《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論》課件-第七章-1

第一節(jié)數(shù)與代數(shù)教學(xué)的意義、內(nèi)容、和要求一、“數(shù)與代數(shù)”教學(xué)的意義（1）學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系。小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容很多具有明顯的實(shí)際背景，與日常生活聯(lián)系密切，可以解決一些實(shí)際問(wèn)題。（2）初步學(xué)會(huì)探索現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系及其變化規(guī)律認(rèn)識(shí)利用符號(hào)表示數(shù)及數(shù)量關(guān)系，揭示存在于一類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題中的共性和普遍性，讓學(xué)生初步學(xué)會(huì)探索現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系及其變化規(guī)律。（3）樹(shù)立辯證唯物觀，初步學(xué)會(huì)利用科學(xué)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界小學(xué)數(shù)學(xué)教材中存在著許許多多的既對(duì)立又統(tǒng)一的知識(shí)點(diǎn)，如整數(shù)和分?jǐn)?shù)的對(duì)立統(tǒng)一；加法和減法、乘法和除法的對(duì)立統(tǒng)一；精確和近似的對(duì)立統(tǒng)一；變與不變的對(duì)立統(tǒng)一；在研究過(guò)程中，也充滿了對(duì)立與統(tǒng)一，例如，已知與未知、特殊與一般、具體與抽象等。同時(shí)，在正、反比例變量與函數(shù)的研究中，還充滿著運(yùn)動(dòng)、變化的思想。二、“數(shù)與代數(shù)”教學(xué)內(nèi)容1.數(shù)與代數(shù)歷史簡(jiǎn)介在不同的時(shí)代中，數(shù)學(xué)知識(shí)常有其特定指稱(chēng)與范疇。很久很久以前，人們還沒(méi)有發(fā)明數(shù)字的時(shí)候，人們用身體、工具表示數(shù)、數(shù)數(shù)。圖7-1圖7-2（結(jié)繩計(jì)數(shù)）逢十進(jìn)一屈指可數(shù)微積分的原文”Calculus”是指用于計(jì)數(shù)及賭博的一種小石子；在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，它有「計(jì)算」、「數(shù)出」以及「指出」的意思。大約在公元前770年至前221年，春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，我國(guó)已出現(xiàn)了用算籌記數(shù)，并采用位置記數(shù)法．所謂算籌，有時(shí)也稱(chēng)“算”或“籌”，是指用來(lái)記數(shù)或計(jì)算的一種竹制的工具(小竹棍)，除了用竹制之外，也有木制的，骨制的，甚至講究的還有用象牙制作的．算籌記數(shù)請(qǐng)按鍵選擇縱式記法橫式記法算籌記數(shù)縱式記法橫式記法請(qǐng)按鍵選擇124365978算籌記數(shù)算盤(pán)縱式記法算籌記數(shù)算盤(pán)125436798橫式記法用算籌表示數(shù)要縱橫交替使用。例如：擺出

16037「代數(shù)」一詞之英文名稱(chēng)「Algebra」，它源于公元830年花拉子米(Khwrizmi公元783-850年)所使用的阿拉伯文「al-jabr」，圖7-5為紀(jì)念花拉子米誕生1200年發(fā)行的郵票。早在古埃及與巴比倫時(shí)期，代數(shù)想法即被視為已經(jīng)出現(xiàn)。其實(shí)當(dāng)時(shí)的解題過(guò)程是利用文辭敘述與記錄，直到十六世紀(jì)，代數(shù)才發(fā)展出符號(hào)化的特質(zhì)。

李善蘭（1811－1882），浙江海寧人數(shù)學(xué)、天文、植物學(xué)家

將“Algebra”譯成“代數(shù)”譯《代數(shù)學(xué)》13卷；與偉烈亞力合譯《幾何原本》后9卷“代數(shù)學(xué)”的來(lái)歷古典代數(shù)學(xué)：中心問(wèn)題Algebra(代數(shù)學(xué))的原始含意：用字母代替數(shù)進(jìn)行運(yùn)算古典代數(shù)學(xué)（至19世紀(jì)上半葉）中心問(wèn)題：

求代數(shù)方程的根用字母和符號(hào)表示數(shù)及其運(yùn)算或關(guān)系是代數(shù)學(xué)的一個(gè)基本特征。建立一套簡(jiǎn)明有效的符號(hào)體系，可以使代數(shù)書(shū)寫(xiě)表達(dá)更加方便，運(yùn)算過(guò)程更加清晰，推演思路更加精煉．這是近代數(shù)學(xué)得以迅速發(fā)展的必要前提，也是近代科學(xué)發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)提出的要求?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)符號(hào)的引入大約始于15世紀(jì)末，有些符號(hào)經(jīng)多次改進(jìn)才成為現(xiàn)今通用的形狀。書(shū)中數(shù)學(xué)符號(hào)——參見(jiàn)《數(shù)學(xué)符號(hào)史》2.“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)內(nèi)容第一學(xué)段（1）數(shù)的認(rèn)識(shí)。（2）數(shù)的運(yùn)算。（3）常見(jiàn)的量。（4）探索規(guī)律。第二學(xué)段（1）數(shù)的認(rèn)識(shí)。（2）數(shù)的運(yùn)算。（3）式與方程。（4）正比例、反比例。（5）探索規(guī)律。三、“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)要求1.關(guān)注“數(shù)與代數(shù)”知識(shí)的形成過(guò)程（1）結(jié)合生活情境和數(shù)學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷符號(hào)化過(guò)程，認(rèn)識(shí)到引入符號(hào)的必要性。數(shù)學(xué)符號(hào)能簡(jiǎn)潔地表示一類(lèi)事物的本質(zhì)屬性，但往往也比較抽象。在開(kāi)展符號(hào)教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)盡可能結(jié)合具體的情境，通過(guò)學(xué)生感知、觀察、操作、反思、歸納等活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷用數(shù)學(xué)符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系及其變化規(guī)律的過(guò)程，使學(xué)生體驗(yàn)到用符號(hào)表示的優(yōu)越性。（2）以數(shù)學(xué)活動(dòng)為主線，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐和經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，注重親身感受。通過(guò)探索豐富的問(wèn)題情境，以及數(shù)學(xué)活動(dòng)、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，使學(xué)生逐步形成數(shù)感、符號(hào)感，體會(huì)數(shù)字和符號(hào)用來(lái)進(jìn)行表示及交流的作用，并感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界、數(shù)學(xué)與自然和人類(lèi)社會(huì)的密切聯(lián)系。（3）經(jīng)歷“數(shù)與代數(shù)”知識(shí)的“再創(chuàng)造”的過(guò)程。弗賴(lài)登塔爾是荷蘭著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家。他認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)方法的核心是學(xué)生”的“再創(chuàng)造”。學(xué)生通過(guò)“再創(chuàng)造”來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程實(shí)際上就是一個(gè)“做數(shù)學(xué)”(doingmathematics)的過(guò)程。2.突出“數(shù)與代數(shù)”的背景（1）生活實(shí)際背景（2）生產(chǎn)實(shí)踐背景（3）數(shù)學(xué)歷史發(fā)展背景梁宗巨先生在他的著作中為“0”撰寫(xiě)22頁(yè)。

數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史不僅要追溯數(shù)學(xué)的內(nèi)容、思想和方法的演變、發(fā)展過(guò)程，而且還探索影響這種過(guò)程的各種因素，以及歷史上數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展對(duì)人類(lèi)文明所帶來(lái)的影響。3.重視直觀感性材料的作用（1）學(xué)生的認(rèn)識(shí)，從具體操作上升到抽象的算法，需要借助表象。有效的“表象操作”，是促使學(xué)生從“實(shí)物操作”到“算法操作”之間必不可少的“橋梁”。要促使學(xué)生算法的抽象，不可忽視表象在具體與抽象之間的中介作用。圖7-6由此得到啟發(fā)：7顆豆子平均分到3個(gè)盤(pán)子里，那個(gè)分剩下來(lái)不夠再分的豆子數(shù)就是“余數(shù)”，盤(pán)子里試著放豆子的過(guò)程就是“試商”。在這里，從實(shí)物到算式是“形式化”的過(guò)程，從算式運(yùn)算返回到實(shí)物解釋是“尋找意義”的過(guò)程。數(shù)學(xué)化就是在具體，半具體、半抽象，抽象之間的鋪排，是穿行于實(shí)物與算式之間的形式化過(guò)渡。（2）借助直觀，實(shí)現(xiàn)算法多樣化“數(shù)與代數(shù)”的概念、公式、法則是對(duì)實(shí)際生活中事物數(shù)量關(guān)系的抽象與概括，而學(xué)生思維水平正處于以具體形象思維為主要形式向以抽象邏輯思維為主要形式的過(guò)渡階段，他們的邏輯思維還帶有很大成分的具體形象性，往往需要在感性材料支持下其思維活動(dòng)才能順利進(jìn)行。小學(xué)生需要借助感性材料的支持，實(shí)現(xiàn)選擇問(wèn)題的多種呈現(xiàn)方式，利于學(xué)生從多個(gè)角度理解問(wèn)題的意義。（3）借助現(xiàn)代教育技術(shù)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題從靜態(tài)轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的活動(dòng)過(guò)程122436==1248510==四、小學(xué)生算術(shù)與代數(shù)思維的發(fā)展1．算術(shù)思維與代數(shù)思維算術(shù)主要是由程序思維（proceduralthinking）來(lái)刻畫(huà)，即算術(shù)思維的核心是獲取一個(gè)（正確）答案，以及確定獲取這個(gè)答案與驗(yàn)證這個(gè)答案是否正確的方法；而代數(shù)思維則是由關(guān)系或結(jié)構(gòu)來(lái)描述的，它的目的是發(fā)現(xiàn)（一般化的）關(guān)系或結(jié)構(gòu)，并把他們聯(lián)系起來(lái)。代數(shù)思維倚重的是關(guān)系的符號(hào)化及其運(yùn)算，這個(gè)運(yùn)算是結(jié)構(gòu)性的、去情境的、具有一般性的、形式化的，并且在某種程度上是無(wú)法依賴(lài)直觀的。代數(shù)思維關(guān)系到四個(gè)不同的概念：算術(shù)的一般化、解特定問(wèn)題的過(guò)程、數(shù)量關(guān)系的探索和結(jié)構(gòu)的探索。在算術(shù)思維中，人們利用數(shù)量的計(jì)算求出答案，這個(gè)過(guò)程是程序性的、含情境的、具有特殊性的、計(jì)算性的特點(diǎn)。在算術(shù)思維中，表達(dá)式的功用是一種思考的紀(jì)錄，是直接聯(lián)結(jié)題目與答案的橋梁。在算術(shù)中，當(dāng)寫(xiě)兩個(gè)數(shù)相加的形式時(shí)（如2＋7），通常就是要算出2與7的和9，2＋7通常只是一個(gè)過(guò)程，9是2＋7的結(jié)果。而代數(shù)思維倚重的是關(guān)系的符號(hào)化及其運(yùn)算，這個(gè)運(yùn)算是結(jié)構(gòu)性的、去情境的、具有一般性的、形式化的特點(diǎn)。代數(shù)式a＋b這個(gè)形式本身，既表示a和b這兩個(gè)數(shù)作加法運(yùn)算，也表示a和b相加的結(jié)果。即a＋b本身既可以看做運(yùn)算過(guò)程，又可以看做運(yùn)算結(jié)果，也就是作為一個(gè)對(duì)象看待。2．從算術(shù)思維到代數(shù)思維的過(guò)渡將數(shù)值運(yùn)算推廣到符號(hào)運(yùn)算后，發(fā)生的本質(zhì)的變化是：從實(shí)施程序變成了對(duì)象操作。這時(shí)，除了要考慮對(duì)象本身的結(jié)構(gòu)、特點(diǎn)和限制外，還得處理不同對(duì)象之間的關(guān)系。從教學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看，要從算術(shù)思維過(guò)渡到代數(shù)思維，絕非僅是進(jìn)行大量的算術(shù)練習(xí)或精熟的符號(hào)操演，而是在這兩項(xiàng)為基礎(chǔ)的條件下幫助學(xué)生建立代數(shù)思維的一般化及結(jié)構(gòu)化。在代數(shù)的教學(xué)中，算術(shù)思維的程序性與代數(shù)思維的結(jié)構(gòu)性是同要的重要的，也唯有建立在這兩種思維的相互協(xié)調(diào)上，代數(shù)思維才能發(fā)展起來(lái)。數(shù)感有的時(shí)候，對(duì)圖形的辨別能提高數(shù)感。桌上有5顆豌豆，均勻地緊挨著排成一條直線，較難立即判別是4顆還是5顆，但把它們排成方形（4顆）或是梅花狀（5顆），一眼能看出差別。

第二節(jié)數(shù)與代數(shù)概念與技能教學(xué)數(shù)的概念數(shù)感：某些動(dòng)物有一種本能，能感知事物的“多少”。一個(gè)烏鴉在一個(gè)莊園的塔樓上筑巢，莊園主想捉住它。但當(dāng)莊園主一進(jìn)入塔樓，烏鴉就飛走，他一走出塔樓，烏鴉就飛回來(lái)；莊園主和另一個(gè)人，2人進(jìn)入塔樓，然后1個(gè)人走出來(lái)，1個(gè)人留在里面，但烏鴉不飛回來(lái)，它感到出來(lái)的人數(shù)比進(jìn)去的少了，直到留在里面的人出來(lái)，它才飛回；莊園主繼續(xù)試驗(yàn)，進(jìn)去3人，出來(lái)2人，烏鴉還是不飛回來(lái)；繼續(xù)試驗(yàn)，直到進(jìn)去5人，出來(lái)4人，烏鴉分辨不出來(lái)了，飛了回來(lái)，被逮住了。原始人的數(shù)覺(jué)并不比烏鴉強(qiáng)，南部非洲的Bushmen人，除了一、二和多，沒(méi)有別的數(shù)字，澳大利亞土人沒(méi)有人能了解七。一、數(shù)的認(rèn)識(shí)（一）數(shù)感的理解1．?dāng)?shù)感內(nèi)涵麥金托什等人認(rèn)為：數(shù)感指的是一個(gè)人對(duì)數(shù)字和運(yùn)算的一般理解力，以及靈活應(yīng)用這種理解的傾向和能力，用這種方式可以做出明智的數(shù)學(xué)判斷，并開(kāi)發(fā)出應(yīng)用數(shù)字和運(yùn)算法則的有效策略。數(shù)感主要在三個(gè)領(lǐng)域起重要作用：（1）數(shù)字知識(shí)和數(shù)字的簡(jiǎn)便性——數(shù)字的順序感；多樣化的數(shù)字呈現(xiàn)形式；數(shù)字相對(duì)和絕對(duì)數(shù)量的判斷；思考數(shù)字的基準(zhǔn)參考體糸。（2）運(yùn)算知識(shí)和運(yùn)算的簡(jiǎn)便性——理解運(yùn)算結(jié)果；意識(shí)到所應(yīng)用的規(guī)則。（3）把數(shù)字、運(yùn)算的知識(shí)及其簡(jiǎn)便性應(yīng)用到需要用數(shù)字進(jìn)行推理的問(wèn)題中，理解問(wèn)題情境和含適的解題策略之間的關(guān)系；意識(shí)到存在多樣化的數(shù)字呈現(xiàn)方式；應(yīng)用有效的數(shù)字表征形式；檢驗(yàn)數(shù)據(jù)和結(jié)果的傾向。《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出學(xué)生具有數(shù)感的主要表現(xiàn)：理解數(shù)的意義；能用多種方法表示數(shù)；能在具體的情景中把握數(shù)的相對(duì)大小關(guān)系；能用數(shù)表達(dá)和交流信息；能為解決問(wèn)題選擇適當(dāng)?shù)乃惴?；能估?jì)運(yùn)算的結(jié)果，并對(duì)結(jié)果的合理性作出解釋”。郭民博士對(duì)數(shù)感內(nèi)涵界定為：“數(shù)感就是人們對(duì)數(shù)和數(shù)的關(guān)系的一種感悟，以及運(yùn)用數(shù)字關(guān)系和數(shù)字模式進(jìn)行推理與解決問(wèn)題的能力”。數(shù)感的構(gòu)成要素分為：數(shù)的意義、數(shù)的表示、數(shù)的關(guān)系、數(shù)的運(yùn)算、數(shù)的估算、數(shù)的問(wèn)題解決六個(gè)方面。2．?dāng)?shù)感的教育價(jià)值數(shù)感發(fā)展的關(guān)鍵期是小學(xué)低年級(jí)，學(xué)生數(shù)感的發(fā)展，需要經(jīng)歷感悟多少、用數(shù)表示多少、建立數(shù)之間的關(guān)聯(lián)、對(duì)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算、形成數(shù)系概念等的過(guò)程。從開(kāi)始接觸數(shù)字，小學(xué)生就已經(jīng)在尋找數(shù)字之間的聯(lián)系。數(shù)字之間的這些聯(lián)系能培養(yǎng)小學(xué)生思維的靈活性，而這種靈活性正是形成數(shù)感的特征。數(shù)感是人們對(duì)數(shù)學(xué)的一種敏感與理解，是數(shù)學(xué)理性精神形成的基礎(chǔ);數(shù)感是數(shù)學(xué)思考的催化劑，是思維發(fā)展的階段性成果。培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感有助于他們數(shù)學(xué)地理解和解釋現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，有助于提高他們提出問(wèn)題和解決問(wèn)題能力，有助于發(fā)展他們的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力等。3．?dāng)?shù)感的培養(yǎng)策略首先，小學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程。對(duì)小學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)過(guò)程要經(jīng)歷三個(gè)階段。第一，要學(xué)習(xí)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、有理數(shù)等數(shù)的概念及其運(yùn)算規(guī)則，這是數(shù)感形成的基礎(chǔ)。通過(guò)觀察、操作、體驗(yàn)、解決問(wèn)題等活動(dòng)，感受數(shù)的意義，將數(shù)的概念及規(guī)則與其實(shí)際含義聯(lián)系起來(lái)，而獲得相應(yīng)的數(shù)的知識(shí)，并獲得初步的數(shù)感。第二，通過(guò)用多種方法來(lái)表示數(shù)，在具體情境中把握數(shù)的相對(duì)大小關(guān)系，從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)量關(guān)系，用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，進(jìn)一步學(xué)習(xí)各種數(shù)及有關(guān)運(yùn)算。第三，通過(guò)式、方程(組)、不等式(組)、函數(shù)等方面知識(shí)的學(xué)習(xí)，探索數(shù)與形及在實(shí)際問(wèn)題中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系和規(guī)律，基于前兩階段知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的影響，經(jīng)由更豐富實(shí)際背景中處理各種問(wèn)題，通過(guò)建模、估算、求解、驗(yàn)證等過(guò)程的經(jīng)歷，獲得較為穩(wěn)定成熟的數(shù)感。其次，小學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)是一個(gè)潛移默化的過(guò)程。數(shù)感的形成是一個(gè)潛移默化的過(guò)程，需要學(xué)生在生活中不斷積累與體驗(yàn)。在教學(xué)中要從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)入手，挖掘生活中的數(shù)學(xué)素材，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察生活，鼓勵(lì)學(xué)生大膽地用數(shù)進(jìn)行交流，促使學(xué)生加深對(duì)數(shù)的體驗(yàn)。學(xué)生學(xué)習(xí)對(duì)多少的感悟，需要在豐富的情境中，充分經(jīng)歷察覺(jué)物體集合中所包含的物體數(shù)量多少的過(guò)程，積累感知多少的經(jīng)驗(yàn)。第三，注重?cái)?shù)運(yùn)算的意義及運(yùn)算律的理解，強(qiáng)調(diào)算法的多樣化。通過(guò)數(shù)數(shù)、“記數(shù)”多少可以抽象出數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系如大小、順序、分解與組合等，概括出數(shù)的運(yùn)算規(guī)律。第四，小學(xué)生估計(jì)與估算能力的培養(yǎng)需要與實(shí)際背景相聯(lián)系。對(duì)于小學(xué)生估算能力的培養(yǎng)，教師要轉(zhuǎn)變對(duì)估算的認(rèn)識(shí)。（二）自然數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)1．自然數(shù)在文字出現(xiàn)以前，人類(lèi)就已形成數(shù)的概念，最初是用石子、貝殼等實(shí)物采用“一一對(duì)應(yīng)”的方式來(lái)記錄物體的數(shù)量。由于石子、貝殼容易丟失或搞混，逐漸發(fā)展到“結(jié)繩記事”、“刻痕計(jì)數(shù)”、“上古結(jié)繩而治，后世圣人，易之以書(shū)契”(《周易》)說(shuō)的就是這件事。所謂“刻痕計(jì)數(shù)”，就是有多少物體，就在木棒、樹(shù)皮、石頭、骨頭等物體上刻多少條痕。結(jié)繩計(jì)數(shù)結(jié)繩計(jì)數(shù)古代用來(lái)計(jì)數(shù)的繩子上，大小不同的結(jié)記錄著不同的秘密。擺石子計(jì)數(shù)結(jié)繩計(jì)數(shù)刻道計(jì)數(shù)遇到一個(gè)較大的數(shù)時(shí)，這種方法就比較麻煩，于是出現(xiàn)了進(jìn)位。歷史上出現(xiàn)過(guò)2，5，6，12，20，60等進(jìn)位方法。在人類(lèi)的記數(shù)史上，我國(guó)是世界上最早采用“十進(jìn)位位值制”的國(guó)家。概念：“十進(jìn)位制”即逢十進(jìn)一；“位值制”即一個(gè)數(shù)碼所表示的數(shù)由它所處的位置來(lái)決定，這種記數(shù)方法很方便。早在公元前1300年，我國(guó)就開(kāi)始采用了十進(jìn)位位值制的記數(shù)方法。在我國(guó)商代中，就已經(jīng)有了十進(jìn)位值制的萌芽，到了春秋戰(zhàn)國(guó)出現(xiàn)算籌記數(shù)和運(yùn)算時(shí)，就更是標(biāo)準(zhǔn)的十進(jìn)位值制了?！皵?shù)”有三個(gè)讀音，數(shù)（shù）：表示、劃分或計(jì)算出來(lái)的量：數(shù)目；數(shù)（shǔ）：一個(gè)一個(gè)地計(jì)算：不可勝數(shù)，數(shù)九；數(shù)（shuò）：屢次，經(jīng)常。人類(lèi)對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)，在不斷深化和發(fā)展。從自然數(shù)開(kāi)始，擴(kuò)充到整數(shù)，然后是有理數(shù)和實(shí)數(shù)，最后是復(fù)數(shù)、四元數(shù)和八元數(shù)。小學(xué)教材中自然數(shù)的認(rèn)識(shí)部分包括：認(rèn)識(shí)100以?xún)?nèi)的數(shù)、認(rèn)識(shí)比100大的數(shù)、因數(shù)與倍數(shù)；另外還有認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)。認(rèn)識(shí)數(shù)（指自然數(shù)）的教學(xué)策略包括以下幾點(diǎn)：第一，認(rèn)識(shí)數(shù)教學(xué)以理解數(shù)的意義為重點(diǎn)。讓學(xué)生理解數(shù)的意義、建立正確的數(shù)的概念是認(rèn)數(shù)教學(xué)的任務(wù)。理解數(shù)的意義一般有兩個(gè)角度：一是從數(shù)的組成去建構(gòu)，二是聯(lián)系實(shí)際來(lái)體會(huì)。第二，讓學(xué)生在生動(dòng)具體的情境中認(rèn)識(shí)數(shù)。教學(xué)10以?xún)?nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)應(yīng)注意：①物體個(gè)數(shù)與數(shù)一一對(duì)應(yīng)，不能允許口中按順序數(shù)數(shù)，卻不能與物體個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)。②物體個(gè)數(shù)與數(shù)字一一對(duì)應(yīng)，每個(gè)不同的數(shù)量與不同的數(shù)學(xué)符號(hào)(數(shù)字)對(duì)應(yīng)。③注意選擇不同的情境和不同的學(xué)具，幫助學(xué)生理解數(shù)的意義。如3可以表示所有數(shù)量是3個(gè)的物體，而與物體的大小、形狀、質(zhì)量等狀態(tài)無(wú)關(guān)。④知道數(shù)的作用，不但可以用來(lái)表示數(shù)量的多少(基數(shù))，還可以表示順序(序數(shù))和編碼。第三，理解數(shù)的意義要與數(shù)的讀寫(xiě)和計(jì)算緊密結(jié)合起來(lái)。正確理解數(shù)的意義是讀好數(shù)、寫(xiě)好數(shù)的基礎(chǔ)，可使學(xué)生在讀數(shù)、寫(xiě)數(shù)時(shí)事半功倍。讀寫(xiě)教學(xué)中要注意：①在低年級(jí)，對(duì)數(shù)字的分解和組成，要作為基本的技能來(lái)訓(xùn)練；在高年級(jí)，要在讀寫(xiě)中體會(huì)數(shù)的分解與組成。②讀寫(xiě)數(shù)教學(xué)的重點(diǎn)是萬(wàn)以?xún)?nèi)數(shù)的讀法和寫(xiě)法。③讀寫(xiě)數(shù)教學(xué)的難點(diǎn)是多位數(shù)的讀法和寫(xiě)法，特別是中間有0的數(shù)的讀、寫(xiě)。第四，了解十進(jìn)制計(jì)數(shù)法對(duì)理解數(shù)的意義有重要作用。位值思想是指一個(gè)數(shù)碼表示什么數(shù)，要看它所在的位置而定?，F(xiàn)在通用的印度—阿拉伯?dāng)?shù)碼體系，采用的就是十進(jìn)制，即“逢10進(jìn)1”。125個(gè)141個(gè)1002051003011105個(gè)1116個(gè)10051000100106分?jǐn)?shù)概念知識(shí)（一）分?jǐn)?shù)概念及其辨析

1.分?jǐn)?shù)概念概念的本質(zhì)是一種關(guān)系的呈現(xiàn)，這種關(guān)系指的是能夠掌握某類(lèi)事物共同屬性的關(guān)系，而且這個(gè)關(guān)系必需在一個(gè)有意義且不變的情境下才能建立。當(dāng)我們遇到無(wú)法用整數(shù)來(lái)描述一對(duì)象時(shí)，分?jǐn)?shù)便隨之產(chǎn)生，以便用來(lái)描述一對(duì)象的部分和整體間的意義。分?jǐn)?shù)基本概念是指在量的情境下，透過(guò)先平均分割整體，再合成部分的活動(dòng)，來(lái)確定分量、單位量與分?jǐn)?shù)詞三者間的關(guān)系。分?jǐn)?shù)概念教學(xué)策略：①充分利用『具體操作物』和配合學(xué)生生活相關(guān)的『真實(shí)情境』作為教學(xué)背景。②在進(jìn)行分?jǐn)?shù)的教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)呈現(xiàn)更多元的表征，在這些表征間建立同構(gòu)后，促進(jìn)分?jǐn)?shù)概念的學(xué)習(xí)。③認(rèn)識(shí)單位量概念。3小數(shù)小數(shù)的概念起源于測(cè)量和分?jǐn)?shù)的部分全體關(guān)系，其記數(shù)系統(tǒng)又是從整數(shù)的十進(jìn)制制擴(kuò)充而來(lái)。我國(guó)是世界上最早認(rèn)識(shí)、應(yīng)用小數(shù)的唯一文明國(guó)度，被譽(yù)為發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)、小數(shù)的世界冠軍。發(fā)明現(xiàn)代小數(shù)點(diǎn)的人是數(shù)學(xué)家克拉維斯（C.Clavius，1537～1612年），他的《星盤(pán)》1593年出版于羅馬，這本書(shū)使用了小數(shù)點(diǎn)，即把小數(shù)點(diǎn)作為整數(shù)部分與小數(shù)部分分界的記號(hào)?？死S斯發(fā)明的小數(shù)點(diǎn)“．”，在歐洲刮起了一股旋風(fēng)，很快在全歐洲得到普及。自然數(shù)主要是數(shù)“離散的量”的個(gè)數(shù)。當(dāng)人們?cè)诙攘靠梢苑指畹牧繒r(shí)，常常把作為單位的量細(xì)分為它的1/10、1/100、1/1000…，這樣就得到一種以10的冪為分母的特殊的分?jǐn)?shù)，這種分?jǐn)?shù)叫十進(jìn)分?jǐn)?shù)。即小數(shù)。在小學(xué)里學(xué)生還要遇到無(wú)限循環(huán)小數(shù)，它可由不能化成十進(jìn)分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)改寫(xiě)而成，所以無(wú)限循環(huán)小數(shù)也都可以改寫(xiě)成分?jǐn)?shù)，有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)范圍里的數(shù)，無(wú)限不循環(huán)小數(shù)不能由分?jǐn)?shù)改寫(xiě)得到。通常認(rèn)識(shí)小數(shù)也分為兩個(gè)階段：第一階段是小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)。特點(diǎn)是：聯(lián)系生活實(shí)際中具體的量來(lái)認(rèn)識(shí)小數(shù)；以一位小數(shù)為主；不定義小數(shù)，只描述為，像0.6、0.8、1.08這樣的數(shù)叫做小數(shù)。第二階段較系統(tǒng)地認(rèn)識(shí)小數(shù)的意義。特點(diǎn)是：（1）給出小數(shù)的定義，分母是10、100、1000分?jǐn)?shù)，可以用小數(shù)表示。在整數(shù)記數(shù)系統(tǒng)中，各個(gè)相鄰位值間滿足10倍的等比例關(guān)系。當(dāng)我們將印度——阿拉伯記數(shù)系統(tǒng)由整數(shù)推廣至小數(shù)時(shí)，小數(shù)部份也必須滿足左邊位置的位值是相鄰右邊位置位值十倍的等比例關(guān)系。當(dāng)我們將整數(shù)計(jì)數(shù)系統(tǒng)推廣至小數(shù)時(shí)，小數(shù)部份十分位位置的位值必須是個(gè)位位置位值的1/10倍。小數(shù)可以看做單位小數(shù)的合成，如：0.38是38個(gè)單位小數(shù)“0.01”合成的結(jié)果；還可以由印度——阿記數(shù)系統(tǒng)的位值概念來(lái)了解小數(shù)，例如0.38是記錄3個(gè)“0.1”和8個(gè)“0.01”的合成結(jié)果。（2）再次擴(kuò)展數(shù)位順序表，建立十分位、百分位、千分位…的概念。（3）運(yùn)用小數(shù)的計(jì)數(shù)單位分析小數(shù)的組成，小數(shù)的性質(zhì)，比較小數(shù)的大小。（4）把非整萬(wàn)（億）的大數(shù)改寫(xiě)成以萬(wàn)（億）為單位的小數(shù)等。小數(shù)點(diǎn)不是整個(gè)小數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心，小數(shù)點(diǎn)的功能只是告訴我們個(gè)位在哪里，個(gè)位才是整個(gè)小數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心。完成小數(shù)加減問(wèn)題時(shí)，常要求學(xué)生必須先將小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，才能夠開(kāi)始計(jì)算。因?yàn)橄嗤膯挝徊拍苓M(jìn)行加減運(yùn)算，因此被加（減）數(shù)與加（減）數(shù)各個(gè)單位必須對(duì)齊（個(gè)位對(duì)齊個(gè)位，十位對(duì)齊十位，…），當(dāng)個(gè)位對(duì)齊個(gè)位時(shí)，其它位置自然也對(duì)齊了（當(dāng)然，小數(shù)點(diǎn)也對(duì)齊了）。小數(shù)概念教學(xué)策略：①建立小數(shù)與分?jǐn)?shù)、整數(shù)的聯(lián)系充分運(yùn)用生活經(jīng)驗(yàn)，建立小數(shù)概念;②“數(shù)形結(jié)合”教學(xué)小數(shù)的知識(shí);③建立小數(shù)與分?jǐn)?shù)、整數(shù)的聯(lián)系.用分?jǐn)?shù)表示下面的數(shù)。1角=（）元1分米=（）米2角=（）元1厘米=（）米1分=（）元1毫米=（）米用“角”或“分”作單位，說(shuō)出下面物品的價(jià)錢(qián)。0.3元0.05元0.48元01厘米2345678910把1米平均分成100份,每份長(zhǎng)1厘米。1厘米是米，還可以寫(xiě)成0.01米例2:1厘米是幾分之幾米？如果用小數(shù)表示呢？為什么？（）米（）米（）米（）米（）米（）米0.010.040.090.41.42.40.70.430.009（三）負(fù)數(shù)現(xiàn)實(shí)世界中存在著許多具有相反方向的量，或某種量的增大和減小，也可用這種量的某一狀態(tài)為標(biāo)準(zhǔn)，把它們看作是向兩個(gè)方向變化的量。負(fù)數(shù)的概念是源于日常生活里的“虧損”、“不足”、“負(fù)債”以及計(jì)算的需要等。中國(guó)是認(rèn)識(shí)和使用負(fù)數(shù)最早的國(guó)家。據(jù)早在2000多年前的《九章算術(shù)》記載，那時(shí)的人們就有了“糧食入倉(cāng)為正，出倉(cāng)為負(fù)；收入的錢(qián)為正，付出的錢(qián)為負(fù)”的思想。到了1700多年前，我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽在注解《九章算術(shù)》時(shí)，更明確地提出了正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念，比國(guó)外早了七八百年。印度人在公元7世紀(jì)認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)概念和記法。負(fù)數(shù)通過(guò)阿拉伯人的著作傳到了歐洲，但16世紀(jì)和17世紀(jì)的大多數(shù)歐洲數(shù)學(xué)家并不承認(rèn)它們是數(shù)，或者即使承認(rèn)了也并不認(rèn)為它們是方程的根。（四）理解算理，掌握算法1.算理與算法計(jì)算的算理是說(shuō)明計(jì)算過(guò)程中的依據(jù)和合理性，也就是為什么這樣計(jì)算。算理是由數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定律等內(nèi)容構(gòu)成的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論知識(shí)。計(jì)算的算法是說(shuō)明計(jì)算過(guò)程中的規(guī)則和邏輯順序，它通常是算理指導(dǎo)下的一些人為規(guī)定。學(xué)生在學(xué)習(xí)計(jì)算的過(guò)程中明確了算理和算法，就便于靈活、簡(jiǎn)便地進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算的多樣性才有基礎(chǔ)和可能。算理為算法提供了理論指導(dǎo)，算法使算理具體化。如兩位數(shù)筆算加法運(yùn)算法則：“數(shù)位對(duì)齊，從個(gè)位加起，個(gè)位相加滿十就向十位進(jìn)一?！币?guī)定了兩位數(shù)豎式加法的寫(xiě)法、算法和計(jì)算的先后順序。其中“數(shù)位對(duì)齊”、“個(gè)位相加滿十向十位進(jìn)—”的理論依據(jù)是“記數(shù)的位值制原則”，不同位置上的數(shù)字計(jì)數(shù)單位不同，相同單位的數(shù)字才能相加(算理)。還要注意兩點(diǎn)：一是強(qiáng)調(diào)算理的教學(xué)，但并不等于每種算法都要讓學(xué)生把算理表達(dá)出來(lái)，對(duì)于有的算理，小學(xué)生是難以表述的，只要讓學(xué)生能意識(shí)到它就行。二是通常不需在計(jì)算教學(xué)中把算理提出來(lái)進(jìn)行專(zhuān)門(mén)的教學(xué)，而是把它蘊(yùn)藏在計(jì)算過(guò)程之中，讓學(xué)生在計(jì)算中明確這樣算的道理。2.直觀形象的算理向抽象算法的過(guò)渡案例1：“一位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算”教學(xué)（蘇教版課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材二下）案例2：365×8=？計(jì)算365×8的多種方法可能包括“大量的運(yùn)算”，以下顯示了該問(wèn)題解決的整個(gè)過(guò)程：365×8=？傳統(tǒng)的“豎式乘法計(jì)算”是一種高度有效的計(jì)算方式，但由于形式過(guò)于簡(jiǎn)化，因此，孩子們很難理解：3.算法多樣化（1）算法多樣化的目的提倡算法多樣化，鼓勵(lì)與尊重學(xué)生的獨(dú)立思考，為學(xué)生搭建交流各自想法的平臺(tái)。“算法多樣化”不單單是要“多樣”，而必須是要“有用”。（2）算法多樣化與一題多解之間的差異算法多樣化是讓學(xué)生用自己的方法(喜歡、運(yùn)用自如的方法)去解決問(wèn)題，是問(wèn)題解決策略多樣化的一種重要體現(xiàn)；一題多解是要求每個(gè)學(xué)生對(duì)同一道題要用多種方法來(lái)解答，如一道應(yīng)用題，要求學(xué)生用整數(shù)、分?jǐn)?shù)、方程、比例、圖形等種方法解答，這是考查學(xué)生不同知識(shí)技能掌握的情況。算法多樣化是指群體的算法是多樣的，通過(guò)交流，使學(xué)生體會(huì)到在解決問(wèn)題時(shí)，存在著各種不同的算法。（3）算法多樣化與算法最優(yōu)化之間的關(guān)系最優(yōu)方法的獲得，常常是建立在多種方法的比較基礎(chǔ)上的。以往的數(shù)學(xué)教學(xué)是以提倡“算法最優(yōu)化”的方式來(lái)展開(kāi)的。這里的“算法最優(yōu)化”，是以成人甚至數(shù)學(xué)家的觀點(diǎn)看，或者說(shuō)是從數(shù)學(xué)的角度看是最優(yōu)的。案例1：教學(xué)20以?xún)?nèi)的退位減法“13－9”的計(jì)算時(shí)，學(xué)生呈現(xiàn)的計(jì)算思維方式是各不相同的，不同思維所體現(xiàn)的不同計(jì)算方法各有特色。①破十法:把13分成10和3，10－9=1，1+3=4;②拆減數(shù):把9拆成3和6，13-3=10，10－6=4;③想加算減法:因?yàn)?+4=13，所以13－9=4;④減十加一法:13－10=3，3+1=4;⑤放大相減法:先算19－9=10，9－3=6，10-6=40（4）判定算法多樣化的維度判定算法多樣化的三個(gè)維度：一是從心理學(xué)維度看，多數(shù)學(xué)生喜歡的方法；二是從教育學(xué)維度看，學(xué)生容易理解并易于應(yīng)用的方法；三是從數(shù)學(xué)學(xué)科維度看，對(duì)掌握后續(xù)數(shù)學(xué)知識(shí)和解決問(wèn)題是有價(jià)值的方法。（5）算法多樣化的優(yōu)勢(shì)這種教學(xué)方式有以下幾方面的優(yōu)勢(shì)：①自己發(fā)現(xiàn)解法有助于數(shù)學(xué)直覺(jué)和數(shù)學(xué)意識(shí)的培養(yǎng)；②發(fā)現(xiàn)解題策略的過(guò)程有助于學(xué)生對(duì)運(yùn)算和位值概念的理解，加強(qiáng)新舊知識(shí)的聯(lián)系；③算法的多樣性還有助于培養(yǎng)學(xué)生的心算技能，事實(shí)上，學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的各種算法策略往往比正規(guī)的書(shū)面算法規(guī)則更適合于心算；④算法的多樣性也有助于提高思維的靈活性，學(xué)生往往能夠根據(jù)具體的情形靈活地選擇合適的算法策略；⑤需要學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)算法的問(wèn)題一般都沒(méi)有現(xiàn)成的解題思路；⑥有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣；⑦學(xué)會(huì)對(duì)問(wèn)題及問(wèn)題解決過(guò)程的多元表征，并能夠靈活地從一種表征方式轉(zhuǎn)換為另一種表征方式。（五）運(yùn)算技能1.兒童形成運(yùn)算技能的基本特征（1）兒童掌握計(jì)算規(guī)則的特點(diǎn)（2）從實(shí)物表征運(yùn)算發(fā)展到符號(hào)表征運(yùn)算2.兒童形成運(yùn)算技能的基本表征（1）“會(huì)”計(jì)算的特征對(duì)于某種運(yùn)算，達(dá)到了不出聲的言語(yǔ)階段，多余的、不規(guī)范的思考和動(dòng)作較少，并且能夠及時(shí)校正。頭腦中的思考比較連貫，眼看、心想、手寫(xiě)等各方面動(dòng)作基本協(xié)調(diào)，計(jì)算結(jié)果基本準(zhǔn)確。（2）計(jì)算比較熟練的特征（3）運(yùn)算“熟練”的特征對(duì)于某種運(yùn)算，基本達(dá)到或完全達(dá)到無(wú)意識(shí)的內(nèi)部言語(yǔ)階段，多余的、不規(guī)范的思考和動(dòng)作完全消失，能夠根據(jù)算理及題目的特點(diǎn)，變通、靈活地使用運(yùn)算法則，迅速選擇恰當(dāng)?shù)挠?jì)算方法，思考過(guò)程高度簡(jiǎn)縮，省略或合并中間環(huán)節(jié)，眼看、心想、手寫(xiě)等幾方面的動(dòng)作高度協(xié)調(diào)，能把注意力同時(shí)分散到不