2025年新高二數(shù)學(xué)（人教A版暑假銜接）新課預(yù)習(xí)-1.2 空間向量基本定理（教師版）-新高二暑假銜接VIP

1.2空間向量基本定理【劃重點】1．掌握空間向量基本定理.2．會用基底法表示空間向量.3．初步體會利用空間向量基本定理求解立體幾何問題的思想．【知識梳理】知識點一空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我們把{a，b，c}叫做空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量．知識點二空間向量的正交分解1．單位正交基底如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都是1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示．2．向量的正交分解由空間向量基本定理可知，對空間任一向量a，均可以分解為三個向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk.像這樣把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解．知識點三證明平行、共線、共面問題(1)對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb.(2)如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.知識點四求夾角、證明垂直問題(1)θ為a，b的夾角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(2)若a，b是非零向量，則a⊥b?a·b＝0.知識點五求距離(長度)問題eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(a·a)(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\r(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))))．【例題詳解】一、空間的基底例1(1)為空間的一組基底，則下列各項中能構(gòu)成基底的一組向量是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【分析】確定，，排除ABD，得到答案.【詳解】對選項A：，向量共面，故不能構(gòu)成基底，錯誤；對選項B：，向量共面，故不能構(gòu)成基底，錯誤；對選項C：假設(shè)，即，這與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，可以構(gòu)成基底，正確；對選項D：，向量共面，故不能構(gòu)成基底，錯誤；故選：C(2)已知平面ABC，，，，則空間的一個單位正交基底可以為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正交基地的定義可知，三個向量兩兩互相垂直，且模長為1.【詳解】因為平面ABC，AB、AC都在面ABC內(nèi)，所以，.因為，，，所以，又SA=1，所以空間的一個單位正交基底可以為.故選：A跟蹤訓(xùn)練1(1)設(shè)x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空間的一個基底，給出下列向量組：①{a，b，x}，②{b，c，z}，③{x，y，a＋b＋c}，其中可以作為空間一個基底的向量組有()A．1個B．2個C．3個D．0個【答案】B【詳解】因為x＝a＋b，所以向量x，a，b共面．如圖，令a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AA1,\s\up6(→))，c＝eq\o(AD,\s\up6(→))，則x＝eq\o(AB1,\s\up6(→))，y＝eq\o(AD1,\s\up6(→))，z＝eq\o(AC,\s\up6(→))，a＋b＋c＝eq\o(AC1,\s\up6(→)).可知向量b，c，z和x，y，a＋b＋c不共面，故選B.(2)已知空間的一個基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m與n共線，則x＋y＝________.【答案】0【詳解】因為m與n共線，所以xa＋yb＋c＝z(a－b＋c)．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝z，,y＝－z，,1＝z.))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1.))所以x＋y＝0.二、空間向量基本定理例2(1)在平行六面體中，為的中點，為的中點，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)，根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算表達(dá)，再聯(lián)立求解即可.【詳解】設(shè)則.所以，，所以.故選：C(2)如圖，在四面體OABC中，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用空間向量基本定理求解出，從而求出.【詳解】因為，所以，又，所以．故選：D跟蹤訓(xùn)練2(1)如圖，在四面體中，，，，為的重心，為的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先用，，，表示向量，再利用為的中點，得代入整理得答案.【詳解】因為為的重心，所以.為的中點，所以.故選：C.(2)已知四棱錐，底面為平行四邊形，M，N分別為棱BC，PD上的點，，，設(shè)，，，則向量用為基底表示為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由圖形可得，根據(jù)比例關(guān)系可得，，再根據(jù)向量減法，代入整理并代換為基底向量．【詳解】即故選：D．三、證明平行、共面問題例3如圖，在四面體ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點.（1）求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；（2）求證：平面EFGH；（3）設(shè)M是EG和FH的交點，求證：對空間任意一點O，有.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意得出可證；（2）通過證明可得；（3）可得四邊形EFGH為平行四邊形，為EG中點，即可證明.【詳解】（1）E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，，，，又E，F(xiàn)，G，H四點不共線，故E，F(xiàn)，G，H四點共面；（2）E，H分別是AB，AD的中點，，，，平面EFGH，平面EFGH，平面EFGH；（3）由（1）知四邊形EFGH為平行四邊形，為EG中點，E，G分別是AB，CD的中點，.跟蹤訓(xùn)練3(1)如圖，已知斜三棱柱，在和上分別取點，，使，，其中，求證：平面.【答案】證明見解析【分析】用、表示，即可得到與向量，共面，從而得證.【詳解】證明因為，，所以，所以與向量，共面，而平面，所以平面.(2)如圖，在四面體中，點、分別為、的中點，問：與、是否共面？【答案】共面，理由見解析.【分析】計算可得，以及，可得出關(guān)于、的表達(dá)式，由此可得出結(jié)論.【詳解】，且、分別為、的中點，所以，.因此，與、共面.四、求夾角、證明垂直問題例4如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點．設(shè)，，.(1)求證EG⊥AB；(2)求異面直線AG和CE所成角的余弦值．【分析】（1）作出輔助線，利用三線合一證明出，從而得到線面垂直，進(jìn)而證明線線垂直；（2）用表達(dá)與，利用空間向量夾角公式求解異面直線AG和CE所成角的余弦值.【詳解】（1）證明：連接DE，因為空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，且E，G分別是AB，CD的中點，所以，故，又因為，平面，所以平面，因為平面，所以.（2）由題意得：均為等邊三角形且邊長為1，所以，，所以，設(shè)異面直線AG和CE所成角為，則跟蹤訓(xùn)練4已知平行六面體的底面是邊長為1的菱形，且，.（1）證明：；（2）求異面直線與夾角的余弦值.【答案】（1）證明見詳解；（2）【解析】（1）由題，選定空間中三個不共面的向量為基向量，只需證明即可；（2）用基向量求解向量的夾角即可，先計算向量的數(shù)量積，再求模長，代值計算即可.【詳解】設(shè)，，由題可知：兩兩之間的夾角均為，且，（1）由所以即證.（2）由，又所以，又則又異面直線夾角范圍為所以異面直線夾角的余弦值為.【點睛】本題考查用基向量求解空間向量的問題，涉及異面直線的夾角，以及線線垂直的證明，是難得的好題，值得總結(jié)此類方法.五、求距離(長度)問題例5如圖，在平行六面體中，兩兩夾角為60°，長度分別為2，3，1，點P在線段BC上，且，記.（1）試用表示；（2）求模.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用空間向量的線性運(yùn)算，即可用，，表示.（2）由（1）得，根據(jù)向量的模的運(yùn)算及向量的數(shù)量積，即可得出答案.【詳解】（1），.（2）因為AB，AD，兩兩夾角為60°，長度分別為2，3，1.所以，..【點睛】本題考查空間向量的加減法運(yùn)算和向量的模，以及運(yùn)用向量的數(shù)量積運(yùn)算，同時考查空間想象能力和計算能力.跟蹤訓(xùn)練5如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱PA的長為2，且PA與AB、AD的夾角都等于60°，M是PC的中點，設(shè)，，.(1)試用表示向量；(2)求BM的長.【答案】(1)；(2)【分析】利用空間向量基本定理用基底表示；（2）在第一問的基礎(chǔ)上運(yùn)用空間向量數(shù)量積運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算.【詳解】（1）（2），所以，則BM的長為.【課堂鞏固】1．下列說法正確的是（

）A．若向量、共線，則向量、所在的直線平行．B．若、、是空間三個向量，則對空間任一向量，總存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使．C．若向量、所在的直線是異面直線，則向量、一定不共線．D．若三個向量、、兩兩共面，則三個向量、、一定共面．【答案】C【分析】根據(jù)空間向量的相關(guān)概念以及空間向量基本定理分析判斷.【詳解】對于A：若向量、共線，則向量、所在的直線平行或重合，故A錯誤；對于B：根據(jù)空間向量基本定理可知，此時、、應(yīng)是空間三個不共面的向量，故B錯誤；對于C：反證：若向量、共線，則向量、所在的直線平行或重合，這與向量、所在的直線是異面直線相矛盾，故C正確；對于D：若三個向量、、兩兩共面，則三個向量、、不一定共面，例如、、所在的直線為三棱錐的三條側(cè)棱，故D錯誤；故選：C.2．是空間的一組基底，則可以與向量構(gòu)成基底的向量（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量基底的定義和共面向量的充要條件逐一判斷即可求解.【詳解】因為是空間的一組基底，所以不共面，不共線，因為，若，則，顯然這樣的不存在，所以不共線，對于A，因為，所以，由共面的充要條件知，共面，故不能構(gòu)成基底向量，故A錯誤；對于B，因為，所以，由共面的充要條件知，共面，故不能構(gòu)成基底向量，故B錯誤；對于C，因為，若，顯然這樣的不存在，所以不能用與表示，不共面，故能構(gòu)成基底向量，故C正確；對于D，因為，所以，由共面的充要條件知，共面，故不能構(gòu)成基底向量，故D錯誤.故選：C.3．如圖，在正方體，中，點是的中點，點在上，且，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算，以及相等向量的轉(zhuǎn)化，即可求解.【詳解】易知，，，，，，所以.故選：D4．如圖，二面角α－l－β等于eq\f(2π,3)，A，B是棱l上兩點，BD,AC分別在平面α，β內(nèi)，AC⊥l，BD⊥l，且2AB＝AC＝BD＝2，則CD的長等于()A．2eq\r(3)B.eq\r(13)C．4D．5【答案】B【詳解】∵二面角α－l－β等于eq\f(2π,3)，AC⊥l,BD⊥l，所以〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝π－eq\f(2π,3)＝eq\f(π,3)，∵eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))，∴eq\o(CD,\s\up6(→))2＝eq\o(CA,\s\up6(→))2＋eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(BD,\s\up6(→))2＋2eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＋2eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝22＋12＋22＋0＋0＋2×2×2×coseq\f(π,3)＝13.即CD＝eq\r(13).5．如圖，三棱錐S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，SA＝2eq\r(2)，則SC與AB所成角的大小為()A．90°B．60°C．45°D．30°【答案】B【詳解】因為SA⊥底面ABC，所以SA⊥AC，SA⊥AB，所以eq\o(AS,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，又AB⊥BC，AB＝BC＝2，所以∠BAC＝45°，AC＝2eq\r(2).因此eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up6(→))))cos45°＝2×2eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝4，所以eq\o(SC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AS,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝4，又SA＝2eq\r(2)，所以SC＝eq\r(SA2＋AC2)＝4，因此cos〈eq\o(SC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(SC,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(SC,\s\up6(→))))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→)))))＝eq\f(4,4×2)＝eq\f(1,2)，所以SC與AB所成角的大小為60°.6．（多選）已知是空間的一個基底，若，則錯誤的是（

）A．是空間的一組基底 B．是空間的一組基底C．是空間的一組基底 D．與中的任何一個都不能構(gòu)成空間的一組基底【答案】ABD【分析】根據(jù)空間向量基底的概念逐項分析判斷即可求出結(jié)果.【詳解】解：對于A選項，，所以共面，故錯誤；對于B選項，，所以共面，故錯誤；對于C選項，假設(shè)，即，得，這與是空間的一個基底矛盾，故是空間的一組基底，正確；對于D選項，由C選項可知D選項錯誤.故選：ABD7．如圖，已知?ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，則PC的長為________．【答案】7【詳解】∵eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))，∴|eq\o(PC,\s\up6(→))|2＝eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))2＝|eq\o(PA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＋|eq\o(DC,\s\up6(→))|2＋2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＋2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝62＋42＋32＋2|eq\o(AD,\s\up6(→))||eq\o(DC,\s\up6(→))|cos120°＝61－12＝49.∴PC＝7.8．已知是空間的一個單位正交基底，向量是空間的另一個基底，用基底表示向量___________.【答案】【分析】設(shè)，然后整理解方程組即可.【詳解】設(shè)，即有，因為是空間的一個單位正交基底，所以有，所以.故答案為：9．如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.求證：A，E，C1，F(xiàn)四點共面.【答案】證明見解析.【分析】根據(jù)空間向量定義及運(yùn)算法則，用，表示出，從而證得四點共面.【詳解】證明:因為＝＝＋＝，所以，，共面，所以A，E，C1，F(xiàn)四點共面.10．如圖，在長方體中，M為的中點，N在AC上，且．求證：與、共面．【答案】證明見解析【分析】用表示出后可得結(jié)論．【詳解】因為，，，所以，所以與、共面．11．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中點，O是底面ABCD的中心．求證：B1O⊥平面PAC.【詳解】證明如圖，連接BD，則BD過點O，令eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，則|a|＝|b|＝|c|＝1，且eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(OB1,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c.∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(OB1,\s\up6(→))＝(a＋b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a－\f(1,2)b＋c))＝eq\f(1,2)|a|2＋eq\f(1,2)a·b－eq\f(1,2)a·b－eq\f(1,2)|b|2＋a·c＋b·c＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝0.∴eq\o(AC,\s\up6(→))⊥eq\o(OB1,\s\up6(→))，即AC⊥OB1.又eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DD1,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,2)c，∴eq\o(OB1,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a－\f(1,2)b＋c))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)c))＝eq\f(1,2)a·b－eq\f(1,2)|b|2＋c·b＋eq\f(1,4)a·c－eq\f(1,4)b·c＋eq\f(1,2)|c|2＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝0，∴eq\o(OB1,\s\up6(→))⊥eq\o(AP,\s\up6(→))，即OB1⊥AP.又AC∩AP＝A，AC，AP?平面PAC，∴OB1⊥平面PAC.12．如圖，空間四邊形的各邊及對角線長都為2，E是的中點，F(xiàn)在上，且.（1）用表示；（2）求向量與向量所成角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由E是的中點，F(xiàn)在上，得到，進(jìn)而結(jié)合向量的基本定理，即可求解；（2）由（1）分別求得，，以及，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）因為E是的中點，F(xiàn)在上，且，所以，于是.（2）由（1）得，因此，，又因為，所以向量與向量所成角的余弦值為.【點睛】本題主要考查了空間向量的基本定理，以及向量的數(shù)量積和向量的夾角公式的應(yīng)用，其中解答中熟記向量的線性運(yùn)算法則，以及向量的數(shù)量積積的運(yùn)算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.【課時作業(yè)】1．若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【分析】根據(jù)基底的性質(zhì)，結(jié)合共面向量的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】假設(shè)，，是共面向量，則存在使，因為構(gòu)成空間的一個基底，所以有，因此假設(shè)成立，故選項A不符合題意；假設(shè)，，是共面向量，則存在使，因為構(gòu)成空間的一個基底，所以有，因此假設(shè)成立，故選項B不符合題意；假設(shè)，，是共面向量，則存在使，即，因為構(gòu)成空間的一個基底，所以上式向量式無實數(shù)解，因此假設(shè)不成立，故選項C符合題意；假設(shè)，，是共面向量，則存在使，因為構(gòu)成空間的一個基底，所以有，因此假設(shè)成立，故選項D不符合題意，故選：C2．如圖，在四面體中，點在棱上，且滿足，點，分別是線段，的中點，則用向量，，表示向量應(yīng)為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用空間向量基本定理以及空間向量的線性運(yùn)算進(jìn)行求解即可．【詳解】解：因為，所以，因為點，分別是線段，的中點，所以，所以．故選：A．3．如圖，平行六面體中，為的中點.若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的加減法公式，對向量進(jìn)行分解，進(jìn)而求出，，的值.【詳解】，故，，，即故選：.4．已知是空間的一組基底，其中，，.若A，B，C，D四點共面，則λ=（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，設(shè)存在唯一的實數(shù)對，使得，結(jié)合向量的數(shù)乘運(yùn)算和相等向量的概念計算，即可求解.【詳解】由題意，設(shè)存在唯一的實數(shù)對，使得，即，則，則x=2，，，解得.故選：D.5．如圖，平行六面體，其中，，，，，，則的長為（

）A． B． C． D．10【答案】C【分析】利用空間向量基本定理表達(dá)出，平方后利用空間向量數(shù)量積公式求出，得到的長.【詳解】，故，故.故選：C6．點是三棱錐底面的重心，且滿足，則為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接并延長交于點，連接，則為的中點，由重心的性質(zhì)可得出，利用空間向量的線性運(yùn)算可得出關(guān)于、、的表達(dá)式，即可得出實數(shù)的值.【詳解】連接并延長交于點，連接，則為的中點，所以，，因為為的重心，則，即，所以，，即，故.故選：C.7．（多選）設(shè)是空間一個基底，則下列選項中正確的是（

）A．若，，則B．，，一定能構(gòu)成空間的一個基底C．對空間中的任一向量，總存在有序?qū)崝?shù)組，使D．存在有序?qū)崝?shù)對，使得【答案】BC【分析】根據(jù)空間向量的基本定理，對選項中的命題進(jìn)行分析、判斷正誤即可．【詳解】對于，，，不能得出，也可能是、相交不一定垂直，選項錯誤；對于，假設(shè)向量，，共面，則，、，化簡得，所以、、共面，這與已知矛盾，所以選項正確；對于，根據(jù)空間向量基本定理知，對空間任一向量，總存在有序?qū)崝?shù)組,,，使，選項正確；對于，因為是空間一個基底，所以與、不共面，選項錯誤．故選：．8．（多選）如圖，在三棱柱中，，分別是，上的點，且，．設(shè)，，，若，，，則下列說法中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用向量的線性運(yùn)算的幾何表示，向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律逐項分析即得.【詳解】因為，，所以，，所以，故A錯誤；因為，，，所以，所以，故B正確；因為，，所以，故C錯誤；因為，所以，因為，所以，所以，故D正確.故選：BD.9．如圖，、、分別是正方體的棱、、的中點，是上的點，平面.若，則___________.【答案】【分析】設(shè)，其中，將、、用基底表示，分析可知、、共面，則存在、，使得，根據(jù)空間向量的基本定理可得出關(guān)于、、的方程組，解出的值，即可得出的長度.【詳解】設(shè)，其中，，，，因為平面，則、、共面，顯然、不共線，所以，存在、，使得，即，因為為空間中的一組基底，所以，，解得，因此，.故答案為：.10．在四面體中，是棱的中點，且，則的值為__________.【答案】0【分析】利用空間向量加減法法則，把用表示出來，即可求出結(jié)果.【詳解】如圖所示，因為是棱的中點，所以，則，所以，故答案為：0.11．如圖，兩個正方形，的邊長都是3，且二面角為，為對角線靠近點的三等分點，為對角線的中點，則線段______.【答案】【分析】由已知可得.進(jìn)而表示出，即可根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)求出，進(jìn)而即可求出答案.【詳解】由已知可得，，，所以即為二面角的平面角，即.因為，為對角線的中點，所以.因為為對角線靠近點的三等分點，所以，所以.所以，所以.所以，所以線段.故答案為：.12．設(shè)是空間的一個單位正交基底，且向量，若，則用基底表示向量______________．【答案】【分析】設(shè)，從而根據(jù)列出方程組，求出，求出答案.【詳解】設(shè)，則，故，解得：，故故答案為：13．如圖所示，四面體中，G，H分別是的重心，設(shè)，點D，M，N分別為BC，AB，OB的中點．(1)試用向量表示向量；(2)試用空間向量的方法證明MNGH四點共面．【答案】(1)，；(2)證明見解析【分析】（1）結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算即可求出結(jié)果；（2）證得，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）因為，而，又D為的中點，所以，所以．（2）因為，，所以，，所以．所以四點共面．14．如圖所示，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)棱AM的長為3，且，N是CM的中點，設(shè)，，，用、、表示向量，并求BN的長．【答案】，【分析】根據(jù)題中條件，由向量的線性運(yùn)算，即可得出；再由向量模的計算公式，結(jié)合題中條件，可求出，即得出結(jié)果.【詳解】解：因為是的中點，底面是正方形，所以，又由題意，可得，，，，，因此，所以，即的長為.15．在長方體ABCD－A1