搶分秘籍13 幾何圖形中的作圖問題-中考《數(shù)學(xué)》沖刺搶分押題秘籍（全國卷）VIP

PAGE1搶分秘籍13幾何圖形中的作圖問題（含無刻度作圖）目錄【解密中考】總結(jié)?？键c(diǎn)及應(yīng)對的策略，精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含押題型）【題型一】尺規(guī)作角平分線問題【題型二】尺規(guī)作垂直平分線問題【題型三】網(wǎng)格中格點(diǎn)作圖問題【題型四】平行四邊形中無刻度作圖問題【題型五】矩形中無刻度作圖問題【題型六】菱形中無刻度作圖問題【題型七】正方形中無刻度作圖問題【題型八】圓中無刻度作圖問題【題型九】不規(guī)則圖形中無刻度作圖問題【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見的易錯點(diǎn)易錯點(diǎn)一：作角平分線過程求解錯誤易錯點(diǎn)二：作垂直平分線過程求解錯誤：幾何圖形中的作圖問題是全國中考的熱點(diǎn)內(nèi)容，更是全國中考的必考內(nèi)容。每年都有一些考生因?yàn)橹R殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?．從考點(diǎn)頻率看，幾何作圖屬中考高頻考點(diǎn)，基本每年必考，多與三角形、圓等結(jié)合，側(cè)重尺規(guī)作圖原理應(yīng)用，如作角平分線、垂直平分線、三角形等，考查幾何直觀與操作能力。2．從題型角度看，以解答題為主，要求保留作圖痕跡并寫結(jié)論；也含選擇、填空，如判斷作圖步驟或根據(jù)痕跡分析。常融于幾何綜合題，作輔助線或圖形構(gòu)造。：在中考數(shù)學(xué)備考中，牢記5種基本尺規(guī)作圖步驟及依據(jù)，多練綜合題強(qiáng)化應(yīng)用；注意作圖規(guī)范性，標(biāo)注必要符號；分析真題明確高頻題型，結(jié)合全等、相似等知識提升遷移能力。【題型一】尺規(guī)作角平分線問題【例1】（2025·山西呂梁·一模）如圖，，平分，交于點(diǎn)E．(1)實(shí)踐與操作：利用尺規(guī)作的平分線，交于點(diǎn)O，交于點(diǎn)F，連接（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母）；(2)猜想與證明：試猜想四邊形的形狀，并加以證明．【答案】(1)見解析(2)猜想：四邊形是菱形，理由見解析【知識點(diǎn)】作角平分線(尺規(guī)作圖)、證明四邊形是菱形【分析】本題考查角平分線畫法，菱形的判定，平行四邊形判定及性質(zhì)等．（1）以點(diǎn)為圓心，任意長為半徑畫弧，交于兩點(diǎn)，再分別以為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于一點(diǎn)，連接與這點(diǎn)即為的平分線，即可得到本題答案；（2）根據(jù)題意先證明四邊形是平行四邊形，后繼而證明出四邊形是菱形．【詳解】（1）解：以點(diǎn)為圓心，任意長為半徑畫弧，交于兩點(diǎn)，再分別以為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于一點(diǎn)，連接點(diǎn)與這點(diǎn)交于點(diǎn)，即為的平分線，作圖如下：（2）解：猜想：四邊形是菱形，證明如下：∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，同理可得：，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形．尺規(guī)作角平分線需牢記步驟：以角頂點(diǎn)為圓心、適當(dāng)長為半徑畫弧交兩邊；分別以兩交點(diǎn)為圓心、大于間距一半長為半徑畫弧交于一點(diǎn)；連接頂點(diǎn)與交點(diǎn)即得平分線。關(guān)鍵是弧半徑適當(dāng)確保交點(diǎn)存在，保留痕跡并標(biāo)注字母，結(jié)合全等原理理解依據(jù)，多練真題強(qiáng)化規(guī)范性與速度?！纠?】（2025·湖南長沙·一模）如圖，在中，．(1)尺規(guī)作圖，作的角平分線與相交于點(diǎn)D（不要求寫作法，保留作圖痕跡）；(2)若（1）中，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【知識點(diǎn)】作角平分線(尺規(guī)作圖)、與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題、三角形的外角的定義及性質(zhì)【分析】本題考查了作圖——角平分線，三角形的內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)，熟練掌握種基本作圖是解題關(guān)鍵．（1）利用基本作圖畫出的平分線即可；（2）先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理計(jì)算出，再根據(jù)角平分線的定義得到，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)計(jì)算的度數(shù)即可．【詳解】（1）解：如圖即為所求作；（2）解：，，，平分，，．【變式1】（2025·浙江·一模）如圖，在平行四邊形中，平分交于點(diǎn)．(1)用直尺和圓規(guī)作的平分線交于點(diǎn)．(2)在（1）的條件下，求證：四邊形是平行四邊形．【答案】(1)作圖見解析(2)見解析【知識點(diǎn)】作角平分線(尺規(guī)作圖)、利用平行四邊形性質(zhì)和判定證明【分析】本題主要考查作角平分線和平行四邊形的判定與性質(zhì)，正確作圖是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)作角平分線作法畫圖即可；（2）由平行四邊形性質(zhì)可得，再證明即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）證明：四邊形是平行四邊形，，平分平分，，，，，，四邊形是平行四邊形．【變式2】（2025·河南焦作·一模）如圖，已知．(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)作的平分線；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)若（1）中的平分線交于點(diǎn)，且，求的長．【答案】(1)見解析(2)【知識點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)定理、作角平分線(尺規(guī)作圖)【分析】此題考查了作角平分線，角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確作圖．（1）根據(jù)題意作的平分線即可求解；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)交的延長線于點(diǎn)．根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式，即可求解．【詳解】（1）解：如圖，即為所作的平分線．（2）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)交的延長線于點(diǎn)．平分，．，．，．，．【題型二】尺規(guī)作垂直平分線問題【例1】（2025·廣東陽江·二模）如圖，在矩形中，是對角線．(1)實(shí)踐與操作：利用尺規(guī)作線段的垂直平分線，垂足為點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)；（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母）(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【知識點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、線段垂直平分線的性質(zhì)、作垂線(尺規(guī)作圖)、利用矩形的性質(zhì)證明【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，線段垂直平分線的尺規(guī)作圖和定義，全等三角形的性質(zhì)與判定等待，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)線段垂直平分線的尺規(guī)作圖方法作圖即可；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)證明，由題意可得，則可證明，則．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）證明：四邊形是矩形，，，是的垂直平分線，，在和中，，．尺規(guī)作垂直平分線需分三步：以線段兩端點(diǎn)為圓心，大于線段一半長為半徑分別畫弧，兩弧交于兩點(diǎn)；用直尺連接兩交點(diǎn)，即為垂直平分線。關(guān)鍵是半徑需大于線段一半確?；∮薪稽c(diǎn)，保留作圖痕跡，標(biāo)注交點(diǎn)字母，結(jié)合全等或等腰三角形原理理解，通過練習(xí)強(qiáng)化步驟規(guī)范性與準(zhǔn)確性?！纠?】（2025·廣東珠海·一模）如圖，在中，．(1)用無刻度直尺和圓規(guī)在上求作點(diǎn)D，使得；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）的條件下，若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)．【知識點(diǎn)】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性質(zhì)和判定、作垂線(尺規(guī)作圖)、線段垂直平分線的性質(zhì)【分析】（1）作的垂直平分線，交于點(diǎn)D，點(diǎn)D即為所作；（2）作，，垂足分別為和，先求得，利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求得，利用等積法求得，據(jù)此計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)D即為所作；（2）解：作，，垂足分別為和，如圖，∵，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，即，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的外角性質(zhì)，正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2025·山西大同·二模）如圖，四邊形是平行四邊形，是對角線．(1)尺規(guī)作圖：作的垂直平分線，垂足為點(diǎn)，分別交于點(diǎn)，于點(diǎn)F．連接（要求：不寫作法，保留作圖痕跡并標(biāo)明字母）；(2)判斷四邊形的形狀，并說明理由．【答案】(1)作圖見詳解(2)四邊形是菱形，理由見詳解【知識點(diǎn)】證明四邊形是菱形、利用平行四邊形的性質(zhì)證明、作垂線(尺規(guī)作圖)、線段垂直平分線的性質(zhì)【分析】本題主要考查尺規(guī)作垂線，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，掌握尺規(guī)作垂線，菱形的判定方法是關(guān)鍵．（1）分別以點(diǎn)為圓心，以大于長為半徑畫弧，交于點(diǎn)，連接并向兩邊延伸，分別交于點(diǎn)，于點(diǎn)，由此即可求解；（2）是線段的垂直平分線，，，，，，且，四邊形是平行四邊形，根據(jù)“鄰邊相等的平行四邊形是菱形”即可求證．【詳解】（1）解：根據(jù)尺規(guī)作垂線的方法作圖如下，（2）解：四邊形是菱形，理由如下，∵是線段的垂直平分線，∴，，，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，即，∴，在和中，，∴，∴，且，∴四邊形是平行四邊形，又，∴平行四邊形是菱形．【變式2】（2025·山西陽泉·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，．(1)作邊的垂直平分線交邊于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑作弧，交邊于點(diǎn)，連接．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）的條件下，求的長．【答案】(1)見解析(2)．【知識點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、作垂線(尺規(guī)作圖)、等邊對等角、用勾股定理解三角形【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理．（1）利用尺規(guī)作圖，根據(jù)題意作出圖形即可；（2）連接，證明，利用勾股定理結(jié)合等積法求解即可．【詳解】（1）解：所作圖形，如圖，（2）解：連接，由作圖知，，∴，，∵，∴，即，∵，，，∴，∵，∴．【題型三】網(wǎng)格中格點(diǎn)作圖問題【例1】（2025·吉林長春·一模）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A、B均在格點(diǎn)上，請按下列要求畫圖，所畫圖形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．(1)在圖①中，作一個以為底的等腰直角三角形；(2)在圖②中，作一個面積為的鈍角三角形；(3)在圖③中，作一個面積為7．且有一組鄰邊相等的四邊形．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【知識點(diǎn)】勾股定理與網(wǎng)格問題、格點(diǎn)作圖題【分析】此題主要考查圖形設(shè)計(jì)，解題的關(guān)鍵是熟知網(wǎng)格的特點(diǎn)．（1）根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)及等腰直角三角形的特點(diǎn)即可作圖；（2）根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)和三角形面積公式即可作圖；（3）根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)和割補(bǔ)法求面積即可作圖；【詳解】（1）解：如圖①，即為所求，，，即，為等腰直角三角形；（2）解：如圖②，，且為鈍角，故即為所求；（3）解：如圖③，，四邊形的面積為，故四邊形即為所求．網(wǎng)格中格點(diǎn)作圖需緊扣網(wǎng)格特性：利用格線橫平豎直確定方向，通過格點(diǎn)間距（單位長度）計(jì)算線段長，借助勾股數(shù)（如3-4-5）構(gòu)造斜線。作垂線可找“L”型格點(diǎn)或?qū)蔷€垂直；作平行線通過平移格數(shù)保持斜率；構(gòu)造圖形時利用對稱點(diǎn)、中點(diǎn)或全等格點(diǎn)三角形，注意標(biāo)注關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合坐標(biāo)運(yùn)算驗(yàn)證合理性，避免憑直覺忽略格點(diǎn)精確性?！纠?】（2025·湖北武漢·一模）如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．三個頂點(diǎn)都是格點(diǎn)，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成四個畫圖任務(wù)，每個任務(wù)的畫線不得超過兩條．(1)在圖1中，畫出的高；(2)在（1）的基礎(chǔ)上，在上畫點(diǎn)，連接，使；(3)在圖2中，畫；(4)在（3）的基礎(chǔ)上，在上畫點(diǎn)，使．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析(4)見解析【知識點(diǎn)】格點(diǎn)作圖題、正切的概念辨析、利用平行四邊形的性質(zhì)求解、畫三角形的高【分析】本題主要考查了格點(diǎn)作圖、相似三角形的判定與性質(zhì)、正切的定義、平行四邊形的定義等知識點(diǎn)，理解相關(guān)知識成為解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)垂直的定義以及格點(diǎn)的特點(diǎn)即可解答：（2）根據(jù)正切的定義、格點(diǎn)的特點(diǎn)以及（1）的作圖即可解答；（3）根據(jù)平行四邊形的定義作圖即可；（4）根據(jù)格點(diǎn)的特點(diǎn)構(gòu)造相似三角形求出相關(guān)線段的長度，然后運(yùn)用勾股定理求解發(fā)現(xiàn)作法，然后作圖即可．【詳解】（1）解：如圖1：線段即為所求．（2）解：如圖1：點(diǎn)G即為所求．（3）解：如圖2：即為所求．（4）解：如圖：點(diǎn)E即為所求．【變式1】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，A，B，C均為小正方形的頂點(diǎn)，請僅用無刻度的直尺作圖，按要求作圖并保留作圖痕跡．(1)在圖1中作出邊上的高；再在邊上找點(diǎn)E，使得；(2)在圖2的邊上作點(diǎn)F，使得，再過作的平行線．【答案】(1)見解析(2)見解析【知識點(diǎn)】格點(diǎn)作圖題、已知正切值求邊長、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、利用平行四邊形性質(zhì)和判定證明【分析】（1）取格點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)，則即為所求．取格點(diǎn)，，連接，交于點(diǎn)，則，可得，即．（2）取格點(diǎn)，連接，交網(wǎng)格線于點(diǎn)，此時，，，即，再連接，交于點(diǎn)，可得．延長交網(wǎng)格線于點(diǎn)R，連接并延長交網(wǎng)格線于點(diǎn)S，則P是中點(diǎn)，取點(diǎn)T是與網(wǎng)格線的一個交點(diǎn)，連接，交網(wǎng)格線于點(diǎn)Q，即Q是中點(diǎn)，連接，由三角形中位線性質(zhì)可知.本題考查了格點(diǎn)作圖、涉及了三角形的高、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、三角形中位線性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖1，高、點(diǎn)即為所求．（2）如圖2，點(diǎn)，，即為所求．【變式2】（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，圖中A，B，C，D都是格點(diǎn)，E是上一點(diǎn)．僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，每個任務(wù)的畫線不得超過三條．(1)在圖（1）中，畫直線交于F，使得直線平分四邊形的面積；(2)在（1）基礎(chǔ)上，在上畫點(diǎn)G，使得；(3)在圖（2）中，點(diǎn)E是格點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)得，連接交于I；(4)在（3）基礎(chǔ)上，在，上分別畫點(diǎn)M，N，使得四邊形是平行四邊形．【答案】(1)作圖見解析；(2)作圖見解析；(3)作圖見解析；(4)作圖見解析．【知識點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)和判定、利用平行四邊形的性質(zhì)求解、格點(diǎn)作圖題【分析】本題考查了格點(diǎn)作圖，熟練掌握平行四邊形性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．（1）連接、，設(shè)交點(diǎn)為，利用網(wǎng)格找到中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，直線即為所求；（2）在上截取線段，連接，即可得到是等腰直角三角形，即，點(diǎn)即為所求；（3）連接，將繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)得，連接交于；（4）作的平行線交于，在上截取，連接、，四邊形即為所求．【詳解】（1）解：如圖所示，連接、，設(shè)交點(diǎn)為，利用網(wǎng)格找到中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，直線即為所求，（2）解：在上截取線段，連接，即可得到是等腰直角三角形，即，點(diǎn)即為所求，如圖所示，（3）解：連接，將繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)得，連接交于，如圖所示，（4）解：過作的平行線交于，在上截取，連接、，四邊形即為所求，如圖所示，【變式3】（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖是由相同的小正方形組成的網(wǎng)格，每個小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，的三個頂點(diǎn)都是格點(diǎn)，M為上一點(diǎn)．僅用無刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中完成四個任務(wù)．(1)如圖（1），M在網(wǎng)格線上．將線段關(guān)于對稱，畫出對應(yīng)線段．(2)在（1）的基礎(chǔ)上，在上畫點(diǎn)E，使．(3)如圖（2），將線段繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，畫出對應(yīng)線段．(4)在（3）的基礎(chǔ)上，在線段上畫點(diǎn)N，使得．【答案】(1)畫圖見解析(2)畫圖見解析(3)畫圖見解析(4)畫圖見解析【知識點(diǎn)】格點(diǎn)作圖題、畫旋轉(zhuǎn)圖形、判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】（1）如圖，取格點(diǎn)，且，，而，可得，可得即為所求；（2）如圖，取與格線的交點(diǎn)，由全等三角形的性質(zhì)可得所成的角為直角，可得即為所求；（3）如圖，取格點(diǎn)，連接，，結(jié)合勾股定理與勾股定理的逆定理可得即為所求；（4）如圖，取格點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接并延長交于，則即為所求；【詳解】（1）解：如圖，取格點(diǎn)，且，，則即為所求；理由：∵，，，∴，∴；，∴即為所求；（2）解：如圖，取與格線的交點(diǎn)，則即為所求；理由：記的交點(diǎn)為，由網(wǎng)格特點(diǎn)可得：，∵由（1）得：，而，∴，∴，∵，∴，∴；（3）解：如圖，取格點(diǎn)，連接，，則即為所求；理由：∵，，∴，∴；∴即為所求；（4）解：如圖，取格點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接并延長交于，則即為所求；理由：記的交點(diǎn)為，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴是的垂直平分線，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是格點(diǎn)作圖，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理與勾股定理的逆定理的應(yīng)用，線段的垂直平分線的性質(zhì)，熟練的畫圖是解本題的關(guān)鍵．【題型四】平行四邊形中無刻度作圖問題【例1】（2025·浙江寧波·模擬預(yù)測）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)．僅用無刻度的直尺在給定圖形中畫圖，畫圖過程用實(shí)線表示，按步驟完成下列問題：(1)若，請?jiān)趫D1中的邊上找點(diǎn)，使；(2)如圖2，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，請?jiān)趫D2中的邊上找點(diǎn)，使．【答案】(1)圖見解析；(2)圖見解析．【知識點(diǎn)】無刻度直尺作圖、與三角形中位線有關(guān)的證明、利用平行四邊形的性質(zhì)求解【分析】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線的判定與性質(zhì)等知識，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（1）連接交于點(diǎn)，連接并延長，交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求；（2）連接交于點(diǎn)，連接并延長，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接并延長，交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求．【詳解】（1）解：連接交于點(diǎn)，連接并延長，交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求，如圖：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴點(diǎn)為中點(diǎn)，又∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴，即，又∴，∴，∴；（2）解：連接交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接并延長，交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求，如圖：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴點(diǎn)為的中點(diǎn)，又∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴，即，∴，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，，∴是的中位線，∴點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴是和的中位線，∴，∴．平行四邊形無刻度作圖需緊扣性質(zhì)：利用對角線互相平分，通過連對角線找中點(diǎn)確定頂點(diǎn)；借助對邊平行，用“平移法”作等長平行線（如沿格線或構(gòu)造全等三角形）；利用中心對稱，繞中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)確定對稱點(diǎn)。結(jié)合判定定理（如對邊相等、對角線互分）設(shè)計(jì)步驟，通過連線段、找交點(diǎn)實(shí)現(xiàn)，確保每步有幾何原理支撐，避免隨意連線?！纠?】已知四邊形是平行四邊形，為對角線，分別在圖①、圖②中按要求作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）．(1)如圖①，點(diǎn)P為上任意一點(diǎn)，請僅用無刻度的直尺在上找出另一點(diǎn)Q，使；(2)如圖②，點(diǎn)P為上任意一點(diǎn)，請僅用無刻度的直尺在上找出一點(diǎn)Q，使．【答案】(1)見解析(2)見解析【知識點(diǎn)】用ASA（AAS）證明三角形全等（ASA或者AAS）、利用平行四邊形性質(zhì)和判定證明【分析】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)：（1）連接交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求；（2）連接交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，連接，與的交點(diǎn)即為點(diǎn)．【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)即為所求；

∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴；（2）如圖，點(diǎn)即為所求；

同（1）可證：，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，同法可得：，∴，∴，∴．【變式1】（2024·江蘇徐州·二模）如圖，已知，請用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）．(1)在圖1的邊上作點(diǎn)，使；(2)在圖2的邊上作點(diǎn)，使．【答案】(1)畫圖見解析(2)畫圖見解析【知識點(diǎn)】作線段(尺規(guī)作圖)、作垂線(尺規(guī)作圖)、利用平行四邊形的性質(zhì)求解【分析】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，平行四邊形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．（1）在上截取線段，使得，連接即可；（2）連接，作線段的垂直平分線交于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)P即為所求；證明：∵，∴；（2）解：如圖，點(diǎn)P即為所求．證明：∵線段的垂直平分線交于點(diǎn)P，∴，∴，∵，∴，∴．【變式2】（2023·江蘇鹽城·三模）只用無刻度的直尺作圖（保留作圖痕跡，不要求寫作法）．

(1)如圖1，已知．點(diǎn)E在OB邊上，其中四邊形是平行四邊形，請你在圖中畫出的平分線．(2)如圖2．已知E是菱形中邊上的中點(diǎn)，請作出邊上的中點(diǎn)F．【答案】(1)作圖見解析(2)作圖見解析【知識點(diǎn)】根據(jù)三線合一證明、利用平行四邊形的性質(zhì)求解、利用菱形的性質(zhì)證明、無刻度直尺作圖【分析】（1）由等腰三角形三線合一，可知的角平分線過線段的中點(diǎn)，由平行四邊形的性質(zhì)可知，的中點(diǎn)即為平行四邊形對角線的交點(diǎn)，過與的中點(diǎn)的射線即為所求，作圖即可，如圖1；（2）由菱形的性質(zhì)，三角形的三條中線交于一點(diǎn)即重心，作的中線，，交點(diǎn)為重心，連接并延長交于，即為所求，如圖2．【詳解】（1）解：如圖1，連接、交于點(diǎn)，過作射線，即為所求；

（2）解：如圖2，連接，，與交于點(diǎn)G，連接，與交于點(diǎn)，連接并延長交于，即為所求；

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形、菱形的性質(zhì)，角平分線，中線、重心等知識．熟練掌握等腰三角形三線合一，三角形的三條中線交于一點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2024·江蘇鹽城·三模）如圖，四邊形是平行四邊形，為上任意一點(diǎn)．(1)如圖①，只用無刻度的直尺在邊上作出點(diǎn)，使直線平分平行四邊形的面積；(2)如圖②，用無刻度直尺和圓規(guī)作出矩形，使得點(diǎn)、、分別在邊、、上．【答案】(1)見解析(2)見解析【知識點(diǎn)】根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長、利用平行四邊形的性質(zhì)求解、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題考查作圖，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)等知識，（1）連接，交于點(diǎn)，連接，延長交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求作．（2）連接，交于點(diǎn)，連接，延長交于點(diǎn)，以為圓心為半徑作弧交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，連接，，，，四邊形即為所求．【詳解】（1）如圖①，點(diǎn)，四邊形即為所求作．（2）如圖②，四邊形即為所求作．理由如下：四邊形是平行四邊形，，，，又，，，同理：，可得，四邊形是平行四邊形，，，四邊形是矩形．【題型五】矩形中無刻度作圖問題【例1】（2024·江西吉安·三模）如圖，在矩形中，，是對角線上一點(diǎn)，且．請僅用無刻度的直尺分別按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖1中作的中點(diǎn)．(2)在圖2中作點(diǎn)，使得【答案】(1)見解析(2)見解析【知識點(diǎn)】利用矩形的性質(zhì)證明、無刻度直尺作圖【分析】（1）根據(jù)得到，作直線，交于點(diǎn)，則點(diǎn)P即為所求．（2）連接交于點(diǎn)O，作直線，交于點(diǎn)G，作直線，交于點(diǎn)N，則點(diǎn)N即為所求．本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形相似的應(yīng)用，尺規(guī)作圖，熟練掌握性質(zhì)和尺規(guī)作圖是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）∵，∴，故作直線，交于點(diǎn)，∵矩形，∴，，∴，∴，∴，∴，即P為的中點(diǎn)，則點(diǎn)P即為所求．（2）連接交于點(diǎn)O，作直線，交于點(diǎn)G，作直線，交于點(diǎn)N，則點(diǎn)N即為所求．矩形無刻度作圖需依托其特性：利用對角線相等且平分，以兩端點(diǎn)為圓心、等長半徑畫弧找交點(diǎn)確定中點(diǎn)；作直角時，通過圓規(guī)在鄰邊截取等長線段，構(gòu)造等腰直角三角形或利用對角線為直徑的圓（圓周角直角）；證明時結(jié)合“有直角的平行四邊形”或“對角線相等的平行四邊形”判定，通過連線段、找交點(diǎn)實(shí)現(xiàn)，確保直角與對邊平行關(guān)系清晰?！纠?】如圖，在矩形中，P，M分別是，的中點(diǎn)．請僅用無刻度的直尺按下列要求作圖．(1)在圖1中，找出的中點(diǎn)E；(2)在圖2中，以為邊作一個菱形．【答案】(1)見解析(2)見解析【知識點(diǎn)】全等三角形綜合問題、利用矩形的性質(zhì)證明、證明四邊形是菱形【分析】本題考查了基本作圖，矩形、菱形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識，熟悉以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）連接，交于點(diǎn)O，連接并延長交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求；（2）分別取、的中點(diǎn)、，連接、、，四邊形即為所求．【詳解】（1）解：如圖，連接，交于點(diǎn)O，連接并延長交于點(diǎn)，即為所作．∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∵點(diǎn)P是的中點(diǎn)，∴，∴，故點(diǎn)是的中點(diǎn)；（2）解：如圖，分別取、的中點(diǎn)、，連接、、，四邊形即為所作．∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵P，M分別是，的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，∴，∴平行四邊形是菱形．【變式1】如圖，矩形中，點(diǎn)在上，，分別在圖1和圖2中按要求僅用無刻度的直尺畫圖．（保留畫圖痕跡）

(1)在圖1中，畫出的平分線；(2)在圖2中，畫出的平分線，交于點(diǎn)，并說明理由．【答案】(1)作圖見解析(2)作圖見解析；理由見解析【知識點(diǎn)】根據(jù)等邊對等角證明、根據(jù)三線合一證明、利用矩形的性質(zhì)證明、無刻度直尺作圖【分析】（1）連接即可；（2）連接交于點(diǎn)，延長交于即可．【詳解】（1）解：如圖，連接，∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴平分，則為所作；

（2）如圖，連接、，交于點(diǎn)，連接并延長交于，則即為所作．理由如下：∵四邊形為矩形，∴，∵，∴平分，即平分．

【點(diǎn)睛】本題考查作圖—復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了等腰三角形和矩形的性質(zhì)、角平分線的定義．【變式2】（2023·江西鷹潭·一模）如圖，是兩個全等的矩形和矩形拼成的圖案，請僅用無刻度的直尺按要求作圖．

(1)在圖（1）中作出一個等腰直角三角形．(2)在圖（2）中的矩形內(nèi)作出一條直線和平行．【答案】(1)見解析(2)見解析【知識點(diǎn)】與三角形中位線有關(guān)的求解問題、矩形性質(zhì)理解、無刻度直尺作圖【分析】根據(jù)全等矩形的性質(zhì)作圖；根據(jù)矩形的對角線互相平分及三角形中位線的性質(zhì)作圖．【詳解】（1）如圖：等腰直角三角形即為所求；

（2）如圖2，直線即為所求．

【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)雜作圖，掌握特殊平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型六】菱形中無刻度作圖問題【例1】（2024·江西吉安·二模）如圖，在菱形中，連接，是的中點(diǎn)，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．

(1)在圖1中的上找一點(diǎn)，連接，使得．(2)在圖2中的上找一點(diǎn)，連接，使得．【答案】(1)見解析(2)見解析【知識點(diǎn)】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、與三角形中位線有關(guān)的求解問題、利用菱形的性質(zhì)證明、無刻度直尺作圖【分析】（1）連接，由菱形的性質(zhì)得到為的中點(diǎn)，則是的中位線，即可得出；（2）連接、交于點(diǎn)，連接并延長，交于點(diǎn)，證明，即可推出．【詳解】（1）解：如圖，即為所求作；

（2）解：如圖，即為所求作；

連接、交于點(diǎn)，連接并延長，交于點(diǎn)，四邊形是菱形，，垂直平分，，，，，，，，是的中位線，即．【點(diǎn)睛】本題考查了無刻度直尺作圖，菱形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，根據(jù)相關(guān)性質(zhì)正確作圖是解題關(guān)鍵．菱形無刻度作圖需緊扣四邊相等、對角線垂直平分特性：先作線段為邊，以兩端點(diǎn)為圓心、等長半徑畫弧定鄰邊頂點(diǎn)；作對角線時，以端點(diǎn)為圓心、大于半長為半徑畫弧找垂直平分線上的交點(diǎn)，確保對角線互相垂直。利用“四邊相等”或“對角線垂直平分”判定，通過圓規(guī)截取等長、找交點(diǎn)連線實(shí)現(xiàn)，每步依托菱形性質(zhì)，避免憑經(jīng)驗(yàn)隨意作圖?！纠?】（2024·江西·中考真題）如圖，為菱形的對角線，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）(1)如圖，過點(diǎn)作的垂線；(2)如圖，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線．【答案】(1)作圖見解析；(2)作圖見解析．【知識點(diǎn)】利用平行四邊形的性質(zhì)求解、利用菱形的性質(zhì)證明【分析】（）作直線，由菱形的性質(zhì)可得，即為的垂線；（）連接并延長，與的延長線相交于點(diǎn)，作直線，因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，，故可得，得到，所以四邊形為平行四邊形，即；本題考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，掌握菱形的性質(zhì)及平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）解：如圖，即為所求．【變式1】如圖，在菱形中是的中點(diǎn)．請僅用無刻度直尺完成下列作圖，(1)在圖1中，過點(diǎn)作的平行線，與交于點(diǎn)．(2)在圖2中，作線段的垂直平分線，垂足為點(diǎn)．【答案】(1)見解析(2)見解析【知識點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)、利用菱形的性質(zhì)求線段長、無刻度直尺作圖【分析】本題考查無刻度直尺作圖，掌握菱形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）連接和交于點(diǎn)O，連接并延長交于點(diǎn)Q，則即為所作；（2）連接和交于點(diǎn)O，連接交于點(diǎn)E，過A、E作直線交于點(diǎn)H，則即為所作．【詳解】（1）解：連接和交于點(diǎn)O，連接并延長交于點(diǎn)Q，則即為所作；（2）解：連接和交于點(diǎn)O，連接交于點(diǎn)E，過A、E作直線交于點(diǎn)H，則即為所作．【變式2】（2024·廣東汕頭·一模）如圖，在菱形中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)．(1)請僅用無刻度的直尺作圖，作出邊的中點(diǎn)F；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）的條件下，連接，點(diǎn)G是的中點(diǎn)，連接，若的面積為3，求菱形的面積．【答案】(1)見解析(2)．【知識點(diǎn)】根據(jù)三角形中線求面積、利用菱形的性質(zhì)證明【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)．（1）作菱形對角線的交點(diǎn)，連接交延長交邊于點(diǎn)F，點(diǎn)F即為所作；（2）根據(jù)三角形中線的性質(zhì)求得，再根據(jù)菱形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：如圖所示，點(diǎn)F即為所作；（2）解：∵點(diǎn)G是的中點(diǎn)，的面積為3，∴，∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，∴．【題型七】正方形中無刻度作圖問題【例1】（2023·江西九江·三模）如圖．已知正方形，請僅用無刻度直尺作一個平行四邊形．

(1)如圖1，若點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，請作．(2)如圖2，點(diǎn)是正方形的對角線上不與中點(diǎn)重合的一點(diǎn)，請以、為邊作一個菱形．【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析【知識點(diǎn)】利用平行四邊形的性質(zhì)求解、利用菱形的性質(zhì)求線段長、根據(jù)正方形的性質(zhì)證明、無刻度直尺作圖【分析】（1）先作出對角線的交點(diǎn)，連接并延長交于，連接，則可證明，得到，而，所以四邊形為平行四邊形；（2）先作出對角線的交點(diǎn)，延長交于，連接，并延長交于，連接交于，連接，通過證明，而，，則可判斷四邊形為菱形．【詳解】（1）解：畫出圖如圖所示：

連接相交于點(diǎn)，連接并延長交于，連接，四邊形即為所作；（2）解：畫出圖如圖所示：

連接與交于點(diǎn)，延長交于，連接，并延長交于，連接交于，連接，四邊形即為所作．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖—復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，幾何幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作，也考查了平行四邊形的判定、菱形的判定與正方形的性質(zhì)．正方形中無刻度作圖技巧：利用四邊相等且直角特性，先作線段AB，以A、B為圓心等半徑畫弧定C點(diǎn)，構(gòu)造等邊三角形；再以A、C為圓心，大于AC一半長畫弧找垂直平分線，確定D點(diǎn)，連邊得正方形。對角線必用“垂直且相等”驗(yàn)證，通過圓規(guī)截取等長、構(gòu)造直角三角形實(shí)現(xiàn)，確保四邊等長與直角關(guān)系。【例2】（2023·江西南昌·一模）已知四邊形是正方形，，請僅用無刻度直尺按下列要求作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）(1)在圖1中，將線段繞著點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)；(2)在圖2中，連接，將線段繞著點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)得到．【答案】(1)見解析(2)見解析【知識點(diǎn)】正方形性質(zhì)理解、畫旋轉(zhuǎn)圖形【分析】（1）連接，交于點(diǎn)，延長交于，線段即為所求；（2）延長交于，延長交延長線于，線段即為所求．【詳解】（1）解：連接，交于點(diǎn)，延長交于，線段即為所求；由正方形的對稱性可知，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對稱，易知，，則，故，即：線段繞著點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)為；（2）延長交于，延長交延長線于，線段即為所求；連接，根據(jù)正方形的性質(zhì)易知，，，則，可知為等腰直角三角形，則，，∴，則可知，，，故：，即：為線段繞著點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到．【點(diǎn)睛】本題考查作圖——旋轉(zhuǎn)變換，正方形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．【變式1】（2023·江西九江·三模）如圖．已知正方形，請僅用無刻度直尺作一個平行四邊形．

(1)如圖1，若點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，請作．(2)如圖2，點(diǎn)是正方形的對角線上不與中點(diǎn)重合的一點(diǎn)，請以、為邊作一個菱形．【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析【分析】（1）先作出對角線的交點(diǎn)，連接并延長交于，連接，則可證明，得到，而，所以四邊形為平行四邊形；（2）先作出對角線的交點(diǎn)，延長交于，連接，并延長交于，連接交于，連接，通過證明，而，，則可判斷四邊形為菱形．【詳解】（1）解：畫出圖如圖所示：

連接相交于點(diǎn)，連接并延長交于，連接，四邊形即為所作；（2）解：畫出圖如圖所示：

連接與交于點(diǎn)，延長交于，連接，并延長交于，連接交于，連接，四邊形即為所作．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖—復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，幾何幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作，也考查了平行四邊形的判定、菱形的判定與正方形的性質(zhì)．【題型八】圓中無刻度作圖問題【例1】（2024·江西贛州·模擬預(yù)測）如圖，內(nèi)接于，．請僅用無刻度的直尺，分別在下列兩個圖形中，根據(jù)條件作一個角的圓周角．（保留作圖痕跡）(1)在圖1中，；(2)在圖2中，．【答案】(1)見解析(2)見解析【知識點(diǎn)】圓周角定理、已知圓內(nèi)接四邊形求角度【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，從而正確作出圖形．（1）取優(yōu)弧上取一點(diǎn)D，連接，得到（或）即為所求；（2）連接并延長，交圓于點(diǎn)E，連接，則得到，在弧上取一點(diǎn)D，連接，則為所求．【詳解】（1）解：（或）即為所求；∵，∴，∵，∴，∴；（2）即為所求．∵，∴，∵是直徑，∴，∴，∴．圓中無刻度作圖技巧：找圓心需作兩弦垂直平分線（圓規(guī)畫弧找交點(diǎn)）；作直徑過圓心連兩點(diǎn)；作切線時，連圓外點(diǎn)與圓心，取中點(diǎn)為圓心畫弧交圓得切點(diǎn)。利用“直徑對直角”構(gòu)造垂線，等分圓周用等半徑畫?。ㄈ缯呅危坎揭劳袌A心、半徑、圓周角定理，避免估測圓心位置?！纠?】如圖，中，是⊙的一條弦，請僅用無刻度的直尺，分別按照下列要求畫圖（不寫畫法，保留畫圖痕跡）．(1)如圖1，點(diǎn)在⊙上，在圖中畫一個含有角的直角三角形；(2)如圖2，點(diǎn)在⊙內(nèi)，在圖中畫一個含有角的直角三角形．【答案】(1)見解析(2)見解析【知識點(diǎn)】圓周角定理、半圓（直徑）所對的圓周角是直角【分析】本題主要考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)，圓周角定理．（1）連接，延長交于E，連接，即為所求；（2）延長交于F，作直徑，連接、，即為所求．【詳解】（1）解：如圖，是的直徑，連接，即為所作．∵是的直徑，∴，∵，∴是含有角的直角三角形；（2）解：如圖，延長交于點(diǎn)F，是圓的直徑，連接、，即為所作．∵是圓的直徑，∴，∵，∴是含有角的直角三角形．【變式1】（2025·江西南昌·模擬預(yù)測）如圖，是的直徑，C是的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作的垂線，垂足為點(diǎn)E．請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）．(1)如圖1，過點(diǎn)作的一條平行線；(2)如圖2，作一條直線把陰影部分分為面積相等的兩部分．【答案】(1)見解析(2)見解析【知識點(diǎn)】重心的概念、利用垂徑定理求值【分析】本題主要考查了垂徑定理及三角形的重心．（1）連接，證明，可得；（2）連接，連接交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，作直線，則直線即為所作，利用三角形重心的性質(zhì)和垂徑定理即可得證．【詳解】（1）解：如圖，即為所作，∵，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴；（2）解：如圖，直線即為所作，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∵，∴點(diǎn)是三角形的重心，∴點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴直線是的垂直平分線，∴直線把陰影部分分為面積相等的兩部分．【變式2】（2024·江西南昌·模擬預(yù)測）如圖，內(nèi)接于⊙O，，且，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖1中，作一個的頂點(diǎn)在上且角度為的圓周角；(2)在圖2中的上找一點(diǎn)，作過點(diǎn)的直線平行AC．【答案】(1)圖見解析(2)圖見解析【知識點(diǎn)】無刻度直尺作圖、圓周角定理、利用垂徑定理求解其他問題、利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求解【分析】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了圓周角、垂徑定理．（1）過點(diǎn)作直徑可得平分，即，在根據(jù)同弧所對圓周角相等即可作圖；（2）作直徑，，作直線MN，可得四邊形是平行四邊形，故.【詳解】（1）如圖所示；（2）如圖所示．【題型九】不規(guī)則圖形中無刻度作圖問題【例1】（2024·江西·二模）已知和是等邊三角形，點(diǎn)在同一直線上，是的中點(diǎn)，請僅用無刻度的直尺按下列要求作圖．(1)在圖1中作線段的中垂線；(2)在圖2中作菱形．【答案】(1)見解析(2)見解析【知識點(diǎn)】等邊三角形的判定和性質(zhì)、與三角形中位線有關(guān)的證明、證明四邊形是菱形、無刻度直尺作圖【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定、三角形中位線定理、無刻度直尺作圖，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）延長，交于點(diǎn)，連接，即為所作；（2）延長，交于點(diǎn)，連接，連接交于，連接并延長交于，則菱形即為所作．【詳解】（1）解：如圖1，直線是所作的中垂線，延長，交于點(diǎn)，連接，和是等邊三角形，，，為等邊三角形，是的中點(diǎn)，，∴直線是的中垂線；（2）解：如圖2，四邊形是所作的菱形延長，交于點(diǎn)，連接，連接交于，連接并延長交于，和是等邊三角形，，，，為等邊三角形，，是的中點(diǎn)，，，，，，是的中位線，，，∴四邊形為菱形．不規(guī)則圖形無刻度作圖需“分解-構(gòu)造-驗(yàn)證”：先拆解為線段、角等基本元素，用圓規(guī)截取等長線段，借全等三角形（SSS/SAS/ASA）復(fù)制角度；通過作垂線（如直徑對直角）、平行線（平移等距弧）確定關(guān)鍵點(diǎn)；利用中點(diǎn)、角平分線等輔助線串聯(lián)圖形，每步依托幾何定理（如三角形穩(wěn)定性），最后用邊長、角度關(guān)系驗(yàn)證合理性，避免憑直覺拼接?！纠?】（2024·江西吉安·一模）如圖正六邊形．請分別在圖1，圖2中使用無刻度的直尺按要求作圖．(1)在圖1中，以為直角邊，作一個直角三角形；(2)在圖2中，以為邊作一個菱形．【答案】(1)見解析(2)見解析【知識點(diǎn)】正多邊形的內(nèi)角問題、證明四邊形是菱形【分析】題目主要考查正多邊形的性及直角三角形，菱形的性質(zhì)，熟練掌握基本的知識點(diǎn)進(jìn)行作圖是解題關(guān)鍵（1）連接，根據(jù)題意，得出，再由各角之間的關(guān)系即可證明；（2）連接，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得出，然后利用菱形的判定即可證明【詳解】（1）解：如圖所示，為直角三角形，∵正六邊形，∴，∴，∴，∴為直角三角形；（2）如圖所示，四邊形為菱形，∵正六邊形，∴，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形為菱形．【變式1】（2023·湖北·中考真題）已知正六邊形，請僅用無刻度的直尺完成下列作圖（保留作圖痕跡，不寫作法，用虛線表示作圖過程，實(shí)線表示作圖結(jié)果）．

(1)在圖1中作出以為對角線的一個菱形；(2)在圖2中作出以為邊的一個菱形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)對角線互相垂直平分即可作出圖形．（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)四條邊平行且相等即可作出圖形．【詳解】（1）解：如圖，菱形即為所求（點(diǎn)，可以對調(diào)位置）：

（2）解：如圖，菱形即為所求．是菱形，且要求為邊，①當(dāng)為上底邊的時候，作，且，向右下偏移，如圖所示，

②當(dāng)為上底邊的時候，作，且，向左下偏移如圖所示，

③當(dāng)為下底邊的時候，作，且，向左上偏移如圖所示，

④當(dāng)為下底邊的時候，作，且，向右上偏移如圖所示，

易錯點(diǎn)一：作角平分線過程求解錯誤尺規(guī)作角平分線需牢記步驟：以角頂點(diǎn)為圓心、適當(dāng)長為半徑畫弧交兩邊；分別以兩交點(diǎn)為圓心、大于間距一半長為半徑畫弧交于一點(diǎn)；連接頂點(diǎn)與交點(diǎn)即得平分線。關(guān)鍵是弧半徑適當(dāng)確保交點(diǎn)存在，保留痕跡并標(biāo)注字母，結(jié)合全等原理理解依據(jù)，多練真題強(qiáng)化規(guī)范性與速度。例1．（2025·湖南郴州·模擬預(yù)測）如圖，在中，，．以點(diǎn)A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交，于點(diǎn)M和N，再分別以M、N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，連接并延長交于點(diǎn)D，則度．【答案】【知識點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、角平分線的性質(zhì)定理、作角平分線(尺規(guī)作圖)【分析】本題考查了作圖-基本作圖，角平分線的定義，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．由作圖可知是的角平分線，利用角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，然后即可求解；【詳解】解：在中，，，∴，∵由題可得：是的角平分線，∴，故答案為：；變式1：（2025·湖南湘潭·模擬預(yù)測）如圖，平行四邊形中以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交、于、，分別以點(diǎn)為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，連接并延長，與交于點(diǎn)，若，，則的長為．【答案】2【知識點(diǎn)】利用平行四邊形的性質(zhì)求解、等邊對等角、作角平分線(尺規(guī)作圖)、角平分線的有關(guān)計(jì)算【分析】由作圖過程可知，平分，結(jié)合平行四邊形性質(zhì)，推出，進(jìn)而得到，最后結(jié)合平行四邊形性質(zhì)求解，即可解題．【詳解】解：由作圖過程可知，平分，，四邊形為平行四邊形，，，，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線作圖，角平分線定義，平行四邊形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)角平分線，平行線性質(zhì)得到等腰三角形．變式2：（2025·山西忻州·模擬預(yù)測）在中，以點(diǎn)為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)，，再分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線交邊于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，