函數(shù)與極限課件VIP

函數(shù)與極限*

主要內(nèi)容：１．函數(shù)的定義、反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)。２．函數(shù)的特性：有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性。３．?dāng)?shù)列及其極限：（１）數(shù)列即一列數(shù)，其第n項(xiàng)稱為一般項(xiàng)；從數(shù)列中取無(wú)窮項(xiàng)且保持原來(lái)的次序而得到的新的數(shù)列稱為的子數(shù)列。（２）數(shù)列的極限則稱數(shù)列極限存在或收斂。稱為的極限。數(shù)列極限不存在也稱該數(shù)列發(fā)散。*4．函數(shù)極限定義則時(shí)，函數(shù)的極限、給定的一個(gè)數(shù)列可以看作定義在自然數(shù)集N上的函數(shù)因此數(shù)列極限是函數(shù)極限因此數(shù)列極限與函數(shù)極限都有下面的性質(zhì)：5．極限的性質(zhì)（1）唯一性若極限存在，則極限唯一。（2）有界性若極限存在，則函數(shù)（數(shù)列）有界。注：函數(shù)的有界是指局部有界，即在自變量變化過(guò)程中的某鄰域或某無(wú)窮區(qū)間內(nèi)函數(shù)有界。*（3）歸并性（i）對(duì)于一個(gè)數(shù)列來(lái)說(shuō)，一個(gè)數(shù)列收斂的充分必要條件是其任意子列都收斂，且收斂于同一極限。（ii）對(duì)于函數(shù)來(lái)說(shuō)，有①③對(duì)于單側(cè)極限：存在的充分必要條件是對(duì)于每一列都存在，且極限都相等；②存在的充分必要條件是對(duì)于每一列都存在，且極限都相等；也有類似的結(jié)論。*（4）保號(hào)性若當(dāng)有（或），且則（或）。而且（或），則當(dāng)有（或）。若（iii）上述極限的性質(zhì)經(jīng)常用于判斷極限不存在：①對(duì)于數(shù)列來(lái)說(shuō)，若有兩個(gè)數(shù)列均收斂，但極限值不相等，則原數(shù)列極限不存在；②對(duì)于函數(shù)來(lái)說(shuō)，若自變量有兩個(gè)數(shù)列均收斂于（但每但其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列不一項(xiàng)都不等于）（或趨于），收斂或極限不相等，則原函數(shù)極限不存在。*6．極限的運(yùn)算法則都存在．(4)有界,則(5)(復(fù)合函數(shù))若當(dāng)且則7．無(wú)窮小與無(wú)窮大（1）無(wú)窮小與無(wú)窮大的定義（2）無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系（3）無(wú)窮小的比較*（5）無(wú)窮小的替換性質(zhì)：設(shè)是同一極限過(guò)程中的無(wú)窮小，且（），則且8．極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則及兩個(gè)重要極限。準(zhǔn)則Ⅰ’：函數(shù)（1）準(zhǔn)則Ⅰ：數(shù)列滿足：則（4）無(wú)窮小的運(yùn)算法則：的和,積是無(wú)窮??；有界變量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小。在同一極限過(guò)程中，有限多個(gè)無(wú)窮小*（2）準(zhǔn)則Ⅱ：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必收斂。（3）兩個(gè)重要極限及一些重要等價(jià)無(wú)窮?。?．函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)連續(xù)性*間斷點(diǎn)：（１）在點(diǎn)無(wú)定義（２）在點(diǎn)極限不存在（３）第一類間斷點(diǎn)、第二類間斷點(diǎn)10．初等函數(shù)的連續(xù)性11．閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：最大值、最小值定理；介值定理和零點(diǎn)定理及其推論*三．例題例1

求的反函數(shù)，并問(wèn)滿足什么條件時(shí)，這反函數(shù)與直接函數(shù)相同？分析：即從表達(dá)式中知，不同時(shí)為零，不妨設(shè)解由得：所以反函數(shù)為*若反函數(shù)與直接函數(shù)相同，則比較系數(shù)得：所以或*例2設(shè)求解*例3

用數(shù)列極限的定義證明證(1)對(duì)要證當(dāng)有事實(shí)上*（2）記則不妨設(shè)由于所以，要只要取則當(dāng)時(shí)，有即要使只需取當(dāng)有對(duì)*例4已知當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無(wú)窮小，求常數(shù)解：又*例5求極限*解*而夾逼定理**例6設(shè)證明數(shù)列的極限存在,并求此極限.證所以有界。設(shè)則解得是單增數(shù)列。當(dāng)時(shí)，因此極限必存在。*例7

設(shè)討論在點(diǎn)的連續(xù)性。解*所以，在點(diǎn)不連續(xù)。是的可去間斷點(diǎn)。若改變定義令在函數(shù)點(diǎn)連續(xù)。*是的跳躍間斷點(diǎn)，屬于第一類間斷點(diǎn)。例8設(shè)，求的間斷點(diǎn)，并說(shuō)明間斷點(diǎn)的類型。解的定義域?yàn)閷儆诘诙愰g斷點(diǎn).可能是分段函數(shù)的分段點(diǎn)，或者定義區(qū)間的端點(diǎn)*例9設(shè)則(A)都是的第一類間斷點(diǎn)。(B)都是的第二類間斷點(diǎn)。(C)是的第一類間斷點(diǎn)，是的第二類間斷點(diǎn)。(D)是的第二類間斷點(diǎn)，是的第一類間斷點(diǎn)。由于是的第一類間斷點(diǎn)。所以是的第二類間斷點(diǎn)；所以2005年研究生入學(xué)試題數(shù)學(xué)二*例10設(shè)怎樣選擇才能使函數(shù)在內(nèi)連續(xù)。解由初等函數(shù)的連續(xù)性可知，函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，令得則當(dāng)時(shí)，在內(nèi)連續(xù)。*例11證明其中至少有一個(gè)正根，并且它不超過(guò)證設(shè)則在上連續(xù)。①若則即為原方程的一個(gè)正根；②若注意到由連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理知，使得綜合①、②，說(shuō)明結(jié)論成