2025年普通高等學(xué)校招生“圓夢(mèng)杯”統(tǒng)一模擬考試（八） 數(shù)學(xué)試題（含解析）VIP

2025年普通高等學(xué)校招生“圓夢(mèng)杯”統(tǒng)一模擬考試（八）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．若，則（

）A．1 B． C． D．23．設(shè)雙曲線與的離心率分別為，若，則（

）A． B． C．1 D．24．已知非零向量滿足，則（

）A． B． C． D．5．已知P為直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓的一條切線，切點(diǎn)為A，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．26．函數(shù)在區(qū)間的極大值點(diǎn)的數(shù)目為（

）A．3 B．4 C．5 D．67．已知三臺(tái)車(chē)床加工同一型號(hào)的零件，第1，2，3臺(tái)車(chē)床加工的次品率分別為，，，加工出來(lái)的零件混放在一起，且第1，2，3臺(tái)車(chē)床加工的零件數(shù)目之比為，現(xiàn)任取一個(gè)零件，記事件“零件由第1臺(tái)車(chē)床加工”，“零件為次品”，則（

）A． B． C． D．8．設(shè)直線分別交曲線與曲線于兩點(diǎn)，若點(diǎn)在上，滿足為等邊三角形，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．樣本數(shù)據(jù)0，2，3，，，7的平均數(shù)為3，方差為，中位數(shù)為，則（

）A． B． C． D．10．如圖，矩形中，為的中點(diǎn)，將沿翻折至點(diǎn)，得到四棱錐為的中點(diǎn)，則（

）A．平面B．的長(zhǎng)為定值C．四棱錐體積的最大值為D．直線與平面所成角的最大值為11．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，最小正周期為，?dāng)時(shí)，方程有15個(gè)解．記時(shí)，方程的解的個(gè)數(shù)為，則（

）A． B．C． D．的可能取值共有3種三、填空題12．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，則．13．已知，則．14．在下面的方格表中，要求該方格表的每一行，每一列及每條對(duì)角線的四個(gè)方格均包含1，2，3，4四個(gè)數(shù)字，則．123四、解答題15．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，為棱的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，且平面．（1）證明：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．16．已知橢圓的離心率為，左頂點(diǎn)為．（1）求的方程；（2）設(shè)點(diǎn)為上一點(diǎn)且在軸上方，直線分別交軸于兩點(diǎn)．若的面積比的面積大，求點(diǎn)的坐標(biāo)．17．如圖，在中，．（1）求；（2）若點(diǎn)在邊上，，求．18．設(shè)正整數(shù)，編號(hào)依次為的卡片順時(shí)針擺成一圈．從1號(hào)卡片開(kāi)始，沿順時(shí)針?lè)较驅(qū)⑴c之相鄰的卡片移走，再對(duì)下一張卡片進(jìn)行相同的操作．例如：在移走與1號(hào)相鄰的2號(hào)卡片后，接著移走與3號(hào)相鄰的4號(hào)卡片．依此循環(huán)，直到最后只剩一張卡片，記其編號(hào)為．（1）求；（2）設(shè)為正整數(shù)，證明：；（3）從集合中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，求的概率．19．已知函數(shù)，記為從小到大排序的第個(gè)極值點(diǎn)．（1）證明：在區(qū)間的最大值為；（2）直接判斷與的大小關(guān)系并證明：為遞減數(shù)列；（3）設(shè)為正整數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，且，證明：．

參考答案1．【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，故選C2．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，故選A3．【答案】B【詳解】雙曲線的離心率為，雙曲線離心率為，因?yàn)?，所以，解得，?故選B.4．【答案】B【詳解】由，得，則，而，因此，又，所以.故選B5．【答案】A【詳解】連接，則，而的最小值為點(diǎn)C到直線l的距離，所以.故選A.6．【答案】C【詳解】，因?yàn)?，故由正弦函?shù)性質(zhì)知，時(shí)，，，函數(shù)遞增，當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)遞減，為函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)，所以時(shí)，函數(shù)有1個(gè)極大值點(diǎn)；由正弦函數(shù)的周期性，可知在上，函數(shù)有5個(gè)極大值點(diǎn)，故選C7．【答案】D【詳解】記事件“零件由第臺(tái)車(chē)床加工”，則，，由全概率公式得：，故.故選D8．【答案】C【詳解】由得，即，由得，即，所以，為等邊三角形，如圖，則，所以，解得，故選C.9．【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，由題意可知，解得，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，方差，由可知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，綜上所訴，，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)，當(dāng)時(shí)，設(shè)，由可知，，按照從小到大的順序排列，中間兩個(gè)數(shù)可以是或，此時(shí)中位數(shù)，綜上所述，中位數(shù)，故D正確.故選ACD10．【答案】AB【詳解】對(duì)于A，取中點(diǎn)，連接，由是的中點(diǎn)，得，，則四邊形為平行四邊形，，平面，平面，因此平面，A正確；對(duì)于B，由選項(xiàng)A知，，B正確；對(duì)于C，點(diǎn)到直線的距離為斜邊上的高，則，四邊形的面積，當(dāng)平面平面時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最大為，四棱錐體積的最大值，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，則直線與平面所成角等于與平面所成角，點(diǎn)到平面距離的最大值為，而，則直線與平面所成角的正弦值最大值為，D錯(cuò)誤.故選AB11．【答案】AC【詳解】由條件知是常值C，且對(duì)正整數(shù)，恒成立，代入，得選項(xiàng)A正確；當(dāng)從1增長(zhǎng)到3時(shí)，先從2.5減小到2，再?gòu)?增長(zhǎng)到8.125，因此由條件知方程在時(shí)的解的個(gè)數(shù)與時(shí)的解的個(gè)數(shù)之和為，考慮到可能成立，如，因此前述結(jié)果不一定與相等，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；進(jìn)一步地，實(shí)際上有或，記，則整數(shù)，且，右側(cè)不等式等號(hào)不能同時(shí)取到，因此，即選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，只需考慮，分別考慮四個(gè)函數(shù)：，，，，分別對(duì)應(yīng)為0、1、2、3的情況，因此選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選AC.12．【答案】【詳解】因?yàn)?，解得，所以，解得，所?13．【答案】4【詳解】，因?yàn)椋?14．【答案】【詳解】根據(jù)方格表中，每一行，每一列及每條對(duì)角線的四個(gè)方格均包含1，2，3，4四個(gè)數(shù)字，推理方格填充：第一行確定為1，2，3，4，然后確定d，由法則可知，則，12343因?yàn)椋?，進(jìn)而，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋?，進(jìn)而，，從而，最終可得第二行為4，3，2，1，第三行為2，1，4，3，第四行為3，4，1，2.所以，所以.15．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【詳解】（1）由可知，且，,,，即，又平面，平面，，平面，平面.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由可得，再由，則,故，設(shè)平面的法向量，則，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則,即直線與平面所成角的正弦值為.16．【答案】（1）（2）【詳解】（1）依題意可得，解得，所以橢圓的方程為；（2）設(shè)，則直線的方程為，令，可得，即，又直線的方程為，令，可得，即，所以，，因?yàn)榈拿娣e比的面積大，即，解得，又，解得，所以.17．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）由，得，則，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，由，得，所以.（2）設(shè)，則，由（1）知，，，由，得，則，于是，即，令，則，即，由，得，令函數(shù)，求導(dǎo)得，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，因此，，即，所以.18．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，卡片的編號(hào)為，按照規(guī)則，移除2號(hào)卡片后，接著移除4號(hào)卡片，最后剩下1號(hào)和3號(hào)卡片，再移除3號(hào)卡片，剩下1號(hào)卡片，故;當(dāng)時(shí)，卡片的編號(hào)為，按照規(guī)則，移除2號(hào)卡片后，接著移除4號(hào)卡片，再移除1號(hào)卡片，剩下3號(hào)和5號(hào)卡片，最后再移除5號(hào)卡片，故.（2）當(dāng)時(shí)，卡片的編號(hào)為，按照規(guī)則，移除2號(hào)卡片后，剩下1號(hào)卡片，故;當(dāng)時(shí)，卡片的編號(hào)為，按照規(guī)則，移除2號(hào)卡片后，接著移除4號(hào)卡片，最后剩下1號(hào)和3號(hào)卡片，再移除3號(hào)卡片，剩下1號(hào)卡片，故;當(dāng)時(shí)，卡片的編號(hào)為，按照規(guī)則，移除2、4、6、8號(hào)卡片后，剩下1、3、5、7號(hào)卡片，再移除3、7號(hào)卡片，剩下1、5號(hào)卡片，最后移除5號(hào)卡片，故;當(dāng)時(shí)，卡片的編號(hào)為，按照規(guī)則，移除2、4、6、8、10、12、14、16號(hào)卡片后，剩下1、3、5、7、9、11、13、15號(hào)卡片，再移除3、7、11、15號(hào)卡片，剩下1、5、9、13號(hào)卡片，再移除5、13號(hào)卡片，剩下1、9號(hào)卡片，最后移除9號(hào)卡片，故;故當(dāng)時(shí)，卡片的編號(hào)為，按照規(guī)則，移除號(hào)卡片后，剩下，再移除號(hào)卡片后，剩下，再移除號(hào)卡片后，剩下，依次類(lèi)推，剩下，即，綜上所述，當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，.（3）當(dāng)時(shí)，卡片的編號(hào)為，按照規(guī)則，移除2號(hào)卡片后，剩下3號(hào)和1號(hào)卡片，最后再移除1號(hào)卡片，故.當(dāng)時(shí)，卡片的編號(hào)為，按照規(guī)則，移除2號(hào)卡片后，接著移除4號(hào)卡片，再移除1號(hào)卡片，剩下3號(hào)和5號(hào)卡片，最后再移除5號(hào)卡片，故.當(dāng)時(shí)，卡片的編號(hào)為，按照規(guī)則，移除2、4、6、8號(hào)卡片后，接著移除1、5、9號(hào)卡片，剩下3號(hào)和7號(hào)卡片，最后再移除7號(hào)卡片，故.當(dāng)時(shí)，卡片的編號(hào)為，按照規(guī)則，移除2、4、6、8、10、12、14、16號(hào)卡片后，接著移除1、5、9、13、17號(hào)卡片，剩下3、7、11、15號(hào)卡片，再移除7、15號(hào)卡片，最后移除11號(hào)卡片，故.故數(shù)列符合條件，令，則，將上面式子累加得，故，由，解得，故當(dāng)時(shí)，，所以在集合中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，的概率為.19．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）；證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【詳解】（1），，則，令，當(dāng)，由，；由題意，為從小到大排序的第個(gè)極值點(diǎn)，則，即，又，故，且，又，，所以在與上都有零點(diǎn)，又，當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減，故在每一個(gè)區(qū)間（）都有唯一零點(diǎn)，記為，且當(dāng)，，即，則在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即，則在上單調(diào)遞減；故每一個(gè)，都為的極大值點(diǎn).令，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，又，所以在每一個(gè)區(qū)間內(nèi)，都存在唯一零點(diǎn)，使，記為，.故當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)，，在上單調(diào)遞增；故在每一個(gè)區(qū)間內(nèi)，也都有唯一零點(diǎn)，且都為極小值點(diǎn)，記為，，綜上可知，極值點(diǎn)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，即；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，且為極大值點(diǎn)，為極小值點(diǎn)，其中.由上可知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故在區(qū)間的最