,康=（0,-3,1），

n-BD=0f2x—2y=0

則，即a_n'

令x=l,則平面FBI）法向量乃=（LL3）,

又：鉆平面ABCD，則矗=（0,0,2）為平面ABCD的一個(gè)法向量，

令二面角尸-BD-A的平面角為0,

泰〃63而

則cos6=/二百二丁

所以二面角尸-BD-A的余弦值為平.

20.(2021?上海市奉賢區(qū)奉城高級(jí)中學(xué)高二月考)如圖，四邊形A8CD是邊長(zhǎng)為。的正方形，出，平面

77

ABCD,尸。與平面ABC。所成角的大小為:

(1)求證：平面AP8_L平面CPB；

(2)求直線B4與平面P8C所成角的大小.

JT

【標(biāo)準(zhǔn)答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)-

4

【思路指引】

(1)由PA_L3C,AB_L3C證明BC_L平面APB,結(jié)合3Cu平面CPB,即得證；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面P8C的法向量，利用線面角的向量公式，即得解

【詳解詳析】

(1)由題意，B4_L平面ABC。，BCu平面ABC。

s.PALBC

又四邊形ABC。是正方形，.1AB，3c

又PAAB=A,PA,ABu平面APB

BC_L平面APB,BCu平面CPB

；?平面”B_L平面CPB

JT

(2)由題意，出，平面ABC。，P。與平面ABC。所成角的大小為；

4

7T

???ZPDA=—,??.PA=AD=a

4

由于B4_L平面A5cZ),AB±AD,如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系

則A(O,O,O),P(O,O,a),6(000),C(o,%0)

則PA=(0,0,—a),PB=(0,a,—a),PC=(a,a,—a)

設(shè)平面PBC的法向量〃=(%,y,z)

[nPB=0(ay-az=0

In?PC=0[cue+ay—az=Q

n=(0,1,1)

不妨設(shè)直線PA與平面PBC所成角的大小為a

...PAna也小乃、

..sinct=-------=-]=~=—,a￡(0,1]

\PA\\n\41a2’2

71

CC——

4

TT

故直線鞏與平面由所成角的大小為「

21.（2021.上海.曹楊二中高三期中）如圖，在四棱錐P-ABC。中，平面ABCQ,底面ABCD是邊

長(zhǎng)為2正方形.

(1)求證：8。_L平面PAC；

(2)若求直線上4與平面PBD所成角的正弦值.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】(1)證明見(jiàn)詳解

⑵近

3

【思路指引】

(1)先證明AC_L5￡),PA^BD,由線線垂直推線面垂直，即得證；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面網(wǎng)見(jiàn)的法向量，利用線面角的向量公式，即得解

(1)

四邊形ABCD是正方形，

:.AC±BD,

又\PA_L平面A5CD,BOu平面ABCD

:.PA±BD,且PAAC=A,PA,ACu平面PAC

.?.3D_L平面PAC

⑵

由題意，P4_L平面ABCD,ABLAD

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為My"軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

故A(0,0,0),尸(0,0,2),8(2,0,0),0(0,2,0)

p

:.PA=(0,0,-2),PB=(2,0,-2),PD=(0,2,-2)

設(shè)平面PBD的法向量為〃=(%,y,z)

n-PB=2x-2z=0.

,令%=1故y=1,Z=1

n?PD=2y-2z=0

/.n=(1,1,1)

不妨設(shè)直線PA與平面尸皿所成角為。

mi.In...PAn25/3

則sina=|cos<PA,n>|=|-----1=--尸=——

\PA\\n\2x63

故直線上4與平面尸SD所成角的正弦值為走

3

22.(2021.上海市行知中學(xué)高二期中)如圖所示，在直三棱柱ABC-A/SG中，側(cè)面AA/CG為長(zhǎng)方形,

AAi=l,AB=BC=2,ZABC=l2.0o,AM=CM.

(1)求證：平面AAGCJ.平面CMB；

(2)求直線AiB和平面3MB所成角的正弦值.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)日

【思路指引】

(1)結(jié)合面面垂直的判定定理證得平面AACC±平面3MB.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法計(jì)算出直線48和平面所成角的正弦值.

(1)

由于48=3。,4^=。河，所以3MLAC,

根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)可知BM1AA,,

由于ACCA4|=A,所以平面441GC,

由于8A/u平面GMB,所以平面AACC，平面GM8.

⑵

設(shè)N是AG的中點(diǎn)，連接MN,則MN〃/1A，兩兩相互垂直.

以M為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

A(Ao,i),B(o,i,o),G(-V3,0,1),AB=卜61，T)，

設(shè)平面CtMB的法向量為〃=(x,y,z),

設(shè)直線\B和平面QMB所成角為凡

n-AiB2百厲

卜,利2-755

23.(2021.上海市大同中學(xué)高三月考)如圖，在正方體A2CZ)-中.

(1)求異面直線4C和8。所成角的大?。?/p>

(2)求二面角的大小.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】(嗚

⑵空

3

【思路指引】

(1)建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算可得4。8。=0,即得解；

(2)分別求解兩個(gè)平面的法向量，利用二面角的向量公式求解即可

⑴

由正方體ABC。-4旦GR,故兩兩垂直，不妨令正方體邊長(zhǎng)為1

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)D4,DC,DDt所在直線分別為尤,Mz軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

故A(1,0,1),C(0,1,0),0(0,0,0),8(1,1,0)

由于AC-BD=1—1=0，故AC，加

TT

異面直線AC和BO所成角的大小為]

(2)

由(1),DA.=(1,0,1),DC=(0,1,0),C\=(1,-1,1),CB=(1,0,0)

設(shè)平面D4c的法向量為〃=(x,y,z)

n-DA=x+z=0人11c遼

,q%=].，.z=-I,y=0,故幾=(l,0,—I)

n?DC=y=0

設(shè)平面3A1C的法向量為根=(%,%4)

m-CA=x—%+z,=0“</八

?，*]，令%=]「.Z]=I,%=0,故加=(0」」)

\mCB=玉=。

設(shè)二面角5-的平面角為a,由圖得二面角為鈍角

故cosa=-\cos<m,n>\=-\m"|=——」「=--

\m\\n\A/2-A^2

故￡=與，即二面角8-AC-。的大小為暮

24.(2021.上海市南洋模范中學(xué)高二期中)在正三角形ABC中，尺上尸分別是A8、AC、3C邊上的點(diǎn)，滿

足AE:EB=CF:FA=CP:PB=l:2(如圖I).將_但沿用折起到4所的位置，使二面角成

直二面角,連接4B、4尸(如圖2)

⑴求證：4乃，平面8￡尸；

(2)求直線AiE與平面AiBP所成角的大小；

(3)求二面角B-AiP-F的余弦值.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)60°

⑶

8

【思路指引】

(1)設(shè)正三角形A8C的邊長(zhǎng)為3.在圖1中，取BE的中點(diǎn)。，連接。E由已知條件推導(dǎo)出ADF是正三

角形，從而得到EPLAD在圖2中，推導(dǎo)出NA/E2為二面角A/-EF-8的平面角，且BE.由此能

證明A/E_L平面BEP.

(2)建立分別以為尤軸、y軸、z軸的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線A/E與平面

48尸所成的角的大小.

(3)分別求出平面AFP的法向量和平面5