高三一輪復(fù)習(xí)課件數(shù)學(xué)11.1隨機事件與概率事件的相互獨立性

11.1

隨機事件與概率、事件的相互獨立性第十一章課標要求1.結(jié)合具體實例,理解樣本點和有限樣本空間的含義,理解隨機事件與樣本點的關(guān)系.了解隨機事件的并、交與互斥的含義,能結(jié)合實例進行隨機事件的并、交運算.2.通過實例,理解概率的性質(zhì),掌握隨機事件概率的運算法則.3.結(jié)合實例,會用頻率估計概率.4.結(jié)合有限樣本空間,了解兩個隨機事件獨立性的含義,結(jié)合古典概型,利用獨立性計算概率.備考指導(dǎo)隨機事件與概率、事件的相互獨立性是高考的重點內(nèi)容,高考中主要在選擇題、填空題中考查,難度中等.本節(jié)內(nèi)容在解答題中一般不會單獨命題,但經(jīng)常滲透到概率和統(tǒng)計的解答題中.本節(jié)常用的方法有代入法、估算法、間接法,使用公式時尤其要注意使用條件.素養(yǎng)方面要加強邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、直觀想象的培養(yǎng).內(nèi)容索引010203第一環(huán)節(jié)必備知識落實第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成第三環(huán)節(jié)學(xué)科素養(yǎng)提升第一環(huán)節(jié)必備知識落實【知識篩查】

1.隨機試驗的相關(guān)概念(1)隨機試驗:我們把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗,簡稱試驗,常用字母E表示.溫馨提示我們所研究的隨機試驗有如下特點:(1)試驗可以在相同條件下重復(fù)進行;(2)試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的,并且不止一個;(3)每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個,但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果.(2)樣本點:隨機試驗E的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點.(3)樣本空間:全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間.(4)有限樣本空間:一般地,我們用Ω表示樣本空間,用ω表示樣本點.如果一個隨機試驗有n個可能結(jié)果ω1,ω2,…,ωn,則稱樣本空間Ω={ω1,ω2,…,ωn}為有限樣本空間.2.事件的概念(1)隨機事件:一般地,隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示.樣本空間Ω的子集稱為隨機事件,簡稱事件.隨機事件一般用大寫字母A,B,C,…表示.在每次試驗中,當(dāng)且僅當(dāng)A中某個樣本點出現(xiàn)時,稱為事件A發(fā)生.(2)基本事件:只包含一個樣本點的事件稱為基本事件.(3)必然事件:Ω作為自身的子集,包含了所有的樣本點,在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生,所以Ω總會發(fā)生,我們稱Ω為必然事件.(4)不可能事件:空集?不包含任何樣本點,在每次試驗中都不會發(fā)生,我們稱?為不可能事件.3.頻率與概率(1)頻率的概念:在相同的條件下重復(fù)n次試驗,觀察某一事件A是否出現(xiàn),稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù),稱事件A出現(xiàn)的比例

為事件A出現(xiàn)的頻率.(2)頻率與概率的關(guān)系:對于給定的隨機事件A,由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A),因此可以用頻率fn(A)來估計概率P(A).溫馨提示隨機事件A發(fā)生的頻率是隨機的,而概率是客觀存在的確定的常數(shù),但在大量隨機試驗中,事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定在事件A發(fā)生的概率附近.4.事件的關(guān)系與運算

溫馨提示如圖,對于隨機事件A,B之間的關(guān)系或運算可以用Venn圖表示.問題思考1隨機事件A,B互斥與對立有何區(qū)別與聯(lián)系?當(dāng)隨機事件A,B互斥時,不一定對立,但當(dāng)隨機事件A,B對立時,一定互斥.5.概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1

對任意的事件A,都有P(A)≥0.性質(zhì)2

必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(Ω)=1,P(?)=0.性質(zhì)3

如果事件A與事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).性質(zhì)4

如果事件A與事件B互為對立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).性質(zhì)5

如果A?B,那么P(A)≤P(B).性質(zhì)6

設(shè)A,B是一個隨機試驗中的兩個事件,我們有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).6.事件的相互獨立性對任意兩個事件A與B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,則稱事件A與事件B相互獨立,簡稱為獨立.溫馨提示若事件A1,A2,…,An相互獨立,則P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).問題思考2兩個事件相互獨立與兩個事件互斥有何不同?兩個事件互斥是指兩個事件不可能同時發(fā)生,兩個事件相互獨立是指一個事件發(fā)生與否對另一個事件的發(fā)生沒有影響.【知識鞏固】

1.下列說法正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的.(

)(2)在大量重復(fù)試驗中,概率是頻率的穩(wěn)定值.(

)(3)兩個事件的和事件是指兩個事件都發(fā)生.(

)(4)兩互斥事件的概率和是1.(

)×√××√2.某地新高考規(guī)定:語文、數(shù)學(xué)、英語是必考科目,考生還需從思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物學(xué)6個科目中自主選擇3個作為選考科目.某考生已經(jīng)確定物理作為自己的選考科目,還需從剩下的5個科目中再選擇2個組成自己的選考方案,則事件“選擇思想政治、化學(xué)”和“選擇生物學(xué)、地理”(

)A.是相互獨立事件

B.是對立事件C.不是互斥事件

D.是互斥事件,但不是對立事件D由題意可知事件“選擇思想政治、化學(xué)”和“選擇生物學(xué)、地理”不能同時發(fā)生,但能同時不發(fā)生,故事件“選擇思想政治、化學(xué)”和“選擇生物學(xué)、地理”是互斥事件,但不是對立事件.3.(多選)利用簡單隨機抽樣的方法抽查某工廠生產(chǎn)的100件產(chǎn)品,其中一等品有20件,合格品有70件,其余為不合格品.現(xiàn)在從這個工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽查1件,設(shè)事件A為“產(chǎn)品為一等品”,B為“產(chǎn)品為合格品”,C為“產(chǎn)品為不合格品”,用頻率估計概率,則下列結(jié)論正確的是(

)ABC4.從一箱產(chǎn)品中隨機抽取一件,設(shè)事件A=“抽到一等品”,事件B=“抽到二等品”,事件C=“抽到三等品”.若P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,則事件“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為

.

0.35因為事件“抽到的產(chǎn)品不是一等品”與事件A互為對立,P(A)=0.65,所以事件“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率P=1-P(A)=1-0.65=0.35.5.根據(jù)天氣預(yù)報,在元旦假期,甲地的降雨概率為0.2,乙地的降雨概率為0.3.假設(shè)在這段時間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒有影響,則這兩地中恰有一個地方降雨的概率為

.

0.38第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成能力形成點1隨機事件的關(guān)系例1

(1)(多選)已知不透明的口袋內(nèi)裝有除顏色外質(zhì)地均勻的紅色、綠色和藍色卡片各2張,一次性任意取出2張卡片,則與事件“2張卡片都是紅色”互斥而不對立的事件為(

)A.2張卡片都不是紅色B.2張卡片恰有一張紅色C.2張卡片至少有一張紅色D.2張卡片都是綠色ABD事件“2張卡片都是紅色”與事件“2張卡片都不是紅色”不可能同時發(fā)生,但可以同時不發(fā)生,故選項A符合題意.同理,選項B,D符合題意,選項C不符合題意.故選ABD.(2)下列事件中,事件A,B是相互獨立事件的是(

)A.擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次,A=“第一次為正面向上”,B=“第二次為反面向上”B.袋中裝有除顏色外完全相同的兩個白球和兩個黑球,不放回地摸出兩球,A=“第一次摸出白球”,B=“第二次摸出白球”C.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次,A=“出現(xiàn)點數(shù)為奇數(shù)”,B=“出現(xiàn)點數(shù)為偶數(shù)”D.從一批燈泡中隨機抽取一個,A=“該燈泡能使用800h以上”,B=“該燈泡能使用1000h以上”A對于A,因為第一次擲硬幣的結(jié)果與第二次擲硬幣的結(jié)果互不影響,所以事件A,B是相互獨立事件.對于B,因為不放回地摸出兩球,所以第一次是否摸出白球影響第二次摸出白球的發(fā)生,所以事件A,B不是相互獨立事件.對于C,事件A,B是對立事件,不是相互獨立事件.對于D,因為事件A的發(fā)生與否影響事件B的發(fā)生,所以事件A,B不是相互獨立事件.解題心得1.判斷互斥事件、對立事件一般利用定義直接判斷,互斥事件不可能同時發(fā)生,對立事件一定是互斥事件,且必有一個發(fā)生.2.判斷事件是否相互獨立可以看事件之間的發(fā)生是否有影響,若事件的發(fā)生彼此有影響,則兩個事件不是相互獨立事件;若事件的發(fā)生彼此沒有影響,則兩個事件是相互獨立事件.還可以利用定義進行判斷,即若P(AB)=P(A)P(B),則事件A,B是相互獨立事件.對點訓(xùn)練1(1)一個均勻的正方體玩具的各個面上分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6.將這個玩具向上拋擲1次,設(shè)事件A表示向上的一面出現(xiàn)奇數(shù),事件B表示向上的一面出現(xiàn)的數(shù)字不超過3,事件C表示向上的一面出現(xiàn)的數(shù)字不小于4,則(

)A.A與B是互斥而非對立事件B.A與B是對立事件C.B與C是互斥而非對立事件D.B與C是對立事件D根據(jù)互斥事件與對立事件的定義作答.A∩B=“向上的一面出現(xiàn)數(shù)字1或3”,故事件A,B不互斥,更不對立;B∩C=?,B∪C=Ω,故事件B,C是對立事件.(2)(多選)分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,設(shè)事件M=“第一枚骰子向上的點數(shù)為奇數(shù)”,事件N=“第二枚骰子向上的點數(shù)為偶數(shù)”,則(

)A.M與N互斥 B.M與N不對立C.M與N相互獨立

D.BCD因為P(MN)=P(M)P(N),所以M與N相互獨立.因為M與N可能同時發(fā)生,所以M與N不互斥,也不對立.故選BCD.能力形成點2隨機事件的頻率與概率例2

某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本為4元每瓶,售價為6元每瓶,未售出的酸奶降價處理,以2元每瓶的價格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25℃,那么需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)內(nèi),那么需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20℃,那么需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率;(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元),當(dāng)六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時,寫出Y的所有可能值,并估計Y大于零的概率.解

(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶,當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25

℃,由表格數(shù)據(jù)知,最高氣溫低于25

℃的頻率為

,所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6.(2)當(dāng)這種酸奶一天的進貨量為450瓶時,若最高氣溫不低于25

℃,則Y=6×450-4×450=900;若最高氣溫位于區(qū)間[20,25),則Y=6×300+2×(450-300)-4×450=300;若最高氣溫低于20

℃,則Y=6×200+2×(450-200)-4×450=-100.所以Y的所有可能值為900,300,-100.所以當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20

℃時,Y大于零.由表格數(shù)據(jù)知,最高氣溫不低于20

℃的頻率為因此Y大于零的概率的估計值為0.8.解題心得1.概率是頻率的穩(wěn)定值,它從數(shù)量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小,它是頻率的科學(xué)抽象.當(dāng)試驗次數(shù)越來越多時,頻率越穩(wěn)定于概率.2.求隨機事件的概率的常用方法有兩種:(1)可用頻率來估計概率;(2)利用隨機事件A包含的樣本點數(shù)除以樣本點總數(shù).對點訓(xùn)練2如圖,A地到火車站共有兩條路徑L1和L2,現(xiàn)隨機抽取100名從A地到達火車站的人進行調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如下:(1)分別求通過路徑L1和L2所用時間落在上表中各時間段內(nèi)的頻率;(2)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40min和50min時間用于趕往火車站,為了盡最大可能在允許的時間內(nèi)趕到火車站,試通過計算說明,他們應(yīng)如何選擇各自的路徑.解

(1)選擇L1的有60人,選擇L2的有40人,故由調(diào)查結(jié)果得頻率如下表.(2)設(shè)A1,A2分別表示甲選擇L1和L2時,在40

min內(nèi)趕到火車站;B1,B2分別表示乙選擇L1和L2時,在50

min內(nèi)趕到火車站.用頻率估計概率,由(1)得P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,P(A1)>P(A2),故甲應(yīng)選擇L1;P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,P(B2)>P(B1),故乙應(yīng)選擇L2.能力形成點3求復(fù)雜事件的概率命題角度1互斥事件與對立事件的概率例3

(1)“二十四節(jié)氣”是古代農(nóng)耕文明的產(chǎn)物,表達了人與自然宇宙之間獨特的時間觀念,蘊含著中華民族悠久的文化內(nèi)涵和歷史沉淀.根據(jù)多年氣象統(tǒng)計資料,某地在節(jié)氣夏至當(dāng)日下雨的概率為0.45,陰天的概率為0.20,則該地在節(jié)氣夏至當(dāng)日不下雨的概率為(

)A.0.65 B.0.55 C.0.35

D.0.75B由已知得該地在節(jié)氣夏至當(dāng)日不下雨的概率為1-0.45=0.55.命題角度2相互獨立事件的概率例4

(1)(多選)(2023新高考Ⅱ,12)在信道內(nèi)傳輸0,1信號,信號的傳輸相互獨立.發(fā)送0時,收到1的概率為α(0<α<1),收到0的概率為1-α;發(fā)送1時,收到0的概率為β(0<β<1),收到1的概率為1-β.考慮兩種傳輸方案:單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次,三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號需要譯碼,譯碼規(guī)則如下:單次傳輸時,收到的信號即為譯碼;三次傳輸時,收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如,若依次收到1,0,1,則譯碼為1).則下列說法正確的是(

)A.采用單次傳輸方案,若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為(1-α)(1-β)2B.采用三次傳輸方案,若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為β(1-β)2C.采用三次傳輸方案,若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為β(1-β)2+(1-β)3D.當(dāng)0<α<0.5時,若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率ABD設(shè)事件“發(fā)送0,收到0”為事件A0,設(shè)事件“發(fā)送0,收到1”為事件A1,設(shè)事件“發(fā)送1,收到0”為事件B0,設(shè)事件“發(fā)送1,收到1”為事件B1.由題知,P(A0)=1-α,P(A1)=α,P(B0)=β,P(B1)=1-β,且事件A0,A1,B0,B1相互獨立.對于選項A,所求事件為B1A0B1,所以P(B1A0B1)=P(B1)P(A0)P(B1)=(1-β)(1-α)(1-β)=(1-α)(1-β)2,所以A正確;對于選項B,所求事件為B1B0B1,所以P(B1B0B1)=P(B1)P(B0)P(B1)=(1-β)β(1-β)=β(1-β)2,所以B正確;對于選項C,所求事件為B1B1B0+B1B0B1+B0B1B1+B1B1B1,又P(B1B1B1)=P(B1)P(B1)P(B1)=(1-β)3,所以P(B1B1B0+B1B0B1+B0B1B1+B1B1B1)=(1-β)3+3β(1-β)2,所以C錯誤;對于選項D,采用三次傳輸,事件為A0A0A1+A0A1A0+A1A0A0+A0A0A0,所以P(A0A0A1+A0A1A0+A1A0A0+A0A0A0)=3α(1-α)2+(1-α)3.采用單次傳輸,P(A0)=1-α.所以P(A0A0A1+A0A1A0+A1A0A0+A0A0A0)-P(A0)=3α(1-α)2+(1-α)3-(1-α)=(1-α)[3α(1-α)+(1-α)2-1]=(1-α)(α-2α2)=α(1-α)(1-2α).因為0<α<0.5,所以α(1-α)(1-2α)>0.所以發(fā)送0,采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率,所以選項D正確.故選ABD.(2)甲、乙兩名同學(xué)進行籃球罰球比賽,罰中得1分,罰丟不得分,已知甲、乙兩同學(xué)的罰球命中率分別為70%和60%,且兩人的投籃結(jié)果相互獨立.現(xiàn)甲、乙兩同學(xué)各罰球一次,則兩人得分相同的概率為(

)A.12% B.42% C.46% D.54%D甲、乙兩同學(xué)各罰球一次,兩人得分相同是指兩人都沒有罰中或兩人都罰中,則兩人得分相同的概率為P=0.3×0.4+0.7×0.6=0.54=54%.故選D.解題心得1.求解互斥事件、對立事件的概率的方法(1)直接利用互斥事件的概率加法公式求解概率.(2)先求出所求事件的對立事件的概率,再利用公式

求出所求概率.2.求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法(1)利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解.(2)直接計算較煩瑣或難以入手時,可從其對立事件入手計算.D第三環(huán)節(jié)學(xué)科素養(yǎng)提升用直接法和間接法解概率問題典例

一個不透明的盒中裝有12個除顏色外大小質(zhì)地完全相同的球,其中5個紅球,4個黑球,2個白球,1個綠球.