2025年北京市高考數(shù)學(xué)試卷真題（含答案解析）VIP

第1頁(yè)/共24頁(yè)絕密★本科目考試啟用前2025年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(北京卷) 數(shù)學(xué) 2024.06.07本試卷共12頁(yè)、150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分(選擇題共40分)一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1．集合，則（）A．B．C．D．2．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A．B．C．4D．83．（☆☆）雙曲線的離心率為（）A．B．C．D．4．為得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)（）A．橫坐標(biāo)變成原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變B．橫坐標(biāo)變成原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變C．縱坐標(biāo)變成原來(lái)的倍，橫坐標(biāo)不變D．縱坐標(biāo)變成原來(lái)的3倍，橫坐標(biāo)不變5．已知是公差不為0的等差數(shù)列，，若成等比數(shù)列，則（）A．B．C．16D．186．已知，則（）A．B．C．D．7．已知函數(shù)的定義域?yàn)镈，則“函數(shù)的值域?yàn)椤笔恰皩?duì)任意，存在，使得”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件8．設(shè)函數(shù)，若恒成立，且在上存在零點(diǎn)，則的最小值為（）A．8B．6C．4D．39．在一定條件下，某人工智能大語(yǔ)言模型訓(xùn)練N個(gè)單位的數(shù)據(jù)量所需要時(shí)間（單位：小時(shí)），其中k為常數(shù)．在此條件下，已知訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從個(gè)單位增加到個(gè)單位時(shí)，訓(xùn)練時(shí)間增加20小時(shí)；當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從個(gè)單位增加到個(gè)單位時(shí)，訓(xùn)練時(shí)間增加（單位：小時(shí)）（）A．2B．4C．20D．4010．已知平面直角坐標(biāo)系中，，，設(shè)，則的取值范圍是（）A．B．C．D．第二部分（非選擇題

共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11．（☆☆）拋物線的頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，則________．12．已知，則________；________．13．已知，且，，寫(xiě)出滿足條件的一組________，．14．某科技興趣小組通過(guò)3D打印機(jī)的一個(gè)零件可以抽象為如圖所示的多面體，其中ABCDEF是一個(gè)平行多邊形，平面平面ABC，平面平面ABC，，，若，則該多面體的體積為_(kāi)_______．15．關(guān)于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，以下說(shuō)法正確的有________．1．存在在上單調(diào)遞增的函數(shù)使得恒成立；2．存在在上單調(diào)遞減的函數(shù)使得恒成立；3．使得恒成立的函數(shù)存在且有無(wú)窮多個(gè)；4．使得恒成立的函數(shù)存在且有無(wú)窮多個(gè)．三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.16．在中，．（I）求c；（II）在以下三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在，求BC的高．①；②；③面積為．17．四棱錐中，與為等腰直角三角形，，E為BC的中點(diǎn)．（I）F為PA的中點(diǎn)，G為PE的中點(diǎn)，證明：面PAB；（II）若面ABCD，，求AB與面PCD所成角的正弦值．18．（☆☆）有一道選擇題考查了一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，甲、乙兩校各隨機(jī)抽取100人，甲校有80人答對(duì)，乙校有75人答對(duì)，用頻率估計(jì)概率．（1）從甲校隨機(jī)抽取1人，求這個(gè)人做對(duì)該題目的概率．（2）從甲、乙兩校各隨機(jī)抽取1人，設(shè)X為做對(duì)的人數(shù)，求恰有1人做對(duì)的概率以及X的數(shù)學(xué)期望．（3）若甲校同學(xué)掌握這個(gè)知識(shí)點(diǎn)則有的概率做對(duì)該題目，乙校同學(xué)掌握這個(gè)知識(shí)點(diǎn)則有的概率做對(duì)該題目，未掌握該知識(shí)點(diǎn)的同學(xué)都是從四個(gè)選項(xiàng)里面隨機(jī)選擇一個(gè)，設(shè)甲校學(xué)生掌握該知識(shí)點(diǎn)的概率為，乙校學(xué)生掌握該知識(shí)點(diǎn)的概率為，試比較與的大小（結(jié)論不要求證明）19．已知的離心率為，橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為4，（I）求橢圓方程；（II）設(shè)O為原點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，直線與直線，交于A，B．與的面積為，比較與的大?。?0．函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸樘幍那芯€．（I）的最大值；（II），除點(diǎn)A外，曲線均在上方；（III）直線過(guò)A且與垂直，，分別于x軸的交點(diǎn)為與，求的取值范圍．21．，從M中選出n構(gòu)成一列：．相鄰兩項(xiàng)滿足：或，稱(chēng)為k列．（I）若k列的第一項(xiàng)為，求第二項(xiàng)．（II）若為k列，且滿足i為奇數(shù)時(shí)，：i為偶數(shù)時(shí)，；判斷：與能否同時(shí)在中，并說(shuō)明；（III）證明：M中所有元素都不構(gòu)成k列．2025年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(北京卷)數(shù)學(xué)答案及解析一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1．集合，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】本題主要考查交集的運(yùn)算∵M(jìn)=x∣故選：D【分值】42．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A．B．C．4D．8【答案】B【解析】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的?！遡z+2=2i,∴Z=∴∣z∣=223．（☆☆）雙曲線的離心率為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】本題考查雙曲線的離心率∵∴∴∴a=∴e=【分值】44．為得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)（）A．橫坐標(biāo)變成原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變B．橫坐標(biāo)變成原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變C．縱坐標(biāo)變成原來(lái)的倍，橫坐標(biāo)不變D．縱坐標(biāo)變成原來(lái)的3倍，橫坐標(biāo)不變【答案】A【解析】本題考查函數(shù)圖像的伸縮變換y=3x的圖像，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的12，得到【分值】45．已知是公差不為0的等差數(shù)列，，若成等比數(shù)列，則（）A．B．C．16D．18【答案】C【解析】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比中項(xiàng)的應(yīng)用設(shè)an的公差為d,∴d≠∵∴∴故選C【分值】46．已知，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】本題考查不等式比較大小A選項(xiàng):當(dāng)a=b時(shí),a2+bB選項(xiàng)：取a=b=13,C選項(xiàng)：∵a>0∵a>∵故C正確D選項(xiàng)：故故D錯(cuò)誤故選C【分值】47．已知函數(shù)的定義域?yàn)镈，則“函數(shù)的值域?yàn)椤笔恰皩?duì)任意，存在，使得”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】本題考查充分必要條件的判斷解析：∵f(x)的定義域?yàn)镈若f(x)的值域?yàn)镽,則對(duì)?m∈R,存在x0∈D,使得|f(x?)|≥反之,若?m∈R,?x?∈D,使f(x?)|>m,f(x)的值域不一定為IR,比如f(x)的值域?yàn)閇0,+∞),∴必要性不成立故選A【分值】48．設(shè)函數(shù)，若恒成立，且在上存在零點(diǎn)，則的最小值為（）A．8B．6C．4D．3【答案】C【解析】本題考查三角恒等變換和三角函數(shù)的性質(zhì)解析：f=當(dāng)x∈0π4[0,π/4]∵f(x)在上存在零點(diǎn)，∴又∵f(x+π)=f(x),可知π為f(x)周期的整數(shù)倍∴ω的最小值為4故選：C【分值】49．在一定條件下，某人工智能大語(yǔ)言模型訓(xùn)練N個(gè)單位的數(shù)據(jù)量所需要時(shí)間（單位：小時(shí)），其中k為常數(shù)．在此條件下，已知訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從個(gè)單位增加到個(gè)單位時(shí)，訓(xùn)練時(shí)間增加20小時(shí)；當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從個(gè)單位增加到個(gè)單位時(shí)，訓(xùn)練時(shí)間增加（單位：小時(shí)）（）A．2B．4C．20D．40【答案】B【解析】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用由題意可得k∴k∴10k=20,∴k=∴故選：B【分值】410．已知平面直角坐標(biāo)系中，，，設(shè)，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】本題考查平面向量的運(yùn)算，向量的模的取值范圍。∵∣OA∣=∣OBA、B兩點(diǎn)在以O(shè)為圓心，2為半徑的圓上，取AB的中點(diǎn)H，可知OH|=1,∴H點(diǎn)在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上。∣======∴∣∵∣∣∣CO∣=3∴故選:D.【分值】411．（☆☆）拋物線的頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，則________．【答案】6【解析】本題考查拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和幾何性質(zhì)拋物線y2=2pxp0)的頂點(diǎn)為(焦點(diǎn)為p2【分值】412．已知，則________；________．【答案】①1②15【解析】本題考查賦值法求二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù).解:令x=0,得(a?=1,令x=-12,把(a?=1代入,得(a故答案為:①1②15【分值】413．已知，且，，寫(xiě)出滿足條件的一組________，．【答案】 π2π【解析】本題考查了兩角和與差的正、余弦公式∵sinα+β=sinα-β∴sinαcosβ+cosαsinβ=sinα∴cosαsinβ=0①∵cos(α+β)≠cos(α-β)∴cosαcosβ-sinαsinβ≠cosαcosβ+sinαsinβ∴sinαsinβ≠0②由①,②可知(cosα=0,sinβ≠0可取α=故答案為 (答案不唯一)π【分值】414．某科技興趣小組通過(guò)3D打印機(jī)的一個(gè)零件可以抽象為如圖所示的多面體，其中ABCDEF是一個(gè)平行多邊形，平面平面ABC，平面平面ABC，，，若，則該多面體的【答案】60【解析】本題考查了求多面體的體積，考查了利用切割法求體積，以及柱體與钅體的體積公式由題意可知，V5△]濃=2VCDEBST延長(zhǎng)AB交ED于點(diǎn)M,連SM,過(guò)B作BK∥CT交TS于點(diǎn)K,連KM,過(guò)∵RA=RF∴P為AF的中點(diǎn)過(guò)P作PO∥AB,交BE于點(diǎn)O,連SO∴Q為CD中點(diǎn).∵O為BF的中點(diǎn);Q為CD中點(diǎn).∵CB=8∴DE=DM+ME=8+4=12.故QD為梯形CBED的中位線∴QO=10∴SK=TS-TK∴SK=QD-TK=10--8=2∵面RAT⊥面ABC,且交線為AT∴RP∴RP=SO=TQ=∴VV.【分值】415．關(guān)于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，以下說(shuō)法正確的有________．1．存在在上單調(diào)遞增的函數(shù)使得恒成立；2．存在在上單調(diào)遞減的函數(shù)使得恒成立；3．使得恒成立的函數(shù)存在且有無(wú)窮多個(gè)；4．使得恒成立的函數(shù)存在且有無(wú)窮多個(gè)．【答案】②③【解析】本題考查函數(shù)的性質(zhì)、抽象函數(shù)，以及與量詞有關(guān)的知識(shí)，在判定命是是否正確時(shí)，需要根據(jù)函數(shù)性質(zhì)作出合理的推斷。①y=f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù),f'(x)≥0在x∈R上恒成立,而y=f(2x),f'2x=2f'∴fx+f2x'=f'x+2f'x≥0在x∈R上恒成立，∴y∴f(x)+f(2x)=-x不恒成立,∴故①錯(cuò)誤。②令f∴f∴f∴存在在R上單調(diào)遞減的函數(shù)f(x)使得f(x)+f(2x)=-x恒成立,∴故②正確。③設(shè)ff∴fx④.令F(x)=f(x)-f(-x),x∈R,F(-x)=f(-x)-f(x),∵F(-x)=-F(x),∴F(x)為奇函數(shù)。令g(x)=cosx,x∈R,g(-x)=cos(-x)=cosx=g(x),∴g(x)為偶函數(shù),∵f(x)﹣f(-x)=cosx恒成立的函數(shù)f(x)存在且有無(wú)窮多個(gè)是不成立的?！喙蚀鸢笧棰冖?。16．在中，．（I）求c；（II）在以下三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在，求BC的高．①；②；③面積為．【答案】(1)c=6(2)選②,BC邊上的高為1023;選③，BC【解析】本題考查了正、余弦定理和三角形的面積公式1∴又∵∴C=asinC(2)若選①a=6,由(1)知c=6,∴a=c,∴A=C∴A為鈍角，則C為鈍角這樣的三角形不存在。若選②∵∴bsinC=csinB,∴這樣的三角形是存在的.設(shè)BC邊上的高為h，則h=b若選③S△ABC=102∴∴b=5∵==81∴a=9∵∴∴h=【分值】1217.四棱錐P-ABCD中,△ACD與△ABC為等腰直角三角形,∠ADC=90°,∠BAC=90°,E為BC的中點(diǎn).(1)F為PD的中點(diǎn),G為PE的中點(diǎn),證明:FG∥面PAB;(2)若PA⊥面ABCD,PA=PC,求AB與面PCD所成角的正弦值.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【解析】(1)證明:取PA的中點(diǎn)N,PB的中點(diǎn)M,連接FN、MN∵△ACD與△ABC為等腰直角三角形∠ADC=90°,∠BAC=90°不妨設(shè)AD=CD=2,∴AC=AB=22∴BC=4,∵E、F分別為BC、PD的中點(diǎn).∴FN=∴GM=1∵∠DAC=45°,∠ACB=45°∴AD∥BC,∴FN∥GM∴四邊形FGMN為平行四邊形∴FG∥MN∵FG?面PAB,MN?面PAB,∴FG∥面PAB(2)∵PA⊥面ABCD,∴以A為原點(diǎn),AC、AB、AP所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AD=CD=2,則A(0,,0,0),B設(shè)面PCD的一個(gè)法向量為n取x=1,∴y=-1,z=1,∴n=(1,-1,1)設(shè)AB與面PCD成的角為θ則即AB與平面PCD成角的正弦值為3【分值】1618．（☆☆）有一道選擇題考查了一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，甲、乙兩校各隨機(jī)抽取100人，甲校有80人答對(duì)，乙校有75人答對(duì)，用頻率估計(jì)概率．（1）從甲校隨機(jī)抽取1人，求這個(gè)人做對(duì)該題目的概率．（2）從甲、乙兩校各隨機(jī)抽取1人，設(shè)X為做對(duì)的人數(shù)，求恰有1人做對(duì)的概率以及X的數(shù)學(xué)期望．（3）若甲校同學(xué)掌握這個(gè)知識(shí)點(diǎn)則有的概率做對(duì)該題目，乙校同學(xué)掌握這個(gè)知識(shí)點(diǎn)則有的概率做對(duì)該題目，未掌握該知識(shí)點(diǎn)的同學(xué)都是從四個(gè)選項(xiàng)里面隨機(jī)選擇一個(gè)，設(shè)甲校學(xué)生掌握該知識(shí)點(diǎn)的概率為，乙校學(xué)生掌握該知識(shí)點(diǎn)的概率為，試比較與的大小（結(jié)論不要求證明）【答案】(1)4(2)1人做對(duì)的概率73P(1)甲校隨機(jī)取100人，其中有80人答對(duì).用頻率估計(jì)概率，則從甲校隨機(jī)抽取1人，這個(gè)人答對(duì)的概率為事件A，∴P(2)由(1)可知，乙校中隨機(jī)抽取1人，這個(gè)人答對(duì)題目的概率為事件B，∴P∴從甲乙兩校各隨機(jī)抽取1人，恰有1人做對(duì)的概率P=P==X的可能取值為0，1，2PPP··X的分布列為：x012p173∴E(3)由題意可知.P解得PP解得P∴【分值】1519．已知的離心率為，橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為4，（I）求橢圓方程；（II）設(shè)O為原點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，直線與直線，交于A，B．與的面積為，比較與的大?。敬鸢浮?2【解析】本題考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，直線與橢圓的位置關(guān)系，涉及到三角形的面積公式等知識(shí)(1)由題可知∴橢圓方程為x(2)∵直線x0x+2y0y-4=0與直線y=2和y=-2A設(shè)∠AOM=α,∠BOM=β∴tanα=k∵M(jìn)(x?:y?)在橢圓上,∴∴∴tanα=tanβ==∴tanα=tanβ,∴α=β,∴sinα=sinβS1S2=【分值】1220．函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸樘幍那芯€．（I）的最大值；（II），除點(diǎn)A外，曲線均在上方；（III）直線過(guò)A且與垂直，，分別于x軸的交點(diǎn)為與，求的取值范圍．【答案】(1)16(2)見(jiàn)解析（3）【解析】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及證明函數(shù)不等式(1)設(shè)g∴令g'(x)=0,∴1-ln(x+1)=0∴x=e-1∴當(dāng)x∈(-1,e--1)由時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x∈(e--1,+∞)時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,∴當(dāng)x=e--1時(shí)，g(x)取得唯一極大值，即為最大值∴g即f'(x)的最大值為1/e(2)設(shè)l?的斜率為k?,則k∴l(xiāng)1:y-f設(shè)hx=lna+1a+1x-a+fa令T(x由(1)知,當(dāng)x∈(-1,e--1)|時(shí),g(x)單調(diào)遞增.∵a∈(-1,0),∴當(dāng)x∈(-1,a)時(shí),g(x)單調(diào)遞增,∴g(x)<g(a)∴T'(x)<0,∴T(x)在(-1,a)單調(diào)遞減.當(dāng)x∈(a,0)時(shí),g(x)>g(a),∴T'(x)>0,∴T(x)單調(diào)遞增∴T(x)min=T(a)=0,∴T(x)≥