2025中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：利用三角形全等和相似的性質(zhì)進(jìn)行求解的問題（原卷版）

專題01利用三角形全等和相似的性質(zhì)進(jìn)行求解的問題

H概拉

在幾何壓軸題中，全等三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)一般作為工具性質(zhì)進(jìn)行使用，用以幫助解決角

度的相等問題或者線段的數(shù)量關(guān)系。

(1)在具體的壓軸題中可以通過證明三角形全等或三角形相似，得到某兩個角相等，再結(jié)合所求進(jìn)行轉(zhuǎn)化,

從而得到我們想要的角度關(guān)系。

(2)壓軸題中關(guān)于證明線段相等關(guān)系或者和差關(guān)系的證明時，一般通過三角形全等的性質(zhì)，找出中間線段

與所求線段的倍數(shù)關(guān)系，進(jìn)行等量代換或者轉(zhuǎn)化。

(3)壓軸題中關(guān)于證明或探究線段之間的積關(guān)系或者比值關(guān)系時，一般利用三角形相似的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，

有時也會用到三角形全等的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

真題精析

例孽1

(2022?遼寧丹東?統(tǒng)考中考真題)已知矩形ABC。，點E為直線8。上的一個動點(點E不與點8重合),

連接AE,以AE為一邊構(gòu)造矩形AEFG(A,E,F,G按逆時針方向排列)，連接。G.

圖1

AG

⑴如圖1,當(dāng)籌=嘿=1時，請直接寫出線段3E與線段0G的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系；

ABAE

(2)如圖2,當(dāng)空=華=2時，請猜想線段BE與線段DG的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由;

ABAE

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接BG,EG,分別取線段8G,EG的中點M,N,連接MN,MD,ND,

若AB=#,ZAEB^45°,請直接寫出△MN。的面積.

郵甌

(1)證明ABAE四△IMG,進(jìn)一步得出結(jié)論；

(2)證明BAE^/\DAG,進(jìn)一步得出結(jié)論；

(3)解斜三角形ABE,求得BE=3,根據(jù)(2)gg=2可得。G=6,從而得出三角形3EG的面積，可證

BE

得AMND冬4MNG,AMNG與AbEG的面積比等于1：4,進(jìn)而求得結(jié)果.

［答案與解析】

【答案】(1)BE=DG,BELDG

(2)BE=^DG,BE±DG,理由見解析

9

(3)SzMNG=-

【詳解】(1)解：由題意得：四邊形43。和四邊形AE尸G是正方形,

J.AB^AD,AE=AG,NRW=NEAG=90。，

二ZBAD-ZDAE=ZEAG-ZDAE,

：.ZBAE=ZDAG,

.".ABAE^ADAG(SAS),

：.BE=DG,ZABE=ZADG,

:.ZADG+ZADB=ZABE+ZADB=90°,

；.NBDG=90°,

：.BE±DG；

-DG

(2)BE=2,BELDG,理由如下:

由(1)得：ZBAE=ZDAG,

..AD=AG=

?ABAE

：./XBAE^/\DAG,

.DGAD.

??——，,ZABE=ZADG

BEAB9

:.ZADG+ZADB=ZABE+ZADB=90°,

AZBZ)G=90°,

：.BELDGx

(3)如圖,

作AHA.BD于H,

AJ-JAD

VtanZABZ)=——

BH~AB

.?.設(shè)4H=2x,BH=x,

在火3457/中，

/+(2x)2=(75)2,

:.BH=T,AH^2,

在RtAAEH中,

AH

VtanZABE=——,

EH

.AH71

??-----—tan45—I,

EH

:?EH=AH=2,

：.BE=BH+EH=3f

vBD=yjAB2+AD2=7(V5)2+(2A/5)2=5,

：.DE=BD-BE=5-3=2,

由(2)得：—=2,DG1.BE,

BE

：.DG=2BE=6,

/.SABEG=—BE-DG=—x3x6=9,

22

在放A5OG和及ADEG中，點M是8G的中點，點N是CE的中點,

/.DM=GM=-BG,DN=GN=-EG,

22

?:NM=NM,

：.ADMN^/\GMN(SSS),

YMN是ABEG的中位線,

：.MN//BE,

:?△BEGS/\MNG,

.S^NG_(GM2_1

?,^7=~GB="

19

/.SMNG=SMNG=-SBEG=一.

AA4A4

血與血

本題主要考查了正方形，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解決

問題的關(guān)鍵是類比的方法.

(2022?遼寧鞍山?統(tǒng)考中考真題)如圖，在，ABC中，AB^AC,N54C=120。，點。在直線AC上，連接

將。E繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)120。，得到線段DE,連接BE,CE.

⑴求證：BC=y/3AB；

CF

⑵當(dāng)點。在線段AC上(點。不與點A,。重合)時，求三的值；

AD

AN

(3)過點A作AN〃。石交3。于點N,若AD=2CD,請直接寫出:赤的值.

CE

哪甌

(1)作AH,3c于可得AB,BC=2BH,進(jìn)而得出結(jié)論；

2

(2)證明AABOSACBE,進(jìn)而得出結(jié)果；

(3)當(dāng)點。在線段AC上時，BF±AC,交C4的延長線于尸，作4GLBO于G,^AB=AC=3a,則

AD^2a,解直角三角形5。/，求得80的長，根據(jù)△ZMGs^Oj?b求得40,進(jìn)而求得AN,進(jìn)一步得出

結(jié)果；當(dāng)點。在AC的延長線上時，設(shè)43=AC=2a,則AD=4a,同樣方法求得結(jié)果.

［答案與解析］

【答案】（1）證明見解析:

⑵g

（3?；蚩?/p>

【詳解】（1）證明：如圖1,

圖1

作AH_L3c于H,

'：AB^AB,

:.ZBAH=ZCAH=|NBAC=；x120°=60°,BC=2BH,

/.sin60°=,

AB

2

：.BC=2BH=y/3ABf

(2)解：*.N5=AC,

1800-ZBAC180°-120°

:.ZABC=ZACB=-----------------=---------------=30°,

22

由⑴得‘除S

同理可得,

BE/-

ND5E=30°,=J3,

BD

BCBE

：.ZABC=ZDBE,

AB~BD)

：.ZABC-ZDBC=ZDBE-ZDBC,

:.NABD=NCBE,

???△ABDsACBE,

:.里=里=6

ADBD

(3)如圖2,

當(dāng)點Z＞在線段AC上時,

作8FJ_AC,交C4的延長線于F,作AG_L3￡）于G,

設(shè)A3=4C=3"，則AO=2a,

由（1）得，CE=A/3A￡>=2^a,

在小AABF中，ZBAF=180°-ZBAC=60°,AB=3a,

3qC

/.AF=3a*cos60°=—a,BF=3?*sin60°=-----a,

22

37

在我必5。b中，DF=AD+AF=2a+—a=—a

229

BD=^BF2+DF2=J^-a=Ma,

VZAGD=ZF=90°,ZADG=NBDF,

：./\DAG^ADBFf

?AG-AD

」而BD

AG_2a

A3A/3-419a,

--a

2

?s_3g

??AG——af

V19

?：AN，DE,

：.ZAND=ZBDE=12Q°9

：.ZA2VG=60°,

.皿AG37326M

.?AN=--------=—=?—=a=-------a,

sin60°V19v319

6M_

：.AN~^~a757,

~CE~2yfia-IF

如圖3,

當(dāng)點。在AC的延長線上時，

設(shè)AB—AC—2a,則AO=4a,

由（1）得，

CE=y/3AD=4>/3a>

作交C4的延長線于R,作AQ_L3。于Q,

同理可得，

AR=a,BR=6a,

:.BD=，（耳丫+（5?）2=2不a,

.AQ_4〃

百a2A/7a9

.AC_24

??AQ=—T=-af

V7

.2_4

??AJy——尸一a.—尸=-a，

，7A/3A/7

4

AN_幣0_后,

~CE~4^3a~^l

綜上所述：到的值為冬或冬.

CE1921

總結(jié)與斯

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解決問題的關(guān)鍵是正確

分類和較強(qiáng)的計算能力.

(2022?湖北宜昌?統(tǒng)考中考真題)己知菱形ABCD中，E是邊AB的中點，尸是邊AD上一點.

(1)如圖1,連接CE,CF.CE±AB,CFLAD.

①求證：CE=CF；

②若AE=2,求CE的長；

(2)如圖2,連接CE,EF.若AE=3,EF=2AF=4,求CE的長.

蠅甌

(1)①根據(jù)A4S可證得：ABEC沿ADFC,即可得出結(jié)論；

②連接AC,可證得ABC是等邊三角形，即可求出CE=26;

(2)延長莊1交C3的延長線于點根據(jù)A45可證得一/1￡F"3EM,可得出ME=4,BM=2,MC=8,

MBMF1

則=上，即可證得AW破sAMCE,即可得出比的長.

MEMC2

［答案與解析】

【答案】(1)①見解析；②CE=2百

(2)EC=6

【詳解】(1)①；CE1AB,CFLAD,

：.ZBEC=ZDFC=90°,

?.,四邊形ABCD是菱形，

；.ZB=ZD,BC=CD,

；._BEC&DFC(AAS),

CE=CF.

②如圖，連接AC.

是邊A3的中點，CE1AB,

BC=AC,

又由菱形ABC。，得BC=AB,

二是等邊三角形，

：.ZEAC=60°,

在RJAEC中，AE=2,

：.EC=AEtan60°=26,

：.CE=26.

(2)如圖，延長正交CB的延長線于點M,

由菱形ABC。，得AD〃3C,AB=BC,

/.ZAFE=ZM,ZA=/EBM,

是邊AB的中點，

AE=BEf

：.AAEF^ABEM(A4S),

ME=EF,MB=AF，

VAE=3,EF=2AF=4,

：.ME=49BM=2,BE=3,

：.BC=AB=2AE=6f

：.MC=89

?邈_2_j_ME_4_1

??標(biāo)一廠5，~MC~8~29

.MBME_位八4A

而41為公共角?

MEMC

：.AMEB^AMCE9

.BEMB_2

??法一標(biāo)—"

又?：BE=3,

：.EC=6.

總結(jié)與點撥

本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，銳角三角函數(shù)求線段長度，全等三角形的性質(zhì)和判定,

相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識點并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

睛曙翩（題

1.（2022.吉林長春?校聯(lián)考模擬）【教材呈現(xiàn)】

在華師版八年級下冊數(shù)學(xué)教材第111頁學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：菱形的對角線互相垂直.

【結(jié)論運(yùn)用】

LC

圖①圖②圖③

⑴如圖①，菱形ABCD的對角線AC與3D相交于點。，AD=5,OD=4,則菱形ABCD的面積是；

（2）如圖②，四邊形ABGD是平行四邊形，點尸在AD上，四邊形CDE廠是菱形，連接AE、AC、BF,求

證：AC=BF；

⑶如圖③，四邊形ACBD是菱形，點廠在AQ上，四邊形CDE廠是菱形，連接AE,若NZME=40。，則ZACF=

度.

2.（2022.四川德陽?模擬）已知：四邊形ABCD是正方形，點E在以）邊上，點尸在AD邊上，且AF=Z）E.

(1)如圖1,AE與即有怎樣的關(guān)系.寫出你的結(jié)果，并加以證明;

(2)如圖2,對角線AC與5D交于點。.BD,AC分別與AE,BF交于點G,點H.

①求證：OG=OH；

②連接0尸，若AP=4,。尸=拒，求A3的長.

3.(2022?山東日照??？级?在AABC中，AB=AC,N3AC=<z,點尸為線段C4延長線上一動點，連接

PB,將線段總繞點尸逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a,得到線段PZ),連接08,DC.

(2)如圖2,當(dāng)c=120。時，請直接寫出上4和。C的數(shù)量關(guān)系.

(3)當(dāng)。=120。時，若AB=6,BP=g請直接寫出點。到CP的距離為

4.(2022?山東濟(jì)南?山東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)?？寄M)如圖，在一ABC中，點。、E分別是邊BC、AC

上的點，且=

⑴如圖1,若NB=NC,求證：AB