大一高數(shù)c期末考試題及答案

大一高數(shù)c期末考試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\ln(x+1)\)的定義域是（）A.\(x>-1\)B.\(x\geq-1\)C.\(x<-1\)D.\(x\leq-1\)2.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=\)（）A.0B.1C.-1D.不存在3.函數(shù)\(y=x^3\)的導(dǎo)數(shù)\(y^\prime=\)（）A.\(x^2\)B.\(3x^2\)C.\(3x\)D.\(x^3\)4.若\(f(x)\)的一個(gè)原函數(shù)是\(x^2\)，則\(f(x)=\)（）A.\(2x\)B.\(x^2\)C.\(\frac{1}{2}x^2\)D.\(x\)5.\(\intxdx=\)（）A.\(\frac{1}{2}x^2+C\)B.\(x^2+C\)C.\(\frac{1}{2}x+C\)D.\(x+C\)6.曲線\(y=x^2\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的切線斜率為（）A.1B.2C.3D.47.函數(shù)\(y=\cosx\)的周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(3\pi\)D.\(4\pi\)8.已知\(f(x)=x^2+1\)，則\(f(2)=\)（）A.3B.4C.5D.69.\(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=\)（）A.0B.1C.\(\infty\)D.不存在10.函數(shù)\(y=e^x\)的導(dǎo)數(shù)\(y^\prime=\)（）A.\(e^x\)B.\(-e^x\)C.\(xe^x\)D.\(\frac{1}{x}e^x\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=\cosx\)D.\(y=x\)2.下列極限存在的有（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\)B.\(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\)C.\(\lim_{x\to0}x\)D.\(\lim_{x\to\infty}x\)3.以下哪些是基本求導(dǎo)公式（）A.\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)B.\((\sinx)^\prime=\cosx\)C.\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)D.\((e^x)^\prime=e^x\)4.不定積分的性質(zhì)有（）A.\(\intkf(x)dx=k\intf(x)dx\)（\(k\)為常數(shù)）B.\(\int[f(x)+g(x)]dx=\intf(x)dx+\intg(x)dx\)C.\((\intf(x)dx)^\prime=f(x)\)D.\(\intf^\prime(x)dx=f(x)+C\)5.函數(shù)\(y=x^2-2x+3\)的單調(diào)區(qū)間有（）A.在\((-\infty,1)\)上單調(diào)遞減B.在\((1,+\infty)\)上單調(diào)遞增C.在\((-\infty,0)\)上單調(diào)遞增D.在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞減6.下列函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)的有（）A.\(y=x\)B.\(y=\frac{1}{x}\)C.\(y=\sqrt{x}\)（\(x\geq0\)）D.\(y=\lnx\)（\(x>0\)）7.與導(dǎo)數(shù)定義相關(guān)的式子有（）A.\(\lim_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}\)B.\(\lim_{x\tox_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)C.\(f^\prime(x)=\lim_{\Deltax\to0}\frac{f(x+\Deltax)-f(x)}{\Deltax}\)D.\(f^\prime(x_0)=\lim_{x\tox_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)8.下列哪些是定積分的性質(zhì)（）A.\(\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx\)（\(k\)為常數(shù)）B.\(\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx\)C.\(\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx\)D.\(\int_{a}^{a}f(x)dx=0\)9.函數(shù)\(y=\tanx\)的定義域包含以下哪些區(qū)間（）A.\((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)B.\((\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2})\)C.\((0,\pi)\)D.\((-\pi,0)\)10.以下哪些是常見的等價(jià)無窮?。ǎ〢.\(x\sim\sinx\)（\(x\to0\)）B.\(x\sim\tanx\)（\(x\to0\)）C.\(x\sim\ln(1+x)\)（\(x\to0\)）D.\(x^2\sim1-\cosx\)（\(x\to0\)）三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在\(x=0\)處連續(xù)。（）2.\(\lim_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}=1\)。（）3.若\(f^\prime(x_0)=0\)，則\(x_0\)一定是\(f(x)\)的極值點(diǎn)。（）4.\(\int_{a}^f(x)dx=F(b)-F(a)\)，其中\(zhòng)(F^\prime(x)=f(x)\)。（）5.函數(shù)\(y=x^2\)與\(y=-x^2\)的圖像關(guān)于\(x\)軸對(duì)稱。（）6.常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0。（）7.函數(shù)\(y=\lnx\)在\((0,+\infty)\)上是單調(diào)遞增的。（）8.\(\lim_{x\to0^+}\lnx=-\infty\)。（）9.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定連續(xù)。（）10.曲線\(y=x^3\)的凹凸性在整個(gè)定義域內(nèi)不變。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+1\)的導(dǎo)數(shù)。答案：根據(jù)求導(dǎo)公式\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)，\(y^\prime=3x^2-6x\)。2.計(jì)算\(\int(2x+1)dx\)。答案：由積分性質(zhì)，\(\int(2x+1)dx=2\intxdx+\int1dx=2\times\frac{1}{2}x^2+x+C=x^2+x+C\)。3.求\(\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}\)。答案：對(duì)分子因式分解，\(\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=x+1\)，則\(\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to1}(x+1)=2\)。4.求函數(shù)\(y=\sinx\)在\(x=\frac{\pi}{2}\)處的切線方程。答案：\(y^\prime=\cosx\)，在\(x=\frac{\pi}{2}\)處，\(y^\prime=0\)，\(y(\frac{\pi}{2})=1\)，切線方程為\(y-1=0\times(x-\frac{\pi}{2})\)，即\(y=1\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=x^2-4x+3\)的單調(diào)性與極值。答案：求導(dǎo)得\(y^\prime=2x-4\)，令\(y^\prime=0\)，得\(x=2\)。當(dāng)\(x<2\)時(shí)，\(y^\prime<0\)，函數(shù)遞減；當(dāng)\(x>2\)時(shí)，\(y^\prime>0\)，函數(shù)遞增。所以\(x=2\)為極小值點(diǎn)，極小值為\(y(2)=-1\)。2.定積分與不定積分有什么聯(lián)系與區(qū)別？答案：聯(lián)系：定積分計(jì)算常借助不定積分，\(\int_{a}^f(x)dx=F(b)-F(a)\)，\(F(x)\)是\(f(x)\)的一個(gè)原函數(shù)。區(qū)別：不定積分是原函數(shù)的集合，結(jié)果含常數(shù)\(C\)；定積分是一個(gè)數(shù)值，與積分區(qū)間有關(guān)。3.舉例說明極限在實(shí)際生活中的應(yīng)用。答案：如在計(jì)算物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度時(shí)，當(dāng)時(shí)間間隔\(\Deltat\)趨于0時(shí)，平均速度的極限就是瞬時(shí)速度；在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，邊際成本等概念也借助極限，通過研究產(chǎn)量變化趨于0時(shí)成本的變化率來分析。4.如何判斷函數(shù)在某點(diǎn)處的可導(dǎo)性與連續(xù)性？答案：連續(xù)性：若\(\lim_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)\)，則函數(shù)在\(x_0\)處連續(xù)?？蓪?dǎo)性：若\(\lim_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}\)存在，則函數(shù)在\(x_0\)處可導(dǎo)，可導(dǎo)一定連續(xù)，