2026版大一輪高考數(shù)學(xué)-第十章　§10.4　事件的相互獨(dú)立性與條件概率、全概率公式VIP

§10.4事件的相互獨(dú)立性與條件概率、全概率公式課標(biāo)要求1.了解兩個(gè)事件相互獨(dú)立的含義.2.理解隨機(jī)事件的獨(dú)立性和條件概率的關(guān)系，會利用全概率公式計(jì)算概率.1.相互獨(dú)立事件(1)概念：對任意兩個(gè)事件A與B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立，簡稱為獨(dú)立.(2)性質(zhì)：若事件A與B相互獨(dú)立，那么A與B，A與B，A與B也都相互獨(dú)立.2.條件概率(1)概念：一般地，設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)>0，我們稱P(B|A)＝P(AB)P(A(2)兩個(gè)公式①利用古典概型：P(B|A)＝n(②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A).(3)條件概率的性質(zhì)條件概率只是縮小了樣本空間，因此條件概率同樣具有概率的性質(zhì).設(shè)P(A)>0，則①P(Ω|A)＝1；②如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A).③設(shè)B和B互為對立事件，則P(B|A)＝1－P(B|A).3.全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，則對任意的事件B?Ω，有P(B)＝n∑i=1P(Ai)P(B|Ai1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)對于任意兩個(gè)事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立.(×)(2)P(B|A)表示在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，P(AB)表示事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率.(√)(3)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)“第一枚正面朝上”為事件A，“第二枚正面朝上”為事件B，則A，B相互獨(dú)立.(√)(4)若事件A1與A2是對立事件，則對任意的事件B?Ω，都有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2).(√)2.若P(A|B)＝19，P(B)＝13，則P(AB)的值是(A.127 B.C.19 D.答案A解析由P(AB)＝P(A|B)P(B)，可得P(AB)＝19×13.某人忘記了一位同學(xué)電話號碼的最后一個(gè)數(shù)字，但確定這個(gè)數(shù)字一定是奇數(shù)，則撥號不超過兩次就撥對號碼的概率為()A.15 B.C.35 D.答案B解析設(shè)Ai＝{第i次撥號撥對號碼}，i＝1，2.撥號不超過兩次就撥對號碼可表示為A1＋A1A2所以撥號不超過兩次就撥對號碼的概率為P(A1＋A1A2)＝P(A1)＋P(A1A2)＝154.甲箱中有3個(gè)白球，2個(gè)黑球，乙箱中有1個(gè)白球，3個(gè)黑球，先從甲箱中任取一球放入乙箱中，再從乙箱中任取一球，則從乙箱中取出白球的概率是.

答案8解析記事件A為“從甲箱中取出一個(gè)白球放入乙箱”，事件B為“從乙箱中取出白球”，則P(A)＝35，P(A)＝25，P(B|A)＝25，P(B|A)∴P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)＝35×25＋1.理清“相互獨(dú)立”和“事件互斥”的區(qū)別兩事件互斥是指兩事件不可能同時(shí)發(fā)生，兩事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件的發(fā)生與否對另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒有影響，兩個(gè)事件相互獨(dú)立不一定互斥.2.不要混淆P(B|A)與P(A|B)前者是在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率，后者是在B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率.題型一相互獨(dú)立事件命題點(diǎn)1事件相互獨(dú)立性的判斷例1(2021·新高考全國Ⅰ)有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則()A.甲與丙相互獨(dú)立 B.甲與丁相互獨(dú)立C.乙與丙相互獨(dú)立 D.丙與丁相互獨(dú)立答案B解析事件甲發(fā)生的概率P(甲)＝16，事件乙發(fā)生的概率P(乙)＝16，事件丙發(fā)生的概率P(丙)＝56×6＝536，事件丁發(fā)生的概率P(丁)＝66×6＝16.事件甲與事件丙同時(shí)發(fā)生的概率為0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，故A錯(cuò)誤；事件甲與事件丁同時(shí)發(fā)生的概率為16×6＝136，P(甲丁)＝P(甲)P(丁)，故B正確；事件乙與事件丙同時(shí)發(fā)生的概率為1命題點(diǎn)2相互獨(dú)立事件的概率例2小剛參與一種答題游戲，需要解答A，B，C三道題.已知他答對這三道題的概率分別為a，a，12，且各題答對與否互不影響，若他恰好能答對兩道題的概率為14，則他三道題都答錯(cuò)的概率為(A.12 B.C.14 D.答案C解析記小剛答對A，B，C三道題分別為事件D，E，F(xiàn)，且D，E，F(xiàn)相互獨(dú)立，且P(D)＝P(E)＝a，P(F)＝12恰好能答對兩道題為事件DEF＋DEF＋DEF，且DEF，DEF，DEF兩兩互斥，所以P(DEF＋DEF＋DEF)＝P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF)＝P(D)P(E)P(F)＋P(D)P(E)P(F)＋P(D)P(E)P(F)＝a×a×1-12＋a×(1－a)×12＋(1－a)×a整理得(1－a)2＝12，他三道題都答錯(cuò)為事件D故P(DEF)＝P(D)P(E)P(＝(1－a)21-12＝12(1－a概率問題中的遞推數(shù)列在概率與統(tǒng)計(jì)的問題中，經(jīng)常會出現(xiàn)概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)列綜合考查的問題，一般以壓軸題的形式出現(xiàn).主要有四種類型：(1)an＝pan－1＋q型；(2)an＋1＝pan＋f(n)型；(3)an＋1＝anf(n)型；(4)an＋1＝pan＋qan－1型.典例(多選)甲、乙、丙三人玩?zhèn)髑蛴螒颍智蛉税亚騻鹘o另外兩人中的任意一人是等可能的.從一個(gè)人傳球到另一個(gè)人稱傳球一次.若傳球開始時(shí)甲持球，記傳球n次后球仍回到甲手里的概率為Pn，則下列結(jié)論正確的是()A.P2＝12 B.P4＝C.Pn＝12(1－Pn－1) D.Pn＝答案ACD解析A選項(xiàng)，第一次傳球后到乙或丙手里，故P1＝0，第二次傳球，球有12的概率回到甲手里，故P2＝12，C選項(xiàng)，Pn－1為傳球(n－1)次后球仍回到甲手里的概率，要想傳球n次后球仍回到甲手里，則第(n－1)次傳球后球不在甲手里，在乙或丙手里，且下一次傳球有12的概率回到甲手里，故Pn＝12(1－Pn－1)，D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)知Pn＝12(1－Pn－1)即Pn＝－12Pn－1＋1設(shè)Pn＋λ＝－12(Pn－1＋λ)故Pn＝－12Pn－1－32所以－32λ＝12，解得λ＝－故Pn－13＝－1又P1－13＝－13≠所以Pn-13是首項(xiàng)為－13，公比為－12的等比數(shù)列，故P故Pn＝13－1B選項(xiàng)，由D選項(xiàng)可知P4＝13－13×-思維升華求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法(1)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率等于他們各自發(fā)生的概率之積.(2)當(dāng)正面計(jì)算較復(fù)雜或難以入手時(shí)，可從其對立事件入手計(jì)算.跟蹤訓(xùn)練1甲、乙兩名射擊運(yùn)動員進(jìn)行射擊比賽，甲中靶的概率為0.6，乙中靶的概率為0.7，且兩人是否中靶相互獨(dú)立，若甲、乙各射擊一次，則()A.兩人都中靶的概率為0.12B.兩人都不中靶的概率為0.42C.恰有一人中靶的概率為0.46D.至少有一人中靶的概率為0.74答案C解析設(shè)甲中靶為事件A，乙中靶為事件B，P(A)＝0.6，P(B)＝0.7，則兩人都中靶的概率為P(AB)＝P(A)P(B)＝0.6×0.7＝0.42，兩人都不中靶的概率為P(AB)＝[1－P(A)][1－P(B)]＝0.4×0.3＝0.12恰有一人中靶的概率為P(AB∪AB)＝[1－P(A)]P(B)＋P(A)[1－P(B)]＝0.4×0.7＋0.6×0.3＝0.46，至少有一人中靶的概率為1－P(AB)＝題型二條件概率命題點(diǎn)1條件概率例3甲、乙、丙、丁四名同學(xué)報(bào)名參加4×100米接力賽跑.記事件A為“甲同學(xué)不跑第一棒”，事件B為“乙同學(xué)跑第二棒”，則P(B|A)的值為()A.19 B.C.13 D.答案D解析已知事件A為“甲同學(xué)不跑第一棒”，事件B為“乙同學(xué)跑第二棒”，則P(A)＝C3P(AB)＝C2所以P(B|A)＝P(命題點(diǎn)2條件概率性質(zhì)的應(yīng)用例4(多選)下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A.P(B|A)＝P(A|B)B.P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)C.P(AB)＝P(B|A)P(A)D.P(B|A)P(A)≥P(A)＋P(B)答案ABD解析P(A|B)＝P(AB)P(B)，P(B|A)＝P(AB)P(A當(dāng)B，C為互斥事件時(shí)，等式成立，故B不正確；由概率的乘法公式知C正確；P(B|A)P(A)＝P(AB)≤P(A)＋P(B)，故D不正確.思維升華求條件概率的常用方法(1)定義法：P(B|A)＝P((2)樣本點(diǎn)法：P(B|A)＝n((3)縮樣法：去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解.跟蹤訓(xùn)練2(1)為謳歌中華民族實(shí)現(xiàn)偉大復(fù)興的奮斗歷程，增進(jìn)學(xué)生對黨史知識的了解，某學(xué)校開展黨史知識競賽活動，以班級為單位參加比賽.某班級在5道黨史題中(有3道選擇題和2道填空題)，不放回地依次隨機(jī)抽取2道題作答，設(shè)事件A為“第一次抽到選擇題”，事件B為“第二次抽到選擇題”，則P(B|A)等于()A.35 B.C.34 D.答案D解析P(A)＝35，P(AB)＝3×25×4＝310，所以(2)(多選)一個(gè)箱子中裝有大小、形狀均相同的8個(gè)小球，其中白球5個(gè)、黑球3個(gè)，現(xiàn)在從箱子中不放回地取兩次球，第一次先從箱子中隨機(jī)取出1個(gè)球，第二次再從箱子中隨機(jī)取出2個(gè)球，分別用A，B表示事件“第一次取出白球”“第一次取出黑球”；分別用C，D表示事件“第二次取出的兩球都為黑球”“第二次取出的兩球?yàn)橐粋€(gè)白球一個(gè)黑球”.則下列結(jié)論正確的是()A.P(C|B)＝121 B.P(D|A)＝C.P(B)＝38 D.P(BC)＝答案ACD解析由題得P(B)＝C31C根據(jù)條件概率得P(C|B)＝n(BC)P(D|A)＝n(DA)P(BC)＝P(B)P(C|B)＝38×121＝1題型三全概率公式的應(yīng)用例5(1)某保險(xiǎn)公司將其公司的被保險(xiǎn)人分為三類：“謹(jǐn)慎的”“一般的”“冒失的”.統(tǒng)計(jì)資料表明，這三類人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率依次為0.05，0.15，0.30.若該保險(xiǎn)公司的被保險(xiǎn)人中“謹(jǐn)慎的”被保險(xiǎn)人占20%，“一般的”被保險(xiǎn)人占50%，“冒失的”被保險(xiǎn)人占30%，則該保險(xiǎn)公司的一個(gè)被保險(xiǎn)人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率是()A.0.155 B.0.175C.0.016 D.0.096答案B解析設(shè)事件B1表示“被保險(xiǎn)人是‘謹(jǐn)慎的’”，事件B2表示“被保險(xiǎn)人是‘一般的’”，事件B3表示“被保險(xiǎn)人是‘冒失的’”，則P(B1)＝20%，P(B2)＝50%，P(B3)＝30%.設(shè)事件A表示“被保險(xiǎn)人在一年內(nèi)發(fā)生事故”，則P(A|B1)＝0.05，P(A|B2)＝0.15，P(A|B3)＝0.30.由全概率公式，得P(A)＝3∑i=1P(Bi)P(A|Bi)＝20%×0.05＋50%×0.15＋30%×0.30＝0.175.(2)設(shè)5支槍中有2支未校正，3支已校正.一射手用校正過的槍射擊，中靶率為0.9，用未校正過的槍射擊，中靶率為0.4.若任取一支槍射擊，結(jié)果未中靶，則該槍未校正的概率為.

答案0.8解析設(shè)事件A表示“射擊時(shí)中靶”，事件B1表示“使用的槍校正過”，事件B2表示“使用的槍未校正”，則P(A|B1)＝0.9，P(B1)＝0.6，P(A|B2)＝0.4，P(B2)＝0.4，根據(jù)全概率公式得P(A)＝P(AB1)＋P(AB2)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＝0.9×0.6＋0.4×0.4＝0.7，所以P(A)＝1－P(A)＝0.3，所以P(B2|A)＝P(A思維升華利用全概率公式解題的思路(1)按照確定的標(biāo)準(zhǔn)，將一個(gè)復(fù)雜事件分解為若干個(gè)互斥事件Ai(i＝1，2，…，n).(2)求P(Ai)和所求事件B在各個(gè)互斥事件Ai發(fā)生條件下的概率P(B|Ai).(3)代入全概率公式計(jì)算.跟蹤訓(xùn)練3(多選)湖南張家界是國家5A級景區(qū)，有許多好看的景點(diǎn).李先生和張先生預(yù)選該景區(qū)的玻璃棧道和鳳凰古城游玩，他們第一天去玻璃棧道和鳳凰古城游玩的概率分別為0.3和0.7，如果他們第一天去玻璃棧道，那么第二天去玻璃棧道的概率為0.3；如果第一天去鳳凰古城，那么第二天去玻璃棧道的概率為0.6.設(shè)A1＝“第一天去玻璃棧道”，A2＝“第二天去玻璃棧道”，B1＝“第一天去鳳凰古城”，B2＝“第二天去鳳凰古城”，則()A.P(A2|A1)＝0.3 B.P(A2|B1)＝0.3C.P(A2)＝0.51 D.P(B2)＝0.49答案ACD解析由題干可知P(A2|A1)＝0.3，P(A2|B1)＝0.6，A正確，B錯(cuò)誤；P(A1)＝0.3，P(B1)＝0.7，P(B2|A1)＝0.7，P(B2|B1)＝0.4，所以P(A2)＝P(A1A2)＋P(B1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝0.3×0.3＋0.7×0.6＝0.51，P(B2)＝P(A1B2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(B2|A1)＋P(B1)P(B2|B1)＝0.3×0.7＋0.7×0.4＝0.49，C，D正確.課時(shí)精練[分值：90分]一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共30分)1.某同學(xué)參加學(xué)校組織的化學(xué)競賽，比賽分為筆試和實(shí)驗(yàn)操作測試，該同學(xué)參加這兩項(xiàng)測試的結(jié)果相互不受影響.若該同學(xué)在筆試中結(jié)果為優(yōu)秀的概率為34，在實(shí)驗(yàn)操作中結(jié)果為優(yōu)秀的概率為23，則該同學(xué)在這次測試中僅有一項(xiàng)測試結(jié)果為優(yōu)秀的概率為(A.712 B.C.512 D.答案C解析根據(jù)題意可得該同學(xué)在這次測試中僅有一項(xiàng)測試結(jié)果為優(yōu)秀的概率為14×23＋2.某車隊(duì)派出兩輛車參加比賽，假設(shè)這兩輛車在比賽中不出現(xiàn)故障的概率均為p，則比賽結(jié)束時(shí)兩輛車不同時(shí)出現(xiàn)故障的概率為()A.p2 B.2p－p2C.1－p2 D.p－2p2答案B解析兩輛車不同時(shí)出現(xiàn)故障的概率為1－(1－p)2＝2p－p2.3.以事件A，B分別表示“某城市的甲、乙兩個(gè)區(qū)在一年內(nèi)出現(xiàn)停水”，若P(B)＝0.30，P(A|B)＝0.15，則兩個(gè)區(qū)一年內(nèi)都出現(xiàn)過停水的概率為()A.0.6 B.0.65C.0.45 D.0.045答案D解析由題意可得P(AB)＝P(B)P(A|B)＝0.30×0.15＝0.045.4.(2024·沈陽模擬)某公司的兩名同事計(jì)劃從大理古城、麗江古城、洱海、玉龍雪山、瀘沽湖這5個(gè)著名旅游景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)游玩.則在兩人中至少有一人選擇大理古城的條件下，兩人選擇的景點(diǎn)不同的概率為()A.58 B.C.78 D.答案B解析設(shè)“兩人中至少有一人選擇大理古城”為事件A，“兩人選擇的景點(diǎn)不同”為事件B，則P(A)＝2×P(AB)＝2×P(B|A)＝P(5.已知P(A)＝14，P(B|A)＝13，P(B|A)＝12，則P(B)等于A.512 B.C.38 D.答案C解析P(A)＝14＝1－P(A)，則P(A)＝3由于P(B|A)＝13，則P(B|A)＝2則P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)＝34×23＋則P(B)＝1－P(B)＝386.設(shè)某公路上經(jīng)過的貨車與客車的數(shù)量之比為2∶1，貨車中途停車修理的概率為0.02，客車中途停車修理的概率為0.01，今有一輛汽車中途停車修理，則該汽車是貨車的概率為()A.0.8 B.0.6C.0.5 D.0.3答案A解析設(shè)A1表示“該汽車是貨車”，A2表示“該汽車是客車”，則P(A1)＝23，P(A2)＝1設(shè)B表示“一輛汽車中途停車修理”，則P(B|A1)＝0.02，P(B|A2)＝0.01，則P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)，今有一輛汽車中途停車修理，該汽車是貨車的概率為P(A1|B)＝P＝P＝23×二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共12分)7.(2024·蘇州模擬)隨機(jī)事件A，B滿足P(A)＝12，P(B)＝13，P(A|B)＝12，下列說法正確的是A.事件A與事件B相互獨(dú)立B.P(A∪B)＝1C.P(AB)＝1D.P(B)＝P(AB)答案AC解析根據(jù)P(A)＝12，P(B)＝13可得P(A)＝1－P(A)＝12，P(B)＝1－P(B)又P(A|B)＝P(AB)P(B)＝12，可得P(AB)＝12P(B)因此事件A與事件B相互獨(dú)立，即A正確；易知P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝12＋1由P(B)＝P(AB)＋P(AB)＝13可得P(AB)＝13－P(AB)＝16因?yàn)镻(B)＝23，P(AB)＝16，所以P(B)≠P(AB)，即D8.一工廠將兩盒產(chǎn)品送檢，甲盒中有4個(gè)一等品，3個(gè)二等品和3個(gè)三等品，乙盒中有5個(gè)一等品，2個(gè)二等品和3個(gè)三等品.先從甲盒中隨機(jī)取出一個(gè)產(chǎn)品放入乙盒，分別以A1，A2和A3表示由甲盒取出的產(chǎn)品是一等品、二等品和三等品的事件；再從乙盒中隨機(jī)取出一產(chǎn)品，以B表示由乙盒取出的產(chǎn)品是一等品的事件.則下列結(jié)論中正確的是()A.P(B|A1)＝6B.P(B)＝27C.事件B與事件A1相互獨(dú)立D.P(A1|B)＝4答案ABD解析因?yàn)榧缀兄杏?個(gè)一等品，3個(gè)二等品和3個(gè)三等品，則P(A1)＝410＝25，P(A2)＝310，P(A3)＝310，乙盒中有5個(gè)一等品，2個(gè)二等品和3個(gè)三等品，則P(B|A1)＝5＋110＋1＝611，P(B|A2)＝P(B|A3)＝510＋1＝511，則P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(因?yàn)镻(A1B)＝P(A1)P(B|A1)＝25×611＝1255，又P(A1)＝25，P(B)＝2755，則P(A1B)≠P(A1)P(A1|B)＝P(A1B)P三、填空題(每小題5分，共10分)9.某公司研發(fā)6G項(xiàng)目時(shí)遇到一項(xiàng)技術(shù)難題，由甲、乙兩個(gè)部門分別獨(dú)立攻關(guān)，已知甲部門攻克該技術(shù)難題的概率為0.8，乙部門攻克該技術(shù)難題的概率為0.7，則該公司攻克這項(xiàng)技術(shù)難題的概率為.

答案0.94解析由題意，該公司攻克這項(xiàng)技術(shù)難題的概率為1－(1－0.8)×(1－0.7)＝0.94.10.已知一道解答題有兩小問，每小問5分，共10分.現(xiàn)每十個(gè)人中有六人能夠做出第一問，但在第一問做不出的情況下，第二問做出的概率為0.1；第一問做出的情況下，第二問做不出的概率為0.6.用頻率估計(jì)概率，則此題得滿分的概率是；得0分的概率是.

答案0.240.36解析設(shè)“第一問做出”為事件A，“第二問做出”為事件B，由題意可得P(A)＝610＝0.6，P(B|A)＝0.1，P(B|A)＝0.6則P(A)＝0.4，P(B|A)＝0.9，P(B|A)＝0.4，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.24，即此題得滿分的概率是0.24，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.36即此題得0分的概率是0.36.四、解答題(共27分)11.(13分)甲、乙、丙3名同學(xué)各自獨(dú)立去做某道題，已知甲能解出該題的概率為23，乙能解出而丙不能解出該題的概率為18，甲、丙都能解出該題的概率為(1)求乙、丙各自解出該題的概率；(6分)(2)求甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題的概率.(7分)解(1)設(shè)“甲解出該題”為事件A，“乙解出該題”為事件B，“丙解出該題”為事件C，則A，B，C相互獨(dú)立，由題意得P(A)＝23P(AC)＝P(A)P(C)＝23·P(C)＝1所以P(C)＝34P(BC)＝P(B)P(C)＝P(B)[1－P(C)]＝P(B)·1-3所以P(B)＝12所以乙、丙各自解出該題的概率為12，3(2)設(shè)“甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題”為事件D，則D＝因?yàn)镻(A)＝23，P(B)＝12，P(C)＝所以P(A)＝13，P(B)＝12，P(C)＝因?yàn)锳，B，C相互獨(dú)立，所以P(D)＝1－P(D)＝1－P(AB＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－13×12×所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題的概率為232412.(14分)人工智能是用于研究模擬和延伸人類智能的技術(shù)科學(xué)，被認(rèn)為是21世紀(jì)最重要的尖端科技之一，其理論和技術(shù)日益成熟，應(yīng)用領(lǐng)域也在不斷擴(kuò)大.人工智能背后的一個(gè)基本原理：首先確定先驗(yàn)概率，然后通過計(jì)算得到后驗(yàn)概率，使先驗(yàn)概率得到修正和校對，再根據(jù)后驗(yàn)概率做出推理和決策.基于這一基本原理，我們可以設(shè)計(jì)如下試驗(yàn)?zāi)Ｐ停河型耆嗤募?、乙兩個(gè)袋子，袋子中有形狀和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9個(gè)紅球和1個(gè)白球，乙袋中有2個(gè)紅球和8個(gè)白球.從這兩個(gè)袋子中選擇一個(gè)袋子，再從該袋子中等可能地摸出一個(gè)球，稱為一次試驗(yàn).若多次試驗(yàn)直到摸出紅球，則試驗(yàn)結(jié)束.假設(shè)首次試驗(yàn)選到甲袋或乙袋的概率均為12(先驗(yàn)概率)(1)求首次試驗(yàn)結(jié)束的概率；(4分)(2)在首次試驗(yàn)摸出白球的條件下，我們對選到甲袋或乙袋的概率(先驗(yàn)概率)進(jìn)行調(diào)整.①求選到的袋子為甲袋的概率；(4分)②將首次試驗(yàn)摸出的白球放回原來的袋子，繼續(xù)進(jìn)行第二次試驗(yàn)時(shí)有如下兩種方案：方案一，從原來的袋子中摸球；方案二，從另外一個(gè)袋子中摸球.請通過計(jì)算，說明選擇哪個(gè)方案第二次試驗(yàn)結(jié)束的概率更大.(6分)解設(shè)試驗(yàn)一次，“選到甲袋”為事件A1，“選到乙袋”為事件A2，“試驗(yàn)結(jié)果為紅球”為事件B1，“試驗(yàn)結(jié)果為白球”為事件B2.(1)P(B1)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B1|A2)＝12×910＋所以試驗(yàn)一次結(jié)果為紅球的概率為1120即首次試驗(yàn)結(jié)束的概率為1120(2)①因?yàn)锽1，B2是對立事件，P(B2)＝1－P(B1)＝920所以P(A1|B2)＝P＝110所以選到的袋子為甲袋的概率為19②由①得P(A2|B2)＝1－P(A1|B2)＝1－19所以方案一中取到紅球的概率為P1＝P(A1|B2)P(B1|A1)＋P(A2|B2)P(B1|A2)＝19×910＋方案二中取到紅球的概率為P2＝P(A2|B2)P(B1|A1)＋P(A1|B2)P(B1|A2)＝89×910＋因?yàn)?745>5即選擇方案二第二次試驗(yàn)結(jié)束的概率更大.13題5分，14題6分，共11分13.長時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力.據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約40%的人近視，而該校大約有20%的學(xué)生每天玩手機(jī)超過1h，這些人的近視率約為50%.現(xiàn)從每天玩手機(jī)不超過1h的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概率為()A.12 B.C.58 D.答案B解析方法一令A(yù)1＝“每天玩手機(jī)超過1h的學(xué)生”，A2＝“每天玩手機(jī)不超過1h的學(xué)生”，B＝“任意調(diào)查一人，此人近視”，則A1，A2為對立事件，依題意，P(A1)＝0.2，P(A2)＝0