第八章《成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析》章末復習提升與檢測（原卷版）VIP

第八章《成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析》章末復習提升與檢測

知識體系

E(x,-x)(y,-y)

樣本相關(guān)系數(shù)口；E-

成對數(shù)據(jù)的變量的相關(guān)關(guān)系:

,統(tǒng)計相關(guān)性

一元線性網(wǎng)歸模型

一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估it：

成

數(shù)

X4據(jù)

,

A殘差分析

統(tǒng)

的一元線性回歸_b=------------------

2

Z(x-X)2

分

計「模型及其應用ZO-y.)

析

和1建立回歸模型決定系數(shù)-中------

斗?！溉?

1=1

2x2列聯(lián)表

圖形注，頻率分析

q獨立性檢驗)一

研究兩個分類變「、匕行高堆積條形圖

量之間的關(guān)系

算2=Mad-bcy

(fl+Z>)(c+J)(fl+c)(6+6/)

、能力整合

一、線性回歸分析

1.回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法.其基本步驟為通過散點圖和經(jīng)

驗選擇經(jīng)驗回歸方程的類型，然后通過一定的規(guī)則確定出相應的經(jīng)驗回歸方程,通過一定的方法進行檢驗,

最后應用于實際或?qū)憫兞窟M行預測.

2.主要培養(yǎng)數(shù)學建模和數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng).

【例1】某村在推進鄉(xiāng)村振興的過程中，把做活鄉(xiāng)村產(chǎn)業(yè)作為強村富民的重要抓手，因地制宜推進茶葉種

植，成立了茶葉合作社.為了對茶葉在銷售旺季進行合理定價，合作社進行了市場調(diào)研，得到了銷售旺季

時銷量)‘(噸)關(guān)于售價x(元/公斤)的散點圖.

60

40

20

(x)

80

60

40

2()

。

⑴求)'關(guān)于X的線性回歸方程；

⑵該合作社2023年茶葉總產(chǎn)量為150噸,如果在銷售旺季時售價為250元/公斤，在銷售旺季沒能售出的，

年底以每公斤10。元的價格賣給批發(fā)商，則該合作社2023年的總銷售額為多少萬元？

公式及參考數(shù)據(jù)：了關(guān)于x的線性回歸方程為》=八+3其中J-----------,a^y-6x,滅=250,

￡(若-才

/=!

3=110,XU-x)(x-y)=-56OO,^(A;-J)2=7000.

I;-l

【解題技法】解決回歸分析問題的一般步驟

(1)畫散點圖.根據(jù)已知數(shù)據(jù)畫出散點圖.

(2/I斷變量的相關(guān)性并求經(jīng)臉回歸方程.通過觀察散點圖，直觀感知兩個變量是否具有相關(guān)關(guān)系.在此基

礎(chǔ)上，利用最小二乘法求3,a,然后寫出經(jīng)驗回歸方程.

⑶回歸分析.畫殘差圖或計算代，進行殘差分析.

(4)實際應用.依據(jù)求得的經(jīng)驗回歸方程解決實際問題.

【跟蹤訓練】

如組是某機構(gòu)統(tǒng)計的某地區(qū)2016年至2022年生活垃圾無害化處理量)，(單位：萬噸)的折線圖.

、

向

附

g

z1

y.810

魏n

,60

闌

陽n

宏n

也2n0

應.0O0

切).80a....■

防234567

年份代碼f

注：年份代碼1-7分別對應年份2016-2022.

求)，關(guān)于，的回歸直線方程(系數(shù)精確到0.01),并預測2024年該地區(qū)生活垃圾無害化處理量.

參考數(shù)據(jù)：i>=9.32,=40.17,力（5據(jù)2=28,

/-??=|r=l

參考公式：回歸方程戶命+G中斜率和截距的最小乘估計公式分別為。=『-----------,a=y-bT.

2(—)2

r-1

二、獨立性檢驗

1.獨立性檢驗研究的問題是有多大把握認為兩個分類變量之間有關(guān)系.為此需先列出2X2列聯(lián)表，從表

格中可以直觀地得到兩個分類變量是否有關(guān)系.另外等高堆積條形圖能更直觀地反映兩個分類變量之間的

情況.獨立性檢驗的思想是可以先假設(shè)二者無關(guān)系，求隨機變量爐的值，若下大于臨界值，則拒絕假設(shè)，

否則，接受假設(shè).

2.通過計算好的值，進而分析相關(guān)性結(jié)論的可信程度，提升數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng).

【例2】(2023?甲卷(文))一項試驗旨在研究臭氧效應，試驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將其中

20只分配到試驗組，另外20只分配到對照組，試驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠

飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量(單位：g).試驗結(jié)果如下：

對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為

25,218.820.221.322.523.225.826.527.530.1

26.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2

試驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為

27.89.211.412.413.215.516.518.018.819.2

28.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5

(1)計算試驗組的樣本平均數(shù)；

(2)(i)求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)加，再分別統(tǒng)計兩樣本中小于〃，與不小于機的數(shù)據(jù)的個

數(shù)，完成如下列聯(lián)表;

<m..in

對照組

試驗組

(ii)根據(jù)⑺中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增

加量有差異？

*n(ad-bc)2

(a+/?)(<?+d)(a+c)(b+d)

P(K\,k)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

【解題技法】獨立性檢驗的一般步驟

(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2X2列聯(lián)表.

⑵根據(jù)公式/=(“+方Xc+"a+c)3+Q計算”的值?

(3)查表比較了與臨界值的大小關(guān)系，作出統(tǒng)計判斷.

【跟蹤訓練】

(2022?甲卷)甲、乙兩城之間的長途客車均由A和8兩家公司運營.為了解這兩家公司長途客車的運行

情況，隨機調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個班次，得到下面列聯(lián)表：

準點班次數(shù)未準點班次

數(shù)

424020

B21030

(I)根據(jù)上表，分別估計這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準點的概率；

(2)能否有90%的把握認為甲、乙兩城之間的長途客車是否準點與客車所屬公司有關(guān)?

/In(ad-be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2..k)0.1000.050().010

k2.7063.8416.635

三,數(shù)形結(jié)合思想在獨立性檢驗中的應用

1.數(shù)形結(jié)合思想就是在解決與幾何圖形有關(guān)的問題時，將圖形信息轉(zhuǎn)換成代數(shù)信息，利用數(shù)量特征，將

其轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；在進行回歸分析時，常利用散點圖、殘差圖等說明線性相關(guān)情況或模型的擬合效果.在

獨立性檢驗中，我們常用等高堆積條形圖直觀地反映數(shù)據(jù)的情況，從而可以粗略地判斷兩個分類變量是否

有關(guān)系.

2.主要培養(yǎng)數(shù)學抽象和數(shù)學運算的素養(yǎng).

【例3】某機構(gòu)為了了解患色盲是否與性別有關(guān)，隨機抽取了1000名成年人進行調(diào)查，在調(diào)查的480名

男性中有38名患色盲，520名女性中有6名患色盲，分別利用圖形和獨立性檢驗(〃=0.001)的方法來判斷

患色盲與性別是否有關(guān).

【解題技法】解獨立性檢驗的應用問題的關(guān)注點

(1)兩個明確：①明確兩類主體；②明確研究的兩個問題.

(2)兩個準確：①準確畫出2X2列聯(lián)表；②準確理解爐.

【跟蹤訓練】

某電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調(diào)查.如

圖所示的是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖.將日均收看該體育節(jié)目

時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”.

（1根據(jù)已知條件完成下面的2X2列聯(lián)表，依據(jù)小概率值〃=0.05的獨立性檢驗，能否據(jù)此認為“體育迷”

與性別有關(guān)?

“體育迷”情況

性別合計

非體育迷體育迷

男

女1055

合計

（2雇上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機抽樣方法每次抽取1名觀

眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X,若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求*的

分布列，均值E（X）和方差O（X）.

a0.050.01

Xa3.8416.635

四、轉(zhuǎn)化與化歸思想在非線性回歸分析中的應用

1.轉(zhuǎn)化與化歸思想主要體現(xiàn)在非線性回歸分析中.在實際問題中，并非所有的變量關(guān)系均滿足線性關(guān)系，

故要選擇適當?shù)暮瘮?shù)模型去擬合樣本數(shù)據(jù)，再通過代數(shù)變換，把非線性問題線性化.

2.主要培養(yǎng)數(shù)學建模和數(shù)學運算的素養(yǎng).

【例4】數(shù)獨是源自18世紀瑞士的一種數(shù)學游戲，玩家需要根據(jù)9x9盤面上的己知數(shù)字，推理出所有剩

余空格的數(shù)字，并滿足每一行、每一列、每一個粗線宮（3x3）內(nèi)的數(shù)字均含1-9,不重復.數(shù)獨愛好者小明打

算報名參加“絲路杯〃全國數(shù)獨大賽初級組的比賽，賽前小明在某數(shù)獨4Pp上進行一段時間的訓練，每天的

解題平均速度八秒）與訓練天數(shù)天）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計得到如表的數(shù)據(jù)：

打天）1234567

八秒）990990450320300240210

（1）現(xiàn)用方舊作為回歸方程模型，請利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方科

（2）請用第（1）題的結(jié)論預測，小明經(jīng)過100天訓練后，每天解題的平均速度）’約為多少秒?

參考數(shù)據(jù)（其中4=一）

t士.7x7

?1.(1

18450.370.55

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（小匕），（〃2，匕），…，（〃“，匕），其回歸直線y=a+4"的斜率和截距的最小二乘

〃——

2%匕-mt-v

估計公式分別為：0=個-------1，a^v-Btr

2--―

I?”一〃〃

r-1

【解題技法】非線性化的回歸分析問題，畫出已知數(shù)據(jù)的散點圖，選擇跟散點圖擬合得酸好的函數(shù)模型

進行變量代換，作出變換后樣本點的散點圖，用線性回歸模型擬合.

【跟蹤訓練】

中國茶文化博大精深，已知茶水的口感與茶葉類型以及水溫有關(guān).經(jīng)驗表明，某種綠茶用85c的水泡制,

再等到茶水溫度降至60℃時飲用，可以產(chǎn)生最佳口感.某學習研究小組通過測量，得到了下面表格中的數(shù)

據(jù)（室溫是2?！妫?

泡制時間x!min01234

水溫）/c8579747165

ln(y-20)4.24.14.03.93.8

（1）小組成員根據(jù)上面表格中的數(shù)據(jù)繪制散點圖，并根據(jù)散點圖分布情況，考慮到茶水溫度降到室溫（即

20C）就不能再降的事實，決定選擇函數(shù)模型），=履,+203之0）來刻畫.

①令z=ln（），-2O）,求出z關(guān)于，的線性回歸方程；

②利用①的結(jié)論，求出y=kcx+20（x>O,c>0）中的Z:與。.

（2）你認為該品種綠茶用85℃的水大約泡制多久后飲用，可以產(chǎn)生最佳口感？

參考數(shù)據(jù)：log。,,。6=4.8,e如h09/2=66.7,竺^=0.6.參考公式：

667

AA￡（內(nèi)-可（馬-可a

z=bx+a,b=------------,ci=z-bx.

XUE

1=1

章末檢測

（時間：120分鐘，滿分：150分）

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的）

1.為調(diào)查中學生近視情況，隨機抽取某校男生150名，女生140名，其中，男生中有80名近視，女生中

有70名近視.在檢驗這些中學生眼睛近視是否與性別有關(guān)時，最有說服力的方法是（）

A.均值與方差B.排列與組合

C.概率D.獨立性檢驗

2.觀察下列散點圖，則①正相關(guān)，②負相關(guān)，③不相關(guān)，圖中的甲、乙、丙三個散點圖按順序相對應

的是（）.

???

????????:?????????

■:??：?三二三

OxoXOX

甲乙丙

A.①②③B.②①③C.①③②D.③①②

3.對兩個變量MN進行線性相關(guān)性檢驗，得線性相關(guān)系數(shù)，i=-09872,對兩個變量進行線性相關(guān)性檢

驗，得線性相關(guān)系數(shù)弓=09384,則下列判斷正確的是（）

A.變量x與變量》正相關(guān),變量”與變量I，負相關(guān),變量x與變量的線性相關(guān)性更強

B.變量上與變量）負相關(guān),變量”與變量V正相關(guān),變量V與變量〉的線性相關(guān)性更強

C.變量x與變量）'正相關(guān),變量〃與變量-負相關(guān),變量〃與變量V的線性相關(guān)性更強

D.變量X與變量）'負相關(guān),變量〃與變量，正相關(guān),變量〃與變量V的線性相關(guān)性更強

4.獨立性檢驗中，假設(shè)：變量x與變量丫沒有關(guān)系，則在上述假設(shè)成立的情況下，估算概率

P(/C2>6.635)?0.01,表示的意義是

A.變量X與變量丫有關(guān)系的概率為1%

B.變量X與變量V沒有關(guān)系的概率為99.9%

C.變量X與變量y沒有關(guān)系的概率為99%

D.變量X與變量y有關(guān)系的概率為99%

5.某考察團對全國10大城市進行職工人均工資水平X（千元）與居民人均消費水平y(tǒng)（千元）統(tǒng)計調(diào)查

發(fā)現(xiàn)，y與x具有相關(guān)關(guān)系，回歸方程為S，=0.66x+1.562.若某城市居民人均消費水平為7.675（千元），估

計該城市人均消費額占人均工資收入的百分比約為（）

A.83%B.72%C.67%D.66%

6.某科研機構(gòu)為了研究中年人禿頭是否與患有心臟病有關(guān)，隨機調(diào)查了一些中年人的情況，具體數(shù)據(jù)如

下表所示：

有心臟病無心臟病

禿發(fā)20300

不禿發(fā)5450

根據(jù)表中數(shù)據(jù)得叱=衛(wèi)巴吧竺士幽^15.968,由K210.828斷定禿發(fā)與患有心臟病有關(guān)，那么

25x750x320x455

這種判斷出錯的可能性為

附表：

P心))0.100.050.0250.0100.0050.001

2.7063.8415.0246.6357.87910.828

A.0.1B.0.05

C.0.01D.0.001

7.相關(guān)變量X）’的散點圖如圖所示，現(xiàn)對這兩個變量進行線性相關(guān)分析，方案一：根據(jù)圖中所有數(shù)據(jù)，

得到線性回歸方程.V=〃x+q,相關(guān)系數(shù)為、方案二：剔除點（1。，21）,根據(jù)剩下數(shù)據(jù)得到線性回歸直線

方程：y=相關(guān)系數(shù)為弓.則（）

斗

51015x

A.B.Ov&vqvl

C.-1＜彳＜4＜。D.-1＜/；＜/j＜0

8.用模型＞'=。*擬合一組數(shù)據(jù)組（4yj（，=l,2,3,?,,7）,其中百+9++七=7,設(shè)z=ln），，得變換后

的線性回歸方程為2=%+4,則）,2??=（）

A.e70B.e3sC.70D.35

二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符

合題目要求的，全部選對的得6分，選對但不全的得3分，有選錯的得U分）

9.下列說法正確的是（）

A.在兩個變量、與y的列聯(lián)表中，當1。以一尻I越大，兩個變量有關(guān)聯(lián)的可能性越大

B.若所有樣本點都在經(jīng)驗回歸方程;，=去+G上，則變量間的相關(guān)系數(shù)是-1

C.決定系數(shù)后越接近1,擬合效果越好

D.獨立性檢驗一定能給出明確的結(jié)論

10.已知在最小二乘法原理下，具有相關(guān)關(guān)系的變量X,），之間的線性回歸方程為k-0九+10.3,且變量

x，y之間的相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示，則下列說法錯誤的是（）

X681012

y6m32

A.變量X，）’之間呈正相關(guān)關(guān)系

B.可以預測，當x=20時，y=3.7

C.可求得表中，〃=4.7

D.由表格數(shù)據(jù)知，該回歸直線必過點（9,4）

11.某大學為了解學生對學校食堂服務的滿意度，隨機調(diào)查了50名男生和50名女生，每名學生對食堂的

服務給出滿意或不滿意的評價，得到如下列聯(lián)表.經(jīng)計算/=4.762,則可以推斷出（）.

、3

A.該學校男生對食堂服務滿意的概率的估計值為:

B.該學校男生比女生對食堂服務更滿意

C.依據(jù)a=0.05的獨立性檢驗，可以認為男、女生對該食堂服務的評價有差異

D.依據(jù)a=0.01的獨立性檢驗，可以認為男、女生對該食堂服務的評價有差異

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中橫線上）

12.某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了5次試驗.根據(jù)收集到的數(shù)

據(jù)?如表），由最小二乘法求得經(jīng)驗回歸方程j=0.67x+54.9.

零件數(shù)”個1020304050

加工時間62■758189

j/min

現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個數(shù)據(jù)看不清，請你推斷出該數(shù)據(jù)的值為.

13.對某臺機器購置后的運營年限x（x=1,2,3,…）與當年利潤y的統(tǒng)計分析知具備線性相關(guān)關(guān)系，經(jīng)驗回歸

方程為;=10.47—1.3x,估計該臺機器使用年最合算.

14.某部門通過隨機調(diào)查89名工作人員的休閑方式是讀書還是健身，得到的數(shù)據(jù)如下表:

單位：人

休閑方式

性別合

讀書健身

計

女243155

男82634

合計325789

在犯錯誤的概率不超過________的前提下認為性別與休閑方式有關(guān)系.

四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

15.（本小題滿分13分）冶煉某種金屬可以用舊設(shè)備或新設(shè)名，為了檢驗用這兩種設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品中所含

雜質(zhì)的關(guān)系，調(diào)查結(jié)果如表所示.

所含雜質(zhì)

設(shè)備雜質(zhì)

雜質(zhì)高

低

舊設(shè)備37121

新設(shè)備22202

16.（本小題滿分15分）在改革開放40年成就展上某地區(qū)某農(nóng)產(chǎn)品近幾年的產(chǎn)量統(tǒng)計表:

年份201420152016201720182019

年份代碼工123456

年產(chǎn)量（萬噸）6.66.777.17.27.4

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立）‘關(guān)于x的線性回歸方程$，=去+6.

（2）根據(jù)線性回歸方程預測2020年該地區(qū)該農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量.

17.（本小題滿分15分）電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了

1皿名觀眾進行調(diào)查，其中女性有55名.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻

率分布直方圖：

頻率

將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”，已知“體育迷”中有10名女性.

單位：人

是否為體育迷

性別合計

非體育迷體育迷

男

女

合計

⑴根據(jù)已知條件完成2X2列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認為“體育迷”與性別有關(guān)?

⑵將日均收看該體育項目不低于50分鐘的觀眾稱為“超級體育迷”，己知“超級體育迷”中有2名女性,

若從“超級體育迷”中任意選取2人，求至少有1名女性觀眾的概率.

______n(ad-bc)2______

附：參考公式：/=〃》+

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'=a+c+d.

a0.050.01

Xa3.8416.635

18.（本小題滿分17分）互聯(lián)網(wǎng)使我們的生活日益便捷，網(wǎng)絡(luò)外賣也開始成為不少人日常生活中不可或缺

的一部分，某市一調(diào)查機構(gòu)針對該市市場占有率較高的甲，乙兩家網(wǎng)絡(luò)外賣企業(yè)（以下稱外賣甲、外賣乙）

的經(jīng)營情況進行了調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表：

1日2日3日4日5日

外賣甲日接單x（百單）529811

外賣乙日接單（百單）2310515

（1）試根據(jù)表格中這五天的日接單量情況，從統(tǒng)計的角度說明這兩家外賣企業(yè)的經(jīng)營狀況;

（2）據(jù)統(tǒng)計表明，》與X之間具有線性相關(guān)關(guān)系.

①請用相關(guān)系數(shù)，?對與工之間的相關(guān)性強弱進行判斷；（若1川〉0.75,則可認為y與1有較強的線性相

關(guān)關(guān)系，