數(shù)學(xué)建模競賽參賽隊(duì)員的選拔與組隊(duì)問題

PAGE4-數(shù)學(xué)建模競賽參賽隊(duì)員的選拔與組隊(duì)問題摘要：本論文通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,根據(jù)層次分析理論,運(yùn)用求權(quán)重的方法,去解決在數(shù)學(xué)建模競賽活動(dòng)中,任何一個(gè)參賽院校都會(huì)遇到的如何選拔最優(yōu)秀的隊(duì)員和科學(xué)合理的組隊(duì)問題.論文主要針對(duì)三個(gè)問題,構(gòu)建了各自相對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,并利用分析數(shù)據(jù)、編程,求得了問題的結(jié)果.關(guān)鍵詞：隊(duì)員選拔與組隊(duì);數(shù)學(xué)建模;層次分析法;權(quán)重系數(shù);逐次優(yōu)選.1問題提出在一年一度的美國MCM和中國全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽活動(dòng)中，任何一個(gè)參賽院校都會(huì)遇到如何選拔最優(yōu)秀的隊(duì)員和科學(xué)合理的組隊(duì)問題.這是一個(gè)最實(shí)際的、而且是首先需要解決的數(shù)學(xué)模型問題.現(xiàn)假設(shè)有20名隊(duì)員準(zhǔn)備參加競賽,根據(jù)隊(duì)員的能力和水平要選出18名優(yōu)秀隊(duì)員分別組成6個(gè)隊(duì),每個(gè)隊(duì)3名隊(duì)員去參加比賽.選擇隊(duì)員主要考慮的條件依次為有關(guān)學(xué)科成績（平均成績）,智力水平（反映思維能力、分析問題和解決問題的能力等）、動(dòng)手能力（計(jì)算機(jī)的使用和其他方面實(shí)際操作能力）、寫作能力、外語水平、協(xié)作能力（團(tuán)結(jié)協(xié)作能力）和其他特長每個(gè)隊(duì)員的基本條件量化后如下表.表1隊(duì)員的基本條件表1隊(duì)員的基本條件條件數(shù)值隊(duì)員學(xué)科成績（）智力水平（）動(dòng)手能力（Ⅲ）寫作能力（Ⅳ）外語水平（Ⅴ）協(xié)作能力（Ⅵ）其他特長（Ⅶ） 假設(shè)所有隊(duì)員接受了同樣的培訓(xùn),外部環(huán)境相同,競賽中不考慮其他的隨機(jī)因素的影響,競賽水平的發(fā)揮只取決于表1中所給的各項(xiàng)條件,并且參賽隊(duì)員都能正常發(fā)揮自己的水平,現(xiàn)在的問題是：在20名隊(duì)員中選擇18名優(yōu)秀隊(duì)員參加競賽;確定一個(gè)最佳的組隊(duì)使競賽技術(shù)水平最高;給出由18名隊(duì)員組成6個(gè)隊(duì)的組隊(duì)方案，使整體競賽技術(shù)水平最高,并給出每個(gè)隊(duì)的競賽技術(shù)水平.2合理假設(shè)2.1假設(shè)問題給出的數(shù)據(jù)均為可供分析的可靠數(shù)據(jù),不存在錯(cuò)誤數(shù)據(jù);2.2假設(shè)每個(gè)隊(duì)員在參賽以前接受相同的培訓(xùn),相同的外部環(huán)境，一致性比率:.因?yàn)?所以判斷矩陣通過一致性檢驗(yàn).因此所對(duì)應(yīng)的特征向量為:經(jīng)過歸一化后得到也就是學(xué)科成績,智力水平,動(dòng)手能力,寫作能力,外語水平,協(xié)作能力,其他特長7個(gè)準(zhǔn)則對(duì)選拔優(yōu)秀隊(duì)這個(gè)目標(biāo)的權(quán)重.下面考慮方案層對(duì)準(zhǔn)則層的特征向量,設(shè)表1中的各隊(duì)員的條件數(shù)值所構(gòu)成的矩陣為,其中.特征矩陣為:.其中(2)該矩陣歸一化處理，必定為一致陣.所以的最大特征值=20,所以其,,都為0.用Excel表格處理表1中的數(shù)據(jù),得表2P-C層特征向量P-C0.04980.05220.04730.050.04520.05080.04720.04750.05110.04670.04070.0440.04870.01570.04630.04990.0490.05320.05260.05130.0630.04980.05170.04790.060.05550.05190.0630.0510.04880.0490.04820.04920.04920.07090.05330.05340.04730.04940.05150.04810.04720.05330.05570.05190.0450.0520.04920.07090.04060.04640.05650.03880.04970.05190.04720.04460.04760.04850.04070.05490.04970.03940.04810.0470.04960.04320.04860.05030.03150.05210.04760.04620.04880.05150.05080.03940.05560.05280.04670.06190.04970.05190.04720.0550.05570.04790.05070.05150.04970.05510.04980.04820.04730.05070.05150.04810.03940.05270.05050.05080.05250.05030.05030.03940.05390.04880.04960.0550.04920.05080.04720.04870.04640.05420.05750.0480.04870.05510.05040.04820.05310.05690.04970.04920.0630.04520.0470.05540.04750.05150.05130.07090.05210.05110.05480.04940.0440.04810.0472則方案在目標(biāo)中的組合權(quán)向量為:(3)利用Matlab的矩陣運(yùn)算，求出,得到每個(gè)隊(duì)員的權(quán)重.其中.所以總的一致性指標(biāo)為組合一致性檢驗(yàn)通過,因此組合權(quán)向量可以作為最終決策的依據(jù).按照20名隊(duì)員的權(quán)重大小進(jìn)行排序,得到下表:表320名隊(duì)員權(quán)重排序結(jié)果權(quán)重0.05330.05310.05310.05190.05140.05140.05130.05120.05110.0503隊(duì)員LMGDPFROTE權(quán)重0.05010.04970.04950.04920.0490.04880.04720.04630.04630.0457隊(duì)員QACKSNJBIH由表3得知兩名隊(duì)員的能力最弱,因此剔除兩名隊(duì)員,選取剩余的18名優(yōu)秀隊(duì)員參加競賽.3.2對(duì)確定一個(gè)最佳的組隊(duì)構(gòu)建模型并求解要確定一個(gè)最佳組隊(duì),使這組的競技水平最高,顯然要考慮到隊(duì)員之間的互補(bǔ)性,使該組隊(duì)在各指標(biāo)上的權(quán)重盡量的大,特別是前三個(gè)條件指標(biāo),上述即為所構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型.設(shè)立這樣一個(gè)競技水平函數(shù):(4)表示個(gè)人對(duì)準(zhǔn)則層的權(quán)重作為個(gè)人的水平.由表2可以分別得出7個(gè)指標(biāo)中最大的權(quán)重所對(duì)應(yīng)的隊(duì)員編號(hào)，從中挑選最佳組合.如下表：表4確定一個(gè)最佳組隊(duì)指標(biāo)最大的權(quán)重0.05560.05570.05540.06190.05550.05190.0709隊(duì)員編號(hào)LG，MSLDD,LE,G,S所以由表4及考慮到隊(duì)員的能力的強(qiáng)弱,最佳的組合是.3.3對(duì)18名隊(duì)員組成6個(gè)隊(duì)的組隊(duì)方案構(gòu)建模型并求解構(gòu)建由18名隊(duì)員組成6個(gè)隊(duì)的組隊(duì)方案模型,因?yàn)樵趩栴}（ⅱ）的模型的基礎(chǔ)上,已經(jīng)確定了一個(gè)最佳組合，因此只要將剩下的15名隊(duì)員分成5組即可.針對(duì)這個(gè)模型,可以繼續(xù)采用問題（ⅱ）中模型的求解方法,用逐次優(yōu)選的思想將剩下的15名隊(duì)員組隊(duì).具體求解過程如下表所示.表5確定第二組的組隊(duì)指標(biāo)第二的權(quán)重0.0550.05340.05480.60.05490.05130.063隊(duì)員編號(hào)MFTDIC,SC,D,R所以第二組的組合是:表6確定第三組的組隊(duì)指標(biāo)第三的權(quán)重0.05390.05220.05420.05750.05260.05080.0551隊(duì)員編號(hào)PAQQCK,P,AQ所以第三組的組合是:表7確定第四組的組隊(duì)指標(biāo)第四的權(quán)重0.05270.05170.05310.05690.05150.05030.0394隊(duì)員編號(hào)ODRRNO，JK,O,N所以第四組的組合是:表8確定第五組的組隊(duì)指標(biāo)第五的權(quán)重0.05210.05110.04960.5320.04920.04920.0315隊(duì)員編號(hào)KBJCEEJ所以第五組的組合是:這樣只剩下最后一組了,所以第六組的組隊(duì)為:因此由18名優(yōu)秀隊(duì)員組成6個(gè)隊(duì),能夠使整體競技水平最高的組隊(duì)方案如下表所示:表96個(gè)隊(duì)的組隊(duì)方案分組隊(duì)員一隊(duì)員二隊(duì)員三第一組LGS第二組MFT第三組PAQ第四組ODR第五組KBJ第六組ECN4模型優(yōu)缺點(diǎn)主要的優(yōu)點(diǎn)就是用層次分析法構(gòu)建建模競賽參賽隊(duì)員