湖北省武漢市武昌區(qū)2025屆高三下學(xué)期5月質(zhì)量檢測(cè)（三模）數(shù)學(xué)試題（解析）VIP

武昌區(qū)2025屆高三年級(jí)5月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)本試題卷共4頁(yè)，共19題.滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡指定位置.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先解對(duì)數(shù)不等式求出集合，再由集合可知集合中的元素為整數(shù)，將集合中的進(jìn)行賦值即可求解.【詳解】由得，，所以，所以，對(duì)于集合，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可求，再根據(jù)復(fù)數(shù)的共軛及乘法計(jì)算即可.【詳解】由，則，所以.故選：A.3.拋物線的準(zhǔn)線方程為A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】由拋物線方程可知，拋物線焦點(diǎn)在軸正半軸，且，所以所求準(zhǔn)線方程為.4.如圖，某社區(qū)為墻面、、、四塊區(qū)域宣傳標(biāo)語(yǔ)進(jìn)行涂色裝飾，每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰區(qū)域（共邊）不能用同一顏色，若只有4種顏色可供使用，則恰好使用了3種顏色的涂法有（）A.12種 B.24種 C.48種 D.144種【答案】C【解析】【分析】由題，三種顏色的涂法有兩種，即與同色或與同色，由計(jì)數(shù)原理列式求解.【詳解】三種顏色涂法有兩種，即與同色或與同色，所以恰好使用3種顏色的涂法有種.故選：C.5.已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列，若，，則（）A. B. C.4 D.8【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求解的值，從而可得公比的值，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)求解即可.【詳解】已知等比數(shù)列，則，因?yàn)椋?，則，又，所以或，因?yàn)榈缺葦?shù)列為遞增數(shù)列，則，且公比，所以，則，故.故選：A.6.已知函數(shù)，直線是曲線的切線，如果切線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這樣的直線有（）A.0條 B.1條 C.2條 D.3條【答案】B【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程求出切線的方程，聯(lián)立切線方程和曲線方程，化簡(jiǎn)得方程，根據(jù)切線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求出參數(shù)的值即可.【詳解】函數(shù)，對(duì)其求導(dǎo)得.設(shè)切點(diǎn)為，則切線斜率為又，所以切線方程為，化簡(jiǎn)得.將切線方程和曲線方程聯(lián)立得：整理得，因式分解得，解得或，因?yàn)榍芯€與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，解得，此時(shí)切線方程為，對(duì)應(yīng)唯一一條滿足條件直線，故選：B.7.在平行六面體中，，．設(shè)，，，則平面的一個(gè)法向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】要是平面的一個(gè)法向量，則要與平面的兩不共線的向量垂直，兩向量垂直即數(shù)量積為零，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算驗(yàn)證即可.【詳解】如下圖所示：在平行六面體中，，．設(shè)，，，所以，，，對(duì)A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，,，與、都垂直，則是平面的一個(gè)法向量，故D正確；故選：D.8.已知服從二項(xiàng)分布的似然函數(shù)為（其中表示成功的概率，為樣本總數(shù)，為成功次數(shù)）．現(xiàn)有一個(gè)研究團(tuán)隊(duì)研究發(fā)現(xiàn)概率與參數(shù)的取值有關(guān)，該團(tuán)隊(duì)提出函數(shù)模型為．在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，若參數(shù)時(shí)使得概率最大，則稱是的最大似然估計(jì)．若，，根據(jù)這一原理和該團(tuán)隊(duì)提出的函數(shù)模型可以求出的最大似然估計(jì)，其最大似然估計(jì)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求參數(shù)的極大似然估計(jì)值，二是根據(jù)的值求的最大似然估計(jì).【詳解】首先給出了函數(shù)，對(duì)其求導(dǎo).可得：然后令，即，即交叉相乘可得,展開(kāi)得,移項(xiàng)可得，解得.因?yàn)楹瘮?shù)在該點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為，所以參數(shù)的極大似然估計(jì)值為.已知，，則.已知函數(shù)模型，且在內(nèi)單調(diào)遞增.令，即，可得所以,所以是的最大似然估計(jì).故選:B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分.9.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.的一個(gè)對(duì)稱中心為D.圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于軸對(duì)稱【答案】ABC【解析】【分析】由周期公式可判斷A，通過(guò)代入可判斷B，通過(guò)整體代入可判斷C，通過(guò)平移結(jié)合誘導(dǎo)公式可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由周期公式可得最小正周期為，正確，對(duì)于B，由，則，由正弦函數(shù)的單調(diào)性可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，正確；對(duì)于D，圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到，顯然圖像關(guān)于軸不對(duì)稱，錯(cuò)誤，故選：ABC10.已知圓，直線與圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為圓上異于，的任意一點(diǎn)，若，，則（）A.B.面積的最大值為C.直線的方程為D.滿足到直線的距離為的點(diǎn)有且僅有3個(gè)【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用向量夾角公式求解判斷A；利用圓的性質(zhì)求出面積最大值判斷B；求出直線方程判斷C；利用直線與圓的位置關(guān)系判斷D.【詳解】對(duì)于A，依題意，，則，而，解得，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，圓心到直線距離，因此點(diǎn)到直線距離的最大值為，面積的最大值為，B正確；對(duì)于C，由，得，直線的斜率，設(shè)直線的方程為，則，解得，由，得，即，因此，直線的方程為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由圓半徑為，圓心到直線距離為，得圓上到直線距離為的點(diǎn)有且僅有3個(gè)，因此符合條件的點(diǎn)有且僅有3個(gè)，D正確.故選：BD11.某乒乓球比賽采用單淘汰制，即參賽選手按照隨機(jī)組合方式逐輪進(jìn)行比賽，每場(chǎng)比賽負(fù)方淘汰，勝方晉級(jí)到下一輪，直到最終決出冠亞軍．現(xiàn)有運(yùn)動(dòng)員（且）名，隨機(jī)編號(hào)到對(duì)陣位置，且所有運(yùn)動(dòng)員在任何一場(chǎng)比賽中獲勝的概率均為．若甲、乙是其中的兩名運(yùn)動(dòng)員，則下列結(jié)論中正確的有（）A.若，則甲、乙在第1輪比賽中相遇的概率為B.若，則甲、乙在第2輪比賽中相遇的概率為C.若（且），則甲、乙兩人在第4輪比賽中相遇的概率為D.若，則甲、乙兩人在比賽中相遇的概率為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意甲確定后，乙還有7個(gè)位置選擇然后可計(jì)算相遇概率確定A選項(xiàng)；同理甲乙在第2輪相遇，首先甲乙不能同組并同時(shí)晉級(jí)，再在第二輪相遇可確定B選項(xiàng)；根據(jù)題意甲、乙兩人在第m輪比賽中相遇的概率為即可確定C選項(xiàng)；利用等比數(shù)列求和公式可求甲、乙兩人在比賽中相遇的概率.【詳解】對(duì)于A，時(shí)，甲的位置確定后，乙需在剩余7個(gè)位置中選擇同一組的1個(gè)位置，概率為，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，甲、乙在第2輪相遇，則甲、乙需在第一輪均晉級(jí)概率為，又在第2輪同一組的概率為，故所求概率為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，甲、乙兩人在第m輪比賽中相遇的概率為，所以甲、乙兩人在第4輪比賽中相遇的概率為，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，甲、乙兩人在比賽中相遇的概率為，故D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某商場(chǎng)為優(yōu)化服務(wù)，對(duì)顧客做滿意度問(wèn)卷調(diào)查，滿意度采用計(jì)分制（滿分100）．現(xiàn)隨機(jī)抽取了其中10個(gè)數(shù)據(jù)依次為80，87，88，89，91，92，93，95，95，96，則這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為_(kāi)_______．【答案】88【解析】【分析】根據(jù)下四分位數(shù)的概念求解即可.【詳解】10個(gè)數(shù)據(jù)從小到大為80，87，88，89，91，92，93，95，95，96，則，故這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為88.故答案為：88.13.已知，且，則________．【答案】【解析】【分析】結(jié)合題設(shè)，根據(jù)兩角和與差的正弦公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得，，進(jìn)而求得，再結(jié)合二倍角公式求解即可.【詳解】由，則，由，得，則，即，，所以，則.故答案為：.14.在幾何中，單葉雙曲面是一種典型的直紋面如圖1所示，因其具有優(yōu)良的穩(wěn)定性和美觀性，常被應(yīng)用于大型建筑結(jié)構(gòu)（如廣州電視塔）．單葉雙曲面的形成過(guò)程可通過(guò)“雙曲狹縫”演示：如圖2，直桿與固定軸成一定夾角，且均和連桿垂直．當(dāng)直桿繞固定軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，其軌跡形成單葉雙曲面．若用過(guò)單葉雙曲面固定軸的平面截取該曲面，所得交線為雙曲線的一部分．在某科技館的演示中，立板上的雙曲狹縫即為直桿運(yùn)動(dòng)軌跡（雙曲面）被立板面截取的雙曲線的一部分，因此直桿旋轉(zhuǎn)時(shí)可始終穿過(guò)兩條彎曲的狹縫．若直桿與固定軸所成角的大小為，則該雙曲線的離心率為_(kāi)_______．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)換模型確定平面，結(jié)合勾股定理得雙曲線軌跡從而得雙曲線離心率.【詳解】模型轉(zhuǎn)換后如圖所示，平面，設(shè)，因?yàn)槠矫妫?，所以在中可得：，在中可得：，即，則該雙曲線的離心率為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是將空間中的單葉雙曲面模型進(jìn)行轉(zhuǎn)化后，結(jié)合線面關(guān)系與勾股定理確定所求雙曲線的軌跡方程從而得所求.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)，（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）【解析】【分析】（1）通過(guò)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來(lái)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）可通過(guò)分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的最值來(lái)求解.【小問(wèn)1詳解】已知，當(dāng)時(shí)，，對(duì)求導(dǎo)，可得.令，即，解得.當(dāng)時(shí)，，所以，則在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，所以，則在上單調(diào)遞增.綜上所得，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，即，移項(xiàng)可得.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)可以取任意實(shí)數(shù).當(dāng)時(shí)，可化為，令，對(duì)求導(dǎo)，可得.令，即，因?yàn)?，，所以，解?當(dāng)時(shí)，，所以，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，所以，在上單調(diào)遞增.則在處取得極小值，也是最小值，.所以，解得.實(shí)數(shù)的取值范圍是.16.記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，，角的角平分線交于點(diǎn)，且．（1）求的長(zhǎng)；（2）求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用降冪公式求出，再結(jié)合余弦定理求解即可；（2）先求出，，利用等面積法求出，進(jìn)而求解即可.小問(wèn)1詳解】由，則，因?yàn)椋?，所以，則，又是角的角平分線，則在中，由余弦定理得，即.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，則，由，則，又是角的角平分線，由，則，則，解得，所以.17.如圖，在三棱柱中，平面平面，，，，（1）證明：平面；（2）求的長(zhǎng)；（3）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合題意即可得證；（2）先由余弦定理求出，取的中點(diǎn)，連接，，然后由已知條件結(jié)合勾股定理即可得解；（3）由（2），以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，，所在方向分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后由向量法即可得解．【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)?，所以四邊形是菱形，所以，又，且，所以，因?yàn)?，平面，平面，所以平面；【小?wèn)2詳解】在△中，由，，，所以，如圖，取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)椋?，，平面，且，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以，在△和△中，可知，在△中，可知，因?yàn)?，所以，解得：；【小?wèn)3詳解】由（2），以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，，所在方向分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為．18.圖1是一種可以作出橢圓的工具．是滑槽（足夠長(zhǎng)）的中點(diǎn)，短桿可繞轉(zhuǎn)動(dòng)，長(zhǎng)桿通過(guò)處鉸鏈與連接，上的栓子可沿滑槽滑動(dòng)，且，．當(dāng)栓子在滑槽內(nèi)做往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)繞轉(zhuǎn)動(dòng)一周（不動(dòng)時(shí)，也不動(dòng)），處的筆尖畫(huà)出的曲線為橢圓．當(dāng)時(shí)，記畫(huà)出的曲線為．以為原點(diǎn)，所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系．（1）求曲線的方程；（2）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的任一直線與曲線交于，兩點(diǎn)，與曲線交于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的任一直線與交于，兩點(diǎn)．（i）求證：；（ii）求四邊形面積的取值范圍．【答案】（1）（2）（i）證明見(jiàn)解析；（ii）【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)，由題意可得，且，根據(jù)坐標(biāo)關(guān)系可得且，再根據(jù)動(dòng)點(diǎn)位置關(guān)系即可得所求；（2）（i）同理確定曲線的方程，不妨設(shè)與同向，，分別確定直線斜率不存在與存在時(shí)的坐標(biāo)關(guān)系，根據(jù)弦長(zhǎng)關(guān)系即可證所求；（ii）分析可得四邊形面積是面積的6倍，分別求解直線的斜率不存在與存在時(shí)，結(jié)合函數(shù)思想求得取值范圍即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)，依題意，得，且，所以，且，即且，由于當(dāng)點(diǎn)不動(dòng)時(shí)，點(diǎn)也不動(dòng)，所以不恒等于0，于是，所以，代入得，所以的方程為；【小問(wèn)2詳解】（i）同理可得曲線的方程為，不妨設(shè)與同向，，當(dāng)直線斜率不存時(shí)，；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，由，得所以，同理可得，因此，對(duì)于任意直線均滿足，所以；（ii）由（i）可知，四邊形面積是面積的6倍，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程，所以，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程，由，得，由得’所以，直線與有公共點(diǎn)，因此由，得，由得，所以，令，則，四邊形面積的取值范圍是.19.用符號(hào)表示集合中元素的個(gè)數(shù)．對(duì)于實(shí)數(shù)集合和，且，，定義兩個(gè)集合：①和集；②鄰差集，其中集合中元素按照從小到大排列．（1）已知集合，，求，的值；（2）已知集合，，求的值；（3）若與都是由個(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，證明：的充要條件是．【答案】（1），（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)和集和鄰差集定義直接求解即可；（2）考慮，分別討論和的情況，由集合中元素的性質(zhì)與和集的定義可得結(jié)果；（3）根據(jù)與和集的定義易證得充分性；設(shè)集合，，其中，，可確定中所有的元素，可證得；推廣可得，由此可得必要性.【小問(wèn)1詳解】，，，，，，