2025年初升高暑期數(shù)學講義專題10 函數(shù)的三要素重難點突破（含答案）

2025年初升高暑期數(shù)學講義專題10函數(shù)的三要素重難點突破（含答案）專題10函數(shù)的三要素一、考情分析二、經(jīng)驗分享【重難點1．函數(shù)的定義域】當函數(shù)是由解析式給出時，求函數(shù)的定義域就是求使解析式有意義的自變量的取值集合，求函數(shù)定義域的一般方法有：①分式的分母不為0；②偶次根式的被開方數(shù)非負；③要求；④當一個函數(shù)由兩個或兩個以上代數(shù)式的和、差、積、商的形式構(gòu)成時，定義域是使得各式子都有意義的公共部分的集合；⑤已知的定義域，求的定義域，其實質(zhì)是由的取值范圍，求出的取值范圍；⑥已知的定義域，求的定義域，其實質(zhì)是由的取值范圍，求的取值范圍；⑦由實際問題建立的函數(shù)，還要符合實際問題的要求．名師提醒：（1）定義域是一個集合，要用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示數(shù)集，不能用“或”連接，而應(yīng)該用并集符號“∪”連接．（2）已知函數(shù)的定義域，逆向求解函數(shù)中參數(shù)的取值或取值范圍，需運用分類討論以及轉(zhuǎn)化與化歸的方法，轉(zhuǎn)化為方程或不等式的解集問題，根據(jù)方程或不等式的解集情況來確定參數(shù)的值或取值范圍．這種思想方法即通過某種轉(zhuǎn)化過程，將一個難以解決的問題轉(zhuǎn)化為一個已經(jīng)解決或者比較容易解決的問題，從而獲解．【重難點2．求函數(shù)值或函數(shù)的值域】（1）函數(shù)求值即用數(shù)值或字母代替表達式中的x，而計算出對應(yīng)的函數(shù)值的過程．注意所代入的數(shù)值或字母應(yīng)滿足函數(shù)的定義域要求．求函數(shù)值應(yīng)遵循的原則：①已知的表達式求時，只需用a替換表達式中的x．②求的值應(yīng)遵循由里往外的原則．③用來替換表達式中x的數(shù)a必須是函數(shù)定義域內(nèi)的值．（2）求函數(shù)的值域，應(yīng)根據(jù)各個式子的不同結(jié)構(gòu)特點，選擇不同的方法：①觀察法：對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到；②③分離常數(shù)法：此方法主要是針對有理分式，即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類”的形式，便于求值域．分離常數(shù)的目的是為了減少“變量”，變換后x僅出現(xiàn)在分母上，這樣x對函數(shù)的影響就比較清晰了；④換元法：對于一些無理函數(shù)（如），通過換元把它們轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)，然后利用有理函數(shù)求值域的方法，間接地求解原函數(shù)的值域．在利用換元法求解函數(shù)的值域時，一定要注意換元后新元的取值范圍，否則會產(chǎn)生錯解．求新元的范圍，要根據(jù)已知函數(shù)的定義域．【重難點3．函數(shù)解析式的求法】（1）已知函數(shù)的模型求函數(shù)解析式，常采用待定系數(shù)法，由題設(shè)條件求待定系數(shù)．（2）已知f（g（x））=h（x），求f（x），常用的有兩種方法：①換元法，即令t=g（x），解出x，代入h（x）中，得到一個含t的解析式，即為所求解析式；②配湊法，即從f（g（x））的解析式中配湊出“g（x）”，即用g（x）來表示h（x），然后將解析式中的g（x）用x代替即可．利用這兩種方法求解時一定要注意g（x）的取值范圍的限定．（3）已知f（x）與f（g（x））滿足的關(guān)系式，要求f（x）時，可用g（x）代替兩邊所有的x，得到關(guān)于f（x）與f（g（x））的方程組，消去f（g（x））解出f（x）即可．常見的有f（x）與f（?x），f（x）與．（4）所給函數(shù)方程含有兩個變量時，可對這兩個變量交替使用特殊值代入，或使這兩個變量相等代入，再利用已知條件，可求出未知的函數(shù)，至于取什么特殊值，根據(jù)題目特征而定．三、題型分析（一）．函數(shù)的定義域考點1.具體函數(shù)的定義域例1．（1）、（2022·四川·成都七中高二階段練習（文））設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．（2）、（2022·廣西·平桂高中高二階段練習（理））函數(shù)的定義域為___________.【變式訓練1-1】、（2021·廣西崇左市·崇左高中高一開學考試（文））函數(shù)的定義域為（）A．B．C．D．

【變式訓練1-2】、（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的定義域是__________．考點2.抽象函數(shù)的定義域例2、（1）、（2022·江蘇·高一）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為_________.（2）、（2022·黑龍江·雙鴨山一中高二階段練習）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【變式訓練2-1】、（2021·上海市徐匯中學高一階段練習）若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域是___________【變式訓練2-2】、（2021·黑龍江大慶市·大慶中學高一開學考試）若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域是__________．

（二）．求函數(shù)值或函數(shù)的值域考點3.一次函數(shù)、二次函數(shù)的值域的問題例3、（2022·浙江·金華市曙光學校高二階段練習）已知函數(shù)f(x)，，則函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【變式訓練3-1】、（2021·浙江湖州市·湖州中學高一開學考試）若函數(shù)的定義域和值域都是，則（）A．1 B．3 C． D．1或3（2022·江西省定南中學高二階段練習（文））函數(shù)的值域為

（

）A． B． C． D．【變式訓練4-1】、（2020·舒城育才學校高一月考）函數(shù)的值域是（）A． B． C． D．

考點4.類“反比例”函數(shù)的值域的問題例5.(1)、（2021·新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學高三階段練習（理））函數(shù)值域是（

）A． B． C． D．(2)、（2021·四川自貢·高一期中）函數(shù)的值域是（

）A． B．C． D．【變式訓練5-1】、（2021·河南南陽·高一階段練習）函數(shù)的值域為___________.【變式訓練5-2】、（2021·浙江高二期末）已知函數(shù)，則函數(shù)的值域為（）A． B． C． D．

考點5.“雙勾”函數(shù)的值域問題例6、（2022·湖南婁底·高二學業(yè)考試）下列函數(shù)中，最小值為2的函數(shù)是（

）A． B．C． D．【變式訓練6-1】．（2021·上海虹口區(qū)·高一期末）函數(shù)，的值域為__________．

（三）．函數(shù)解析式的求法考點6.用換元法求函數(shù)的解析式例7．（1）、（2022·河南·臨潁縣第一高級中學高二階段練習（文））已知，則（

）．A． B． C． D．（2）、（2022·山西運城·高二階段練習）已知函數(shù)滿足，則（

）A．1 B．9 C． D．【變式訓練7-1】．（2020·廣西南寧市東盟中學高一期中）已知是一次函數(shù)，滿足，則（）．A． B． C． D．【變式訓練7-2】、（2022·江蘇·高一）已知，則（

）A． B． C． D．

考點7.求一次、二次函數(shù)的的解析式例8、（1）、（2021·山東威海·高一期中）已知函數(shù)是一次函數(shù)，滿足，則__________．（2）、（2021·廣東·珠海市華中師范大學（珠海）附屬中學高一階段練習）已知是一次函數(shù)，且，則解析式為___________．【變式訓練8-1】、（2020·黑龍江·哈爾濱市第一二二中學校高一期中）若二次函數(shù)滿足，.(1)求的解析式；(2)求在上的值域；(3)若在上恒成立，求m的取值范圍.

考點8.用消去法求函數(shù)的解析式（方程思想）例9．（2021·湖北·黃岡中學新興分校高一期中）已知函數(shù)滿足，則___________.【變式訓練9-1】、（2021·全國·高一課時練習）若，則______．

（四）．函數(shù)的綜合應(yīng)用例10、（2020·四川·廣安二中高一期中）已知函數(shù)滿足：(1)求的解析式；(2)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并證明．【變式訓練10-1】、（2022·江蘇·高一）已知函數(shù).(1)若函數(shù)定義域為，求的取值范圍；(2)若函數(shù)值域為，求的取值范圍.專題10函數(shù)的三要素一、考情分析二、經(jīng)驗分享【重難點1．函數(shù)的定義域】當函數(shù)是由解析式給出時，求函數(shù)的定義域就是求使解析式有意義的自變量的取值集合，求函數(shù)定義域的一般方法有：①分式的分母不為0；②偶次根式的被開方數(shù)非負；③要求；④當一個函數(shù)由兩個或兩個以上代數(shù)式的和、差、積、商的形式構(gòu)成時，定義域是使得各式子都有意義的公共部分的集合；⑤已知的定義域，求的定義域，其實質(zhì)是由的取值范圍，求出的取值范圍；⑥已知的定義域，求的定義域，其實質(zhì)是由的取值范圍，求的取值范圍；⑦由實際問題建立的函數(shù)，還要符合實際問題的要求．名師提醒：（1）定義域是一個集合，要用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示數(shù)集，不能用“或”連接，而應(yīng)該用并集符號“∪”連接．（2）已知函數(shù)的定義域，逆向求解函數(shù)中參數(shù)的取值或取值范圍，需運用分類討論以及轉(zhuǎn)化與化歸的方法，轉(zhuǎn)化為方程或不等式的解集問題，根據(jù)方程或不等式的解集情況來確定參數(shù)的值或取值范圍．這種思想方法即通過某種轉(zhuǎn)化過程，將一個難以解決的問題轉(zhuǎn)化為一個已經(jīng)解決或者比較容易解決的問題，從而獲解．【重難點2．求函數(shù)值或函數(shù)的值域】（1）函數(shù)求值即用數(shù)值或字母代替表達式中的x，而計算出對應(yīng)的函數(shù)值的過程．注意所代入的數(shù)值或字母應(yīng)滿足函數(shù)的定義域要求．求函數(shù)值應(yīng)遵循的原則：①已知的表達式求時，只需用a替換表達式中的x．②求的值應(yīng)遵循由里往外的原則．③用來替換表達式中x的數(shù)a必須是函數(shù)定義域內(nèi)的值．（2）求函數(shù)的值域，應(yīng)根據(jù)各個式子的不同結(jié)構(gòu)特點，選擇不同的方法：①觀察法：對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到；②③分離常數(shù)法：此方法主要是針對有理分式，即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類”的形式，便于求值域．分離常數(shù)的目的是為了減少“變量”，變換后x僅出現(xiàn)在分母上，這樣x對函數(shù)的影響就比較清晰了；④換元法：對于一些無理函數(shù)（如），通過換元把它們轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)，然后利用有理函數(shù)求值域的方法，間接地求解原函數(shù)的值域．在利用換元法求解函數(shù)的值域時，一定要注意換元后新元的取值范圍，否則會產(chǎn)生錯解．求新元的范圍，要根據(jù)已知函數(shù)的定義域．【重難點3．函數(shù)解析式的求法】（1）已知函數(shù)的模型求函數(shù)解析式，常采用待定系數(shù)法，由題設(shè)條件求待定系數(shù)．（2）已知f（g（x））=h（x），求f（x），常用的有兩種方法：①換元法，即令t=g（x），解出x，代入h（x）中，得到一個含t的解析式，即為所求解析式；②配湊法，即從f（g（x））的解析式中配湊出“g（x）”，即用g（x）來表示h（x），然后將解析式中的g（x）用x代替即可．利用這兩種方法求解時一定要注意g（x）的取值范圍的限定．（3）已知f（x）與f（g（x））滿足的關(guān)系式，要求f（x）時，可用g（x）代替兩邊所有的x，得到關(guān)于f（x）與f（g（x））的方程組，消去f（g（x））解出f（x）即可．常見的有f（x）與f（?x），f（x）與．（4）所給函數(shù)方程含有兩個變量時，可對這兩個變量交替使用特殊值代入，或使這兩個變量相等代入，再利用已知條件，可求出未知的函數(shù)，至于取什么特殊值，根據(jù)題目特征而定．三、題型分析（一）．函數(shù)的定義域考點1.具體函數(shù)的定義域例1．（1）、（2022·四川·成都七中高二階段練習（文））設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先化簡集合A，利用集合的交集運算求解.【詳解】解：因為集合，，所以，故選：D（2）、（2022·廣西·平桂高中高二階段練習（理））函數(shù)的定義域為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意求出的解集即可.【詳解】根據(jù)題意，，解得或，故答案為：.【變式訓練1-1】、（2021·廣西崇左市·崇左高中高一開學考試（文））函數(shù)的定義域為（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)解析式列出不等式即可求出.【詳解】由可解得且，的定義域為.故選：B.【變式訓練1-2】、（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的定義域是__________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的表達式可得，解不等式即可得結(jié)果.【詳解】要使函數(shù)有意義，需滿足，解得，即函數(shù)的定義域為，故答案為：.考點2.抽象函數(shù)的定義域例2、（1）、（2022·江蘇·高一）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的定義域求解規(guī)則求解即可.【詳解】函數(shù)的定義域為，即，所以，所以，即，所以函數(shù)的定義域為.故答案為：.（2）、（2022·黑龍江·雙鴨山一中高二階段練習）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先求出的定義域，再根據(jù)分母不為零和前者可求題設(shè)中函數(shù)的定義域.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，故，所以的定義域為，故函數(shù)中的需滿足：，故，故函數(shù)的定義域為，故選：D.【變式訓練2-1】、（2021·上海市徐匯中學高一階段練習）若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域是___________【答案】【解析】【分析】由題意可得，解不等式求出的范圍即可求解.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，所以，所以，解得：，所以函數(shù)的定義域是，故答案為：.【變式訓練2-2】、（2021·黑龍江大慶市·大慶中學高一開學考試）若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域是__________．【答案】【分析】利用抽象函數(shù)和分式函數(shù)的定義域求法求解.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，所以，則，且，解得，所以函數(shù)的定義域是，故答案為：

（二）．求函數(shù)值或函數(shù)的值域考點3.一次函數(shù)、二次函數(shù)的值域的問題例3、（2022·浙江·金華市曙光學校高二階段練習）已知函數(shù)f(x)，，則函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸和端點處的值即可求解值域.【詳解】,對稱軸,當,又因為,所以函數(shù)的值域為.故選:D【變式訓練3-1】、（2021·浙江湖州市·湖州中學高一開學考試）若函數(shù)的定義域和值域都是，則（）A．1 B．3 C． D．1或3【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)在上為增函數(shù)，求出其值域，結(jié)合已知值域可求出結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)在上為增函數(shù)，且定義域和值域都是，所以，，解得或（舍），故選：B（2022·江西省定南中學高二階段練習（文））函數(shù)的值域為

（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】本題通過換元法求值域，先令，將函數(shù)轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)進行求解.【詳解】函數(shù)的定義域是，令，則，，所以，因為，所以，所以原函數(shù)的值域為．故選：D.【變式訓練4-1】、（2020·舒城育才學校高一月考）函數(shù)的值域是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)，求其值域即可求解.【詳解】令，則，設(shè)，，所以，即的值域是.故選：B.

考點4.類“反比例”函數(shù)的值域的問題例5.(1)、（2021·新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學高三階段練習（理））函數(shù)值域是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】因為，所以，故選：D(2)、（2021·四川自貢·高一期中）函數(shù)的值域是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】將函數(shù)分離常數(shù)后可直接求解.【詳解】，從而可知函數(shù)的值域為.故選：C【變式訓練5-1】、（2021·河南南陽·高一階段練習）函數(shù)的值域為___________.【答案】.【解析】【分析】利用分離常數(shù)法，將變形為，判斷其單調(diào)性后，求其值域即可.【詳解】（），是由函數(shù)向右平移1個單位，向下平移2個單位得到，即在區(qū)間上為單調(diào)遞增，在區(qū)間上為單調(diào)遞增，則函數(shù)的值域為.故答案為：.【變式訓練5-2】、（2021·浙江高二期末）已知函數(shù)，則函數(shù)的值域為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】分離常量法知，則在上遞減，進而可求上值域.【詳解】由，對稱中心為，且在上遞減，∴在上值域為，故選：A考點5.“雙勾”函數(shù)的值域問題例6、（2022·湖南婁底·高二學業(yè)考試）下列函數(shù)中，最小值為2的函數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)基本不等式和配方法分別求出各選項的最值，即可得到答案；【詳解】解：對于A，當時，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，當時，，故C錯誤；對于D，，當且僅當取等號，故D正確；故選：D.【變式訓練6-1】．（2021·上海虹口區(qū)·高一期末）函數(shù)，的值域為__________．【答案】【分析】根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性分析出的單調(diào)性，然后即可求解出的最值，從而的值域可確定出.【詳解】由對勾函數(shù)的單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以，又，且，，所以，所以的值域為，故答案為：.

（三）．函數(shù)解析式的求法考點6.用換元法求函數(shù)的解析式例7．（1）、（2022·河南·臨潁縣第一高級中學高二階段練習（文））已知，則（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用配湊法直接得出函數(shù)的解析式.【詳解】因為，所以．故選：A（2）、（2022·山西運城·高二階段練習）已知函數(shù)滿足，則（

）A．1 B．9 C． D．【答案】D【解析】【分析】利用換元法求出函數(shù)的解析式，再求函數(shù)在處的函數(shù)值即可.【詳解】令，則，所以，所以函數(shù)的解析式為.所以故選：D.【變式訓練7-1】．（2020·廣西南寧市東盟中學高一期中）已知是一次函數(shù)，滿足，則（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】先設(shè)出一次函數(shù)的解析式，再根據(jù)可確定出，的值，進而可求函數(shù)解析式【詳解】解：由題意可設(shè)，即解方程可得，，故選：．【變式訓練7-2】、（2022·江蘇·高一）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先求出，代入求值即可.【詳解】，，，故選：B

考點7.求一次、二次函數(shù)的的解析式例8、（1）、（2021·山東威?！じ咭黄谥校┮阎瘮?shù)是一次函數(shù)，滿足，則__________．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)，利用待定系數(shù)法求解即可.【詳解】設(shè)，由題意可知，所以，解得或，所以或.故答案為：或.（2）、（2021·廣東·珠海市華中師范大學（珠海）附屬中學高一階段練習）已知是一次函數(shù)，且，則解析式為___________．【答案】【解析】【分析】利用待定系數(shù)法解方程即可.【詳解】是一次函數(shù)，設(shè)，，，，即，，，，．故答案為：【變式訓練8-1】、（2020·黑龍江·哈爾濱市第一二二中學校高一期中）若二次函數(shù)滿足，.(1)求的解析式；(2)求在上的值域；(3)若在上恒成立，求m的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）設(shè)二次函數(shù)，根據(jù)題設(shè)條件列出方程組，求得的值，即可求解