遼寧省遼寧實驗中學等五校聯(lián)考2023−2024學年高二下學期期末考試 數(shù)學試卷含答案

遼寧省遼寧實驗中學等五校聯(lián)考2023?2024學年高二下學期期末考試數(shù)學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知函數(shù)，則（

）A． B． C． D．2．已知一種元件的使用壽命超過年的概率為，超過年的概率為，若一個這種元件使用到年時還未失效，則這個元件使用壽命超過年的概率為（

）A． B． C． D．3．已知為等差數(shù)列的前項和，，則（

）A． B．85 C．170 D．3404．已知命題，則命題的真假以及否定分別為（

）A．真， B．真，或C．假， D．假，或5．已知隨機變量，且，若，則實數(shù)（

）A．0 B． C．1 D．26．集合的子集個數(shù)為（

）（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）A．2 B．4 C．8 D．167．設數(shù)列滿足，若對一切，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知定義在R上的單調遞增的函數(shù)滿足：任意，有，，則下列結論錯誤的是（

）A．當時，B．任意C．存在非零實數(shù)，使得任意D．存在非零實數(shù)，使得任意二、多選題（本大題共3小題）9．等比數(shù)列的公比為，則下列說法正確的是（

）A．為等差數(shù)列 B．若且，則遞增C．為等比數(shù)列 D．為等比數(shù)列10．甲乙兩入進行投籃比賽，兩人各投一次為一輪比賽，約定如下規(guī)則：如果在一輪比賽中一人投進，另一人沒投進，則投進者得1分，沒進者得分，如果一輪比賽中兩入都投進或都沒投進，則都得0分，當兩人各自累計總分相差4分時比賽結束，得分高者獲勝，在每次投球中甲投進的概率為0.5，乙投進的概率為0.6，每次投球都是相互獨立的，若規(guī)定兩人起始分都為2分，記為“甲累計總分為時，甲最終獲勝”的概率，則（

）A．一輪比賽中，甲得1分的概率為0.5 B．C． D．為等差數(shù)列11．已知函數(shù)．則下列說法正確的是（

）A．若，則B．，使得在上單調遞增C．若為的極值點，則D．，坐標平面上存在點，使得有三條過點的直線與的圖象相切三、填空題（本大題共3小題）12．從含有6件正品和4件次品的正品中任取3件，記為所抽取的次品數(shù)，則．13．已知實數(shù)，滿足，則的最小值為．14．設高斯函數(shù)表示不超過的最大整數(shù)（如），已知，則；．四、解答題（本大題共5小題）15．甲、乙兩人對局比賽，甲贏得每局比賽的概率為，每局比賽沒有平局．(1)若賽制為3局2勝，，求最終甲獲勝的概率；(2)若賽制為5局3勝，記為“恰好進行4局比賽且甲獲得最終勝利”的概率，求的最大值及此時p的值．16．已知數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項和為，且．(1)求數(shù)列，的通項公式，(2)求數(shù)列的前項和為．17．目前AI技術蓬勃發(fā)展，某市投放了一批AI無人駕駛出租車．為了了解不同年齡的人對無人駕駛出租車的使用體驗.隨機選取了100名使用無人駕駛出租車的體驗者，讓他們根據(jù)體驗效果進行評分．(1)現(xiàn)將100名消費者的年齡劃分為“青年”和“中老年”，評分劃分為“好評”和“差評”，整理得到如下數(shù)據(jù)，請將列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有的把握認為對無人駕駛出租車的評價與年齡有關．好評差評合計青年20中老年10合計40100(2)設消費者的年齡為，對無人駕駛出租車的體驗評分為．若根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，用最小二乘法得到關于的線性回歸方程為，且年齡的方差為，評分的方差為，求y與x的相關系數(shù)r，并據(jù)此判斷對無人駕駛出租車使用體驗的評分與年齡的相關性強弱（當時，認為相關性強，否則認為相關性弱）．附：．獨立性檢驗中的，其中．臨界值表：0.0500.0100.0013.8416.63510.82818．已知函數(shù)．(1)求證：時，；(2)討論的單調性；(3)求證：恰有一個零點．19．已知函數(shù)，定義：對給定的常數(shù)，數(shù)列滿足，，則稱數(shù)列為函數(shù)的“數(shù)列”．（為的導函數(shù)）(1)若函數(shù)，數(shù)列為函數(shù)的“數(shù)列”，且，求的通項公式；(2)若函數(shù)，數(shù)列為函數(shù)的“數(shù)列”，求證：；(3)若函數(shù)，正項數(shù)列為函數(shù)的“數(shù)列”，已知．記數(shù)列的前項和為．求證：當時，．

參考答案1．【答案】D【分析】根據(jù)導數(shù)的定義式化簡，結合導數(shù)的計算公式可得解.【詳解】由，又，，所以，所以原式等于，故選D.2．【答案】A【分析】記事件該元件使用壽命超過年，記事件該元件使用壽命超過年，計算出和，利用條件概率公式可求出所求事件的概率為.【詳解】記事件該元件使用壽命超過年，記事件該元件使用壽命超過年，則，，因此，若一個這種元件使用到年時還未失效，則這個元件使用壽命超過年的概率為.故選A.【關鍵點撥】本題考查條件概率的計算，解題時要弄清楚兩個事件的關系，并結合條件概率公式進行計算.3．【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質分析可得，進而可得結果.【詳解】因為為等差數(shù)列，若，即，可得，即，可得，即，所以.故選B.4．【答案】B【分析】利用圖象可得，令，利用導數(shù)判斷其單調性，可得，再結合全稱命題的否定分析判斷.【詳解】因為過點，由圖象可知：，令，則對任意恒成立，可知在內(nèi)單調遞減，則，即，綜上所述：，即命題為真命題，且命題的否定為或.故選B.5．【答案】C【分析】根據(jù)正態(tài)分布的期望和二項分布的方差可得，進而結合正態(tài)分布的對稱性運算求解.【詳解】因為，則，且，即，可得，若，則，即，解得.故選C.6．【答案】C【分析】令，利用導數(shù)判斷其單調性，進而求的整數(shù)解，即可得結果.【詳解】令，則，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調遞減，在內(nèi)單調遞增，且，可知的整數(shù)解為，即，所以集合的子集個數(shù)為.故選C.7．【答案】A【分析】根據(jù)題意列不等式，結合函數(shù)的單調性求得的取值范圍.【詳解】因為，設函數(shù)，則.依題意有，注意到在區(qū)間上為增函數(shù)，故當時，有最大值，即，解得.故選A.8．【答案】C【分析】令可推導得，結合的值可知A正確；令可推導得，結合可推導知B正確；根據(jù)單調性可知C錯誤；當時，根據(jù)的對稱中心及其在時的值域可確定時滿足，知D正確.【詳解】對于A，令，則，即，又，；令得：，，，，則由可知：當時，，A正確；對于B，令，則，即，，由A的推導過程知：，，B正確；對于C，為上的增函數(shù)，當時，，則；當時，，則，不存在非零實數(shù)，使得任意，，C錯誤；對于D，當時，；由，知：關于，成中心對稱，則當時，為的對稱中心；當時，為上的增函數(shù)，，，，；由圖象對稱性可知：此時對任意，，D正確.故選C.【關鍵點撥】本題考查函數(shù)對稱性的應用，解題關鍵是能夠根據(jù)已知關系式確定的對稱中心，同時采用賦值的方式確定所滿足的其他關系式，從而結合對稱性和其他函數(shù)關系式來確定所具有的其他性質.9．【答案】ABD【分析】根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義可判斷ACD，再根據(jù)等比數(shù)列公比可判斷B選項.【詳解】由數(shù)列為等比數(shù)列，則，則A選項：，，則為定值，所以數(shù)列為等差數(shù)列，A選項正確；B選項：由，，則，所以當時，，數(shù)列單調遞增；當時，，數(shù)列單調遞增；所以B選項正確；C選項：當時，，此時不是等比數(shù)列，C選項錯誤；D選項：當時，，又為定值，所以數(shù)列為等比數(shù)列，D選項正確；故選ABD.10．【答案】BC【分析】對于A：根據(jù)獨立事件概率乘法分析求解即可；對于B：每一輪比賽后為定值4，結合題意分析判斷；對于C：利用全概率公式分析判斷；對于D：整理可得，結合等比、等差數(shù)列分析判斷.【詳解】對于選項A：記“在每一輪比賽中甲得分1分”為事件A，則；“在每一輪比賽中乙得1分”為事件B，則；“在每一輪比賽中得0分”為事件C，則；故A錯誤；對于選項B：設甲的得分為，乙的得分為，由題意可知：每一輪比賽后為定值4，若決出勝負，則，解得或，若，即乙獲勝，可知；若，即甲獲勝，可知；綜上所述：，故B正確；對于選項CD：記甲累計總分為i時，甲最終獲勝為事件M，則，所以，故C正確；整理可得，且，可知數(shù)列為等比數(shù)列，且首項為，公比為，因為，可知不為等差數(shù)列，故D錯誤；故選BC.11．【答案】ABD【分析】對于A：整理可得，分類討論即可；對于B：求導可得，令，利用導數(shù)分析的單調性和最值，即可得結果；對于C：根據(jù)極值點的性質可得或，并代入檢驗即可；對于D：求導，設，根據(jù)導數(shù)的幾何意義分析可得，構建，原題意等價于有3個零點，利用導數(shù)分析其零點即可.【詳解】對于選項A：若，則，因為，等價于，若，則，即，可得；若，則，即，可得；綜上所述：，可得，故A正確；對于選項B：因為，令，則，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調遞減，在內(nèi)單調遞增，則，若，則，可得，則在上單調遞增，所以，使得在上單調遞增，故B正確；對于選項C：因為，由題意可得，解得或，若，則，由選項B可知：在內(nèi)單調遞減，在內(nèi)單調遞增，且當時，，，可知有且僅有一個零點，若，；若，；且，；若，；可得當或，；當，；可知在內(nèi)單調遞增，在內(nèi)單調遞減，可知為的極值點，符合題意；若，則，由選項B可知：在內(nèi)單調遞減，在內(nèi)單調遞增，且當時，，，可知有且僅有一個零點1，若，；若，；且，；若，；可得當或時，；當，；可知在內(nèi)單調遞增，在內(nèi)單調遞減，可知為的極值點，符合題意；綜上所述：或，故C錯誤；對于選項D：因為，，設切點坐標為，切線斜率，則切線方程為，設，則，整理可得，令，原題意等價于有3個零點，則，令，可得，令，則，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調遞減，在內(nèi)單調遞增，則，且當趨近于時，趨近于0，當趨近于時，趨近于，可得的圖象如圖所示，又因為過定點，結合圖象可知與必有交點，即必有變號零點，所以對，均，使得至少有2個變號零點，此時至少有3個單調區(qū)間，且連續(xù)不斷，可知，使得有3個零點，綜上所述：，存在點，使得有三條過點的直線與的圖象相切，故D正確；故選ABD.【方法總結】對于函數(shù)零點的個數(shù)的相關問題，利用導數(shù)和數(shù)形結合的數(shù)學思想來求解．這類問題求解的通法是：（1）構造函數(shù)，這是解決此類題的關鍵點和難點，并求其定義域；（2）求導數(shù)，得單調區(qū)間和極值點；（3）數(shù)形結合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與x軸的交點情況進而求解．12．【答案】【分析】的所有可能取值為0，1，2，3，算出對應的概率結合期望公式即可得解.【詳解】的所有可能取值為0，1，2，3，則，故.故答案為：.13．【答案】【分析】由已知化簡可得，代入可得，根據(jù)基本不等式可得最小值.【詳解】由已知當時，不成立，當時，化簡可得，則，當且僅當，即時取等號，故答案為：.14．【答案】42852【分析】由的定義求出即可,求出，，，，，，判斷出是一個以周期為6的周期數(shù)列，求出即可．【詳解】.，∴，，，同理可得：；；，；，，…∴.故是一個以周期為6的周期數(shù)列，則.故答案為：4285，2.【關鍵點撥】第二空的關鍵是得出是一個以周期為6的周期數(shù)列，由此即可順利得解.15．【答案】(1)(2)的最大值，此時【分析】（1）分前兩局比賽甲贏和前兩局比賽甲贏一局且最后甲勝兩種情況，結合獨立重復性實驗分析求解；（2）分析可知前三局比賽甲贏兩局，第四局甲贏，可得，利用導數(shù)判斷其單調性和最值.【詳解】（1）設前兩局比賽甲贏為事件A，則；設前兩局比賽甲贏一局且最后甲勝為事件B，則；所以甲勝的概率為.（2）恰進行4局比賽且甲最后勝，則前三局比賽甲贏兩局，第四局甲贏，可得，則，令，解得，當，，可知在上為增函數(shù)；當，，可知在上為減函數(shù)；所以的最大值為，此時．16．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)構造法可得數(shù)列的通項公式，再根據(jù)退一相減法可得數(shù)列的通項公式；（2）利用錯位相減法可得數(shù)列前項和.【詳解】（1），，數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，，；，當時，，即，當時，，所以，即，當時，，；（2）由（1）得，，作差可得，.17．【答案】(1)列聯(lián)表見詳解；有的把握認為對無人駕駛出租車的評價與年齡有關(2)對無人駕駛出租車使用體驗的評分與年齡的相關很強【分析】（1）根據(jù)題意完善列聯(lián)表，求，并與臨界值對比分析；（2）根據(jù)題意求相關系數(shù)，進而分析理解.【詳解】（1）根據(jù)題意可得列聯(lián)表如下：好評差評合計青年203050中老年401050合計6040100因為，所以有的把握認為對無人駕駛出租車的評價與年齡有關．（2）因為，所以，因為，所以，因為，所以，所以相關系數(shù)，因為，所以判斷對無人駕駛出租車使用體驗的評分與年齡的相關很強．18．【答案】(1)證明見解析.(2)答案見解析.(3)證明見解析.【分析】（1）構造函數(shù)，，通過導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，并求最大值即可；（2）求導函數(shù)，分類討論三種情況，函數(shù)在定義域的單調性即可；（3）由（2）函數(shù)的單調性，并結合零點存在性定理，分別分析三種情況的零點即可.【詳解】（1）設，，則，當時，，則在上單調遞增，當時，，則在上單調遞減，所以，即．（2）由題意定義域為，則，，①當時，函數(shù)，當時，；當時，，故當時，恒成立，此時在上單調遞增；②時，當時，，函數(shù)在和上單調遞增；當時，，函數(shù)在上單調遞減；③時，當時，，函數(shù)在和上單調遞增；當時，，函數(shù)在上單調遞減；（3）由（2）知：①當時，在上單調遞增，因為，，所以此時恰有一個零點；②當時，因為的極小值為，又由（1）知，結合的單調性，可知此時也恰有一個零點；③當時，的極小值為，又，結合的單調性，同樣也恰有一個零點．綜上，，恰有一個零點．19．【答案】(1)(2)證明過程見解析(3)證明過程見解析【分析】（1）由“數(shù)列”的定義得遞推關系，進一步構造等比數(shù)列即可得解；（2）由題可得，構造